Grundlegende Operationen von Mengen: Durchschnitt, Vereinigung und Komplement – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Dieser Abschnitt ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib den Autoren Zeit, den Inhalt anzupassen!

Die Grundlegende Operationen von Mengen und die logischen Operationen stehen in engem Zusammenhang und werden in der Mathematik oft gemeinsam verwendet. Die grundlegenden Operationen von Mengen, Vereinigung, Durchschnitt und Komplement, entsprechen den grundlegenden Operationen in der mathematischen Logik: OR, AND und NOT.

Durchschnitt von Mengen

Definition

Erklärungen zum Durchschnitt und zur Vereinigung. (Youtube-Video der KhanAcademyDeutsch)

Der Durchschnitt zweier Mengen $A$ und $B$ ist die Menge aller Objekte, die sowohl Elemente der Menge $A$ als auch der Menge $B$ sind. Ihr Symbol ist $\cap$. Die Schreibweise für den Schnitt zwischen zwei Mengen $A$ und $B$ ist $A\cap B$ und wird „$A$ geschnitten $B$“ ausgesprochen.

Im Mengendiagramm ist der Durchschnitt zweier Mengen gleich der Schnittfläche, der zu diesen beiden Mengen zugehörigen Flächen (hier die blaue Fläche):

Schnittmenge zweier Mengen

Dir wird vielleicht schon aufgefallen sein, dass das Symbol $\cap$ des Durchschnitts Ähnlichkeiten zur Konjunktion $\land$, also mit der logischen Verknüpfung für „und“ aufweist. Dies ist kein Wunder, denn $A\cap B$ bezeichnet alle Objekte, die Elemente von $A$ und $B$ sind. Die Verknüpfung $\cap$ wird in der Regel auch mit Hilfe der Konjunktion $\land$ definiert. Es ist nämlich

$A\cap B=\{x\,|\,x\in A\land x\in B\}$

Obige Formel mit Erklärungen:

$\underbrace {{\underset {}{}}A\cap B} _{\text{A geschnitten mit B}}\underbrace {{\underset {}{}}=} _{\text{ist}}\underbrace {{\underset {}{}}\{x\,|\,} _{{\text{die Menge aller }}x{\text{ für die gilt:}}}\underbrace {{\underset {}{}}x\in A} _{\text{x ist Element von A}}\underbrace {{\underset {}{}}\land } _{\text{und}}\underbrace {{\underset {}{}}x\in B} _{\text{x ist Element von B}}\}$

Damit können wir nun folgende Definition aufschreiben:

Definition (Durchschnitt)

Der Durchschnitt $A\cap B$ ist die Menge aller Objekte, die sowohl Elemente von $A$ als auch von $B$ sind:

$A\cap B:=\{x\,|\,x\in A\land x\in B\}$

Durchschnitt dreier Mengen

Es ist auch möglich, den Durchschnitt von mehr als zwei Mengen zu bilden. So bezeichnet $A\cap B\cap C$ die Menge aller Objekte, die sowohl in $A$ als auch in $B$ und in $C$ enthalten sind. Diese Menge kann gebildet werden, indem zunächst $A\cap B$ bestimmt wird, welche dann wiederum mit $C$ geschnitten wird. Es ist also

$A\cap B\cap C:=(A\cap B)\cap C$

Analog kann man den Schnitt von mehr als drei Mengen definieren.

Verständnisfrage: Impliziert $A\cap B=A\cap C$ die Gleichheit von B und C?

Nein. Betrachte zum Beispiel $A=\left\{1\right\}$, $B=\left\{1,2\right\}$ und $C=\left\{1,3\right\}$. Es ist $A\cap B=\{1\}=A\cap C$, aber es ist $B\neq C$.

Beispiele

Hier einige Beispiele für den Durchschnitt:

Beispiel (Durchschnitt)

1. $\{2,4,5,9\}\cap \{1,3,5,7,12\}=\{5\}$
2. $\{3,12,18\}\cap \{3,4,12,16,18\}=\{3,12,18\}$
3. $\mathbb {Z} \cap \mathbb {Q} ^{+}=\mathbb {N}$
4. $\{x\,|\,x{\text{ ist gerade}}\}\cap \{x\,|\,x{\text{ ist ungerade}}\}=\emptyset$

Erklärungen:

• Beispiel 1: $5$ ist die einzige Zahl, die Element sowohl der linken als auch der rechten Menge ist.
• Beispiel 2: Die erste Menge ist eine Teilmenge der zweiten Menge. Damit ist die Schnittmenge gleich der ersten Menge.
• Beispiel 3: Eine ganze Zahl, die auch eine positive rationale Zahl ist, muss eine natürliche Zahl sein. Umgekehrt sind alle natürlichen Zahlen sowohl ganze Zahlen als auch positive rationale Zahlen.
• Beispiel 4: Es gibt keine Zahl, die sowohl gerade als auch ungerade ist. Der Schnitt muss also leer sein.

