e-Reihe – Mathe für Nicht-Freaks

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Die -Reihe hat die Form . Wir werden sehen, dass sie konvergiert und als Grenzwert die Eulersche Zahl hat, die wir im Anwendungsbeispiel für das Monotoniekriterium für Folgen kennengelernt haben. Diese hatten wir als Grenzwert der Folgen und definiert. Wir werden in diesem Kapitel daher zeigen, was alles andere als offensichtlich ist. Bei der -Reihe handelt es sich um einen Spezialfall der Exponentialreihe , die wir später untersuchen werden.

Konvergenz der e-Reihe[Bearbeiten]

Zunächst zeigen wir, dass die Reihe überhaupt konvergiert. Über den Grenzwert machen wir uns danach Gedanken.

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Satz (Konvergenz der e-Reihe)

Die Reihe konvergiert.

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Beweis (Konvergenz der e-Reihe)

Für die Konvergenz müssen wir zeigen, dass die Folge der Partialsummen konvergiert. Dazu verwenden wir das Monotoniekriterium für Folgen, indem wir zeigen, dass monoton steigend und nach oben beschränkt ist.

Die Monotonie ist hier ganz einfach. Da alle Summanden positiv sind, gilt

Also ist monoton wachsend.

Für die Beschränktheit schätzen wir die Reihe nach oben durch eine geometrische Reihe mit ab, da wir von dieser ja wissen, dass sie konvergiert, und daher beschränkt ist. Nun gilt

Also ist nach oben durch beschränkt. Nach dem Monotoniekriterium konvergiert also die Reihe.

Grenzwert der e-Reihe[Bearbeiten]

Nun zeigen wir, dass die -Reihe tatsächlich gegen die Eulersche Zahl konvergiert. Dazu benutzen wir den Sandwichsatz, indem wir die Folge der Partialsummen zwischen den beiden Folgen und "einquetschen". Da diese beide gegen konvergieren, folgt somit die Behauptung.

Wir müssen also zeigen:

Blue pen icon.svg

Satz (Grenzwert der e-Reihe)

Es gilt .

Applications-office.svg

Beweis (Grenzwert der e-Reihe)

Wir zeigen

und nutzen dann den Sandwichsatz:

1. Ungleichung: . Diese ist einfacher als die Zweite. Für beide benötigen wir den Binomischen Lehrsatz mit .

2. Ungleichung: . Für diese benötigen wir noch zusätzlich die Bernoulli-Ungleichung für . Außerdem wird am Ende der Ungleichung eine Teleskopsumme auftreten.

Also haben wir gezeigt. Da , folgt mit dem Sandwichsatz auch .

Bemerkungen[Bearbeiten]

  • Alternativ lässt sich auch zeigen, woraus dann ebenfalls folgt.
  • Deweiteren bilden die Folgen und eine Intervallschachtellung , deren Schnittelement ist.
  • Der Vorteil der -Reihe im Vergleich zur -Folge ist, dass die Reihe wesentlich schneller gegen die eulersche Zahl konvergiert. Beispielsweise stimmt schon auf 7 Nachkommastellen mit überein, während erst auf 2 Nachkommastellen übereinstimmt.

Ausblick: Exponentialreihe[Bearbeiten]

Wie in der Einleitung schon angekündigt werden wir später noch die Exponentialreihe behandeln. Wir werden zeigen, dass diese für alle konvergiert. Daher wird über diese auch die reelle (sogar komplexe) Exponentialfunktion definiert. Dass diese auch tatsächlich die aus der Schule bekannten Eigenschaften besitzt, muss natürlich noch gezeigt werden. Mit dem Grenzwert der -Reihe können wir dann folgern: