Grundlegende Operationen von Mengen: Durchschnitt, Vereinigung und Komplement – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Die Grundlegende Operationen von Mengen und die logischen Operationen stehen in engem Zusammenhang und werden in der Mathematik oft gemeinsam verwendet. Die grundlegenden Operationen von Mengen, Vereinigung, Durchschnitt und Komplement, entsprechen den grundlegenden Operationen in der mathematischen Logik: OR, AND und NOT.

Durchschnitt von Mengen

Definition (Durchschnitt)

Der Durchschnitt $A\cap B$ ist die Menge aller Objekte, die sowohl Elemente von $A$ als auch von $B$ sind:

$A\cap B:=\{x\,|\,x\in A\land x\in B\}$

Satz (Eigenschaften der Schnittmenge)

1. $A\cap B=B\cap A$ (Kommutativgesetz)
2. $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$ (Assoziativgesetz)
3. $A\cap A=A$ (Idempotenz)
4. $A\cap {\mathcal {V}}=A$ (Neutralität der Allklasse)
5. $A\cap \varnothing =\varnothing$

Vereinigung von Mengen

Definition (Vereinigung)

Die Vereinigung $A\cup B$ zweier Mengen $A$ und $B$ ist definiert durch:

$A\cup B:=\{x\,|\,x\in A\lor x\in B\}$

Satz (Eigenschaften der Vereinigungsmenge)

1. $A\cup B=B\cup A$ (Kommutativgesetz)
2. $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$ (Assoziativgesetz)
3. $A\cup A=A$ (Idempotenz)
4. $A\cup \varnothing =A$ (Neutralität der leeren Menge)
5. $A\cup {\mathcal {V}}={\mathcal {V}}$

Definition (disjunkte Vereinigung)

Die Schreibweise $C=A\,{\dot {\cup }}\,B$ ist eine Abkürzung für ${\big (}C=A\,{\cup }\,B{\big )}\land (A\cap B=\varnothing )$

${\dot {\cup }}$ wird dabei disjunkte Vereinigung genannt.

Komplement

Definition (Komplement)

Das Komplement $A^{\complement }$ der Menge $A$ ist die Menge aller Objekte, die nicht in $A$ enthalten sind:

$A^{\complement }:=\{x\,|\,x\notin A\}$

Satz (Eigenschaften des Komplements)

1. $(A^{\complement })^{\complement }=A$ (Doppeltes Komplement)
2. $A\cap A^{\complement }=\varnothing$
3. $A\cup A^{\complement }={\mathcal {V}}$
4. $(A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }$ (De Morgansche Regel)
5. $(A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }$
6. ${\mathcal {V}}^{\complement }=\varnothing$
7. $\varnothing ^{\complement }={\mathcal {V}}$

Aufgaben

Aufgabe (Aufgabe 1)

Zeige: $A\cup A^{\complement }={\mathcal {V}}$

Lösung (Aufgabe 1)

${\begin{aligned}&A\cup A^{\complement }\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\complement }}\right.}\\[0.3em]=\;&A\cup \{y|\,y\notin A\}\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\in A\lor x\in \{y|\,y\notin A\}\}\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;x\notin \{y\,|\,y\notin A\}}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\in A\lor x\notin A\}\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {die\;Disjunktion\;ist\;immer\;wahr}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x=x\}\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;{\mathcal {V}}}}\right.}\\[0.3em]=\;&{\mathcal {V}}\end{aligned}}$

Aufgabe (Aufgabe 2)

Zeige: $(A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }$

Lösung (Aufgabe 2)

${\begin{aligned}&(A\cup B)^{\complement }\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\complement }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\notin A\cup B\}\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\notin \{y\;|\;y\in A\lor y\in B\}\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;x\notin \{y\,|\,y\in A\lor y\in B\}}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;\neg \,(x\in A\lor x\in B)\}\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {de\;Morgansche\;Regel\;f{\ddot {u}}r\;\neg \;und\;\lor }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\notin A\land x\notin B\}\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;x\notin A\;und\;x\notin B}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\in \{y\,|y\notin A\}\land x\in \{z\,|\,z\notin B\}\}\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\complement }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\in A^{\complement }\land x\in B^{\complement }\}\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&A^{\complement }\cap B^{\complement }\end{aligned}}$

Aufgabe (Aufgabe 3)

Zeige: $\varnothing ^{\complement }={\mathcal {V}}$

Lösung (Aufgabe 3)

${\begin{aligned}&\varnothing ^{\complement }\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\complement }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\notin \varnothing \}\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ x\notin \varnothing \;{\mathsf {ist\;immer\;wahr}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x=x\}\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;{\mathcal {V}}}}\right.}\\[0.3em]=\;&{\mathcal {V}}\end{aligned}}$

Übungsaufgaben

Aufgabe (Aufgabe 1)

Zeige: $(A\cap B)\cup (A\cap B^{\complement })=A$

Beweis (Aufgabe 1)

1. Es ist
   ${\begin{aligned}&(A\cap B)\cup (A\cap B^{\complement })\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in (A\cap B)\,\lor \,x\in (A\cap B^{\complement })\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,((x\in A)\land (x\in B))\,\lor \,((x\in A)\land (x\in B^{\complement }))\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Distributivgesetz\;von\;\land \;an\;\lor }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,(x\in A)\land ((x\in B)\,\lor \,(x\in B^{\complement }))\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Eigenschaft\;von\;\lor }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,(x\in A)\land T\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Eigenschaft\;von\;\land }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,(x\in A)\}\\[0.3em]=\;&A\end{aligned}}$

Aufgabe (Aufgabe 2)

Zeige: $(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}$ (De-Morgansches Gesetz)

Beweis (Aufgabe 2)

${\begin{aligned}&(A\cup B)^{c}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;^{c}}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\notin A\cup B\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Eigenschaft\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\notin A\land x\notin B\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;^{c}}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A^{c}\land x\in B^{c}\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A^{c}\cap B^{c}\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Extensionalit{\ddot {a}}tsprinzip}}\right.}\\[0.3em]=\;&A^{c}\cap B^{c}\end{aligned}}$