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Dieser Artikel enthält die grundlegenden und abgeleiteten Definitionen der Operationen auf Mengen sowie verschiedene Übungen zu diesen Operationen und ihren Eigenschaften.
Die Grundlegende Operationen von Mengen und die logischen Operationen stehen in engem Zusammenhang und werden in der Mathematik oft gemeinsam verwendet. Die grundlegenden Operationen von Mengen, Vereinigung, Durchschnitt und Komplement, entsprechen den grundlegenden Operationen in der mathematischen Logik: OR, AND und NOT.
→ Hauptartikel: Durchschnitt von Mengen
→ Hauptartikel: Vereinigung von Mengen
Definition (disjunkte Vereinigung)
Vereinigung zweier Polygonmengen Die Schreibweise
C
=
A
∪
˙
B
{\displaystyle C=A\,{\dot {\cup }}\,B}
(
C
=
A
∪
B
)
∧
(
A
∩
B
=
∅
)
{\displaystyle {\big (}C=A\,{\cup }\,B{\big )}\land (A\cap B=\varnothing )}
∪
˙
{\displaystyle {\dot {\cup }}}
Definition (Große Vereinigung)
Die Vereinigung über der Menge
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
⋃
M
:=
{
x
|
∃
y
∈
M
:
x
∈
y
}
{\displaystyle \bigcup M:=\{x\,|\,\exists y\in M:x\in y\}}
Für weitere Details können Sie den folgenden Artikel einsehen:
Differenz von Mengen
Für weitere Details können Sie den folgenden Artikel einsehen:
Komplement einer Menge
Für weitere Details können Sie den folgenden Artikel einsehen:
Lösung (Eigenschaften der Operationen von Mengen)
Lösung Teilaufgabe 1:
A
∪
A
∁
↕
D
e
f
i
n
i
t
i
o
n
v
o
n
∁
=
A
∪
{
y
|
y
∉
A
}
↕
D
e
f
i
n
i
t
i
o
n
v
o
n
∪
=
{
x
|
x
∈
A
∨
x
∈
{
y
|
y
∉
A
}
}
↕
A
b
s
t
r
a
k
t
i
o
n
s
p
r
i
n
z
i
p
f
u
¨
r
x
∉
{
y
|
y
∉
A
}
=
{
x
|
x
∈
A
∨
x
∉
A
}
↕
d
i
e
D
i
s
j
u
n
k
t
i
o
n
i
s
t
i
m
m
e
r
w
a
h
r
=
{
x
|
x
=
x
}
↕
D
e
f
i
n
i
t
i
o
n
v
o
n
V
=
V
{\displaystyle {\begin{aligned}&A\cup A^{\complement }\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;^{\complement }}}\right.}\\[0.3em]=\;&A\cup \{y|\,y\notin A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\in A\lor x\in \{y|\,y\notin A\}\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;x\notin \{y\,|\,y\notin A\}}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\in A\lor x\notin A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {die\;Disjunktion\;ist\;immer\;wahr}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x=x\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;{\mathcal {V}}}}\right.}\\[0.3em]=\;&{\mathcal {V}}\end{aligned}}}
Lösung Teilaufgabe 2:
(
A
∪
B
)
∁
↕
D
e
f
i
n
i
t
i
o
n
v
o
n
∁
=
{
x
|
x
∉
A
∪
B
}
↕
D
e
f
i
n
i
t
i
o
n
v
o
n
∪
=
{
x
|
x
∉
{
y
|
y
∈
A
∨
y
∈
B
}
↕
A
b
s
t
r
a
k
t
i
o
n
s
p
r
i
n
z
i
p
f
u
¨
r
x
∉
{
y
|
y
∈
A
∨
y
∈
B
}
=
{
x
|
¬
(
x
∈
A
∨
x
∈
B
)
}
↕
d
e
M
o
r
g
a
n
s
c
h
e
R
e
g
e
l
f
u
¨
r
¬
u
n
d
∨
=
{
x
|
x
∉
A
∧
x
∉
B
}
↕
A
b
s
t
r
a
k
t
i
o
n
s
p
r
i
n
z
i
p
f
u
¨
r
x
∉
A
u
n
d
x
∉
B
=
{
x
|
x
∈
{
y
|
y
∉
A
}
∧
x
∈
{
z
|
z
∉
B
}
}
↕
D
e
f
i
n
i
t
i
o
n
v
o
n
∁
=
{
x
|
x
∈
A
∁
∧
x
∈
B
∁
}
↕
D
e
f
i
n
i
t
i
o
n
v
o
n
∩
=
A
∁
∩
B
∁
{\displaystyle {\begin{aligned}&(A\cup B)^{\complement }\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;^{\complement }}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\notin A\cup B\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\notin \{y\;|\;y\in A\lor y\in B\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;x\notin \{y\,|\,y\in A\lor y\in B\}}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;\neg \,(x\in A\lor x\in B)\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {de\;Morgansche\;Regel\;f{\ddot {u}}r\;\neg \;und\;\lor }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\notin A\land x\notin B\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;x\notin A\;und\;x\notin B}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\in \{y\,|y\notin A\}\land x\in \{z\,|\,z\notin B\}\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\complement }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\in A^{\complement }\land x\in B^{\complement }\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&A^{\complement }\cap B^{\complement }\end{aligned}}}
Lösung Teilaufgabe 3:
∅
∁
↕
D
e
f
i
n
i
t
i
o
n
v
o
n
∁
=
{
x
|
x
∉
∅
}
↕
x
∉
∅
i
s
t
i
m
m
e
r
w
a
h
r
=
{
x
|
x
=
x
}
↕
D
e
f
i
n
i
t
i
o
n
v
o
n
V
=
V
{\displaystyle {\begin{aligned}&\varnothing ^{\complement }\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;^{\complement }}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\notin \varnothing \}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ x\notin \varnothing \;{\mathsf {ist\;immer\;wahr}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x=x\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;{\mathcal {V}}}}\right.}\\[0.3em]=\;&{\mathcal {V}}\end{aligned}}}
Lösung Teilaufgabe 4:
(
A
∩
B
)
∪
(
A
∩
B
∁
)
↕
D
e
f
i
n
i
t
i
o
n
v
o
n
∪
=
{
x
|
x
∈
(
A
∩
B
)
∨
x
∈
(
A
∩
B
∁
)
}
↕
D
e
f
i
n
i
t
i
o
n
v
o
n
∩
=
{
x
|
(
(
x
∈
A
)
∧
(
x
∈
B
)
)
∨
(
(
x
∈
A
)
∧
(
x
∈
B
∁
)
)
}
↕
D
i
s
t
r
i
b
u
t
i
v
g
e
s
e
t
z
v
o
n
∧
a
n
∨
=
{
x
|
(
x
∈
A
)
∧
(
(
x
∈
B
)
∨
(
x
∈
B
∁
)
)
}
↕
E
i
g
e
n
s
c
h
a
f
t
v
o
n
∨
=
{
x
|
(
x
∈
A
)
∧
T
}
↕
E
i
g
e
n
s
c
h
a
f
t
v
o
n
∧
=
{
x
|
(
x
∈
A
)
}
=
A
{\displaystyle {\begin{aligned}&(A\cap B)\cup (A\cap B^{\complement })\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in (A\cap B)\,\lor \,x\in (A\cap B^{\complement })\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,((x\in A)\land (x\in B))\,\lor \,((x\in A)\land (x\in B^{\complement }))\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Distributivgesetz\;von\;\land \;an\;\lor }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,(x\in A)\land ((x\in B)\,\lor \,(x\in B^{\complement }))\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Eigenschaft\;von\;\lor }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,(x\in A)\land T\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Eigenschaft\;von\;\land }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,(x\in A)\}\\[0.3em]=\;&A\end{aligned}}}
Lösung Teilaufgabe 5:
A
∩
(
B
∖
A
)
↕
D
e
f
i
n
i
t
i
o
n
v
o
n
∩
=
{
x
|
x
∈
A
∧
(
x
∈
B
∖
A
)
}
↕
D
e
f
i
n
i
t
i
o
n
v
o
n
∖
=
{
x
|
x
∈
A
∧
x
∈
B
∧
x
∉
A
}
↕
d
i
e
K
o
n
j
u
n
k
t
i
o
n
i
s
t
i
m
m
e
r
f
a
l
s
c
h
=
{
x
|
F
∧
x
∈
B
}
↕
E
i
g
e
n
s
c
h
a
f
t
v
o
n
∧
=
∅
{\displaystyle {\begin{aligned}&A\cap (B\setminus A)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\land (x\in B\setminus A)\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\setminus }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\land x\in B\land x\notin A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {die\;Konjunktion\;ist\;immer\;falsch}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,F\land x\in B\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Eigenschaft\;von\;\land }}\right.}\\[0.3em]=\;&\varnothing \end{aligned}}}
Lösung Teilaufgabe 6:
A
∪
(
B
∖
A
)
↕
D
e
f
i
n
i
t
i
o
n
v
o
n
∪
=
{
x
|
x
∈
A
∨
(
x
∈
B
∖
A
)
}
↕
D
e
f
i
n
i
t
i
o
n
v
o
n
−
=
{
x
|
x
∈
A
∨
(
x
∈
B
∧
x
∉
A
}
↕
E
i
g
e
n
s
c
h
a
f
t
v
o
n
∧
=
{
x
|
(
(
x
∈
A
)
∨
(
x
∈
B
)
)
∧
(
(
x
∈
A
)
∨
(
x
∉
A
)
)
}
↕
d
i
e
D
i
s
j
u
n
k
t
i
o
n
i
s
t
i
m
m
e
r
w
a
h
r
=
{
x
|
(
(
x
∈
A
)
∨
(
x
∈
B
)
)
∧
T
}
↕
D
e
f
i
n
i
t
i
o
n
v
o
n
∪
=
A
∪
B
{\displaystyle {\begin{aligned}&A\cup (B\setminus A)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\lor (x\in B\setminus A)\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;-}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\lor (x\in B\land x\notin A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Eigenschaft\;von\;\land }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,((x\in A)\lor (x\in B))\land ((x\in A)\lor (x\notin A))\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {die\;Disjunktion\;ist\;immer\;wahr}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,((x\in A)\lor (x\in B))\land T\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&A\cup B\end{aligned}}}
Aufgabe (Große unendliche Vereinigung und Durchschnitt)
Seien die Mengen
A
i
=
{
1
,
2
,
3
,
.
.
.
,
i
}
{\displaystyle A_{i}=\{1,2,3,...,i\}}
i
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
{\displaystyle i=1,2,3,...}
⋃
i
=
1
n
A
i
{\displaystyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}}
Wie kommt man auf den Beweis? (Große unendliche Vereinigung und Durchschnitt)
Beachte, dass jeder Wert
i
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
{\displaystyle i=1,2,3,...}
A
i
=
{
1
,
2
,
3
,
.
.
.
,
i
}
{\displaystyle A_{i}=\{1,2,3,...,i\}}
i
=
1
{\displaystyle i=1}
A
1
=
{
1
}
{\displaystyle A_{1}=\{1\}}
i
=
2
{\displaystyle i=2}
A
2
=
{
1
,
2
}
{\displaystyle A_{2}=\{1,2\}}
i
=
3
{\displaystyle i=3}
A
3
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle A_{3}=\{1,2,3\}}
⋃
i
=
1
n
A
i
=
A
1
∪
A
2
∪
A
3
∪
.
.
.
∪
A
n
{\displaystyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup ...\cup A_{n}}
Lösung (Große unendliche Vereinigung und Durchschnitt)
⋃
i
=
1
n
A
i
=
{
1
,
2
,
3
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}=\{1,2,3,...,n\}}
Lösung (Eigenschaften der symmetrischen Differenz)
Lösung Teilaufgabe 1:
A
△
A
=
(
A
∖
A
)
∪
(
A
∖
A
)
=
∅
∪
∅
=
∅
{\displaystyle A\triangle A=(A\setminus A)\cup (A\setminus A)=\varnothing \cup \varnothing =\varnothing }
Lösung Teilaufgabe 2:
A
△
∅
=
(
A
∖
∅
)
∪
(
∅
∖
A
)
=
A
∪
∅
=
A
{\displaystyle A\triangle \varnothing =(A\setminus \varnothing )\cup (\varnothing \setminus A)=A\cup \varnothing =A}
Lösung Teilaufgabe 3:
A
△
U
=
(
A
∖
U
)
∪
(
U
∖
A
)
=
∅
∪
A
∁
=
A
∁
{\displaystyle A\triangle U=(A\setminus U)\cup (U\setminus A)=\varnothing \cup A^{\complement }=A^{\complement }}
Lösung Teilaufgabe 4:
A
△
A
∁
=
(
A
∖
A
∁
)
∪
(
A
∁
∖
A
)
=
A
∪
A
∁
=
U
{\displaystyle A\triangle A^{\complement }=(A\setminus A^{\complement })\cup (A^{\complement }\setminus A)=A\cup A^{\complement }=U}
Verständnisfrage: Seien die Mengen
A
i
=
{
1
,
2
,
3
,
.
.
.
,
i
}
{\displaystyle A_{i}=\{1,2,3,...,i\}}
i
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
{\displaystyle i=1,2,3,...}
⋃
i
=
1
∞
A
i
{\displaystyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}}
⋂
i
=
1
∞
A
i
{\displaystyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}}
Beachte, dass jeder Wert
i
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
{\displaystyle i=1,2,3,...}
A
i
=
{
1
,
2
,
3
,
.
.
.
,
i
}
{\displaystyle A_{i}=\{1,2,3,...,i\}}
i
=
1
{\displaystyle i=1}
A
1
=
{
1
}
{\displaystyle A_{1}=\{1\}}
i
=
2
{\displaystyle i=2}
A
2
=
{
1
,
2
}
{\displaystyle A_{2}=\{1,2\}}
i
=
3
{\displaystyle i=3}
A
3
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle A_{3}=\{1,2,3\}}
⋃
i
=
1
∞
A
i
=
A
1
∪
A
2
∪
A
3
∪
.
.
.
{\displaystyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup ...}
A
i
{\displaystyle A_{i}}
⋂
i
=
1
∞
A
i
=
A
1
∩
A
2
∩
A
3
∩
.
.
.
{\displaystyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}=A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap ...}
Dann die unendliche Vereinigung und Durchschnitt in der Reihenfolge sind:
⋃
i
=
1
∞
A
i
=
{
1
,
2
,
3
,
.
.
.
}
=
Z
+
{\displaystyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}=\{1,2,3,...\}=\mathbb {Z} ^{+}}
⋂
i
=
1
∞
A
i
=
{
1
}
{\displaystyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}=\{1\}}
![{\displaystyle {\begin{aligned}A\,\triangle \,B&:=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\\[0.3em]&=\{x\in A\cup B|\,(x\in A\land x\notin B)\lor (x\notin A\land x\in B)\}\\[0.3em]&=\{x\in A\cup B|x\in A\,{\dot {\lor }}\,x\in B\}\\[0.3em]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d66b766ce3a0e8c79a9b2e42d4a9a2744e973e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&A\cup A^{\complement }\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;^{\complement }}}\right.}\\[0.3em]=\;&A\cup \{y|\,y\notin A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\in A\lor x\in \{y|\,y\notin A\}\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;x\notin \{y\,|\,y\notin A\}}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\in A\lor x\notin A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {die\;Disjunktion\;ist\;immer\;wahr}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x=x\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;{\mathcal {V}}}}\right.}\\[0.3em]=\;&{\mathcal {V}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03717020c4ed8c23671e56620427ffc5e2f83b38)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(A\cup B)^{\complement }\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;^{\complement }}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\notin A\cup B\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\notin \{y\;|\;y\in A\lor y\in B\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;x\notin \{y\,|\,y\in A\lor y\in B\}}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;\neg \,(x\in A\lor x\in B)\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {de\;Morgansche\;Regel\;f{\ddot {u}}r\;\neg \;und\;\lor }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\notin A\land x\notin B\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;x\notin A\;und\;x\notin B}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\in \{y\,|y\notin A\}\land x\in \{z\,|\,z\notin B\}\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\complement }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\;|\;x\in A^{\complement }\land x\in B^{\complement }\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&A^{\complement }\cap B^{\complement }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d48b7b3d18e3872976d25f66205359a81098165d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\varnothing ^{\complement }\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;^{\complement }}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\notin \varnothing \}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ x\notin \varnothing \;{\mathsf {ist\;immer\;wahr}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x=x\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;{\mathcal {V}}}}\right.}\\[0.3em]=\;&{\mathcal {V}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597cf03a7c298060b5f34221596869b92613e951)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(A\cap B)\cup (A\cap B^{\complement })\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in (A\cap B)\,\lor \,x\in (A\cap B^{\complement })\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,((x\in A)\land (x\in B))\,\lor \,((x\in A)\land (x\in B^{\complement }))\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Distributivgesetz\;von\;\land \;an\;\lor }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,(x\in A)\land ((x\in B)\,\lor \,(x\in B^{\complement }))\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Eigenschaft\;von\;\lor }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,(x\in A)\land T\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Eigenschaft\;von\;\land }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,(x\in A)\}\\[0.3em]=\;&A\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64df2d67193507573f94d4ed29b4a4d212c6cade)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&A\cap (B\setminus A)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\land (x\in B\setminus A)\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\setminus }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\land x\in B\land x\notin A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {die\;Konjunktion\;ist\;immer\;falsch}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,F\land x\in B\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Eigenschaft\;von\;\land }}\right.}\\[0.3em]=\;&\varnothing \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a6ae40bcaaf53e27617ed30a7d73bb74c97dfc1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&A\cup (B\setminus A)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\lor (x\in B\setminus A)\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;-}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,x\in A\lor (x\in B\land x\notin A\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Eigenschaft\;von\;\land }}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,((x\in A)\lor (x\in B))\land ((x\in A)\lor (x\notin A))\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {die\;Disjunktion\;ist\;immer\;wahr}}\right.}\\[0.3em]=\;&\{x\,|\,((x\in A)\lor (x\in B))\land T\}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\updownarrow \ {\mathsf {Definition\;von\;\cup }}\right.}\\[0.3em]=\;&A\cup B\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e77d70d9e69d8f184a9d8c80c419329b6142ae8)
