Umordnungssatz für Reihen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Kapitel wollen wir untersuchen, unter welchen Voraussetzungen es erlaubt ist, Reihen umzuordnen, ohne dass sich deren Konvergenzverhalten beziehungsweise deren Grenzwert ändert. Reihen, bei denen dies möglich ist, werden unbedingt konvergent genannt. Dabei werden wir uns schrittweise, beginnend bei endlichen Summen vorarbeiten. Wir untersuchen zunächst immer konkrete Beispiele, um unsere Überlegungen möglichst verständlich zu machen. Wie im Kapitel zuvor bereits erwähnt, spielt letztendlich die absolute Konvergenz die entscheidende Rolle.

Umordnung endlicher Summen

Bei endlichen Summen ist es kein Problem, die Summanden umzuordnen. Der Grund hierfür ist, dass sich das „Kommutativgesetz der Addition“ beliebig oft hintereinander anwenden lässt. Betrachten wir als konkretes Beispiel die Summe

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{8}(-1)^{k+1}{\frac {1}{k}}&={\color {OliveGreen}1}{\color {blue}-{\frac {1}{2}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{3}}}{\color {blue}-{\frac {1}{4}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{5}}}{\color {blue}-{\frac {1}{6}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{7}}}{\color {blue}-{\frac {1}{8}}}={\frac {533}{840}}\end{aligned}}

Ordnen wir die Summe nun so um, dass auf ein positives immer zwei negative Summenglieder folgen, ergibt sich

{\begin{aligned}{\color {OliveGreen}1}{\color {blue}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{3}}}{\color {blue}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}={\frac {533}{840}}\end{aligned}}

Etwas formaler können wir dies folgendermaßen formulieren: Ist $\sigma :\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\to \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ die Bijektion mit

\sigma (1)=1,\ \sigma (2)=2,\ \sigma (3)=4,\ \sigma (4)=3,\ \sigma (5)=6,\ \sigma (6)=8,\ \sigma (7)=5,\ \sigma (8)=7

so gilt

\underbrace {\sum _{k=1}^{8}(-1)^{k+1}{\frac {1}{k}}} _{{\color {OliveGreen}1}{\color {blue}-{\frac {1}{2}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{3}}}{\color {blue}-{\frac {1}{4}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{5}}}{\color {blue}-{\frac {1}{6}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{7}}}{\color {blue}-{\frac {1}{8}}}}=\underbrace {\sum _{k=1}^{8}(-1)^{\sigma (k)+1}{\frac {1}{\sigma (k)}}} _{{\color {OliveGreen}1}{\color {blue}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{3}}}{\color {blue}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}}

Damit können wir für $n\in \mathbb {N}$ auf beliebige Summen $\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ und beliebige Bijektionen $\sigma :\{1,\ldots ,n\}\to \{1,\ldots ,n\}$ ein verallgemeinertes Kommutativgesetz formulieren:

\sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{n}a_{\sigma (k)}

Aufgabe (Beweis des verallgemeinerten Kommutativgesetzes)

Beweise das verallgemeinerte Kommutativgesetz mittels vollständiger Induktion über $n$ .

Beweis (Beweis des verallgemeinerten Kommutativgesetzes)

Induktionsanfang: $n=1$ .

Hier gibt es lediglich die Bijektion $\sigma :\{1\}\to \{1\},\ \sigma (1)=1$ . Für diese gilt

\sum _{k=1}^{1}a_{k}=a_{1}=\sum _{k=1}^{1}a_{\sigma (k)}

Induktionsvoraussetzung: Für alle Bijektionen $\sigma :\{1,\ldots ,n\}\to \{1,\ldots ,n\}$ gelte

\sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{n}a_{\sigma (k)}

Induktionsschritt: $n\to n+1$

Sei $\sigma :\{1,\ldots ,n,n+1\}\to \{1,\ldots ,n,n+1\}$ eine Bijektion. Nun wissen wir bereits aus den Eigenschaften der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ , dass dort das Kommutativgesetz für zwei Zahlen gilt. Dies können wir jetzt benutzen, in dem wir bei der Summe $\sum _{k=1}^{n+1}a_{k}$ den Summand $a_{n+1}$ mit dem Summanden $a_{\sigma (n+1)}$ vertauschen. Damit dies gelingt, müssen wir die Summe künstlich in die beiden Zahlen $\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ und $a_{n+1}$ zerlegen und das Kommutativgesetz verwenden. Das machen wir solange, bis gilt $a_{n+1}=a_{\sigma (n+1)}$ . Anschließend können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden. Wir erhalten somit

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n+1}a_{k}&=\sum _{k=1}^{n}a_{k}+a_{n+1}\\[0.5em]&{\underset {a_{n+1}=a_{\sigma (n+1)}}{\overset {\text{Kommutativgesetz}}{=}}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}+a_{\sigma (n+1)}\\[0.5em]&{\underset {\text{voraussetzung}}{\overset {\text{Induktions-}}{=}}}\sum _{k=1}^{n}a_{\sigma (k)}+a_{\sigma (n+1)}\\[0.5em]&=\sum _{k=1}^{n+1}a_{\sigma (k)}\end{aligned}}

Das Problem bei konvergenten Reihen

Definition: Umordnung einer Reihe

Bevor wir uns der Problematik bei Reihen zuwenden, wollen wir den Begriff der Umordnung einer Reihe zunächst sauber definieren:

Definition (Umordnung einer Reihe)

Sei $\sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}$ eine Umordnung der Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ .

Beispiel (Umordnung einer Reihe)

Betrachten wir die harmonische Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k}}$ . Dann entspricht die Reihe

{\tfrac {1}{2}}+1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{7}}+\ldots

der Umordnung $\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}$ mit der durch

\sigma (2k-1)=2k{\text{ und }}\sigma (2k)=2k-1{\text{ für }}k\in \mathbb {N}

definierten Permutation.