Hier einige Durchschnittsmengen visualisiert durch Mengendiagramme:

• 
  Durchschnitt zweier Polygonmengen
• 
  Der Durchschnitt des griechischen, kyrillischen und lateinischen Alphabets sind die Buchstaben O, T, H, P, M, A, B, X, K, Y und E

Durchschnittsmenge bilden

Schnittmenge von zwei endlichen Mengen

Zunächst schauen wir uns an, wie du die Durchschnittsmenge von endlichen Mengen bilden kannst. Nehmen wir hier als Beispiel die beiden Mengen $A=\{3,6,9\}$ und $B=\{2,3,5,9\}$. Um den Durchschnitt $A\cap B$ zu bilden, gehst du alle Elemente von $A$ durch und überprüfst, ob sie auch Elemente von $B$ sind:

${\begin{aligned}A&=\{{\color {OliveGreen}3},6,{\color {BurntOrange}9}\}\\[0.3em]B&=\{2,{\color {OliveGreen}3},5,{\color {BurntOrange}9}\}\end{aligned}}$

Die gemeinsamen Elemente notierst du dann als Ergebnis von $A\cap B$:

$A\cap B=\{{\color {OliveGreen}3},{\color {BurntOrange}9}\}$

Verständnisaufgabe: Bilde folgende Mengen

• $\{3,-1,0,\pi \}\cap \{\pi ,1,42,3\}$
• $\{1,0,-1\}\cap \{1,0,-1\}$
• $\varnothing \cap \{2,3,4\}$
• $\varnothing \cap \varnothing$

Lösungen:

• $\{3,-1,0,\pi \}\cap \{\pi ,1,42,3\}=\{3,\pi \}$
• $\{1,0,-1\}\cap \{1,0,-1\}=\{1,0,-1\}$
• $\varnothing \cap \{2,3,4\}=\varnothing$
• $\varnothing \cap \varnothing =\varnothing$

Schnittmenge von mehreren endlichen Mengen

Stell dir nun vor, dass zusätzlich $C=\{7,8,9\}$ definiert ist und man $A\cap B\cap C$ bilden möchte. Hierzu bildet man zunächst $A\cap B$, was nach obigen Abschnitt gleich $\{3,9\}$ ist. Dann bildet man den Schnitt zwischen $A\cap B$ und $C$ wie wir es bereits oben gemacht haben:

${\begin{aligned}A\cap B&=\{3,{\color {BurntOrange}9}\}\\[0.3em]C&=\{7,8,{\color {BurntOrange}9}\}\end{aligned}}$

Man erhält das Ergebnis:

$A\cap B\cap C=\{{\color {BurntOrange}9}\}$

Unendliche Schnittmengen

Wenn du allgemein den Schnitt zweier Mengen bestimmen möchtest, dann mache dir klar, wie beide Mengen definiert sind:

• Was ist die charakteristische Eigenschaft für die Elemente der beiden Mengen?
• Welche Objekte sind in beiden Mengen enthalten, erfüllen also beide charakteristischen Eigenschaften?
• Kann es solche Objekte überhaupt geben?
• Ist die Schnittmenge eine bereits bekannte Menge?
• Ist es ein Intervall oder ein bestimmter Zahlenbereich wie $\mathbb {N}$ oder $\mathbb {Q} ^{+}$?

Wenn dir klar ist, wie die Schnittmenge aussieht, dann versuche diese, über eine Mengenschreibweise zu notieren. Mit der Zeit wirst du merken, dass dir die Schnittmengenbildung immer einfacher fallen wird.

Verständnisaufgabe: Bilde folgende Mengen

• $[-1,3]\cap [2,5]$ (Durchschnitt zweier Intervalle aus $\mathbb {R}$)
• $\mathbb {Q} ^{+}\cap \mathbb {Z}$
• $\mathbb {Q} ^{-}\cap \mathbb {N}$

Lösungen:

• $[-1,3]\cap [2,5]=[2,3]$
• $\mathbb {Q} ^{+}\cap \mathbb {Z} =\mathbb {N}$
• $\mathbb {Q} ^{-}\cap \mathbb {N} =\emptyset$

Diskussion: Was ist ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )\cap \mathbb {N}$ ?

Es gibt (mindestens) zwei mögliche Antworten:

• Wenn die natürlichen Zahlen keine Mengen sind, gilt: ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )\cap \mathbb {N} =\varnothing$, denn die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ enthält nur Mengen.
• Anders dagegen verhält es sich wenn die natürlichen Zahlen nach John von Neumann definiert werden, wie im Kapitel "Axiomatische Mengenlehre" beschrieben. Dann ist jede natürliche Zahl die Menge seiner Vorgänger und es gilt $\mathbb {N} \subseteq {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ und daraus folgt: ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )\cap \mathbb {N} =\mathbb {N}$.

Eigenschaften der Schnittmenge

Satz (Eigenschaften der Schnittmenge)

1. $A\cap B=B\cap A$ (Kommutativgesetz)
2. $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$ (Assoziativgesetz)
3. $A\cap A=A$ (Idempotenz)
4. $A\cap {\mathcal {V}}=A$ (Neutralität der Allklasse)
5. $A\cap \varnothing =\varnothing$

Dieses Eigenschaften lassen sich leicht auf die Definition und die entsprechenden Gesetze der Logik zurückführen.

Beweis (Eigenschaften der Schnittmenge)

1. Es ist
   ${\begin{aligned}&A\cap B\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\,\land \,x\in B\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Kommutativit{\ddot {a}}t\;von\;\land }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in B\,\land \,x\in A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&B\cap A\end{aligned}}$
2. Es ist
   ${\begin{aligned}&(A\cap B)\cap C\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in \{y\,|\,y\in A\,\land \,y\in B\}\land x\in C\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;}}x\in \{y\,|\,y\in A\,\land \,y\in B\}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,(x\in A\,\land \,x\in B)\land x\in C\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Assoziativit{\ddot {a}}t\;von\;\land }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\,\land \,(x\in B\land x\in C)\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;}}x\in \{y\,|\,y\in B\,\land \,y\in C\}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\,\land \,x\in \{y\,|\,y\in B\land y\in C\}\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&A\cap (B\cap C)\end{aligned}}$
3. Es ist
   ${\begin{aligned}&A\cap A&\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\land x\in A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Idempotenz\;von\;\land }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Extensionalit{\ddot {a}}tsprinzip}}\right.}\\[0.3em]=\;&A\end{aligned}}$
4. Es ist
   ${\begin{aligned}&A\cap {\mathcal {V}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\land x\in {\mathcal {V}}\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;{\mathcal {V}}}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\land x=x\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Eigenschaft\;von\;\land }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Extensionalit{\ddot {a}}tsprinzip}}\right.}\\[0.3em]=\;&A\end{aligned}}$
5. Es ist
   ${\begin{aligned}&A\cap \varnothing \\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\land x\in \varnothing \}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\varnothing }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\land x\neq x\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Eigenschaft\;von\;\land }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\neq x\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\varnothing }}\right.}\\[0.3em]=\;&\varnothing \end{aligned}}$

Verständnisfrage: Warum gilt: $A\cap B\subseteq A$ und $A\cap B\subseteq B$

Hinweis: Nutze die Definition von $\cap$ und das Abstraktionsprinzip von Mengen.

Sei $x\in A\cap B$ beliebig. Dann gilt $x\in \{y\,|\,y\in A\land y\in B\}$. Mit dem Abstraktionsprinzip folgt $x\in A\land x\in B$, also gelten $x\in A$ und $x\in B$. Das zeigt die Teilmengenbeziehung.

Verständnisfrage: Es gelte: $A\cap B=A$. Was folgt für das Verhältnis zwischen $A$ und $B$?

Es gilt $A\subseteq B$. Wie in der vorangehenden Frage gezeigt, gilt nämlich $A=A\cap B\subseteq B$

Großer Durchschnitt

Bisher haben wir den Durchschnitt von zwei Mengen definiert. Nun wollen wir den Durchschnitt von vielen Mengen bilden. Dazu betrachten wir eine Menge $M$, deren Elemente genau die Mengen sind, über die wir den Durchschnitt bilden wollen. Wir sammeln dann die Objekte ein, die in allen Elementen von $M$ enthalten sind.

Beispiel (Durchschnitt über $M$)

Sei $M:=\,\{A,B,C,D\}$ mit

${\begin{aligned}A&:=\{1,{\color {OliveGreen}2},3,{\color {OliveGreen}4},5\}\\B&:=\{{\color {OliveGreen}2},{\color {OliveGreen}4},7\}\\C&:=\{0,{\color {OliveGreen}2},{\color {OliveGreen}4},7,9\}\\D&:=\{{\color {OliveGreen}2},3,{\color {OliveGreen}4},8\}\end{aligned}}$

Dann ist der Durchschnitt über $M$ die Menge $\{{\color {OliveGreen}2},{\color {OliveGreen}4}\}$.

Besteht $M$ aus den zwei Mengen $A$ und $B$, so liegen im Durchschnitt über M alle Objekte, die sowohl in A als auch in B liegen. Und das ist gerade $A\cap B$. Der "kleine" Durchschnitt $\cap$ ist also ein Spezialfall des großen Durchschnitts $\bigcap$.

Definition (Großer Durchschnitt)

Der Durchschnitt über der Menge $M$ ist die Menge aller Objekte, die Element in allen Elementen von $M$ sind:

$\bigcap M:=\{x\,|\,\forall y\in M:x\in y\}$

Verständnisaufgabe: Beweise für zwei beliebige Mengen $A$ und $B$: $\;\bigcap \{A,B\}=A\cap B$.

