Differenz, symmetrische Differenz und Komplement – „Mathe für Nicht-Freaks“

Differenz

Erklärungen zur Differenzmenge (Youtube-Video der KhanAcademyDeutsch)

Mit Hilfe der Differenz kannst du alle Elemente einer Menge $A$ bestimmen, die außerdem nicht in einer zweiten Menge $B$ liegen. Ein Objekt $x$ liegt genau dann in der Differenz von $A$ und $B$, wenn $x$ ein Element von $A$ aber kein Element von $B$ ist:

Differenz zweier Mengen

Für die Differenz von $A$ und $B$ schreibt man $A\setminus B$ (ausgesprochen: „$A$ ohne $B$“). Seltener wird in der Literatur ein Minuszeichen verwendet: $A-B$.

Definition (Differenz)

Die Differenz $A\setminus B$ zweier Mengen $A$ und $B$ ist definiert durch:

$A\setminus B:=\{x|x\in A\wedge x\notin B\}$

Beispiel (Differenz)

• $\{2,4,5,9\}\setminus \{1,3,5,7,12\}=\{2,4,9\}$
• $\{3,12,18\}\setminus \{1,5,7\}=\{3,12,18\}$
• $\{x\in \mathbb{N}|x\text{ gerade}\}\setminus \{x\in \mathbb{N}|x\text{ ungerade}\}=\{x\in \mathbb{N}|x\text{ gerade}\}$

Symmetrische Differenz

symmetrische Differenz zweier Mengen

Beispiel für die symmetrische Differenz von zwei Mengen

Die Symmetrische Differenz zweier Mengen $A$ und $B$ ist die Menge aller Objekte, die in genau einer der Mengen $A$ und $B$ enthalten sind. Ist also $x$ ein Element aus der symmetrischen Differenz von $A$ und $B$, so ist entweder $x\in A$ oder $x\in B$ und $x$ kein gemeinsames Element der Mengen $A$ und $B$. Ihre Schreibweise ist $A\mathrm{△}B$ (ausgesprochen: „symmetrische Differenz von $A$ und $B$“).

Definition (symmetrische Differenz)

Die symmetrische Differenz $A\mathrm{△}B$ ist die Menge aller Objekte, die Elemente genau einer der Mengen $A$ und $B$ sind:

$\begin{array}{cc}A\mathrm{△}B& :=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\\ & =\{x\in A\cup B|(x\in A\wedge x\notin B)\vee (x\notin A\wedge x\in B)\}\\ & =\{x\in A\cup B|x\in A\dot{\vee }x\in B\}\\ \end{array}$

Verständnisfrage: Bilde die symmetrische Differenz folgender Mengen

1. $\{1,2,3\}\mathrm{△}\{2,3,4\}=?$
2. $\{1,2,3\}\mathrm{△}\{1,2,3\}=?$
3. $\{1,2,3\}\mathrm{△}\{4,5,6\}=?$
4. $\mathbb{Z}\mathrm{△}ℝ=?$
5. $\mathbb{N}\mathrm{△}\varnothing =?$

Antwort:

1. $\{1,2,3\}\mathrm{△}\{2,3,4\}=\{1,4\}$
2. $\{1,2,3\}\mathrm{△}\{1,2,3\}=\mathrm{\varnothing }$
3. $\{1,2,3\}\mathrm{△}\{4,5,6\}=\{1,2,3,4,5,6\}$
4. $\mathbb{Z}\mathrm{△}ℝ=ℝ\setminus \mathbb{Z}=\{x\in ℝ|x\text{ ist keine ganze Zahl.}\}$
5. $\mathbb{N}\mathrm{△}\varnothing =\mathbb{N}$

Komplement

das Komplement einer Menge

Erklärungen zur Grundmenge und dem absoluten Komplement (Youtube-Video der KhanAcademyDeutsch)

Das Komplement einer Menge $A$ ist die Menge aller Objekte der Grundmenge, die keine Elemente von $A$ sind. Ist in einem Text keine Grundmenge angegeben, so ergibt sich diese aus dem Kontext. So wird bei einem Text über die reelle Analysis die Grundmenge meistens die Menge der reellen Zahlen $ℝ$ sein. Da wir hier über Mengen reden, verwenden wir die Allklasse $𝒱$ anstelle der Grundmenge. Die Schreibweise für das Komplement von $A$ ist $A^{\complement }$ oder $\complement A$ oder $\bar{A}$ (ausgesprochen: „Komplement von $A$“).

Definition (Komplement)

Das Komplement $A^{\complement }$ der Menge $A$ ist die Menge aller Objekte, die nicht in $A$ enthalten sind:

$A^{\complement }:=\{x|x\notin A\}$

Verständnisfrage: Die Grundmenge sei ${\mathbb{N}}_0$. Bilde folgende Komplemente:

1. $\{0,1,2,3{\}}^{\complement }=?$
2. ${\{x\in {\mathbb{N}}_0|x\text{ ist gerade}\}}^{\complement }=?$
3. ${\mathbb{N}}_0^{\complement }=?$
4. ${\varnothing }^{\complement }=?$

Antwort:

1. $\{0,1,2,3{\}}^{\complement }={\mathbb{N}}_{\ge 4}$
2. ${\{x\in {\mathbb{N}}_0|x\text{ ist gerade}\}}^{\complement }=\{x\in {\mathbb{N}}_0|x\text{ ist ungerade}\}$
3. ${\mathbb{N}}_0^{\complement }=\varnothing$
4. ${\varnothing }^{\complement }={\mathbb{N}}_0$

Satz (Eigenschaften des Komplements)

1. $(A^{\complement }{)}^{\complement }=A$ (Doppeltes Komplement)
2. $A\cap A^{\complement }=\varnothing$
3. $A\cup A^{\complement }=𝒱$
4. $(A\cap B{)}^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }$ (De Morgansche Regel)
5. $(A\cup B{)}^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }$
6. ${𝒱}^{\complement }=\varnothing$
7. ${\varnothing }^{\complement }=𝒱$

Dieses Eigenschaften lassen sich auf die Definitionen und die entsprechenden Gesetze der Logik zurückführen.

Beweis (Eigenschaften des Komplements)

1. Es ist
   $\begin{array}{cc}& (A^{\complement }{)}^{\complement }\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\complement \\ =& \{y|y\notin A{\}}^{\complement }\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\complement \\ =& \{x|x\notin \{y|y\notin A\}\}\\ & \updownarrow 𝖠𝖻𝗌𝗍𝗋𝖺𝗄𝗍𝗂𝗈𝗇𝗌𝗉𝗋𝗂𝗇𝗓𝗂𝗉𝖿\ddot{𝗎}𝗋𝗑\mathsf{\notin }\mathsf{\{}𝗒\mathsf{|}𝗒\mathsf{\notin }𝖠\mathsf{\}}\\ =& \{x|x\in A\}\\ & \updownarrow 𝖤𝗑𝗍𝖾𝗇𝗌𝗂𝗈𝗇𝖺𝗅𝗂𝗍\ddot{𝖺}𝗍𝗌𝗉𝗋𝗂𝗇𝗓𝗂𝗉\\ =& A\end{array}$
2. Es ist
   $\begin{array}{cc}& A\cap A^{\complement }\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\complement \\ =& A\cap \{y|y\notin A\}\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\mathsf{\cap }\\ =& \{x|x\in A\wedge x\in \{y|y\notin A\}\}\\ & \updownarrow 𝖠𝖻𝗌𝗍𝗋𝖺𝗄𝗍𝗂𝗈𝗇𝗌𝗉𝗋𝗂𝗇𝗓𝗂𝗉𝖿\ddot{𝗎}𝗋𝗑\mathsf{\notin }\mathsf{\{}𝗒\mathsf{|}𝗒\mathsf{\notin }𝖠\mathsf{\}}\\ =& \{x|x\in A\wedge x\notin A\}\\ & \updownarrow 𝖽𝗂𝖾𝖪𝗈𝗇𝗃𝗎𝗇𝗄𝗍𝗂𝗈𝗇𝗂𝗌𝗍𝗂𝗆𝗆𝖾𝗋𝖿𝖺𝗅𝗌𝖼𝗁\\ =& \{x|x\ne x\}\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\varnothing \\ =& \varnothing \end{array}$
3. Siehe Aufgabe 1
4. Es ist
   $\begin{array}{cc}& (A\cap B{)}^{\complement }\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\complement \\ =& \{x|x\notin A\cap B\}\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\mathsf{\cap }\\ =& \{x|x\notin \{y|y\in A\wedge y\in B\}\\ & \updownarrow 𝖠𝖻𝗌𝗍𝗋𝖺𝗄𝗍𝗂𝗈𝗇𝗌𝗉𝗋𝗂𝗇𝗓𝗂𝗉𝖿\ddot{𝗎}𝗋𝗑\mathsf{\notin }\mathsf{\{}𝗒\mathsf{|}𝗒\mathsf{\in }𝖠\mathsf{\wedge }𝗒\mathsf{\in }𝖡\mathsf{\}}\\ =& \{x|\mathrm{\neg }(x\in A\wedge x\in B)\}\\ & \updownarrow 𝖽𝖾𝖬𝗈𝗋𝗀𝖺𝗇𝗌𝖼𝗁𝖾𝖱𝖾𝗀𝖾𝗅𝖿\ddot{𝗎}𝗋\neg 𝗎𝗇𝖽\mathsf{\wedge }\\ =& \{x|x\notin A\vee x\notin B\}\\ & \updownarrow 𝖠𝖻𝗌𝗍𝗋𝖺𝗄𝗍𝗂𝗈𝗇𝗌𝗉𝗋𝗂𝗇𝗓𝗂𝗉𝖿\ddot{𝗎}𝗋𝗑\mathsf{\notin }𝖠𝗎𝗇𝖽𝗑\mathsf{\notin }𝖡\\ =& \{x|x\in \{y|y\notin A\}\vee x\in \{z|z\notin B\}\}\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\complement \\ =& \{x|x\in A^{\complement }\vee x\in B^{\complement }\}\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\mathsf{\cap }\\ =& A^{\complement }\cup B^{\complement }\end{array}$
5. Siehe Aufgabe 2
6. Es ist
   $\begin{array}{cc}& {𝒱}^{\complement }\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\complement \\ =& \{x|x\notin 𝒱\}\\ & \updownarrow x\notin 𝒱𝗂𝗌𝗍𝗂𝗆𝗆𝖾𝗋𝖿𝖺𝗅𝗌𝖼𝗁\\ =& \{x|x\ne x\}\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\varnothing \\ =& \varnothing \end{array}$
7. Siehe Aufgabe 3