Umordnung kann gegen anderen Grenzwert konvergieren

Es wäre natürlich gut, wenn wir das verallgemeinerte Kommutativgesetz von oben auf unendliche Reihen verallgemeinern könnten. Betrachten wir als Beispiel die alternierende harmonische Reihe

\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {1}{k}}={\color {OliveGreen}1}{\color {blue}-{\frac {1}{2}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{3}}}{\color {blue}-{\frac {1}{4}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{5}}}{\color {blue}-{\frac {1}{6}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{7}}}{\color {blue}-{\frac {1}{8}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{9}}}{\color {blue}-{\frac {1}{10}}}{\color {OliveGreen}+}\ldots {\color {OliveGreen}+{\frac {1}{2n-1}}}{\color {blue}-{\frac {1}{2n}}}\pm \ldots

Im Kapitel zum „Leibniz-Kriterium“ werden wir zeigen, dass diese Reihe konvergiert. Mit weiteren Hilfsmitteln kann man sogar zeigen, dass sie gegen $S=\ln(2)$ konvergiert.

Konvergiert jede Umordnung dieser Reihe gegen denselben Grenzwert? Wir wählen dieselbe Umordnung wie oben: Auf jeden positiven Summanden der Reihe lassen wir zwei negative folgen:

{\color {OliveGreen}1}{\color {blue}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{3}}}{\color {blue}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}}{\color {OliveGreen}+}\ldots {\color {OliveGreen}+{\frac {1}{2n-1}}}{\color {blue}-{\frac {1}{4n-2}}-{\frac {1}{4n}}}\pm \ldots

Verständnisfrage: Gib explizit die Permutation $\sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ an, mit der die umgeordnete Reihe aus der ursprünglichen entsteht.

Die Permutation lautet

\sigma (1)={\color {OliveGreen}1},\ \sigma (2)={\color {blue}2},\ \sigma (3)={\color {blue}4},\ \sigma (4)={\color {OliveGreen}3},\ \sigma (5)={\color {blue}6},\ \sigma (6)={\color {blue}8},\ \sigma (7)={\color {OliveGreen}5},\ \sigma (8)={\color {blue}10},\ \sigma (9)={\color {blue}12},\ldots

Kompakt lässt sich dies für alle $n\in \mathbb {N}$ schreiben als

\sigma (3n-2)={\color {green}2n-1},\ \sigma (3n-1)={\color {blue}4n-2},\ \sigma (3n)={\color {blue}4n}.

Im Kapitel zu den „Rechenregeln für Reihen“ hatten wir gezeigt, dass sich das Konvergenzverhalten und der Grenzwert einer konvergenten Reihe nicht ändern, wenn wir Klammern setzen. Daher konvergiert die Reihe, in der wir immer drei Summanden durch Klammern zusammenfassen, gegen denselben Grenzwert:

\left({\color {OliveGreen}1}{\color {blue}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}}\right){\color {OliveGreen}+}\left({\color {OliveGreen}{\frac {1}{3}}}{\color {blue}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}}\right){\color {OliveGreen}+}\ldots {\color {OliveGreen}+}\left({\color {OliveGreen}{\frac {1}{2n-1}}}{\color {blue}-{\frac {1}{4n-2}}-{\frac {1}{4n}}}\right)\pm \ldots

Diese lässt sich wie folgt umformen:

{\begin{aligned}&\left({\color {OliveGreen}1}{\color {blue}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}}\right){\color {OliveGreen}+}\left({\color {OliveGreen}{\frac {1}{3}}}{\color {blue}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}}\right){\color {OliveGreen}+}\ldots {\color {OliveGreen}+}\left({\color {OliveGreen}{\frac {1}{2n-1}}}{\color {blue}-{\frac {1}{4n-2}}-{\frac {1}{4n}}}\right)\pm \ldots \\=&\left({\frac {1}{2}}{\color {blue}-{\frac {1}{4}}}\right){\color {OliveGreen}+}\left({\frac {1}{6}}{\color {blue}-{\frac {1}{8}}}\right){\color {OliveGreen}+}\ldots {\color {OliveGreen}+}\left({\frac {1}{4n-2}}{\color {blue}-{\frac {1}{4n}}}\right)\pm \ldots \\=&{\frac {1}{2}}\left(1{\color {blue}-{\frac {1}{2}}}\right){\color {OliveGreen}+}{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{3}}{\color {blue}-{\frac {1}{4}}}\right){\color {OliveGreen}+}\ldots {\color {OliveGreen}+}{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2n-1}}{\color {blue}-{\frac {1}{2n}}}\right)\pm \ldots \\=&{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\ldots +{\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n}}\pm \ldots \right)\\=&{\frac {1}{2}}\left(\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {1}{k}}\right)\end{aligned}}

Wir sehen also, dass die umgeordnete Reihe nicht gegen $S$ , sondern gegen ${\tfrac {1}{2}}S$ konvergiert.

Formal ganz sauber können wir dies wie folgt beweisen:

Sei $(S_{N})_{N\in \mathbb {N} }$ die Folge der Partialsummen der alternierenden harmonischen Reihe und $(T_{N})_{N\in \mathbb {N} }$ die Folge der Partialsummen der umgeordneten Reihe. Dann gilt zwischen $T_{3n}$ und $S_{2n}$ , mit derselben Umformung wie oben, die Beziehung

{\begin{aligned}T_{3n}&=\left({\color {OliveGreen}1}{\color {blue}-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}}\right){\color {OliveGreen}+}\left({\color {OliveGreen}{\frac {1}{3}}}{\color {blue}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}}\right){\color {OliveGreen}+}\left({\color {OliveGreen}{\frac {1}{5}}}{\color {blue}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}}\right){\color {OliveGreen}+}\ldots {\color {OliveGreen}+}\left({\color {OliveGreen}{\frac {1}{2n-1}}}{\color {blue}-{\frac {1}{4n-2}}-{\frac {1}{4n}}}\right)\\&=\left({\frac {1}{2}}{\color {blue}-{\frac {1}{4}}}\right){\color {OliveGreen}+}\left({\frac {1}{6}}{\color {blue}-{\frac {1}{8}}}\right){\color {OliveGreen}+}\left({\frac {1}{10}}{\color {blue}-{\frac {1}{12}}}\right){\color {OliveGreen}+}\ldots {\color {OliveGreen}+}\left({\frac {1}{4n-2}}{\color {blue}-{\frac {1}{4n}}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(1{\color {blue}-{\frac {1}{2}}}\right){\color {OliveGreen}+}{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{3}}{\color {blue}-{\frac {1}{4}}}\right){\color {OliveGreen}+}{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{5}}{\color {blue}-{\frac {1}{6}}}\right){\color {OliveGreen}+}\ldots {\color {OliveGreen}+}{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2n-1}}{\color {blue}-{\frac {1}{2n}}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\ldots +{\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{k=1}^{2n}(-1)^{k+1}{\frac {1}{k}}\right)\\&={\frac {1}{2}}S_{2n}\end{aligned}}

