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Verknüpfungen zwischen Mengen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Was sind Mengenverknüpfungen? (Video vom Podcast The Wicked Mu)

Einleitendes Beispiel[Bearbeiten]

Symmetrische Differenz[Bearbeiten]

Stelle dir vor, du hast eine Grundmenge gegeben:

Eine Grundmenge

In dieser Grundmenge gibt es eine Menge :

Grundmenge mit Menge A

Und eine Menge :

Grundmenge mit Menge B

Beide Mengen haben teilweise gemeinsame Elemente, es gibt aber auch Objekte, die nur in einer der beiden Mengen enthalten sind. Insgesamt ergibt sich also folgendes Bild:

Grundmenge mit Menge A und B

Stelle dir nun vor, wir möchten die Menge aller Objekte beschreiben, die Elemente genau einer der Mengen und sind:

Alle Objekte, die in genau einer der Mengen A und B enthalten sind

Diese Menge wird symmetrische Differenz der Mengen und genannt. Man schreibt für diese symmetrische Differenz . Hier ist eine Verknüpfung zwischen zwei Mengen. Der Operator verknüpft nämlich zwei Mengen und zu der neuen Menge . Die neue Menge enthält dabei alle Objekte, die Elemente genau einer der Mengen und sind. Dass eine Verknüpfung ist, ist analog dazu, dass die Addition + eine Verknüpfung ist. So wie die Addition + zwei Zahlen und zu einer neuen Zahl verknüpft, genauso verknüpft auch die symmetrische Differenz zwei Mengen und zu einer neuen Menge . Beispiel:

Konkretes Beispiel für die Addition und der symmetrischen Differenz

Genauso wie die Addition aus den beiden Zahlen und die Summe macht, verknüpft die symmetrische Differenz die beiden Mengen und zur neuen Menge .

Komplement[Bearbeiten]

Schauen wir uns noch ein weiteres Beispiel an: Stelle dir vor, wir wollen alle Objekte der Grundmenge beschreiben, die nicht in enthalten sind:

Objekte, die nicht in der Menge A enthalten sind

Diese Menge aller Objekte der Grundmenge, die nicht in enthalten sind, wird Komplement von genannt. Für diese Menge schreibt man . Während im obigen Beispiel der Operator war, ist hier der Operator. Im Unterschied zu wirkt auf nur einer Menge. Während nämlich zwei Mengen und zu einer neuen Menge verknüpft, nimmt nur eine Menge und macht daraus die neue Menge .

Überblick zu allen Mengenverknüpfungen[Bearbeiten]

So wie die symmetrische Differenz und das Komplement gibt es mehrere auf Mengen definierten Verknüpfungen. In der nachfolgenden Übersicht geben wir zunächst eine Übersicht über die wichtigsten Mengenverknüpfungen. In den nächsten Kapiteln werden wir diese dann einzeln vorstellen.

Name der Verknüpfung Schreibweise Aussprache Mengendiagramm Definition Erklärung
Durchschnitt geschnitten Venn-Diagramm zum Durchschnitt Die Menge aller Objekte, die sowohl in der Menge als auch in der Menge enthalten sind
Vereinigung vereinigt Venn-Diagramm zur Vereinigung Die Menge aller Objekte, die in der Menge oder in der Menge enthalten sind (hier ist „oder“ als „und/oder“, also als einschließendes Oder, zu lesen)
Differenz ohne Venn-Diagramm zur Differenz Die Menge aller Objekte, die in der Menge enthalten sind und keine Elemente der Menge sind
Symmetrische Differenz „symmetrische Differenz von und Venn-Diagramm zur symmetrischen Differenz Die Menge aller Objekte, die in genau einer der Mengen und enthalten sind, also entweder in A oder in B, aber nicht in beiden
Komplement „Komplement von Venn-Diagramm zum Komplement Die Menge aller Objekte (der Grundmenge), die keine Elemente von sind