Wahrheitstabelle – „Mathe für Nicht-Freaks“

Wir stellen im Folgenden die Wahrheitswerttabelle, kurz „Wahrheitstabelle“, vor. Eine solche Tabelle ist hilfreich, um Aussagen der Logik zu untersuchen.

Die Wahrheitstabelle

Ein Video zur Erklärung und Anwendung von Wahrheitstabellen. (YouTube-Video vom Kanal Serlo Education)

Stell dir vor, du hast eine Aussage, die eine Verknüpfung von mehreren atomaren Aussagen $A$, $B$, $C$, … mit Junktoren ist. Der Wahrheitswert dieser zusammengesetzten Aussage ist eindeutig aus den Wahrheitswerten dieser Teilaussagen bestimmbar, denn für jeden Junktor ist festgelegt, wie sich der Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage aus den Teilaussagen ergibt. Ein Beispiel hierfür ist die mit dem Junktor „und“ zusammengesetzte Aussage $A\wedge B$:

kommentierte Wahrheitstabelle

Dementsprechend gibt es für eine mit mehreren Junktoren zusammengesetzte Aussage eine eindeutig festgelegte Vorschrift, die bestimmt, wie der Wahrheitswert dieser verknüpften Aussage in Abhängigkeit von dessen atomaren Aussagen ist. Daher können alle möglichen Belegungen der Aussagen $A$, $B$, $C$, … und der dazugehörige resultierende Wahrheitswert der gesamten Aussage in einer Tabelle dargestellt werden. Eine solche Tabelle wird Wahrheitstabelle genannt. Die folgende Tabelle verdeutlicht das Prinzip von Wahrheitstabellen:

Atomare Aussagen $A$, $B$, $C$ …	zusammengesetzte Aussage
1. Belegung für die Teilaussagen $A$, $B$, $C$ … mit „wahr“ bzw. „falsch“	resultierender Wahrheitswert
2. Belegung für die Teilaussagen $A$, $B$, $C$ … mit „wahr“ bzw. „falsch“	resultierender Wahrheitswert
⋮	⋮
Letzte Belegung für die Teilaussagen $A$, $B$, $C$ … mit „wahr“ bzw. „falsch“	resultierender Wahrheitswert

Eine Wahrheitstabelle dient also dazu, den Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage in Abhängigkeit von den Wahrheitswerten seiner atomaren Aussagen darzustellen. Dabei kann die Anzahl der Zeilen schnell groß werden.

Verständnisfrage: Wie viele Zeilen sind bei $n$ atomaren Aussagen notwendig?

Es sind $2^n$ Zeilen notwendig, da für jede der $n$ atomaren Aussagen die zwei Wahrheitswerte „wahr“ und „falsch“ als Belegung möglich sind. So sind bei 2 Teilaussagen 4, bei 3 Teilaussagen 8 und bei 4 Teilaussagen 16 Zeilen notwendig.

Damit Du auch bei vielen atomaren Aussagen mit den möglichen Kombinationen nicht durcheinanderkommst, ist es eine gute Strategie, sich am Binärsystem zu orientieren. Die binäre Darstellung einer Zeilennummer wird dabei in die Wahrheitswerte $𝖶$ für 1 und $𝖥$ für 0 umgesetzt:

Zeile	Binär	$A$	$B$	$C$	$D$
15	1 1 1 1	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$
14	1 1 1 0	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖥$
13	1 1 0 1	$𝖶$	$𝖶$	$𝖥$	$𝖶$
12	1 1 0 0	$𝖶$	$𝖶$	$𝖥$	$𝖥$
$\cdots$
3	0 0 1 1	$𝖥$	$𝖥$	$𝖶$	$𝖶$
2	0 0 1 0	$𝖥$	$𝖥$	$𝖶$	$𝖥$
1	0 0 0 1	$𝖥$	$𝖥$	$𝖥$	$𝖶$
0	0 0 0 0	$𝖥$	$𝖥$	$𝖥$	$𝖥$

Wahrheitstabellen erstellen

Ein Video zu Anwendungsbeispielen und Tipps bei Wahrheitstabellen. (YouTube-Video vom Kanal Serlo Education)

Wie viele Spalten brauchen wir in der Wahrheitstabelle? Da ja die zusammengesetzte Aussage schrittweise aus den Teilaussagen aufgebaut wurde, braucht man für jede dieser Teilaussagen eine Spalte. Die ersten Spalten sind die atomaren Aussagen, dann folgen die weiteren Teilaussagen und in der letzten Spalte steht dann die gesamte Aussage.

