Axiomatische Mengenlehre – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Es wurden verschiedene axiomatische Mengenlehren entwickelt. Die aktuell gebräuchlichste ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZFC. Sie ist nach den beiden deutschen Mathematikern Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel benannt, die sie von 1908 bis 1922 entwickelten. Das C in der Bezeichnung steht für "Axiom of Choice" (Auswahlaxiom).

Wie am Ende des Kapitels "Russells Antinomie und Klassen" beschrieben, legen wir eine klassentheoretische Sprache zugrunde, in der beliebige Klassen mit dem Klassenbildungsoperator gebildet werden können. Insbesondere ist die Allklasse, für deren Elemente auch die Variablen stehen, und die Russellsche Klasse.

Hinweis

Wir nennen die Klasse dann eine Menge, wenn sie im Variblenbereich, also in der Allklasse liegt: .

Wir wissen bereits, dass nicht alle Klassen Mengen sind, denn es gilt ja . Die Axiome von ZFC sorgen nun dafür, dass viele Klassen Mengen sind. So viele, dass sie für die Mathematik ausreichen. Um die Axiome zu verstehen, hilft die Vorstellung, dass Mengen kleine Klassen sind.

Extensionalität[Bearbeiten]

Das erste Axiom gilt bereits für Klassen:

Extensionalitätsaxiom

Die Extensionalität haben wir bereits im 1. Kapitel der Mengenlehre kennen gelernt. Die umgekehrte Richtung () gilt auch, das ergibt sich aus den Eigenschaften von .

Folgerung: sei eine beliebige Klasse. Dann gilt:

Wir setzen für . Dann folgt aus dem Abstraktionsprinzip . Mit der Extensionalität erhalten wir . ✔

Verständnisfrage: sei eine echte Klasse. Dann gilt:

Nach Definition der Einerklasse gilt und die Elemente von Klassen sind Mengen. ist aber eine echte Klasse, es gilt also . ✔

Leere Menge[Bearbeiten]

Die leere Klasse hat keine Elemente und ist wie folgt definiert: . Nach dem Extensionalitätsaxiom gibt es nur eine leere Klasse, denn wenn ebenfalls keine Elemente hat, gilt und daraus folgt .

Axiom der leeren Menge

Verständnisfrage: Zeige für eine beliebige Klasse .

Da folgt mit dem Extensionalitätsaxiom . Logische Umformung liefert . Weil immer falsch ist, können wie das nach den Regeln der Aussagenlogik zu verkürzen.

Paarmengen[Bearbeiten]

Nicht nur die leere Klasse, auch Klassen mit zwei Elementen sind klein. Das folgende Axiom stellt sicher, dass sie Mengen sind:

Paarmengenaxiom

Folgerung: Auch die Klassen mit einem Element sind Mengen: .

Da wir wählen im Paarmengen-Axiom und erhalten .

Mit Hilfe des Paarmengenaxioms lassen sich geordnete Paare definieren. Geordnete Paare sind die Elemente des kartischen Produkts . Während die Reihenfolge der Elemente bei den Paarmengen keine Rolle spielt, ist sie bei geordneten Paaren wesentlich. Im allgemeinen ist und . Zwei geordnete Paare sind nur dann gleich, wenn beide Komponenten gleich sind. Weiterhin sollen geordnete Paare Mengen sein, denn sie sollen ja als Elemente verwendet werden! Insgesamt soll also gelten:

Die heute übliche Paardefinition in der Mengenlehre stammt vom polnischen Mathematiker Kazimierz Kuratowski und ist nach ihm benannt. Die Idee ist folgende: die erste Komponente des geordneten Paares wird als Einermenge, die zweite als Zweiermenge dargestellt und beides wird dann in einer Zweiermenge zusammengefasst:

Definition (Kuratowski-Paare)

Für zwei Klassen und ist das geordnete Paar so definiert:

Wir haben die Definition für beliebige Klassen definiert, aber wenn echte Klassen beteiligt sind, funktioniert das nicht wie gewünscht. Ist beispielsweise eine echte Klasse, so liefert sie zur Zweiermenge keinen Beitrag, denn es gilt: . Für zwei Mengen dagegen erfüllt das Kuratowski-Paar die Anforderungen:

Satz (Eigenschaft geordneter Paare)

Sind , so gilt:

Beweis (Eigenschaft geordneter Paare)

Die erste Behauptung folgt unmittelbar aus dem Paarmengenaxiom.

Fall 1:

Dann ist eine Einermenge. Dann ist auch eine Einermenge und daher ist und . Also gilt .