${\begin{aligned}&x\in \bigcap \{A,B\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\bigcap \right.}\\[0.3em]\iff &\forall y\in \{A,B\}:x\in y\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \{A,B\}{\text{ hat nur zwei Elemente}}\right.}\\[0.3em]\iff &x\in A\land x\in B\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\cap \right.}\\[0.3em]\iff &x\in A\cap B\end{aligned}}$

Sonderfälle: Zur Erinnerung: $\varnothing :=\{x\,|\,x\neq x\}$ ist die leere Menge, ${\mathcal {V}}:=\{x\,|\,x=x\}$ die Allklasse, vgl. Kapitel "Leere Menge und Allklasse". Was ist

1. $\bigcap \varnothing$
2. $\bigcap {\mathcal {V}}$

Antwort:

1. $\bigcap \varnothing ={\mathcal {V}}$. Wir halten uns genau an die Definition von $\bigcap$ und erhalten: $\bigcap \varnothing =\{x\,|\,\forall y\in \varnothing :x\in y\}=\{x\,|\,\forall y:y\in \varnothing \Rightarrow x\in y\}=\dotsc$. Die Prämisse $y\in \varnothing$ der Implikation ist immer falsch, die Implikation selbst also wahr und damit auch die Allaussage. Deswegen können wir die Allaussage durch $x=x$ ersetzen und die Gleichungskette fortsetzen: $\dotsc =\{x\,|\,x=x\}={\mathcal {V}}$.
2. Das können wir ohne weitere Voraussetzungen nicht beantworten, da wir ja nicht festgelegt haben, welche Objekte zur Allklasse gehören sollen! In der Regel wird aber die leere Menge selbst dazugehören und dann ist der Durchschnitt ebenfalls leer. Auch wenn gar keine Mengen zu ${\mathcal {V}}$ gehören gilt $\bigcap {\mathcal {V}}=\varnothing$.

Notation

In der Mathematik ist noch eine andere Schreibweise für den großen Durchschnitt üblich.

$\bigcap _{A\in M}A$ ist genau dasselbe wie $\bigcap M$.

$A$ ist eine Variable und steht für die Elemente von $M$. Sie kann beliebig umbenannt werden, z. B. in $y$: $\bigcap _{y\in M}y$. Entscheidend ist die Menge $M$, mit deren Elementen wird der Durchschnitt gebildet. Wenn die Elemente der Menge $M$ indiziert sind, also $M=\{A_{1},A_{2},A_{3},\dotsc ,A_{i},\dotsc \}$, mit $i\in I$, ist auch die folgende Schreibweise üblich: $\;\bigcap _{i\in I}A_{i}$.

Vereinigung von Mengen

Definition

Erklärungen zum Durchschnitt und zur Vereinigung. (Youtube-Video der KhanAcademyDeutsch)

Eine weitere wichtige Verknüpfung zwischen Mengen ist die Vereinigung. Die Vereinigung zweier Mengen ist diejenige Menge, die alle Elemente beider Mengen enthält. Ein Element $x$ ist also genau dann in der Vereinigung von $A$ und $B$, wenn $x$ in $A$ und/oder $x$ in $B$ ist. Die Vereinigung wird durch $A\cup B$ gekennzeichnet (ausgesprochen: „$A$ vereinigt $B$“). Im Mengendiagramm ist die Vereinigung der gesamte Flächeninhalt beider Mengen:

Vereinigungsmenge zweier Mengen

Auch hier ist die Ähnlichkeit von $\cup$ mit der Disjunkten $\lor$, also dem logischen „oder“ beabsichtigt. Es ist nämlich

$A\cup B=\{x\,|\,x\in A\lor x\in B\}$

Mit Erklärungen:

$\underbrace {{\underset {}{}}A\cup B} _{\text{A vereinigt mit B}}\underbrace {{\underset {}{}}=} _{\text{ist}}\underbrace {{\underset {}{}}\{x\,|\,} _{{\text{die Menge aller }}x{\text{ für die gilt:}}}\underbrace {{\underset {}{}}x\in A} _{\text{x ist Element von A}}\underbrace {{\underset {}{}}\lor } _{\text{oder}}\underbrace {{\underset {}{}}x\in B} _{\text{x ist Element von B}}\}$

Insgesamt ergibt sich folgende Definition der Vereinigung:

Definition (Vereinigung)

Die Vereinigung $A\cup B$ zweier Mengen $A$ und $B$ ist definiert durch:

$A\cup B:=\{x\,|\,x\in A\lor x\in B\}$

Verständnisfrage: Impliziert $A\cup B=A\cup C$ die Gleichheit der Mengen $B$ und $C$?

Nein. Für beispielsweise $A=\left\{1\right\}$, $B=\left\{2\right\}$ und $C=\left\{1,2\right\}$ ist $A\cup B=\{1,2\}=A\cup C$ aber $B$ und $C$ sind unterschiedliche Mengen.

Beispiele

Vereinigung zweier Polygonmengen

Beispiel (Vereinigung)

1. $\{2,4,5,9\}\cup \{1,3,5,7,12\}=\{1,2,3,4,5,7,9,12\}$
2. $\{3,12,18\}\cup \{3,4,12,16,18\}=\{3,4,12,16,18\}$
3. $\mathbb {Q} ^{+}\cup \mathbb {Q} ^{-}=\{x\in \mathbb {Q} \,|\,x\neq 0\}$
4. $\{x\in \mathbb {N} \,|\,x{\text{ gerade}}\}\cup \{x\in \mathbb {N} \,|\,x{\text{ ungerade}}\}=\mathbb {N}$

Erklärungen:

• Beispiel 1 und 2: Die Vereinigungsmenge umfasst alle Elemente der beiden Mengen zusammengefasst.
• Beispiel 3: Jede rationale Zahl ungleich null ist entweder positiv oder negativ. Null ist die einzige rationale Zahl, die weder positiv noch negativ ist.
• Beispiel 4: Jede natürliche Zahl ist entweder gerade oder ungerade.