Da $(S_{N})$ gegen $S$ konvergiert, konvergiert auch die Teilfolge $(S_{2n})$ gegen $S$ . Mit den Rechenregeln für konvergente Reihen folgt daher

{\frac {1}{2}}S=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2}}S_{2n}=\lim _{n\to \infty }T_{3n}

Daraus folgt nicht unmittelbar, dass die umgeordnete Reihe $(T_{N})$ gegen ${\tfrac {1}{2}}S$ konvergiert. Allerdings können wir zu jedem $\epsilon >0$ ein $N_{1}\in \mathbb {N}$ finden, sodass

|T_{3n}-{\tfrac {1}{2}}S|<\epsilon {\text{ für alle }}n\geq N_{1}

Bezeichnen wir weiter die Glieder der umgeordneten Reihe mit $t_{k}$ , d. h. $T_{N}=\sum _{k=1}^{N}t_{k}$ . Außerdem ist $(t_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge. Daher existiert zu jedem $\epsilon >0$ ein $N_{2}\in \mathbb {N}$ mit

|T_{3n+1}-T_{3n}|=|t_{3n+1}|<\epsilon {\text{ und }}|T_{3n+2}-T_{3n}|=|t_{3n+2}+t_{3n+1}|<\epsilon {\text{ für alle }}n\geq N_{2}

Setzen wir nun ${\tilde {N}}=\max\{N_{1},N_{2}\}$ , so gilt für alle $N\geq 3{\tilde {N}}+2$ :

|T_{N}-{\tfrac {1}{2}}S|<\epsilon

denn ist

$N=3k$ , so ist $3{\tilde {N}}+2\geq 3{\tilde {N}}\geq 3N_{1}$
$N=3k+1$ , so ist $3{\tilde {N}}+2\geq 3{\tilde {N}}+1\geq 3N_{2}+1$
$N=3k+2$ , so ist $3{\tilde {N}}+2\geq 3{\tilde {N}}+2\geq 3N_{2}+2$

Dies zeigt

\lim _{N\to \infty }T_{N}={\tfrac {1}{2}}S

.

Aufgabe (Umordnung der alternierenden harmonischen Reihe)

Zeige, dass die folgende Umordnung der alternierenden harmonischen Reihe

{\color {OliveGreen}1+{\frac {1}{3}}}{\color {blue}-{\frac {1}{2}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}{\color {blue}-{\frac {1}{4}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}}{\color {blue}-{\frac {1}{6}}}{\color {OliveGreen}+}\ldots {\color {OliveGreen}+{\frac {1}{4n-3}}+{\frac {1}{4n-1}}}{\color {blue}-{\frac {1}{2n}}}\pm \ldots

gegen ${\tfrac {3}{2}}S$ konvergiert.

Hinweis: Zeige zunächst $S_{4n}+{\tfrac {1}{2}}S_{2n}=T_{3n}$ , falls $(S_{N})_{N\in \mathbb {N} }$ die Partialsummen der alternierenden harmonischen Reihe und $(T_{N})_{N\in \mathbb {N} }$ die Partialsummen der umgeordneten Reihe sind.

Beweis (Umordnung der alternierenden harmonischen Reihe)

Es gilt

{\begin{aligned}S_{4n}+{\frac {1}{2}}S_{2n}&=\sum _{k=1}^{4n}(-1)^{k+1}{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{k=1}^{2n}(-1)^{k+1}{\frac {1}{k}}\right)\\&=\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{8}}\right)+\ldots +\left({\frac {1}{4n-3}}-{\frac {1}{4n-2}}+{\frac {1}{4n-1}}-{\frac {1}{4n}}\right)\\&\quad +{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)+\ldots +{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n}}\right)\\&=\left(1{\color {Orange}-{\frac {1}{2}}}+{\frac {1}{3}}{\color {blue}-{\frac {1}{4}}}\right)+\left({\frac {1}{5}}{\color {Orange}-{\frac {1}{6}}}+{\frac {1}{7}}{\color {blue}-{\frac {1}{8}}}\right)+\ldots +\left({\frac {1}{4n-3}}{\color {Orange}-{\frac {1}{4n-2}}}+{\frac {1}{4n-1}}{\color {blue}-{\frac {1}{4n}}}\right)\\&\quad +\left({\color {Orange}{\frac {1}{2}}}{\color {blue}-{\frac {1}{4}}}\right)+\left({\color {Orange}{\frac {1}{6}}}{\color {blue}-{\frac {1}{8}}}\right)+\ldots +\left({\color {Orange}{\frac {1}{4n-2}}}{\color {blue}-{\frac {1}{4n}}}\right)\\&=\left(1+{\frac {1}{3}}{\color {blue}-{\frac {2}{4}}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}{\color {blue}-{\frac {2}{8}}}\right)+\ldots +\left({\frac {1}{4n-3}}+{\frac {1}{4n-1}}{\color {blue}-{\frac {2}{4n}}}\right)\\&=\left(1+{\frac {1}{3}}{\color {blue}-{\frac {1}{2}}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}{\color {blue}-{\frac {1}{4}}}\right)+\ldots +\left({\frac {1}{4n-3}}+{\frac {1}{4n-1}}{\color {blue}-{\frac {1}{2n}}}\right)\\&=T_{3n}\end{aligned}}

Da $(S_{N})_{N\in \mathbb {N} }$ gegen $S$ konvergiert, konvergieren auch die Teilfolgen $(S_{4n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(S_{2n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $S$ . Mit den Rechenregeln für Reihen gilt, dass $(T_{3n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $S+{\frac {1}{2}}S={\frac {3}{2}}S$ konvergiert. Mit derselben Argumentation wie oben folgt, dass $(T_{N})_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls gegen ${\frac {3}{2}}S$ konvergiert.