Fall 2:

Dann enthält eine Einer- und eine Zweiermenge. Das gilt dann auch für . Aus der Gleichheit der Paarmengen folgt dann die Gleichheit der Einermengen und daraus . Mit dieser Gleichheit und der Gleichheit der Zweiermengen ergibt sich und daraus . ✔

Mit Hilfe von geordneten Paaren kann die gesamte Theorie der Relationen und Funktionen entwickelt werden.

Vereinigung[Bearbeiten]

Wir haben die große Vereinigung von so definiert: . Die Vereinigung sammelt also die Elemente der Elemente von . Die Vereinigung einer Zweierklasse ist gerade die Vereinigung der beiden Elemente:

Vereinigungsmengenaxiom

Insbesondere ist eine Menge.

Aufgabe: Zeige mit Hilfe des Axiom für Paarmengen: .

Für jede Klasse gilt , also auch .

Sei nun . Aus dem Axiom für Paarmengen folgt , also gibt es eine Menge aus , nämlich mit . Das zeigt .

Beides zusammen ergibt

Verständnisfrage: Es gilt . Werden für den Beweis Axiome für Mengen benötigt?

Nein, denn die leere Klasse hat keine Elemente, also auch nicht. ✔

Aufgabe: Zeige: .

Die Einermengen , , usw. sind alle in . Dann bilden wir die Vereinigung , anschliessend usw. ✔

Mit den bisher vorgestellten Axiomen können wir folgende Reihe von Mengen erzeugen:

,   ,   ,   ,    

Die erste Menge hat 0 Elemente, die nächste 1, die nächste 2, die nächste 3, usw. Für die auf folgende Menge sammeln wir alle Elemente von ein und fügen zusätzlich selbst dazu: . Dieses Bildungsgesetz zeigt, dass die Reihe tatsächlich nur Mengen enthält: nach dem Axiom der leeren Menge gilt und wenn so folgt mit dem Paarmengenaxiom . Mit dem Vereinigungsmengenaxiom ergibt sich daraus .

Definition (Nachfolger)

Ist eine Klasse, dann ist .

Für eine Menge ist ebenfalls eine Menge! Für echte Klassen bringt die Nachfolge nichts:

Verständnisfrage: Es gilt: . Warum?

Die Einerklasse von ist leer, wenn eine echte Klasse ist, denn .

Mit dieser Nachfolger-Funktion lassen sich die natürlichen Zahlen definieren! Auf diese Idee war 1923 der ungarisch-amerikanische Mathematiker John von Neumann gekommen. Er definierte:

 
usw.

Auf diese Weise lässt sich jede einzelne natürliche Zahl definieren.

Aussonderung[Bearbeiten]

Der große Durchschnitt von wurde so definiert: . Hier werden die Elemente gesammelt, die in allen Elementen von legen. Der Durchschnitt einer Zweierklasse ist der Durchschnitt seiner beiden Elemente:

Verständnisfrage: Es gilt . Warum?

Dazu müssen wir uns die Definition von genau anschauen: steht für . Die Prämisse von ist immer falsch, daher ist die Implikation immer wahr, vgl. Wahrheitstabelle von von . Daher erfüllen alle die definierende Bedingung für . ✔ [1]

Verständnisfrage: Es gilt für eine beliebige Klasse . Warum?

Ist ist nichts zu zeigen. Sei also . Da nach der definierenden Bedingung von die Elemente von in allen Elementen von liegen müssen, so liegen sie insbesondere auch in . ✔

Aufgabe: Zeige: .

Nach dem Axiom über die leere Menge gilt . Daher müsen alle Elemente von in liegen. Das gilt aber für kein Element. Also ist leer. ✔

Mit den bisherigen Axiomen können wir noch nicht zeigen, dass der Durchschnitt zweier Mengen wieder eine Menge ist. In der zweiten Verständnisfrage haben wir gesehen, dass der Durchschnitt einer nichtleeren Klasse immer eine Teilklasse einer Menge ist. Und es passt gut zu unsrer Vorstellung von kleinen Klassen, wenn solche Teilklassen ebenfalls Mengen sind:

Aussonderungsaxiom

Das Axiom gilt für beliebige Klassen . Da es ja zu jeder Formel die Klasse gibt, wird dieses Axiom oft als Axiomenschema bezeichnet.

Verständnisfrage: Die Allklasse ist keine Menge sondern eine echte Klasse: . Warum?