Eigenschaften der Vereinigungsmenge

Hier die wichtigsten Eigenschaften der Vereinigung:

Satz (Eigenschaften der Vereinigungsmenge)

1. $A\cup B=B\cup A$ (Kommutativgesetz)
2. $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$ (Assoziativgesetz)
3. $A\cup A=A$ (Idempotenz)
4. $A\cup \varnothing =A$ (Neutralität der leeren Menge)
5. $A\cup {\mathcal {V}}={\mathcal {V}}$

Dieses Eigenschaften lassen sich leicht auf die Definition und die entsprechenden Gesetze der Logik zurückführen.

Beweis (Eigenschaften der Vereinigungsmenge)

1. Es ist
   ${\begin{aligned}&A\cup B\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\,\lor \,x\in B\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Kommutativit{\ddot {a}}t\;von\;\lor }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in B\,\lor \,x\in A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&B\cup A\end{aligned}}$
2. Es ist
   ${\begin{aligned}&(A\cup B)\cup C\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in \{y\,|\,y\in A\,\lor \,y\in B\}\lor x\in C\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;}}x\in \{y\,|\,y\in A\,\lor \,y\in B\}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,(x\in A\,\lor \,x\in B)\lor x\in C\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Assoziativit{\ddot {a}}t\;von\;\lor }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\,\lor \,(x\in B\lor x\in C)\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;}}x\in \{y\,|\,y\in B\,\lor \,y\in C\}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\,\lor \,x\in \{y\,|\,y\in B\lor y\in C\}\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&A\cup (B\cup C)\end{aligned}}$
3. Es ist
   ${\begin{aligned}&A\cup A\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\lor x\in A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Idempotenz\;von\;\lor }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Extensionalit{\ddot {a}}tsprinzip}}\right.}\\[0.3em]=\;&A\end{aligned}}$
4. Es ist
   ${\begin{aligned}&A\cup \varnothing \\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\lor x\in \varnothing \}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\varnothing }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\lor x\neq x\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Eigenschaft\;von\;\lor }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Extensionalit{\ddot {a}}tsprinzip}}\right.}\\[0.3em]=\;&A\end{aligned}}$
5. Es ist
   ${\begin{aligned}&A\cup {\mathcal {V}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\lor x\in {\mathcal {V}}\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;{\mathcal {V}}}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\lor x=x\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Eigenschaft\;von\;\lor }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x=x\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;{\mathcal {V}}}}\right.}\\[0.3em]=\;&{\mathcal {V}}\end{aligned}}$

Verständnisfrage: Warum gilt: $A\subseteq A\cup B$ und $B\subseteq A\cup B$

Hinweis: Nutze die Definition von $\cup$ und das Abstraktionsprinzip von Mengen.

Sei $x\in A$ beliebig. Dann gilt $x\in A\lor x\in B$. Mit dem Abstraktionsprinzip folgt daraus $x\in \{y\,|\,y\in A\lor y\in B\}=A\cup B$. Das zeigt die Teilmengenbeziehung. Die Behauptung $B\subseteq A\cup B$ wird genauso bewiesen.

Verständnisfrage: Es gelte: $A\cup B=A$. Was folgt für das Verhältnis zwischen $A$ und $B$?

Es gilt $B\subseteq A$. Wie in der vorangehenden Frage gezeigt, gilt nämlich $B\subseteq A\cup B=A$.

Hinweis

Achte darauf, nicht doppelt zu zählen!! Wir sind oft daran interessiert, die Kardinalität einer Vereinigung zwei Mengen $A$ und $B$ zu finden. Beachte, dass $|A|+|B|$ jedes Element, das in $A$ aber nicht in $B$, oder in $B$ aber nicht in $A$ ist, genau einmal zählt, und jedes Element, das in beiden $A$ und $B$ ist, wird jedoch genau zweimal gezählt. Wenn man also die Anzahl der Elemente, die sowohl in $A$ als auch in $B$ sind, von $|A|+|B|$ subtrahiert, werden die Elemente in $A\cap B$ nur einmal gezählt. Daher gilt: $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.

Disjunkte Vereinigung

Beispiel einer disjunkten Vereinigung

Möchte ein Autor deutlich machen, dass die vereinigten Mengen keine gemeinsamen Elemente haben, so schreibt er in der Regel $A\,{\dot {\cup }}\,B$ (ausgesprochen: „$A$ disjunkt vereinigt mit $B$“). Mengen ohne gemeinsame Elemente nennt man im Übrigen „disjunkte Mengen“. Der Operator ${\dot {\cup }}$ wird disjunkte Vereinigung genannt. $A\,{\dot {\cup }}\,B$ ist also nichts anderes als die normale Vereinigung $A\cup B$, mit dem einzigen Unterschied, dass bei der Schreibweise $A\,{\dot {\cup }}\,B$ der Durchschnitt der Mengen $A$ und $B$ leer ist.

