Aussagen formalisieren – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wir möchten nun zeigen, wie Aussagen in natürlicher Sprache in die formale Schreibweise der Logik übersetzt und wie umgekehrt formale Ausdrücke in die natürliche Sprache umformuliert werden können. Hier kann wie beim Lernen einer Fremdsprache vorgegangen werden: Die einzelnen Wörter und Satzfragmente in natürlicher Sprache übersetzt man in die dazu äquivalente Form der Logik und umgekehrt. Dabei werden zur Übung auch Ausdrücke betrachtet, wie sie in der Analysis 1 betrachtet werden.

Vokabelliste[Bearbeiten]

Die folgende Vokabelliste listet Satzfragmente in natürlicher Sprache mit ihren Übersetzungen in der formalen Ausdrucksweise der Logik gleich:

natürliche Sprache formale Schreibweise
nicht
und
oder („oder“ im Sinne von „und/oder“)
Wenn , dann
dann, wenn
Aus folgt
impliziert
ist hinreichend für
ist notwendig für
Genau dann , wenn
Dann und nur dann , wenn
ist gleichwertig mit
ist äquivalent zu
ist notwendig und hinreichend für
Für alle ist
Jedes erfüllt
Es ist für alle
Für alle aus ist
Jedes der Menge erfüllt
Es ist für alle
Für alle ab ist
Jedes größer oder gleich erfüllt
Es gibt ein mit
Es existiert ein , so dass gilt
Für mindestens ein gilt
Es gibt ein aus mit
Für mindestens ein gilt
Es gibt ein ab mit
Für wenigstens ein ab gilt
Es gibt genau ein mit
Es existiert genau ein , so dass gilt
Für genau ein gilt
Es gibt genau ein aus mit
Für genau ein gilt

Beispiele[Bearbeiten]

Übersetzung von formaler in natürliche Sprache[Bearbeiten]

Wir möchten dir an Beispielen zeigen, wie du die obige Vokabelliste anwenden kannst, um Aussagen aus der formalen in die natürliche Sprache zu übersetzen.

Beispiel (Beispiel 1: Übersetzung von formaler in natürliche Sprache)

Wir übersetzen nun die Aussage schrittweise in natürliche Sprache:

Beispiel (Beispiel 2: Übersetzung von formaler in natürliche Sprache)

Das folgende Beispiel zeigt die schrittweise Übersetzung der Aussage

in die Aussage „Für jede reelle Zahl gibt es eine reelle Zahl mit “:

Übersetzung von natürlicher in formale Sprache[Bearbeiten]

Bei der Übersetzung einer Aussage aus natürlicher Sprache in die formale Schreibweise gehen wir die umgekehrte Richtung der obigen beiden Beispiele. Auch hier kann mit Hilfe der Vokabelliste schrittweise die Aussage übersetzt werden. Gegebenenfalls müssen wir die Aussage zunächst umformulieren, damit die Regeln aus der Vokabelliste anwendbar sind. Das folgende Beispiel demonstriert eine solche Übersetzung:

Beispiel (Übersetzung von natürlicher in formale Sprache)

Das folgende Beispiel demonstriert die Formalisierung der Aussage „Alle ungeraden Zahlen ab 3 sind Primzahlen“. Dabei nutzen wir das Prädikat , welches für „ ist eine Primzahl“ steht:

Übungsaufgaben[Bearbeiten]

Verständnisfrage: Übersetze folgende Aussagen der formalen Logik in die natürliche Sprache

1. Aussage:

2. Aussage:

3. Aussage:

Verständnisfrage: Übersetze folgende Aussagen der natürlichen Sprache in die formale Schreibweise der Logik

  • Zu jedem gibt es ein , so dass für alle die Ungleichung erfüllt ist.
  • Zu jedem und gibt es ein , so dass für alle mit .
  • Für jeden Menschen gibt es einen anderen, der ihn liebt.

Antwort:

Häufige Fehler beim Übersetzen[Bearbeiten]

Aussage in natürlicher Sprache falsche Übersetzung richtige Übersetzung Erklärung
und sind reelle Zahlen. Der Junktor kann nur Aussagen miteinander verbinden.
Für alle natürlichen Zahlen und ganzen Zahlen gilt … Wird „und“ für eine Aufzählung benutzt, dann darf es nicht mit übersetzt werden.
Für alle mit gilt …
oder auch
Das Symbol | aus der Mengenschreibweise kann nicht für Aussagen eingesetzt werden. Hier ist eine Implikation notwendig.
Es ist für alle . . . Die Quantoren müssen immer vor dem Ausdruck stehen, den sie quantifizieren.