Die Russelsche Klasse ist eine Teilklasse von , also: . Wäre eine Menge, so wäre mit der Aussonderung auch eine Menge. ↯

Aufgabe: sei eine beliebige Aussageform, eine beliebige Klasse. Zeige:

Beweis:

  1. Es gilt ja und mit folgt mit der Aussonderung die Behauptung. ✔
  2. Ebenso ist und die Aussonderung liefert . ✔

Beide Formulierungen sind gleichwertig zum Aussonderungsaxiom. Denn mit der Definition erhalten wir aus 1. . Und weil ist, folgt daraus 2. . Aus 2. folgt das Aussonderungsaxiom, denn wenn gilt, ist . Zusammen mit der Aufgabe haben wir folgendes gezeigt: Aussonderungsaxiom 1. und 1. 2. und 2. Aussonderungsaxion. Das zeigt, das alle drei Aussagen äquivalent sind. Vgl. Kapitel "Wahrheitstabelle".

Verständnisfrage: Es gilt . Warum?

Ist gibt es ein mit . Mit der Aussonderung folgt daraus die Behauptung. ✔

Aufgabe: und seien Klassen. Zeige:

Wäre so folgte wegen und der Aussonderung

Oberklassen von echten Klassen sind also ebenfalls echte Klassen und keine Mengen. Das entspricht unserer Vorstellung, dass Mengen kleine Klassen sind.

Satz (Hilfssatz)

Sei eine Menge. Dann gilt: .

Das heißt nichts anderes als: keine Menge enthält alle Mengen!

Beweis (Hilfssatz)

Wir definieren . Dann gilt , also ist eine Menge. Mit dem Abstraktionsprinzip gilt . Weil eine Menge ist, dürfen wir für einsetzen und erhalten: . Also gilt: . ✔

Mit haben wir eine Menge gefunden, die kein Element der Menge ist. Aus dem Hilfssatz ergibt sich, dass die Allklasse keine Menge, sondern eine echte Klasse ist. Denn wäre eine Menge, gäbe es eine Menge , die nicht in läge. ↯ Also gilt:

Satz (Allklasse)

Die Allklasse ist eine echte Klasse:

Anmerkung: Die Konstruktion von entspricht der Russellschen Klasse . Aus dem Beweis des Hilfssatzes ergibt sich auch, dass gilt.

Ist eine Menge, so ist das Komplement eine echte Klasse. Auch hierin spiegelt sich unsere Vorstellung wider, dass Mengen "kleine" Klassen sind!

Verständnisfrage: Für beliebige Klassen gilt: . Warum?

Wären und Mengen, so wäre auch die Vereinigungsmenge eine Menge. ↯

Ersetzung[Bearbeiten]

Warnung

Um das Folgende zu verstehen, werden Funktionen benötigt! Vgl. dazu das Kapitel "Abbildung, Funktion"

Wir benutzen die folgenden Schreibweisen und Definitionen:

Definition (Schreibweisen und Eigenschaften von Funktionen)

  • ist eine Funktion von in
  • ist eine Funktion
  • (Definitionsbereich von )
  • (Wertebereich von )
  • ist injektiv
  • ist surjektiv auf
  • ist bijektiv auf ist injektiv und surjektiv auf

Ersetzungsaxiom

Auch dieses Axiom gilt für eine beliebige Klasse und wird daher oft als Axiomenschema bezeichnet. Als Anwendung zeigen wir, dass die Vereinigung von mengenvielen Mengen wieder eine Menge ergibt.

Satz (Große Vereinigung)

Das folgt noch nicht allein aus dem Vereinigungsmengen-Axiom!

Beweis (Große Vereinigung)

Setzen wir so gilt . Die Behauptung folgt nun mit dem Vereinigungsmengen-Axiom, wenn eine Menge ist. Das ist aber nach dem Ersetzungs-Axiom der Fall. Dazu betrachten wir die Funktion mit . Der Definitionsbereich ist eine Menge, also auch der Wertebereich . ✔

Potenzmenge[Bearbeiten]

Zur Erinnerung: . Wir können mit den bisherigen Axiomen nicht nachweisen, dass die Potenzklasse einer Menge wieder eine Menge ist! Daher fordern wir es in einem eigenen Axiom:

Potenzmengenaxiom

Wir wollen nun zeigen, dass die Bildung von Potenzmengen zu immer größeren Mengen führt. Unser Vorstellung von Mengen als kleine Klassen wird dabei etwas belastet, aber es ist uns wichtig, dass die Klasse aller Teilmengen einer Menge wieder eine Menge ist.