Nehmen wir als Beispiel die Formel

$(A\Rightarrow B)\wedge (B\Rightarrow C)\Rightarrow (A\Rightarrow C)$.

Sie hat 3 atomare Teilaussagen, nämlich $A$, $B$ und $C$. Daher hat die Tabelle $2^3=8$ Zeilen. Weiterhin sind Teilaussagen $(A\Rightarrow B)$, $(B\Rightarrow C)$, $(A\Rightarrow C)$. Die ersten beiden bilden die Teilaussage $((A\Rightarrow B)\wedge (B\Rightarrow C))$, denn $\wedge$ bindet stärker als $\Rightarrow$. Und schließlich haben wir noch die gesamte Aussage. Insgesamt ergibt das $8$ Teilaussagen, also $8$ Spalten.

$A$	$B$	$C$	$(A\Rightarrow B)$	$(B\Rightarrow C)$	$(A\Rightarrow C)$	$((A\Rightarrow B)\wedge (B\Rightarrow C))$	$((A\Rightarrow B)\wedge (B\Rightarrow C))\Rightarrow (A\Rightarrow C)$
$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$
$𝖶$	$𝖶$	$𝖥$
$𝖶$	$𝖥$	$𝖶$
$𝖶$	$𝖥$	$𝖥$
$𝖥$	$𝖶$	$𝖶$
$𝖥$	$𝖶$	$𝖥$
$𝖥$	$𝖥$	$𝖶$
$𝖥$	$𝖥$	$𝖥$

In den ersten drei Spalten sind alle möglichen Belegungen für die drei atomaren Teilaussagen mit Wahrheitswerten aufgelistet. Nun ist die Tabelle ziemlich breit geworden. Deswegen notieren wir das platzsparender und machen die Spalten in der gesamten Aussage jeweils unter dem Junktor der jeweiligen Teilformel. Das sieht dann so aus:

$A$	$B$	$C$	$((A\Rightarrow B)$	$\wedge$	$(B\Rightarrow C))$	$\Rightarrow$	$(A\Rightarrow C)$
$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$
$𝖶$	$𝖶$	$𝖥$
$𝖶$	$𝖥$	$𝖶$
$𝖶$	$𝖥$	$𝖥$
$𝖥$	$𝖶$	$𝖶$
$𝖥$	$𝖶$	$𝖥$
$𝖥$	$𝖥$	$𝖶$
$𝖥$	$𝖥$	$𝖥$
$\text{1}$	$\text{2}$	$\text{3}$	$\text{4}$	$\text{7}$	$\text{5}$	$\text{8}$	$\text{6}$

In der letzten Zeile haben wir mit $\text{roten Zahlen}$ angegeben, welche Spalte aus der Tabelle darüber dieser Spalte entspricht. In dieser Reihenfolge werden nun die resultierenden Wahrheitswerte in die Spalten geschrieben. Dabei bestimmt der Junktor, wie sich der Wahrheitswert errechnet.

$A$	$B$	$C$	$((A\Rightarrow B)$	$\wedge$	$(B\Rightarrow C))$	$\Rightarrow$	$(A\Rightarrow C)$
$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$		$𝖶$		$𝖶$
$𝖶$	$𝖶$	$𝖥$	$𝖶$		$𝖥$		$𝖥$
$𝖶$	$𝖥$	$𝖶$	$𝖥$		$𝖶$		$𝖶$
$𝖶$	$𝖥$	$𝖥$	$𝖥$		$𝖶$		$𝖥$
$𝖥$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$		$𝖶$		$𝖶$
$𝖥$	$𝖶$	$𝖥$	$𝖶$		$𝖥$		$𝖶$
$𝖥$	$𝖥$	$𝖶$	$𝖶$		$𝖶$		$𝖶$
$𝖥$	$𝖥$	$𝖥$	$𝖶$		$𝖶$		$𝖶$