Übungsaufgaben

Aufgabe (Aufgabe 1)

Zeige: $A\cup A^{\complement }=𝒱$

Lösung (Aufgabe 1)

$\begin{array}{cc}& A\cup A^{\complement }\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\complement \\ =& A\cup \{y|y\notin A\}\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\mathsf{\cup }\\ =& \{x|x\in A\vee x\in \{y|y\notin A\}\}\\ & \updownarrow 𝖠𝖻𝗌𝗍𝗋𝖺𝗄𝗍𝗂𝗈𝗇𝗌𝗉𝗋𝗂𝗇𝗓𝗂𝗉𝖿\ddot{𝗎}𝗋𝗑\mathsf{\notin }\mathsf{\{}𝗒\mathsf{|}𝗒\mathsf{\notin }𝖠\mathsf{\}}\\ =& \{x|x\in A\vee x\notin A\}\\ & \updownarrow 𝖽𝗂𝖾𝖣𝗂𝗌𝗃𝗎𝗇𝗄𝗍𝗂𝗈𝗇𝗂𝗌𝗍𝗂𝗆𝗆𝖾𝗋𝗐𝖺𝗁𝗋\\ =& \{x|x=x\}\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇𝒱\\ =& 𝒱\end{array}$

Aufgabe (Aufgabe 2)

Zeige: $(A\cup B{)}^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }$

Lösung (Aufgabe 2)

$\begin{array}{cc}& (A\cup B{)}^{\complement }\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\complement \\ =& \{x|x\notin A\cup B\}\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\mathsf{\cup }\\ =& \{x|x\notin \{y|y\in A\vee y\in B\}\\ & \updownarrow 𝖠𝖻𝗌𝗍𝗋𝖺𝗄𝗍𝗂𝗈𝗇𝗌𝗉𝗋𝗂𝗇𝗓𝗂𝗉𝖿\ddot{𝗎}𝗋𝗑\mathsf{\notin }\mathsf{\{}𝗒\mathsf{|}𝗒\mathsf{\in }𝖠\mathsf{\vee }𝗒\mathsf{\in }𝖡\mathsf{\}}\\ =& \{x|\mathrm{\neg }(x\in A\vee x\in B)\}\\ & \updownarrow 𝖽𝖾𝖬𝗈𝗋𝗀𝖺𝗇𝗌𝖼𝗁𝖾𝖱𝖾𝗀𝖾𝗅𝖿\ddot{𝗎}𝗋\neg 𝗎𝗇𝖽\mathsf{\vee }\\ =& \{x|x\notin A\wedge x\notin B\}\\ & \updownarrow 𝖠𝖻𝗌𝗍𝗋𝖺𝗄𝗍𝗂𝗈𝗇𝗌𝗉𝗋𝗂𝗇𝗓𝗂𝗉𝖿\ddot{𝗎}𝗋𝗑\mathsf{\notin }𝖠𝗎𝗇𝖽𝗑\mathsf{\notin }𝖡\\ =& \{x|x\in \{y|y\notin A\}\wedge x\in \{z|z\notin B\}\}\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\complement \\ =& \{x|x\in A^{\complement }\wedge x\in B^{\complement }\}\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\mathsf{\cap }\\ =& A^{\complement }\cap B^{\complement }\end{array}$

Aufgabe 3: Zeige: ${\varnothing }^{\complement }=𝒱$

$\begin{array}{cc}& {\varnothing }^{\complement }\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\complement \\ =& \{x|x\notin \varnothing \}\\ & \updownarrow x\notin \varnothing 𝗂𝗌𝗍𝗂𝗆𝗆𝖾𝗋𝗐𝖺𝗁𝗋\\ =& \{x|x=x\}\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇𝒱\\ =& 𝒱\end{array}$