Mit Hilfe von Funktionen können wir die Größe von Klassen vergleichen, ohne die Anzahl ihrer Elemente zu kennen. Diese Anzahl wird Mächtigkeit genannt. Mit den bisher vorgestellten Axiomen können wir noch nicht genau sagen, was die Anzahl bei Klassen mit unendlich vielen Elementen ist! Wir beschränken uns daher auf den Vergleich von Klassen und nennen eine Klasse schmächtiger oder gleichmächtig zu , wenn es eine injektive Funktion gibt, die in abbildet. Ist schmächtiger als , so ist mächtiger als .

Definition (Mächtigkeit von Klassen)

und seien Klassen.

  •   ( ist gleichmächtig zu )
  •   ( ist schmächtiger als ,   ist mächtiger als )
  •   ( ist echt schmächtiger als ,   ist echt mächtiger als ).

Um zu zeigen, dass echt schmächtiger als ist, müssen also zwei Bedingungen gezeigt werden:

  1. es gibt eine injektive Funktion von in ,
  2. es gibt keine bijektive Funktion von auf .

Nach diesen Vorbereitungen können wir nun beweisen, dass eine Menge schmächtiger als ihre Potenzklasse ist.

Satz (Satz von Cantor)

Sei eine Menge. Dann gilt: .

Die Potenzmenge einer Menge ist stets mächtiger als die Menge selbst.

Beweis (Satz von Cantor)

  1. Die Funktion, die jedem Element die Einermenge zuordnet, ist injektiv und bildet in ab. Also gilt: .
  2. Annahme: bijektiv. Wir definieren die Klasse . ist eine Teilmenge von und daher gilt: . Wegen der Annahme dass surjektiv ist, gibt es mit . Nach Definition von folgt: und daraus: . ↯ Also gibt es keine bijektive Funktion und es gilt: . ✔

Unendlichkeit[Bearbeiten]

Mit etwas Aufwand[2] – den wir hier nicht darstellen wollen – lässt sich die Klasse aller natürlichen Zahlen definieren. Dazu reichen die bisher vorgestellten Axiome völlig aus. Wir nutzen hier zur Definition von die Eigenschaft, dass sich die natürlichen Zahlen schrittweise als Nachfolger erzeugen lassen. Klassen, die die leere Menge enthalten und mit jedem Element auch den Nachfolger dieses Elements, heissen induktiv:

Definition (Induktive Klassen)

ist induktiv .

Nach dieser Definition sind die natürlichen Zahlen offensichtlich in allen induktiven Klassen enthalten. Wir definieren daher:

Definition (Natürliche Zahlen)

.

Achtung! Diese Definition liefert nur dann das Gewünschte, wenn nicht leer ist. Gibt es keine induktiven Mengen, geht der Durchschnitt über die leere Menge und liefert , wie im Abschnitt Aussonderung gezeigt. Es muss also eine induktive Menge geben, damit die Definition von in Ordnung ist. Genau das ist der Inhalt des Unendlichkeitsaxioms:

Unendlichkeitssaxiom

Mit dem Aussonderungsaxiom folgt direkt:

Satz (Natürliche Zahlen)

.   Die Klasse der natürlichen Zahlen ist eine Menge.

Da der Durchschnitt in allen induktiven Mengen enthalten ist, ist bezogen auf die kleinste induktive Menge. Die natürlichen Zahlen werden durch die fünf Peano-Axiome beschrieben. Diese werden wir nun nachweisen:

Satz (Natürliche Zahlen)

erfüllt die Peano-Axiome:

  1.   (0 ist eine natürliche Zahl.)
  2.   (Jede natürliche Zahl hat eine natürliche Zahl als Nachfxolger.)
  3.   (0 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl.)
  4.   (Natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger sind gleich.)
  5. sei eine beliebige Klasse:

    (Ist 0 aus und gilt für jede natürliche Zahl, wenn sie in ist, dann ist auch ihr Nachfolger in , dann sind alle natürlichen Zahlen in )

Wir zeigen Punkt 4. zum Schluss.

Beweis (Natürliche Zahlen)

  1. () ist in jeder induktiven Menge enthalten, also auch im Durchschnit . ✔
  2. Sei nach Voraussetzung. Dann ist und damit auch in allen induktiven Mengen enthalten, also auch in . ✔
  3. Der Nachfolger von x ist nicht leer! ✔
  4. Mit 5. steht das Beweisverfahren durch vollständige Induktion zur Verfügung!
    Wir zeigen zunächst einen Hilfsatz: . Induktion über .
    Induktionsanfang: Sei und . Dann ist .
    Induktionsschluss: Gelte nun und sei .
    Dann ist oder .
    Im erste Fall folgt mit der Induktionsvoraussetzung und wegen auch .
    Im zweiten Fall gilt und somit ebenfalls .
    Damit ist der Hilfsatz bewiesen.
    Sei nun und gelte .
    Das heisst .
    Dann gilt und mit dem Hilfssatz folgt .
    Ebenso folgt und somit .
    Das zeigt . ✔
  5. Wir konstruieren eine induktive Menge und zeigen, dass gilt. Daraus folgt .
    Sei und gelten die Voraussetzungen.
    Dann ist eine Menge und es gilt .
    Es gilt , also ist .
    Sei nun , also und .
    Dann ist (nach 2.) und (nach Voraussetzung).
    Daher ist und somit induktiv.
    Nach Definition von gilt daher . ✔

Aufgabe: Zeige dass jede natürliche Zahl selbst aus natürlichen Zahlen besteht:

Induktion über :
Induktionsanfang: .
Induktionsschluss: Gelte nun . Dann ist , denn die Vereinigung zweier Teilmengen von ist ebenfalls eine Teilmenge von . ✔

Anmerkung: Das 5. Peano-Axiom wird häufig mit Aussagenformen anstelle von Klassen formuliert:

sei eine beliebige Aussageform:

Wegen sind beide Formulierungen gleichwertig.

Fundierung[Bearbeiten]

Mengen können – im Gegensatz zu echten Klassen – als Elemente auftreten. Dabei kann es zu Merkwürdigkeiten kommen, beispielsweise dass gilt. Wir wollen das näher untersuchen, dabei ist die folgende Definition hilfreich:

Definition (-minimal)

ist -minimal in genau dann, wenn

Wenn also ein -minimales Element in überhaupt Elemente hat, dann liegen sie nicht in . Das folgende Axiom fordert, dass jede nichtleere Menge -minimale Elemente hat:

Fundierungsaxiom

Mit diesem Axiom werden keine weiteren Mengen erzeugt, ganz im Gegenteil: Damit werden Folgen wie   ,   ,   ,   usw. ausgeschlossen. Es gibt also keine unendlich lang absteigende -Ketten. Daher kommt auch die Bezeichnung "Fundierung".

Satz:

Angenommen es gäbe eine solche Kette. Dann bilden wir die Klasse .
Es ist und . Aber hat kein -minimales Element. ↯

Verständnisfrage: Gibt es eine Menge mit:  ?

Nein. Es gilt ja insbesondere . Wäre , so folgte im Widerspruch zur Fundierung. ↯

Verständnisfrage: Was besagt die Fundierung für die Russelsche Klasse ?

Da alle Mengen fundiert sind, gilt und die Russelsche Klasse ist die Allklasse:

Dieses Axiom hat rein praktische Gründe: auf dieses Weise werden unbequeme Mengen ausgeschlossen und die Mengenlehre wird einfacher. Die Mathematik kommt im Wesentlichen mit fundierten Mengen aus.

Auswahl[Bearbeiten]

Warnung

Um das letzte Axiom zu verstehen, werden Kenntnisse über Partitionen (Zerlegungen) benötigt! Vgl. dazu das Kapitel "Äquivalenzrelationen"

Auswahlaxiom

Wir lesen dieses Axiom schrittweise: sei eine beliebige Menge.
Die Prämisse besagt:      

Die Konklusion besagt:    

Insgesamt heisst das also: Zu einer Menge deren Elemente nicht leer und paarweise disjunkt sind, gibt es eine Menge , die aus jedem Element von genau ein Element enthält, also auswählt. Die Menge ist eine Partition der Menge und die Menge wählt aus jedem Teil der Partition einen Repräsentanten aus:

Partition (links) mit Auswahlmenge (rechts)

Das Auswahlaxiom sieht harmlos aus, hat aber erhebliche Auswirkungen. Es gibt eine Reihe von wichtigen Sätzen, die auf der Basis der übrigen Axiome zum Auswahlaxiom gleichwertig sind[3], unter anderem die folgenden:

  • Wohlordnungssatz: Jede Menge lässt sich wohlordnen.
  • Zornsches Lemma: Ist jede Kette einer halbgeordneten Menge nach oben beschränkt, hat die Menge ein maximales Element.

Wir wollen hier aber die Vorstellung der Axiome von ZFC beenden.