Warnung

Ordnet man eine konvergente Reihe um, so kann diese Umordnung gegen einen anderen Grenzwert konvergieren.

Umgeordnete Reihen können divergieren

Leider kommt es noch „schlimmer“! Wir betrachten folgendes Beispiel:

Betrachte die folgende Umordnung der alternierenden harmonischen Reihe:

{\color {blue}1}{\color {red}-{\frac {1}{2}}}{\color {blue}+{\frac {1}{3}}}{\color {red}-{\frac {1}{4}}}{\color {blue}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}{\color {red}-{\frac {1}{6}}}{\color {blue}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}}{\color {red}-{\frac {1}{8}}}{\color {blue}+}\ldots {\color {blue}+{\frac {1}{2^{n}+1}}+{\frac {1}{2^{n}+3}}+\ldots +{\frac {1}{2^{n+1}-1}}}{\color {red}-{\frac {1}{2n+2}}}\pm \ldots

Für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt

{\color {blue}{\frac {1}{2^{n}+1}}+{\frac {1}{2^{n}+3}}+\ldots +{\frac {1}{2^{n+1}-1}}}\geq \underbrace {{\frac {1}{2^{n+1}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}+\ldots +{\frac {1}{2^{n+1}}}} _{2^{n-1}{\text{-mal}}}={\frac {2^{n-1}}{2^{n+1}}}={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {2^{n-1}}{2^{n-1}}}={\frac {1}{4}}

Damit können wir die Partialsumme der umgeordneten Reihe bis zum Summanden ${\color {red}-{\tfrac {1}{2n+2}}}$ abschätzen. Der wievielte Summand ist dies? Lassen wir die ersten beiden Summanden weg, so haben wir ${1+2+4+\ldots +2^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}}{\underset {\text{Summenf.}}{\overset {\text{geom.}}{=}}}{\color {blue}2^{n}-1}$ positive Glieder. Außerdem haben wir ${\color {red}n}$ negative Glieder. Also müssen wir bis zum Glied $2^{n-1}+n+1$ aufsummieren. Für die Partialsumme $(T_{2^{n-1}+n+1})_{n\in \mathbb {N} }$ gilt daher

{\begin{aligned}T_{2^{n-1}+n+1}&={\color {blue}1}{\color {red}-{\frac {1}{2}}}{\color {blue}+\underbrace {\frac {1}{3}} _{\geq {\frac {1}{4}}}}{\color {red}-{\frac {1}{4}}}{\color {blue}+\underbrace {{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}} _{\geq {\frac {1}{4}}}}{\color {red}-{\frac {1}{6}}}{\color {blue}+\underbrace {{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}} _{\geq {\frac {1}{4}}}}{\color {red}-{\frac {1}{8}}}{\color {blue}+}\ldots {\color {blue}+\underbrace {{\frac {1}{2^{n}+1}}+{\frac {1}{2^{n}+3}}+\ldots +{\frac {1}{2^{n+1}-1}}} _{\geq {\frac {1}{4}}}}{\color {red}-{\frac {1}{2n+1}}}\\&\geq \underbrace {{\color {blue}1}{\color {red}-{\frac {1}{2}}}} _{={\frac {1}{2}}}\underbrace {{\color {blue}+{\frac {1}{4}}}{\color {red}-{\frac {1}{4}}}} _{=0}\underbrace {{\color {blue}+{\frac {1}{4}}}{\color {red}-{\frac {1}{6}}}} _{={\frac {1}{12}}}\underbrace {{\color {blue}+{\frac {1}{4}}}{\color {red}-{\frac {1}{8}}}} _{\geq {\frac {1}{12}}}{\color {blue}+}\ldots \underbrace {{\color {blue}+{\frac {1}{4}}}{\color {red}-{\frac {1}{2n+1}}}} _{\geq {\frac {1}{12}}}\\&\geq {\frac {1}{2}}+(n-1)\cdot {\frac {1}{12}}\end{aligned}}

Die Partialsumme ist somit unbeschränkt. Daher gibt es zu jedem $C>0$ ein $m=2^{n-1}+n+1\in \mathbb {N}$ mit $S_{m}\geq C$ . Damit divergiert die umgeordnete Reihe gegen $\infty$ .

Beachte also

Warnung

Ordnet man eine konvergente Reihe um, kann diese Umordnung sogar divergieren.

Umordnung von Reihen mit nichtnegativen Gliedern

Veranschaulichung an Beispiel

Bei den Beispielen von oben bestand bei den Umordnungen das Problem, dass die Reihe alternierend war. Daher konnten bei den Umordnungen so viele positive Summanden hintereinander „gepackt“ werden, dass die umgeordnete Reihe gegen einen anderen Grenzwert konvergiert bzw. sogar divergiert. Dieses Problem sollte bei Reihen mit ausschließlich positiven oder ausschließlich negativen Gliedern nicht auftreten.

Betrachten wir die konvergente Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2}}}$ . Wir wählen dieselbe Umordnung, bei der die alternierende harmonischen Reihe divergiert ist. Die umgeordnete Reihe lautet

{{\color {OliveGreen}1}{\color {red}+{\frac {1}{2^{2}}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{3^{2}}}}{\color {red}+{\frac {1}{4^{2}}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}}{\color {red}+{\frac {1}{6^{2}}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{9^{2}}}+{\frac {1}{11^{2}}}+{\frac {1}{13^{2}}}+{\frac {1}{15^{2}}}}{\color {red}+{\frac {1}{8^{2}}}}{\color {OliveGreen}+}\ldots {\color {OliveGreen}+{\frac {1}{(2^{n}+1)^{2}}}+{\frac {1}{(2^{n}+3)^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{(2^{n+1}-1)^{2}}}}{\color {red}+{\frac {1}{(2n+2)^{2}}}}\pm \ldots }

Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2}}}$ konvergiert, da die Folge der Partialsummen $(S_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=1}^{n}{\tfrac {1}{k^{2}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ beschränkt ist. Das zeigen wir im Kapitel „Beschränkte Reihen und Konvergenz“. Es gibt also ein $K>0$ , sodass $S_{n}\leq K$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist. Wenn wir daraus die Beschränktheit der Partialsummenfolge $(T_{m})_{m\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=1}^{m}a_{\sigma (k)}\right)_{m\in \mathbb {N} }$ der umgeordneten Reihe folgern könnten, dann würde auch diese konvergieren. Wenn wir also zeigen, dass es zu jedem $m\in \mathbb {N}$ ein $n\in \mathbb {N}$ gibt, sodass $T_{m}\leq S_{n}$ ist, dann folgt auch $T_{M}\leq K$ für alle $m\in \mathbb {N}$ . Dann konvergiert auch die umgeordnete Reihe.

Nun gilt $\{\sigma (1),\sigma (2),\ldots ,\sigma (m)\}\subset \mathbb {N}$ . Also hat die Menge ein Maximum. Setzen wir $n=\max\{\sigma (1),\sigma (2),\ldots ,\sigma (m)\}$ , so gilt $T_{m}\leq S_{n}$ für alle $m\in \mathbb {N}$ . Ist in unserem Beispiel etwa $m=11$ , also $T_{11}={\color {OliveGreen}1}{\color {red}+{\frac {1}{2^{2}}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{3^{2}}}}{\color {red}+{\frac {1}{4^{2}}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}}{\color {red}+{\frac {1}{6^{2}}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{9^{2}}}+{\frac {1}{11^{2}}}+{\frac {1}{13^{2}}}+{\frac {1}{15^{2}}}}$ , so ist $\{\sigma (1),\sigma (2),\ldots ,\sigma (11)\}=\{1,2,\ldots ,15\}$ . D. h. in diesem Fall ist $n=15$ , und damit $T_{11}\leq S_{15}$ .

Allgemein ist mit $(S_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ auch $(T_{m})_{m\in \mathbb {N} }$ nach oben durch $K$ beschränkt, und die umgeordnete Reihe konvergiert.

Als Nächstes fragen wir uns, ob die Umordnung gegen denselben Grenzwert wie die ursprüngliche Reihe konvergiert. Dazu überlegen wir uns zunächst, dass die ursprüngliche Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ ebenfalls eine Umordnung der umgeordneten Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}$ ist. Mit $\sigma$ ist nämlich auch $\mu =\sigma ^{-1}$ eine Bijektion von $\mathbb {N}$ nach $\mathbb {N}$ . Daraus folgt $\sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{n}a_{\sigma ^{-1}(\sigma (k))}=\sum _{k=1}^{n}a_{\mu (\sigma (k))}$ . Mit derselben Argumentation wie oben gibt es zu jedem $n\in \mathbb {N}$ ein $m'\in \mathbb {N}$ mit $S_{n}\leq T_{n'}$ . Ist $S$ der Grenzwert der ursprünglichen Reihe und $S'$ der Grenzwert der umgeordneten Reihe, folgt $S'\leq S\leq S'$ . Also sind die beiden Grenzwerte identisch.

Umordnungssatz für Reihen mit nichtnegativen Gliedern

Ganz genau wie in diesem Spezialfall können wir allgemein zeigen

Satz (Umordungssatz für Reihen mit nichtnegative Gliedern)

Sei $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ eine konvergente Reihe mit $a_{k}\geq 0$ für alle $k\in \mathbb {N}$ . Dann konvergiert auch jede Umordnung dieser Reihe gegen denselben Grenzwert.

Beweis (Umordungssatz für Reihen mit nichtnegative Gliedern)

Beweisschritt: Umgeordnete Reihe konvergiert:

Da $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert, ist die Partialsummenfolge $(S_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ beschränkt. Sei weiter $\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}$ eine beliebige Umordung der Reihe und bezeichne $T_{m}$ deren Partialsummen. Setzen wir $n=\max\{\sigma (1),\sigma (2),\ldots ,\sigma (m)\}$ , folgt $T_{m}\leq S_{n}$ für alle $m\in \mathbb {N}$ . Damit ist aber auch die Partialsummenfolge $(T_{m})_{m\in \mathbb {N} }$ beschränkt, und die Umordnung konvergiert.

Beweisschritt: Umgeordnete Reihe konvergiert gegen denselben Grenzwert:

Ist $S$ der Grenzwert der ursprünglichen Reihe und $S'$ der Grenzwert der umgeordneten Reihe, so folgt nach dem 1. Schritt $S'\leq S$ . Die ursprüngliche Reihe ist ebenfalls eine Umordnung der umgeordneten Reihe, denn mit der Bijektion $\mu =\sigma ^{-1}$ gilt $\sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{n}a_{\sigma ^{-1}(\sigma (k))}=\sum _{k=1}^{n}a_{\mu (\sigma (k))}$ . Mit derselben Argumentation wie im 1. Schritt gibt es ein $m'\in \mathbb {N}$ mit $S_{n}\leq T_{m'}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ . Damit gilt $S\leq S'$ . Also sind die beiden Grenzwerte identisch.

Hinweis

Analog konvergiert auch jede Umordnung einer konvergenten Reihe mit nichtpositiven Gliedern gegen denselben Grenzwert wie die ursprüngliche Reihe.

Unbedingte und bedingte Konvergenz

Damit definieren wir

Definition (Unbedingte und bedingte Konvergenz einer Reihe)

Eine konvergente Reihe heißt unbedingt konvergent, wenn jede Umordnung dieser Reihe gegen denselben Grenzwert konvergiert. Umgekehrt heißt eine konvergente Reihe bedingt konvergent, falls es eine Umordnung dieser Reihe gibt, die nicht gegen denselben Grenzwert konvergiert.

Beispiel (Unbedingte und bedingte Konvergenz einer Reihe)

Nach den Beispielen oben ist die alternierende harmonische Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}$ bedingt und die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}$ unbedingt konvergent.

