Differenz, symmetrische Differenz und Komplement – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Differenz [Bearbeiten]

Erklärungen zur Differenzmenge (Youtube-Video der KhanAcademyDeutsch)

Mit Hilfe der Differenz kannst du alle Elemente einer Menge bestimmen, die außerdem nicht in einer zweiten Menge liegen. Ein Objekt liegt genau dann in der Differenz von und , wenn ein Element von aber kein Element von ist:

Differenz zweier Mengen

Für die Differenz von und schreibt man (ausgesprochen: „ ohne “). Seltener wird in der Literatur ein Minuszeichen verwendet: .

Definition (Differenz)

Die Differenz zweier Mengen und ist definiert durch:

Beispiel (Differenz)

Symmetrische Differenz [Bearbeiten]

symmetrische Differenz zweier Mengen
Beispiel für die symmetrische Differenz von zwei Mengen

Die Symmetrische Differenz zweier Mengen und ist die Menge aller Objekte, die in genau einer der Mengen und enthalten sind. Ist also ein Element aus der symmetrischen Differenz von und , so ist entweder oder und kein gemeinsames Element der Mengen und . Ihre Schreibweise ist (ausgesprochen: „symmetrische Differenz von und “).

Definition (symmetrische Differenz)

Die symmetrische Differenz ist die Menge aller Objekte, die Elemente genau einer der Mengen und sind:

Verständnisfrage: Bilde die symmetrische Differenz folgender Mengen

Antwort:

Komplement [Bearbeiten]

das Komplement einer Menge
Erklärungen zur Grundmenge und dem absoluten Komplement (Youtube-Video der KhanAcademyDeutsch)

Das Komplement einer Menge ist die Menge aller Objekte der Grundmenge, die keine Elemente von sind. Ist in einem Text keine Grundmenge angegeben, so ergibt sich diese aus dem Kontext. So wird bei einem Text über die reelle Analysis die Grundmenge meistens die Menge der reellen Zahlen sein. Da wir hier über Mengen reden, verwenden wir die Allklasse anstelle der Grundmenge. Die Schreibweise für das Komplement von ist oder oder (ausgesprochen: „Komplement von “).

Definition (Komplement)

Das Komplement der Menge ist die Menge aller Objekte, die nicht in enthalten sind:

Verständnisfrage: Die Grundmenge sei . Bilde folgende Komplemente:

Antwort:

Satz (Eigenschaften des Komplements)

  1. (Doppeltes Komplement)
  2. (De Morgansche Regel)

Dieses Eigenschaften lassen sich auf die Definitionen und die entsprechenden Gesetze der Logik zurückführen.

Beweis (Eigenschaften des Komplements)

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Siehe Aufgabe 1
  4. Es ist
  5. Siehe Aufgabe 2
  6. Es ist
  7. Siehe Aufgabe 3

Übungsaufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe (Aufgabe 1)

Zeige:

Lösung (Aufgabe 1)

Aufgabe (Aufgabe 2)

Zeige:

Lösung (Aufgabe 2)

Aufgabe 3: Zeige: