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Auf dieser Seite haben wir wichtige Formeln der Mengenlehre für dich aufgelistet. Die Beweise findest du in den folgenden Kapiteln:
(
A
∩
B
)
∩
C
=
A
∩
(
B
∩
C
)
{\displaystyle \left(A\cap B\right)\cap C=A\cap \left(B\cap C\right)}
(
A
∪
B
)
∪
C
=
A
∪
(
B
∪
C
)
{\displaystyle \left(A\cup B\right)\cup C=A\cup \left(B\cup C\right)}
(
A
△
B
)
△
C
=
A
△
(
B
△
C
)
{\displaystyle \left(A\,\triangle \,B\right)\,\triangle \,C=A\,\triangle \,\left(B\,\triangle \,C\right)}
A
∩
B
=
B
∩
A
{\displaystyle A\cap B=B\cap A}
A
∪
B
=
B
∪
A
{\displaystyle A\cup B=B\cup A}
A
△
B
=
B
△
A
{\displaystyle A\,\triangle \,B=B\,\triangle \,A}
A
∩
(
B
∪
C
)
=
(
A
∩
B
)
∪
(
A
∩
C
)
{\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}
A
∪
(
B
∩
C
)
=
(
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
C
)
{\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}
A
∩
(
B
△
C
)
=
(
A
∩
B
)
△
(
A
∩
C
)
{\displaystyle A\cap (B\,\triangle \,C)=(A\cap B)\,\triangle \,(A\cap C)}
A
∩
A
=
A
{\displaystyle A\cap A=A}
A
∪
A
=
A
{\displaystyle A\cup A=A}
A
∩
(
A
∪
B
)
=
A
{\displaystyle A\cap (A\cup B)=A}
A
∪
(
A
∩
B
)
=
A
{\displaystyle A\cup (A\cap B)=A}
Neutralitätsgesetze [ Bearbeiten ] Im Folgenden sei
M
{\displaystyle M}
A
∩
M
=
A
{\displaystyle A\cap M=A}
A
∪
∅
=
A
{\displaystyle A\cup \varnothing =A}
A
△
∅
=
A
{\displaystyle A\,\triangle \,\varnothing =A}
Im Folgenden sei
M
{\displaystyle M}
A
∪
M
=
M
{\displaystyle A\cup M=M}
A
∩
∅
=
∅
{\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }
De-Morgansche Regeln [ Bearbeiten ]
(
A
∩
B
)
∁
=
A
∁
∪
B
∁
{\displaystyle (A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }}
(
A
∪
B
)
∁
=
A
∁
∩
B
∁
{\displaystyle (A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }}
Regeln zum Komplement [ Bearbeiten ] Im Folgenden sei
M
{\displaystyle M}
(
A
∁
)
∁
=
A
{\displaystyle (A^{\complement })^{\complement }=A}
M
∁
=
∅
{\displaystyle M^{\complement }=\varnothing }
∅
∁
=
M
{\displaystyle \varnothing ^{\complement }=M}
A
∩
A
∁
=
∅
{\displaystyle A\cap A^{\complement }=\varnothing }
A
∪
A
∁
=
M
{\displaystyle A\cup A^{\complement }=M}
A
△
M
=
A
∁
{\displaystyle A\,\triangle \,M=A^{\complement }}
A
△
A
∁
=
M
{\displaystyle A\,\triangle \,A^{\complement }=M}
Regeln zur Differenz [ Bearbeiten ]
(
A
∖
B
)
∖
C
=
A
∖
(
B
∪
C
)
{\displaystyle (A\setminus B)\setminus C=A\setminus (B\cup C)}
A
∖
(
B
∖
C
)
=
(
A
∖
B
)
∪
(
A
∩
C
)
{\displaystyle A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C)}
(
A
∩
B
)
∖
C
=
(
A
∖
C
)
∩
(
B
∖
C
)
{\displaystyle (A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap (B\setminus C)}
(
A
∪
B
)
∖
C
=
(
A
∖
C
)
∪
(
B
∖
C
)
{\displaystyle (A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C)}
A
∖
(
B
∩
C
)
=
(
A
∖
B
)
∪
(
A
∖
C
)
{\displaystyle A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)}
A
∖
(
B
∪
C
)
=
(
A
∖
B
)
∩
(
A
∖
C
)
{\displaystyle A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)}
Regeln zur symmetrischen Differenz [ Bearbeiten ] Es gelten Assoziativität , Kommutativität , Distributivität und Neutralität , siehe dort.
A
△
A
=
∅
{\displaystyle A\,\triangle \,A=\varnothing }
A
△
B
=
(
A
∪
B
)
∖
(
A
∩
B
)
{\displaystyle A\triangle B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)}
A
△
B
=
(
A
∖
B
)
∪
(
B
∖
A
)
{\displaystyle A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}
(
A
△
B
)
∁
=
(
A
∁
∩
B
∁
)
∪
(
A
∩
B
)
{\displaystyle (A\triangle B)^{\complement }=(A^{\complement }\cap B^{\complement })\cup (A\cap B)}