Wozu braucht man die disjunkte Vereinigung? Manchmal ist es notwendig zu wissen, dass eine Menge die Vereinigung bestimmter disjunkter Mengen ist. Mit der disjunkten Vereinigung kann man dies kurz und knapp ausdrücken.

Schauen wir uns das ganz an einem Beispiel an. Folgende Formel könnte dir im ersten Semester begegnen (man benutzt sie, um die Ordnung der reellen Zahlen zu beschreiben):

$\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{+}\,{\dot {\cup }}\,\{0\}\,{\dot {\cup }}\,\mathbb {R} ^{-}$

Mit Erklärung:

$\underbrace {{\underset {}{}}\mathbb {R} } _{\text{Die Menge der reellen Zahlen }}\underbrace {{\underset {}{}}=} _{\text{ist}}\quad \underbrace {{\underset {}{}}\mathbb {R} ^{+}\,{\dot {\cup }}\,\{0\}\,{\dot {\cup }}\,\mathbb {R} ^{-}} _{\begin{array}{c}{\text{die disjunkte Vereinigung der positiven }}\\{\text{und der negativen reellen Zahlen und der Null.}}\end{array}}$

Ohne die disjunkte Vereinigung könnte man auch schreiben:

${\big (}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}\cup \mathbb {R} ^{-}{\big )}\land {\big (}\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} ^{-}{\text{ und }}\{0\}{\text{ sind paarweise disjunkt}}{\big )}$

Obige Formel mit der disjunkten Vereinigung ist kürzer und deswegen wird sie auch in der Mathematik verwendet.

Definition (disjunkte Vereinigung)

Die Schreibweise

$C=A\,{\dot {\cup }}\,B$

ist eine Abkürzung für

${\big (}C=A\,{\cup }\,B{\big )}\land (A\cap B=\varnothing )$

${\dot {\cup }}$ wird dabei disjunkte Vereinigung genannt.

Große Vereinigung

So wie wir einen großen Durchschnitt definiert haben, so definieren wir nun eine große Vereinigung. Dazu betrachten wir eine Menge $M$, deren Elemente genau die Mengen sind, über die wir die Vereinigung bilden wollen. Wir sammeln also alle die Objekte ein, die in (wenigstens) einem Element von $M$ enthalten sind.

Beispiel (Vereinigung über $M$)

Sei $M:=\,\{A,B,C,D\}$ mit

${\begin{aligned}A&:=\{1,2,3,4,5\}\\B&:=\{2,4,7\}\\C&:=\{0,2,4,7,9\}\\D&:=\{2,3,4,8\}\end{aligned}}$

Dann ist die Vereinigung über $M$ gleich die Menge $\{0,1,2,3,4,5,7,8,9\}$.

Besteht $M$ aus den zwei Mengen $A$ und $B$, so liegen in der Vereinigung über M alle Objekte, die in A oder in B liegen. Und das ist gerade $A\cup B$. Die "kleine" Vereinigung $\cup$ ist also ein Spezialfall der großen Vereinigung $\bigcup$.

Definition (Große Vereinigung)

Die Vereinigung über der Menge $M$ ist die Menge aller Objekte, die Element in einem Element von $M$ sind:

$\bigcup M:=\{x\,|\,\exists y\in M:x\in y\}$

Verständnisaufgabe: Beweise für zwei beliebige Mengen $A$ und $B$: $\;\bigcup \{A,B\}=A\cup B$.

${\begin{aligned}&x\in \bigcup \{A,B\}&&\\\iff &\exists y\in \{A,B\}:x\in y&&Definition\,von\,\bigcup \\\iff &x\in A\lor x\in B&&\{A,B\}\,hat\,nur\,die\,beiden\,Elemente\\\iff &x\in A\cup B&&Definition\,von\,\cup \\\end{aligned}}$

Sonderfälle: Zur Erinnerung: $\varnothing :=\{x\,|\,x\neq x\}$ ist die leere Menge, ${\mathcal {V}}:=\{x\,|\,x=x\}$ die Allklasse, vgl. Kapitel "Leere Menge und Allklasse". Was ist

1. $\bigcup \varnothing$
2. $\bigcup {\mathcal {V}}$

Antwort:

1. $\bigcup \varnothing =\varnothing$. Wir halten uns an die Definition von $\bigcup$ und erhalten: $\bigcup \varnothing =\{x\,|\,\exists y\in \varnothing :x\in y\}=\{x\,|\,\exists y:y\in \varnothing \land x\in y\}=\dotsc$. Der linke Teil $y\in \varnothing$ der Konjunktion ist immer falsch, die Konjunktion selbst also auch und damit auch die Existenzaussage. Deswegen können wir die Existenzaussage durch $x\neq x$ ersetzen und die Gleichungskette fortsetzen: $\dotsc =\{x\,|\,x\neq x\}=\varnothing$.
2. Da wir ja bisher nicht festgelegt haben, welche Objekte zur Allklasse gehören sollen, wissen wir nicht genau, welche Mengen zu ${\mathcal {V}}$ gehören. Deren Elemente sollen wir ja für die Vereinigung einsammeln. Mehr dazu gibt es im Kapitel Axiomatische Mengenlehre.