Den Umordnungssatz von oben können wir damit auch so formulieren:

Satz (Umordungssatz für nichtnegative Reihen (Umformulierung))

Sei $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ eine konvergente Reihe mit $a_{k}\geq 0$ für alle $k\in \mathbb {N}$ . Dann konvergiert diese Reihe unbedingt.

Umordnung absolut konvergenter Reihen

Veranschaulichung an Beispiel

Die Frage ist nun, ob wir die Voraussetzungen für unseren Umordnungssatz noch verallgemeinern können. D. h. gibt es auch konvergente Reihen mit negativen Gliedern (beispielsweise alternierende), die beliebig umgeordnet werden können und dabei immer gegen denselben Grenzwert konvergieren? Die Antwort ist ja! Betrachten wir hierzu das Beispiel der alternierenden Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{k+1}}{k^{2}}}$ . Die entscheidende Eigenschaft dieser Reihe ist, dass sie absolut konvergiert, da $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2}}}$ konvergiert. Nach dem Umordnungssatz für Reihen mit nichtnegativen Gliedern aus dem vorherigen Abschnitt konvergiert damit auch jede Umordnung $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{\sigma (k)^{2}}}$ gegen denselben Grenzwert. Da jede absolut konvergente Reihe konvergiert, konvergiert auch jede Umordnung der ursprünglichen Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{\sigma (k+1)}}{\sigma (k)^{2}}}$ .

Wir müssen nun nur noch zeigen, dass jede dieser Umordnungen gegen denselben Grenzwert wie die ursprüngliche Reihe konvergiert. Dazu benutzen wir das charakteristische Kriterium für absolute Konvergenz. Dieses besagt, dass eine Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ genau dann absolut konvergiert, wenn die Reihen ihrer nichtnegativen Glieder $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{+}$ und ihrer nichtpositiven Glieder $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{-}$ konvergieren. Da jede Umordnung $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{\sigma (k+1)}}{\sigma (k)^{2}}}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}$ absolut konvergiert, konvergieren auch die Reihen $\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}^{+}$ und $\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}^{-}$ . Weiter gilt

\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}^{+}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{+}

und

\sum _{k=1}^{\infty }\underbrace {a_{\sigma (k)}^{-}} _{\leq 0}=-\left(-\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}^{-}\right)=-\sum _{k=1}^{\infty }\underbrace {-a_{\sigma (k)}^{-}} _{\geq 0}=-\sum _{k=1}^{\infty }-a_{k}^{-}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{-}

Damit folgt aber nun

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}&=\sum _{k=1}^{\infty }(a_{\sigma (k)}^{+}+a_{\sigma (k)}^{-})=\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}^{+}+\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}^{-}\\[0.3em]&=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{+}+\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{-}=\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}^{+}+a_{k}^{-})=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\end{aligned}}

Also konvergiert die umgeordnete Reihe tatsächlich gegen denselben Grenzwert.

Verständnisfrage: Wie lauten undere beiden „Teilreihen“ $\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}^{+}$ bzw. $\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}^{-}$ , im obigen Beispiel $\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}=\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{\sigma (k+1)}}{\sigma (k)^{2}}}$ ?

Es gilt

a_{k}^{+}={\begin{cases}{\frac {1}{k^{2}}}&{\text{ für ungerade }}k{\text{, d. h. }}k=2n+1\\0&{\text{ für gerade }}k\end{cases}}

und

a_{k}^{-}={\begin{cases}0&{\text{ für ungerade }}k\\-{\tfrac {1}{k^{2}}}&{\text{ für gerade }}k{\text{, d. h. }}k=2n\end{cases}}

Damit folgt

\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}^{+}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{+}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}

und

\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}^{-}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{-}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-1}{(2n)^{2}}}

Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen

Wie in unserem Beispiel können wir nun allgemein zeigen:

Satz (Umordungssatz für absolut konvergente Reihen)

Sei $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ eine absolut konvergente Reihe. Dann konvergiert auch jede Umordnung dieser Reihe gegen denselben Grenzwert.

Beweis (Umordungssatz für absolut konvergente Reihen)

Beweisschritt: Umgeordnete Reihe konvergiert:

Sei $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ eine absolut konvergente Reihe. Nach Definition konvergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|$ . Wegen $|a_{k}|\geq 0$ konvergiert nach dem Umordnungssatz für Reihen mit nicht-negativen Gliedern von oben auch jede Umordnung $\sum _{k=1}^{\infty }|a_{\sigma (k)}|$ dieser Reihe. Da jede absolut konvergente Reihe auch im gewöhnlichen Sinne konvergiert, konvergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}$ .

Beweisschritt: Umgeordnete Reihe konvergiert gegen denselben Grenzwert:

Nach dem charakteristische Kriterium für absolute Konvergenz konvergiert eine Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ genau dann absolut konvergiert, wenn die Reihen ihrer nichtnegativen Glieder $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{+}$ und ihrer nichtpositiven Glieder $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{-}$ konvergieren. Da jede Umordnung $\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}$ der Reihe nach Schritt 1 absolut konvergiert, konvergieren auch die Reihen $\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}^{+}$ und $\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}^{-}$ . Weiter gilt

\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}^{+}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{+}

und

\sum _{k=1}^{\infty }\underbrace {a_{\sigma (k)}^{-}} _{\leq 0}=-\left(-\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}^{-}\right)=-\sum _{k=1}^{\infty }\underbrace {-a_{\sigma (k)}^{-}} _{\geq 0}=-\sum _{k=1}^{\infty }-a_{k}^{-}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{-}

Damit folgt

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}&=\sum _{k=1}^{\infty }(a_{\sigma (k)}^{+}+a_{\sigma (k)}^{-})=\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}^{+}+\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}^{-}\\[0.3em]&=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{+}+\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{-}=\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}^{+}+a_{k}^{-})=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\end{aligned}}

Also konvergiert die umgeordnete Reihe gegen denselben Grenzwert.

