Kartesisches Produkt – Mathe für Nicht-Freaks

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Kartesisches Produkt [Bearbeiten]

Das kartesische Produkt ist eine besondere Verknüpfung zwischen zwei Mengen. Die Schreibweise für das kartesische Produkt zwischen den Mengen und ist (ausgesprochen: „ kreuz “). Das kartesische Produkt ist die Menge aller geordneten Paare mit und . So ist beispielsweise:

Beispiele/Übungsaufgabe: Schreibe folgende kartesische Produkte aus.

Antwort:

Dialog-information.svg
Definition (kartesisches Produkt)

Das kartesische Produkt zweier Mengen und ist die Menge aller geordneten Paare wobei ein Element der Menge und ein Element der Menge ist:

Verständnisfrage: Sei eine endliche Menge mit Elementen und eine endliche Menge mit Elementen. Wie viele Elemente enthält die Menge ?

Seien bis die Elemente der Menge und bis die Elemente der Menge . Dann sieht so aus:

Man sieht, dass es für jedes genau verschiedene mit gibt. Damit enthält genau verschiedene geordnete Paare als Elemente.

Man kann auch das kartesische Produkt von mehr als zwei Mengen bilden. Analog zum Fall von zwei Mengen ist das kartesische Produkt der drei Mengen , und gleich der Menge aller 3-Tupel mit , und :

Verständnisfrage: Was ist ?

Allgemein ist das kartesische Produkt der Mengen bis die Menge aller n-Tupel mit , und so weiter bis :

Für kartesische Produkte von Mengen mit sich selber gibt es eine abkürzende Schreibweise: Es ist , und so weiter. Allgemein ist

Verständnisfrage: Was ist ?

Produktschreibweise[Bearbeiten]

Für das kartesische Produkt von mehreren Mengen, gibt es auch die kompaktere Schreibweise . Diese ist definiert durch

Du siehst, dass die obige Schreibweise ähnlich dem Produkt reeller Zahlen ist, welches du vielleicht schon aus der Schule kennst. Der Unterschied ist der, dass hier anstatt Zahlen Mengen verknüpft werden und die Verknüpfung nicht die Multiplikation sondern das kartesische Produkt ist.