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Grundlegende Operationen von Mengen: Durchschnitt, Vereinigung und Komplement – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Die Grundlegende Operationen von Mengen und die logischen Operationen stehen in engem Zusammenhang und werden in der Mathematik oft gemeinsam verwendet. Die grundlegenden Operationen von Mengen, Vereinigung, Durchschnitt und Komplement, entsprechen den grundlegenden Operationen in der mathematischen Logik: OR, AND und NOT.

Durchschnitt von Mengen

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Definition (Durchschnitt)

Der Durchschnitt ist die Menge aller Objekte, die sowohl Elemente von als auch von sind:

Satz (Eigenschaften der Schnittmenge)

  1. (Kommutativgesetz)
  2. (Assoziativgesetz)
  3. (Idempotenz)
  4. (Neutralität der Allklasse)

Vereinigung von Mengen

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Definition (Vereinigung)

Die Vereinigung zweier Mengen und ist definiert durch:

Satz (Eigenschaften der Vereinigungsmenge)

  1. (Kommutativgesetz)
  2. (Assoziativgesetz)
  3. (Idempotenz)
  4. (Neutralität der leeren Menge)

Definition (disjunkte Vereinigung)

Die Schreibweise ist eine Abkürzung für

wird dabei disjunkte Vereinigung genannt.

Komplement

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Definition (Komplement)

Das Komplement der Menge ist die Menge aller Objekte, die nicht in enthalten sind:

Satz (Eigenschaften des Komplements)

  1. (Doppeltes Komplement)
  2. (De Morgansche Regel)

Aufgaben

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Aufgabe (Aufgabe 1)

Zeige:

Lösung (Aufgabe 1)

Aufgabe (Aufgabe 2)

Zeige:

Lösung (Aufgabe 2)

Aufgabe (Aufgabe 3)

Zeige:

Lösung (Aufgabe 3)

Übungsaufgaben

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Aufgabe (Aufgabe 1)

Zeige:

Beweis (Aufgabe 1)

  1. Es ist

Aufgabe (Aufgabe 2)

Zeige: (De-Morgansches Gesetz)

Beweis (Aufgabe 2)