Umordnung konvergenter, jedoch nicht absolut konvergenter Reihen

Einleitung und Veranschaulichung an Beispiel

Nun bleibt lediglich noch die Frage offen, ob umgekehrt eine unbedingt konvergente Reihe, d. h. eine Reihe, von der jede Umordnung gegen denselben Grenzwert konvergiert, auch absolut konvergent ist. Wir überlegen uns dazu die Kontraposition dieser Aussage:

Ist eine Reihe konvergent, jedoch nicht absolut konvergent, so ist diese bedingt konvergent, d. h. es gibt eine divergente Umordnung dieser Reihe.

Zunächst stellen wir fest:

Satz

Ist $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ eine konvergente, jedoch nicht absolut konvergente Reihe, so sind die Reihen $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{+}$ und $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{-}$ beide divergent.

Beweis

Beweis mittels Kontraposition: Angenommen die Reihen $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{+}$ und $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{-}$ sind nicht beide divergent.

Fall 1: $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{+}$ und $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{-}$ konvergieren

Dann konvergiert mit dem charakteristische Kriterium für absolute Konvergenz $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ absolut. Widerspruch!

Fall 2: $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{+}$ konvergiert und $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{-}$ divergiert

Dann divergiert

\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{+}+\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{-}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}

denn angenommen $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{+}$ und $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{+}+\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{-}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergieren, dann müsste auch

\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{-}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}-\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{+}

konvergieren. Also erhalten wir auch hier einen Widerspruch!

Fall 3: $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{+}$ divergiert und $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{-}$ konvergiert

Mit vertauschten Rollen von $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{+}$ und $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{-}$ führt man diese Aussage ebenfalls auf einen Widerspruch.

Diesen Satz wollen wir nun verwenden, um zu zeigen, dass es zu jeder konvergenten, jedoch nicht absolut konvergenten Reihe eine Umordnung dieser Reihe gibt, die divergiert. Dies wollen wir zunächst an unserem „Lieblingsbeispiel“, der alternierenden harmonischen Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}$ demonstrieren. Wir konstruieren eine Umordnung $\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}$ , die gegen $\infty$ divergiert. Dazu summieren wir solange positive Summanden auf, bis wir $n=1$ überschreiten. Danach summieren wir einen der negativen Summanden, und anschließend wieder genügend positive Summanden, um $n=2$ zu überschreiten. Dieses Spiel setzen wir nun beliebig fort, und erhalten so eine Umordnung, die gegen $\infty$ divergiert. Auf Grund des obigen Satzes ist es auch möglich, die Umordnung beliebig „groß“ zu machen, da wir ja wissen, dass die Reihe der positiven Glieder $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{+}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2k-1}}$ (gegen unendlich) divergiert. Konkret lautet unsere Umordnung wie folgt:

{\begin{aligned}{\color {OliveGreen}a_{1}}&{\color {OliveGreen}={\frac {1}{1}}=1=a_{\sigma (1)}}&\Longrightarrow &\sum _{k=1}^{1}a_{\sigma (k)}={\color {OliveGreen}1}\geq {\color {Blue}1}\\{\color {Red}a_{2}}&{\color {Red}=-{\frac {1}{2}}=a_{\sigma (2)}}&\Longrightarrow &\sum _{k=1}^{2}a_{\sigma (k)}={\color {OliveGreen}1}{\color {Red}-{\frac {1}{2}}}={\color {Orange}{\frac {1}{2}}}\\{\color {OliveGreen}a_{3}}&{\color {OliveGreen}={\frac {1}{3}}=a_{\sigma (3)},\ a_{5}={\frac {1}{5}}=a_{\sigma (4)},\ldots ,a_{41}={\frac {1}{41}}=a_{\sigma (22)}}&\Longrightarrow &\sum _{k=1}^{22}a_{\sigma (k)}={\color {OliveGreen}1}{\color {Red}-{\frac {1}{2}}}{\color {OliveGreen}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\ldots {\frac {1}{41}}}={\color {Blue}2{,}005\geq 2}\\a_{4}&=-{\frac {1}{4}}=a_{\sigma (23)}&\Longrightarrow &\sum _{k=1}^{23}a_{\sigma (k)}=2{,}005-{\frac {1}{4}}=1{,}7505\\a_{43}&={\frac {1}{43}}=a_{\sigma (24)},\ a_{45}={\frac {1}{45}}=a_{\sigma (25)},\ldots &\Longrightarrow &\ldots \end{aligned}}

Auf diese Weise erhalten wir zu jedem $n\in \mathbb {N}$ ein $m\in \mathbb {N}$ mit $\sum _{k=1}^{m}a_{\sigma (k)}\geq n$ . Die umgeordnete Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}$ divergiert daher (gegen unendlich).

Umkehrung des Umordnungssatzes für absolut konvergente Reihen

Dieses Konzept können wir allgemein auf bedingt divergente Reihen übertragen:

Satz

Sei $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ eine konvergente Reihe, die nicht absolut konvergiert. Dann gibt es eine Umordnung dieser Reihe, die divergiert.

Beweis

Da die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert, jedoch nicht absolut konvergiert, sind die Reihen der positiven bzw. negativen Glieder $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{+}$ bzw. $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{-}$ beide divergent, wie wir weiter oben gezeigt haben.

Wegen der Divergenz von $\sum \limits _{k=1}^{\infty }a_{k}^{+}$ gibt es daher ein $m_{1}\in \mathbb {N}$ mit

\sum \limits _{k=1}^{m_{1}}a_{k}^{+}=\sum \limits _{k=1}^{m_{1}}a_{\sigma (k)}\geq 1

Weiter gibt es wegen der Divergenz von $\sum \limits _{k=1}^{\infty }a_{k}^{-}$ ein $m_{2}\in \mathbb {N}$ mit

\sum \limits _{k=1}^{m_{1}}a_{k}^{+}+\sum _{k=1}^{m_{2}}a_{k}^{-}=\sum \limits _{k=1}^{m_{2}}a_{\sigma (k)}\leq 1

Nun gibt es ein $m_{2}\in \mathbb {N}$ mit

\sum \limits _{k=1}^{m_{2}}a_{\sigma (k)}+\sum \limits _{k=1}^{m_{3}}a_{k}^{+}\geq 2

Fahren wir so fort, so erhalten wir zu jedem $N\in \mathbb {N}$ ein $m\in \mathbb {N}$ , so dass für die umgeordnete Reihe $\sum \limits _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}$ gilt

\sum \limits _{k=1}^{m}a_{\sigma (k)}\geq N

Also divergiert die Reihe $\sum \limits _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}$ .