Notation

In der Mathematik ist noch eine andere Schreibweise für die großen Vereinigung üblich.

$\bigcup _{A\in M}A$ ist genau dasselbe wie $\bigcup M$.

$A$ ist eine Variable und steht für die Elemente von $M$. Sie kann beliebig umbenannt werden, z. B. in $y$: $\bigcup _{y\in M}y$. Entscheidend ist die Menge $M$, mit deren Elementen wird die Vereinigung gebildet. Wenn die Elemente der Menge $M$ indiziert sind, also $M=\{A_{1},A_{2},A_{3},\dotsc ,A_{i},\dotsc \}$, mit $i\in I$, ist auch die folgende Schreibweise üblich: $\;\bigcup _{i\in I}A_{i}$.

Aufgabe

Aufgabe

Seien die Mengen $A_{i}=\{1,2,3,...,i\}$ für $i=1,2,3,...$. Findet die Vereinigung $\bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}$.

Wie kommt man auf den Beweis?

Beachte, dass jeder Wert $i=1,2,3,...$ eine Menge $A_{i}=\{1,2,3,...,i\}$ bestimmt. Z.B. für $i=1$ ist $A_{1}=\{1\}$, für $i=2$ ist $A_{2}=\{1,2\}$, und für $i=3$ ist $A_{3}=\{1,2,3\}$ und so weiter. Nach Definition von die große Vereinigung gilt $\bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup ...\cup A_{n}$.

Lösung

$\bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}=\{1,2,3,...,n\}$.

Komplement

das Komplement einer Menge

Erklärungen zur Grundmenge und dem absoluten Komplement (Youtube-Video der KhanAcademyDeutsch)

Das Komplement einer Menge $A$ ist die Menge aller Objekte der Grundmenge, die keine Elemente von $A$ sind. Ist in einem Text keine Grundmenge angegeben, so ergibt sich diese aus dem Kontext. So wird bei einem Text über die reelle Analysis die Grundmenge meistens die Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ sein. Da wir hier über Mengen reden, verwenden wir die Allklasse ${\mathcal {V}}$ anstelle der Grundmenge. Die Schreibweise für das Komplement von $A$ ist $A^{\complement }$ oder $\complement A$ oder ${\overline {A}}$ (ausgesprochen: „Komplement von $A$“).

Definition (Komplement)

Das Komplement $A^{\complement }$ der Menge $A$ ist die Menge aller Objekte, die nicht in $A$ enthalten sind:

$A^{\complement }:=\{x\,|\,x\notin A\}$

Verständnisfrage: Die Grundmenge sei $\mathbb {N} _{0}$. Bilde folgende Komplemente:

1. $\{0,1,2,3\}^{\complement }=?$
2. $\left\{x\in \mathbb {N} _{0}\,|\,x{\text{ ist gerade}}\right\}^{\complement }=?$
3. $\mathbb {N} _{0}^{\complement }=?$
4. $\varnothing ^{\complement }=?$

Antwort:

1. $\{0,1,2,3\}^{\complement }=\mathbb {N} _{\geq 4}$
2. $\left\{x\in \mathbb {N} _{0}\,|\,x{\text{ ist gerade}}\right\}^{\complement }=\left\{x\in \mathbb {N} _{0}\,|\,x{\text{ ist ungerade}}\right\}$
3. $\mathbb {N} _{0}^{\complement }=\varnothing$
4. $\varnothing ^{\complement }=\mathbb {N} _{0}$

Satz (Eigenschaften des Komplements)

1. $(A^{\complement })^{\complement }=A$ (Doppeltes Komplement)
2. $A\cap A^{\complement }=\varnothing$
3. $A\cup A^{\complement }={\mathcal {V}}$
4. $(A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }$ (De Morgansche Regel)
5. $(A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }$
6. ${\mathcal {V}}^{\complement }=\varnothing$
7. $\varnothing ^{\complement }={\mathcal {V}}$

Dieses Eigenschaften lassen sich auf die Definitionen und die entsprechenden Gesetze der Logik zurückführen.