Als Letztes werden die Spalten $\text{7}$ und $\text{8}$ gefüllt. Das Ergebnis für die gesamte Aussage ist fett geschrieben:

$A$	$B$	$C$	$((A\Rightarrow B)$	$\wedge$	$(B\Rightarrow C))$	$\Rightarrow$	$(A\Rightarrow C)$
$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$
$𝖶$	$𝖶$	$𝖥$	$𝖶$	$𝖥$	$𝖥$	$𝖶$	$𝖥$
$𝖶$	$𝖥$	$𝖶$	$𝖥$	$𝖥$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$
$𝖶$	$𝖥$	$𝖥$	$𝖥$	$𝖥$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖥$
$𝖥$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$
$𝖥$	$𝖶$	$𝖥$	$𝖶$	$𝖥$	$𝖥$	$𝖶$	$𝖶$
$𝖥$	$𝖥$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$
$𝖥$	$𝖥$	$𝖥$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$

Wir ersehen daraus: diese Aussage ist immer wahr.

Übungsaufgaben

Aufgabe 1

Aufgabe

Erstelle die Wahrheitstabelle für die Aussage $(A\Rightarrow B)\iff (\mathrm{\neg }B\Rightarrow \mathrm{\neg }A)$.

Diese Aussage ist immer wahr. $\mathrm{\neg }B\Rightarrow \mathrm{\neg }A$ wird Kontraposition von $A\Rightarrow B$ genannt.

Lösung

$A$	$B$	$(A\Rightarrow B)$	$\iff$	$(\mathrm{\neg }B\Rightarrow \mathrm{\neg }A)$
$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$
$𝖶$	$𝖥$	$𝖥$	$𝖶$	$𝖥$
$𝖥$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$
$𝖥$	$𝖥$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$

Aufgabe 2

Aufgabe

Sei $𝖠𝗎𝗌𝗌𝖺𝗀𝖾\mathrm{𝟣}:=(A\Rightarrow B)\wedge (B\Rightarrow C)\wedge (C\Rightarrow A)$ und $𝖠𝗎𝗌𝗌𝖺𝗀𝖾\mathrm{𝟤}:=(A\iff B)\wedge (B\iff C)\wedge (C\iff A)$.
Zeige mit Wahrheitstafeln, dass $𝖠𝗎𝗌𝗌𝖺𝗀𝖾\mathrm{𝟣}$ und $𝖠𝗎𝗌𝗌𝖺𝗀𝖾\mathrm{𝟤}$ äqivalent sind.

Um die Äquivalenz mehrerer Aussagen zu beweisen, genügt es also, einen „Ringschluss“ wie in $𝖠𝗎𝗌𝗌𝖺𝗀𝖾\mathrm{𝟣}$ zu zeigen!

Lösung

$𝖠𝗎𝗌𝗌𝖺𝗀𝖾\mathrm{𝟤}$ ist offensichtlich nur dann $𝖶$, wenn alle drei Aussagen $A$, $B$ und $C$   $𝖶$ oder alle drei $𝖥$ sind. Das gilt auch für $𝖠𝗎𝗌𝗌𝖺𝗀𝖾\mathrm{𝟣}$, wie die folgende Tabelle zeigt:

$A$	$B$	$C$	$A\Rightarrow B$	$B\Rightarrow C$	$C\Rightarrow A$	$𝖠𝗎𝗌𝗌𝖺𝗀𝖾\mathrm{𝟣}$	$𝖠𝗎𝗌𝗌𝖺𝗀𝖾\mathrm{𝟤}$
$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$
$𝖶$	$𝖶$	$𝖥$	$𝖶$	$𝖥$	$𝖶$	$𝖥$	$𝖥$
$𝖶$	$𝖥$	$𝖶$	$𝖥$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖥$	$𝖥$
$𝖶$	$𝖥$	$𝖥$	$𝖥$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖥$	$𝖥$
$𝖥$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖥$	$𝖥$	$𝖥$
$𝖥$	$𝖶$	$𝖥$	$𝖶$	$𝖥$	$𝖶$	$𝖥$	$𝖥$
$𝖥$	$𝖥$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖥$	$𝖥$	$𝖥$
$𝖥$	$𝖥$	$𝖥$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$	$𝖶$