Grundlegende Operationen von Mengen: Durchschnitt, Vereinigung und Komplement – „Mathe für Nicht-Freaks“

Dieser Abschnitt ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib den Autoren Zeit, den Inhalt anzupassen!

Dieser Artikel enthält die grundlegenden und abgeleiteten Definitionen der Operationen auf Mengen sowie verschiedene Übungen zu diesen Operationen und ihren Eigenschaften.

Die Grundlegende Operationen von Mengen und die logischen Operationen stehen in engem Zusammenhang und werden in der Mathematik oft gemeinsam verwendet. Die grundlegenden Operationen von Mengen, Vereinigung, Durchschnitt und Komplement, entsprechen den grundlegenden Operationen in der mathematischen Logik: OR, AND und NOT.

Durchschnitt von Mengen

→ Hauptartikel: Durchschnitt von Mengen

Definition (Durchschnitt)

Der Durchschnitt $A\cap B$ ist die Menge aller Objekte, die sowohl Elemente von $A$ als auch von $B$ sind:

$A\cap B:=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$

Im Mengendiagramm ist die Vereinigung der gesamte Flächeninhalt beider Mengen:

Vereinigungsmenge zweier Mengen

Satz (Eigenschaften der Schnittmenge)

1. $A\cap B=B\cap A$ (Kommutativgesetz)
2. $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$ (Assoziativgesetz)
3. $A\cap A=A$ (Idempotenz)
4. $A\cap 𝒱=A$ (Neutralität der Allklasse)
5. $A\cap \varnothing =\varnothing$

Vereinigung von Mengen

→ Hauptartikel: Vereinigung von Mengen

Definition (Vereinigung)

Die Vereinigung $A\cup B$ zweier Mengen $A$ und $B$ ist definiert durch:

$A\cup B:=\{x|x\in A\vee x\in B\}$

Satz (Eigenschaften der Vereinigungsmenge)

1. $A\cup B=B\cup A$ (Kommutativgesetz)
2. $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$ (Assoziativgesetz)
3. $A\cup A=A$ (Idempotenz)
4. $A\cup \varnothing =A$ (Neutralität der leeren Menge)
5. $A\cup 𝒱=𝒱$

Definition (disjunkte Vereinigung)

Vereinigung zweier Polygonmengen

Die Schreibweise $C=A\dot{\cup }B$ ist eine Abkürzung für $(C=A\cup B)\wedge (A\cap B=\varnothing )$

$\dot{\cup }$ wird dabei disjunkte Vereinigung genannt.

Definition (Große Vereinigung)

Die Vereinigung über der Menge $M$ ist die Menge aller Objekte, die Element in einem Element von $M$ sind:

$\bigcup M:=\{x|\mathrm{\exists }y\in M:x\in y\}$

Für weitere Details können Sie den folgenden Artikel einsehen:

Differenz

Differenz von Mengen

Definition (Differenz)

Differenz zweier Mengen

Die Differenz $A\setminus B$ zweier Mengen $A$ und $B$ ist definiert durch:

$A\setminus B:=\{x|x\in A\wedge x\notin B\}$

Definition (symmetrische Differenz)

symmetrische Differenz zweier Mengen

Die symmetrische Differenz $A\mathrm{△}B$ ist die Menge aller Objekte, die Elemente genau einer der Mengen $A$ und $B$ sind:

$\begin{array}{cc}A\mathrm{△}B& :=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\\ & =\{x\in A\cup B|(x\in A\wedge x\notin B)\vee (x\notin A\wedge x\in B)\}\\ & =\{x\in A\cup B|x\in A\dot{\vee }x\in B\}\\ \end{array}$

Für weitere Details können Sie den folgenden Artikel einsehen:

Komplement

Komplement einer Menge

Definition (Komplement)

Das Komplement $A^{\complement }$ der Menge $A$ ist die Menge aller Objekte, die nicht in $A$ enthalten sind:

$A^{\complement }:=\{x|x\notin A\}$

das Komplement einer Menge

Satz (Eigenschaften des Komplements)

1. $(A^{\complement }{)}^{\complement }=A$ (Doppeltes Komplement)
2. $A\cap A^{\complement }=\varnothing$
3. $A\cup A^{\complement }=𝒱$
4. $(A\cap B{)}^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }$ (De Morgansche Regel)
5. $(A\cup B{)}^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }$
6. ${𝒱}^{\complement }=\varnothing$
7. ${\varnothing }^{\complement }=𝒱$

Für weitere Details können Sie den folgenden Artikel einsehen:

Aufgaben

Aufgabe (Eigenschaften der Operationen von Mengen)

Zeige:

1. $A\cup A^{\complement }=𝒱$
2. $(A\cup B{)}^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }$
3. ${\varnothing }^{\complement }=𝒱$
4. $(A\cap B)\cup (A\cap B^{\complement })=A$
5. $A\cap (B\setminus A)=\varnothing$
6. $A\cup (B\setminus A)=A\cup B$

Lösung (Eigenschaften der Operationen von Mengen)

Lösung Teilaufgabe 1:

$\begin{array}{cc}& A\cup A^{\complement }\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇{}^{\complement }\\ =& A\cup \{y|y\notin A\}\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\mathsf{\cup }\\ =& \{x|x\in A\vee x\in \{y|y\notin A\}\}\\ & \updownarrow 𝖠𝖻𝗌𝗍𝗋𝖺𝗄𝗍𝗂𝗈𝗇𝗌𝗉𝗋𝗂𝗇𝗓𝗂𝗉𝖿\ddot{𝗎}𝗋𝗑\mathsf{\notin }\mathsf{\{}𝗒\mathsf{|}𝗒\mathsf{\notin }𝖠\mathsf{\}}\\ =& \{x|x\in A\vee x\notin A\}\\ & \updownarrow 𝖽𝗂𝖾𝖣𝗂𝗌𝗃𝗎𝗇𝗄𝗍𝗂𝗈𝗇𝗂𝗌𝗍𝗂𝗆𝗆𝖾𝗋𝗐𝖺𝗁𝗋\\ =& \{x|x=x\}\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇𝒱\\ =& 𝒱\end{array}$

Lösung Teilaufgabe 2:

$\begin{array}{cc}& (A\cup B{)}^{\complement }\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇{}^{\complement }\\ =& \{x|x\notin A\cup B\}\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\mathsf{\cup }\\ =& \{x|x\notin \{y|y\in A\vee y\in B\}\\ & \updownarrow 𝖠𝖻𝗌𝗍𝗋𝖺𝗄𝗍𝗂𝗈𝗇𝗌𝗉𝗋𝗂𝗇𝗓𝗂𝗉𝖿\ddot{𝗎}𝗋𝗑\mathsf{\notin }\mathsf{\{}𝗒\mathsf{|}𝗒\mathsf{\in }𝖠\mathsf{\vee }𝗒\mathsf{\in }𝖡\mathsf{\}}\\ =& \{x|\mathrm{\neg }(x\in A\vee x\in B)\}\\ & \updownarrow 𝖽𝖾𝖬𝗈𝗋𝗀𝖺𝗇𝗌𝖼𝗁𝖾𝖱𝖾𝗀𝖾𝗅𝖿\ddot{𝗎}𝗋\neg 𝗎𝗇𝖽\mathsf{\vee }\\ =& \{x|x\notin A\wedge x\notin B\}\\ & \updownarrow 𝖠𝖻𝗌𝗍𝗋𝖺𝗄𝗍𝗂𝗈𝗇𝗌𝗉𝗋𝗂𝗇𝗓𝗂𝗉𝖿\ddot{𝗎}𝗋𝗑\mathsf{\notin }𝖠𝗎𝗇𝖽𝗑\mathsf{\notin }𝖡\\ =& \{x|x\in \{y|y\notin A\}\wedge x\in \{z|z\notin B\}\}\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\complement \\ =& \{x|x\in A^{\complement }\wedge x\in B^{\complement }\}\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\mathsf{\cap }\\ =& A^{\complement }\cap B^{\complement }\end{array}$

Lösung Teilaufgabe 3:

$\begin{array}{cc}& {\varnothing }^{\complement }\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇{}^{\complement }\\ =& \{x|x\notin \varnothing \}\\ & \updownarrow x\notin \varnothing 𝗂𝗌𝗍𝗂𝗆𝗆𝖾𝗋𝗐𝖺𝗁𝗋\\ =& \{x|x=x\}\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇𝒱\\ =& 𝒱\end{array}$

Lösung Teilaufgabe 4:

$\begin{array}{cc}& (A\cap B)\cup (A\cap B^{\complement })\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\mathsf{\cup }\\ =& \{x|x\in (A\cap B)\vee x\in (A\cap B^{\complement })\}\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\mathsf{\cap }\\ =& \{x|((x\in A)\wedge (x\in B))\vee ((x\in A)\wedge (x\in B^{\complement }))\}\\ & \updownarrow 𝖣𝗂𝗌𝗍𝗋𝗂𝖻𝗎𝗍𝗂𝗏𝗀𝖾𝗌𝖾𝗍𝗓𝗏𝗈𝗇\mathsf{\wedge }𝖺𝗇\mathsf{\vee }\\ =& \{x|(x\in A)\wedge ((x\in B)\vee (x\in B^{\complement }))\}\\ & \updownarrow 𝖤𝗂𝗀𝖾𝗇𝗌𝖼𝗁𝖺𝖿𝗍𝗏𝗈𝗇\mathsf{\vee }\\ =& \{x|(x\in A)\wedge T\}\\ & \updownarrow 𝖤𝗂𝗀𝖾𝗇𝗌𝖼𝗁𝖺𝖿𝗍𝗏𝗈𝗇\mathsf{\wedge }\\ =& \{x|(x\in A)\}\\ =& A\end{array}$

Lösung Teilaufgabe 5:

$\begin{array}{cc}& A\cap (B\setminus A)\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\mathsf{\cap }\\ =& \{x|x\in A\wedge (x\in B\setminus A)\}\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\mathsf{\setminus }\\ =& \{x|x\in A\wedge x\in B\wedge x\notin A\}\\ & \updownarrow 𝖽𝗂𝖾𝖪𝗈𝗇𝗃𝗎𝗇𝗄𝗍𝗂𝗈𝗇𝗂𝗌𝗍𝗂𝗆𝗆𝖾𝗋𝖿𝖺𝗅𝗌𝖼𝗁\\ =& \{x|F\wedge x\in B\}\\ & \updownarrow 𝖤𝗂𝗀𝖾𝗇𝗌𝖼𝗁𝖺𝖿𝗍𝗏𝗈𝗇\mathsf{\wedge }\\ =& \varnothing \end{array}$

Lösung Teilaufgabe 6:

$\begin{array}{cc}& A\cup (B\setminus A)\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\mathsf{\cup }\\ =& \{x|x\in A\vee (x\in B\setminus A)\}\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\mathsf{-}\\ =& \{x|x\in A\vee (x\in B\wedge x\notin A\}\\ & \updownarrow 𝖤𝗂𝗀𝖾𝗇𝗌𝖼𝗁𝖺𝖿𝗍𝗏𝗈𝗇\mathsf{\wedge }\\ =& \{x|((x\in A)\vee (x\in B))\wedge ((x\in A)\vee (x\notin A))\}\\ & \updownarrow 𝖽𝗂𝖾𝖣𝗂𝗌𝗃𝗎𝗇𝗄𝗍𝗂𝗈𝗇𝗂𝗌𝗍𝗂𝗆𝗆𝖾𝗋𝗐𝖺𝗁𝗋\\ =& \{x|((x\in A)\vee (x\in B))\wedge T\}\\ & \updownarrow 𝖣𝖾𝖿𝗂𝗇𝗂𝗍𝗂𝗈𝗇𝗏𝗈𝗇\mathsf{\cup }\\ =& A\cup B\end{array}$

Aufgabe (Große unendliche Vereinigung und Durchschnitt)

Seien die Mengen $A_i=\{1,2,3,\mathrm{...},i\}$ für $i=1,2,3,\mathrm{...}$. Findet die Vereinigung $\bigcup _{i=1}^n{A}_i$.

Wie kommt man auf den Beweis? (Große unendliche Vereinigung und Durchschnitt)

Beachte, dass jeder Wert $i=1,2,3,\mathrm{...}$ eine Menge $A_i=\{1,2,3,\mathrm{...},i\}$ bestimmt. Z.B. für $i=1$ ist $A_1=\{1\}$, für $i=2$ ist $A_2=\{1,2\}$, und für $i=3$ ist $A_3=\{1,2,3\}$ und so weiter. Nach Definition von die große Vereinigung gilt $\bigcup _{i=1}^n{A}_i=A_1\cup A_2\cup A_3\cup \mathrm{...}\cup A_n$.

Lösung (Große unendliche Vereinigung und Durchschnitt)

$\bigcup _{i=1}^n{A}_i=\{1,2,3,\mathrm{...},n\}$.

Aufgabe (Eigenschaften der symmetrischen Differenz)

Zeige:

1. $A\mathrm{△}A=\varnothing$
2. $A\mathrm{△}\varnothing =A$
3. $A\mathrm{△}U=A^{\complement }$
4. $A\mathrm{△}{A}^{\complement }=U$

Lösung (Eigenschaften der symmetrischen Differenz)

Lösung Teilaufgabe 1:

$A\mathrm{△}A=(A\setminus A)\cup (A\setminus A)=\varnothing \cup \varnothing =\varnothing$

Lösung Teilaufgabe 2:

$A\mathrm{△}\varnothing =(A\setminus \varnothing )\cup (\varnothing \setminus A)=A\cup \varnothing =A$

Lösung Teilaufgabe 3:

$A\mathrm{△}U=(A\setminus U)\cup (U\setminus A)=\varnothing \cup A^{\complement }=A^{\complement }$

Lösung Teilaufgabe 4:

$A\mathrm{△}{A}^{\complement }=(A\setminus A^{\complement })\cup (A^{\complement }\setminus A)=A\cup A^{\complement }=U$

Verständnisfrage

Verständnisfrage: Seien die Mengen $A_i=\{1,2,3,\mathrm{...},i\}$ für $i=1,2,3,\mathrm{...}$. Was sind die unendliche Vereinigung $\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$, und Durchschnitt $\bigcap _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$?

Beachte, dass jeder Wert $i=1,2,3,\mathrm{...}$ eine Menge $A_i=\{1,2,3,\mathrm{...},i\}$ bestimmt. Z.B. für $i=1$ ist $A_1=\{1\}$, für $i=2$ ist $A_2=\{1,2\}$, und für $i=3$ ist $A_3=\{1,2,3\}$ und so weiter. Nach Definition von die große Vereinigung gilt $\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i=A_1\cup A_2\cup A_3\cup \mathrm{...}$. Um die Elemente des Durchschnitts zu finden, müssen wir die gemeinsamen Elemente in den Mengen $A_i$ermitteln. Nach Definition von die große Durchschnitt gilt $\bigcap _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i=A_1\cap A_2\cap A_3\cap \mathrm{...}$.

Dann die unendliche Vereinigung und Durchschnitt in der Reihenfolge sind:$\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i=\{1,2,3,\mathrm{...}\}={\mathbb{Z}}^{+}$, und $\bigcap _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i=\{1\}$