Beweis (Eigenschaften des Komplements)

1. Es ist
   ${\begin{aligned}&(A^{\complement })^{\complement }\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\complement }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{y\,|\,y\notin A\}^{\complement }\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\complement }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\notin \{y\,|\,y\notin A\}\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;x\notin \{y\,|\,y\notin A\}}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Extensionalit{\ddot {a}}tsprinzip}}\right.}\\[0.3em]=\;&A\end{aligned}}$
2. Es ist
   ${\begin{aligned}&A\cap A^{\complement }\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\complement }}\right.}\\[0.3em]=\;&A\cap \{y|\,y\notin A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\in A\land x\in \{y|\,y\notin A\}\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;x\notin \{y\,|\,y\notin A\}}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\in A\land x\notin A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {die\;Konjunktion\;ist\;immer\;falsch}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\neq x\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\varnothing }}\right.}\\[0.3em]=\;&\varnothing \end{aligned}}$
3. Siehe Aufgabe 1
4. Es ist
   ${\begin{aligned}&(A\cap B)^{\complement }\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\complement }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\notin A\cap B\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\notin \{y\;|\;y\in A\land y\in B\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;x\notin \{y\,|\,y\in A\land y\in B\}}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;\neg \,(x\in A\land x\in B)\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {de\;Morgansche\;Regel\;f{\ddot {u}}r\;\neg \;und\;\land }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\notin A\lor x\notin B\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;x\notin A\;und\;x\notin B}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\in \{y\,|y\notin A\}\lor x\in \{z\,|\,z\notin B\}\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\complement }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\in A^{\complement }\lor x\in B^{\complement }\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&A^{\complement }\cup B^{\complement }\end{aligned}}$
5. Siehe Aufgabe 2
6. Es ist
   ${\begin{aligned}&{\mathcal {V}}^{\complement }\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\complement }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\notin {\mathcal {V}}\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ x\notin {\mathcal {V}}\;{\mathsf {ist\;immer\;falsch}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\neq x\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\varnothing }}\right.}\\[0.3em]=\;&\varnothing \end{aligned}}$
7. Siehe Aufgabe 3

Aufgaben

Aufgabe (Aufgabe 1)

Zeige: $A\cup A^{\complement }={\mathcal {V}}$

Lösung (Aufgabe 1)

${\begin{aligned}&A\cup A^{\complement }\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\complement }}\right.}\\[0.3em]=\;&A\cup \{y|\,y\notin A\}\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\in A\lor x\in \{y|\,y\notin A\}\}\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;x\notin \{y\,|\,y\notin A\}}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\in A\lor x\notin A\}\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {die\;Disjunktion\;ist\;immer\;wahr}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x=x\}\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;{\mathcal {V}}}}\right.}\\[0.3em]=\;&{\mathcal {V}}\end{aligned}}$

Aufgabe (Aufgabe 2)

Zeige: $(A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }$

Lösung (Aufgabe 2)

${\begin{aligned}&(A\cup B)^{\complement }\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\complement }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\notin A\cup B\}\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\notin \{y\;|\;y\in A\lor y\in B\}\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;x\notin \{y\,|\,y\in A\lor y\in B\}}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;\neg \,(x\in A\lor x\in B)\}\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {de\;Morgansche\;Regel\;f{\ddot {u}}r\;\neg \;und\;\lor }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\notin A\land x\notin B\}\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;x\notin A\;und\;x\notin B}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\in \{y\,|y\notin A\}\land x\in \{z\,|\,z\notin B\}\}\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\complement }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\in A^{\complement }\land x\in B^{\complement }\}\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&A^{\complement }\cap B^{\complement }\end{aligned}}$

Aufgabe (Aufgabe 3)

Zeige: $\varnothing ^{\complement }={\mathcal {V}}$

Lösung (Aufgabe 3)

${\begin{aligned}&\varnothing ^{\complement }\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\complement }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\notin \varnothing \}\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ x\notin \varnothing \;{\mathsf {ist\;immer\;wahr}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x=x\}\\[0.3em]&{\color {NavyBlue}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;{\mathcal {V}}}}\right.}\\[0.3em]=\;&{\mathcal {V}}\end{aligned}}$

Übungsaufgaben

Aufgabe (Aufgabe 1)

Zeige: $(A\cap B)\cup (A\cap B^{\complement })=A$

Beweis (Aufgabe 1)

1. Es ist
   ${\begin{aligned}&(A\cap B)\cup (A\cap B^{\complement })\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in (A\cap B)\,\lor \,x\in (A\cap B^{\complement })\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,((x\in A)\land (x\in B))\,\lor \,((x\in A)\land (x\in B^{\complement }))\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Distributivgesetz\;von\;\land \;an\;\lor }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,(x\in A)\land ((x\in B)\,\lor \,(x\in B^{\complement }))\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Eigenschaft\;von\;\lor }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,(x\in A)\land T\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Eigenschaft\;von\;\land }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,(x\in A)\}\\[0.3em]=\;&A\end{aligned}}$

Aufgabe (Aufgabe 2)

Zeige: $(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}$ (De-Morgansches Gesetz)

Beweis (Aufgabe 2)

${\begin{aligned}&(A\cup B)^{c}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;^{c}}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\notin A\cup B\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Eigenschaft\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\notin A\land x\notin B\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;^{c}}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A^{c}\land x\in B^{c}\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A^{c}\cap B^{c}\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Extensionalit{\ddot {a}}tsprinzip}}\right.}\\[0.3em]=\;&A^{c}\cap B^{c}\end{aligned}}$