Hinweis

Im Beweis zum vorherigen Satz haben wir sogar gezeigt:

Ist eine Reihe konvergent, jedoch nicht absolut konvergent, so gibt es eine Umordnung dieser Reihe, die uneigentlich gegen $\infty$ konvergiert.

Mit vertauschen Rollen von $\sum \limits _{k=1}^{\infty }a_{k}^{+}$ und $\sum \limits _{k=1}^{\infty }a_{k}^{-}$ lässt sich analog zeigen:

Ist eine Reihe konvergent, jedoch nicht absolut konvergent, so gibt es eine Umordnung dieser Reihe, die uneigentlich gegen $-\infty$ konvergiert.

Allgemeine Form des Umordnungssatzes (beide Richtungen)

Nehmen wir die beiden vorangegangenen Sätze zusammen erhalten wie die allgemeinste Form des Umordnungssatzes:

Satz (Umordnungssatz - Allgemeine Form)

Es konvergiert genau dann jede Umordnung einer konvergenten Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ , wenn diese Reihe absolut konvergiert.

Anders ausgedrückt: Eine konvergente Reihe ist genau dann unbedingt konvergent, wenn sie absolut konvergent ist.

Zum Abschluss: Umordnung konvergenter Reihen gegen 42

Zum Abschluss des Kapitels zeigen wir noch, dass man eine konvergente, jedoch nicht absolut konvergente Reihe, so umordnen kann, dass sie gegen einen beliebigen Grenzwert konvergiert. Als Beispiel ordnen wir unser Lieblingsbeispiel, die alternierende harmonische Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}$ so um, dass sie gegen $42$ konvergiert.

Verständnisfrage: Wieso gerade $42$ ?

Weil das die Antwort auf die Frage „nach dem Leben, dem Universum und dem ganzen Rest“ ist! ;-)

Wie schon im Beispiel oben benutzen wir, dass die Reihe der positiven Glieder $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{+}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2k-1}}$ (gegen unendlich) divergiert.

Wir starten und wählen zunächst das kleinst mögliche $m_{1}\in \mathbb {N}$ so, dass $\sum _{k=1}^{m_{1}}a_{k}^{+}=\sum _{k=1}^{m_{1}}{\frac {1}{2k-1}}\geq 42$ ist. Für unsere Umordnung $\sigma$ bedeutet dies $\sigma (k)=2k-1$ für $1\leq k\leq m_{1}$ . Dann ist $\sum _{k=1}^{m_{1}}a_{\sigma (k)}\geq 42$ .

Nun setzen wir $\sigma (m_{1}+1)=2$ , d.h. $a_{\sigma (m_{1}+1)}=a_{2}=a_{1}^{-}=-{\frac {1}{2}}$ , der erste negative Summand der Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}$ . Dann gilt $\sum _{k=1}^{m_{1}+1}a_{\sigma (k)}=\sum _{k=1}^{m_{1}}a_{\sigma (k)}-{\frac {1}{2}}<42$ .

Anschließend wählen wir nun das kleinste $m_{2}\in \mathbb {N}$ mit $m_{2}>m_{1}$ , so dass wieder gilt $\sum _{k=1}^{m_{1}+1}a_{\sigma (k)}+\sum _{k=m_{1}+1}^{m_{2}}a_{k}^{+}\geq 42$ . Setzen wir $\sigma (k)=2(k-1)+1=2k$ für $m_{1}+1\leq k\leq m_{2}$ , so ist $\sum _{k=1}^{m_{2}}a_{\sigma (k)}\geq 42$ .

Nun setzen wir den zweiten negativen Summanden $-{\frac {1}{4}}=a_{\sigma (m_{2}+1)}$ . Damit gilt erneut $\sum _{k=1}^{m_{2}+1}a_{\sigma (k)}<42$ .

Führen wir dies nun sukzessive fort, so erhalten wir die Umordnung $\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}$ der alternierenden harmonischen Reihe mit

${\begin{aligned}a_{\sigma (k)}=(1,{\frac {1}{3}},\ldots ,{\frac {1}{2m_{1}-1}},-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2m_{1}+1}},\ldots ,{\frac {1}{2m_{2}-1}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2m_{2}+1}},\ldots ,{\frac {1}{2m_{k}-1}},-{\frac {1}{2k}},{\frac {1}{2m_{k}+1}},\ldots )\end{aligned}}$

Die so entstandene Umordnung konvergiert gegen $42$ , denn es gilt für $n\in \mathbb {N}$ :

${\begin{aligned}42-{\frac {1}{2}}&\leq \overbrace {\sum _{k=1}^{m_{1}}a_{\sigma (k)}-{\frac {1}{2}}} ^{=\sum \limits _{k=1}^{m_{1}+1}a_{\sigma (k)}}&\leq 42\leq \sum _{k=1}^{m_{1}}a_{\sigma (k)}\leq 42+{\frac {1}{2m_{1}-1}}\\42-{\frac {1}{4}}&\leq \sum _{k=1}^{m_{2}}a_{\sigma (k)}-{\frac {1}{4}}&\leq 42\leq \sum _{k=1}^{m_{2}}a_{\sigma (k)}\leq 42+{\frac {1}{2m_{2}-1}}\\&\vdots &\\42-{\frac {1}{2n}}&\leq \sum _{k=1}^{m_{n}}a_{\sigma (k)}-{\frac {1}{2n}}&\leq 42\leq \sum _{k=1}^{m_{n}}a_{\sigma (k)}\leq 42+{\frac {1}{2m_{n}-1}}\end{aligned}}$

Für $n\to \infty$ gilt $m_{n}\to \infty$ und daher folgt mit dem Sandwichsatz:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }a_{\sigma (k)}=42\end{aligned}}$

Weitere Übungen zur Umordnung von Reihen befinden sich im Kapitel Aufgaben zu Reihen.

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