e-Reihe – „Mathe für Nicht-Freaks“

Die $e$-Reihe hat die Form $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}$. Wir werden sehen, dass sie konvergiert und als Grenzwert die Eulersche Zahl $e$ hat, die wir im Anwendungsbeispiel für das Monotoniekriterium für Folgen kennengelernt haben. Diese hatten wir als Grenzwert der Folgen $((1+\frac{1}{n}{)}^n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $((1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}{)}_{n\in \mathbb{N}}$ definiert. Wir werden in diesem Kapitel daher $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}=e=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}$ zeigen, was alles andere als offensichtlich ist. Bei der $e$-Reihe handelt es sich um einen Spezialfall der Exponentialreihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}$, die wir später untersuchen werden.

Konvergenz der e-Reihe

Zunächst zeigen wir, dass die Reihe überhaupt konvergiert. Über den Grenzwert machen wir uns danach Gedanken.

Satz (Konvergenz der e-Reihe)

Die Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}$ konvergiert.

Beweis (Konvergenz der e-Reihe)

Für die Konvergenz müssen wir zeigen, dass die Folge der Partialsummen $(s_n{)}_{n\in \mathbb{N}}={\left(\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert. Dazu verwenden wir das Monotoniekriterium für Folgen, indem wir zeigen, dass $(s_n)$ monoton steigend und nach oben beschränkt ist.

Die Monotonie ist hier ganz einfach. Da alle Summanden positiv sind, gilt

$s_{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}\frac{1}{k!}=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}+\underset{\ge 0}{\underbrace{\frac{1}{(n+1)!}}}\ge \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}=s_n$

Also ist $(s_n)$ monoton wachsend.

Für die Beschränktheit schätzen wir die Reihe nach oben durch eine geometrische Reihe mit $q=\frac{1}{2}<1$ ab, da wir von dieser ja wissen, dass sie konvergiert, und daher beschränkt ist. Nun gilt

$\begin{array}{cc}\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}& =\sum _{k=0}^n\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot (k-1)\cdot k}\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{1}{2\cdot 3\cdot \dots \cdot (k-1)\cdot k}\\ & \downarrow \frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots \frac{1}{k-1},\frac{1}{k}\le \frac{1}{2}\\ & \le \sum _{k=0}^n\underset{(k-1)\text{-mal}}{\underbrace{\frac{1}{2\cdot 2\cdot \dots \cdot 2\cdot 2}}}\\ & =\sum _{k=0}^n{\left(\frac{1}{2}\right)}^{k-1}\\ & =2\cdot \sum _{k=0}^n{\left(\frac{1}{2}\right)}^k\\ & \le 2\cdot \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2}\right)}^k\\ & \downarrow \text{geometrische Reihe mit }q=\frac{1}{2}\\ & =2\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2}}\\ & =2\cdot 2=4\end{array}$

Also ist $(s_n)$ nach oben durch $4$ beschränkt. Nach dem Monotoniekriterium konvergiert also die Reihe.

Grenzwert der e-Reihe

Nun zeigen wir, dass die $e$-Reihe tatsächlich gegen die Eulersche Zahl konvergiert. Dazu benutzen wir den Sandwichsatz, indem wir die Folge der Partialsummen $(s_n{)}_{n\in \mathbb{N}}={\left(\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ zwischen den beiden Folgen $((1+\frac{1}{n}{)}^n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $((1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}{)}_{n\in \mathbb{N}}$ "einquetschen". Da diese beide gegen $e$ konvergieren, folgt somit die Behauptung.

Wir müssen also zeigen:

$(1+\frac{1}{n}{)}^n\le \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\le (1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}$

Satz (Grenzwert der e-Reihe)

Es gilt $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}=e$.

Beweis (Grenzwert der e-Reihe)

Wir zeigen

$(1+\frac{1}{n}{)}^n\le \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\le (1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}$

und nutzen dann den Sandwichsatz:

1. Ungleichung: $(1+\frac{1}{n}{)}^n\le \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}$. Diese ist einfacher als die Zweite. Für beide benötigen wir den Binomischen Lehrsatz $(1+x{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k$ mit $x=\frac{1}{n}$.

$\begin{array}{cc}{(1+\frac{1}{n})}^n& \underset{\text{Lehrsatz}}{\stackrel{\text{Binomischer}}{=}}\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{1}{n^k}\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \dots \cdot (n-k+1)}{k!}\cdot \frac{1}{n^k}\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \dots \cdot (n-k+1)}{n\cdot n\cdot n\cdot \dots \cdot n}\cdot \frac{1}{k!}\\ & =\sum _{k=0}^n\underset{\le 1}{\underbrace{\frac{n}{n}\cdot \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-2}{n}\cdot \dots \cdot \frac{n-k+1}{n}}}\cdot \frac{1}{k!}\\ & \le \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\end{array}$

2. Ungleichung: $(1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}\ge \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}$. Für diese benötigen wir noch zusätzlich die Bernoulli-Ungleichung $(1+x{)}^n\ge 1+nx$ für $x\ge -1$. Außerdem wird am Ende der Ungleichung eine Teleskopsumme auftreten.

$\begin{array}{cc}{(1+\frac{1}{n})}^{n+1}& \underset{\text{Lehrsatz}}{\stackrel{\text{Binomischer}}{=}}\sum _{k=0}^{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})\frac{1}{n^k}\\ & =1+\sum _{k=1}^{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})\frac{1}{n^k}\\ & \downarrow \text{Indexverschiebung}\\ & =1+\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1})\frac{1}{n^{k+1}}\\ & =1+\sum _{k=0}^n\frac{(n+1)\cdot n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot (n-k+1)}{(k+1)!}\cdot \frac{1}{n^{k+1}}\\ & =1+\sum _{k=0}^n\frac{(n+1)\cdot n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot (n-(k-1))}{n\cdot n\cdot n\cdot \dots \cdot n}\cdot \frac{1}{(k+1)!}\\ & \downarrow n+1,n,n-1,\dots n-(k-1)\ge n-(k-1)\\ & \ge 1+\sum _{k=0}^n\frac{(n-(k-1){)}^{k+1}}{n^{k+1}}\cdot \frac{1}{(k+1)!}\\ & =1+\sum _{k=0}^n{(1-\frac{k-1}{n})}^{k+1}\cdot \frac{1}{(k+1)!}\\ & \downarrow \text{Bernoulli-Ungleichung mit }x=-\frac{k-1}{n}\ge -1\\ & \ge 1+\sum _{k=0}^n(1-\frac{(k+1)(k-1)}{n})\cdot \frac{1}{(k+1)!}\\ & \downarrow \text{Linearität der Summe}\\ & =1+\sum _{k=0}^n\frac{1}{(k+1)!}-\frac{1}{n}\sum _{k=0}^n\frac{(k+1)(k-1)}{(k+1)!}\\ & \downarrow \text{Indexverschiebung bei 1.Summe, Kürzen in 2.Summe}\\ & =1+\sum _{k=1}^{n+1}\frac{1}{k!}-\frac{1}{n}\sum _{k=0}^n\frac{(k-1)}{k!}\\ & \downarrow 1=\frac{1}{1!}\text{ und Herauziehen des }n+1\text{-ten Summanden der Summanden für }k=0\text{ und }k=1\text{ der 2. Summe.}\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}+\underset{\ge 0}{\underbrace{\frac{1}{(n+1)!}}}-\frac{1}{n}[-1+0+\sum _{k=2}^n\frac{(k-1)}{k!}]\\ & \downarrow \text{Auseinanderziehen des Bruchs in der 2. Summe und }\frac{k}{k!}=\frac{1}{(k-1)!}\\ & \ge \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}-\frac{1}{n}[-1+\sum _{k=2}^n(\frac{1}{(k-1)!}-\frac{1}{k!})]\\ & \downarrow \text{2. Summe ist Telekopsumme }\sum _{k=2}^n(\frac{1}{(k-1)!}-\frac{1}{k!})=1-\frac{1}{n!}\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}-\frac{1}{n}[-1+1-\frac{1}{n!}]\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}+\underset{\ge 0}{\underbrace{\frac{1}{n\cdot n!}}}\\ & \ge \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\end{array}$

Also haben wir $(1+\frac{1}{n}{)}^n\le \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\le (1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}$ gezeigt. Da $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}=e$, folgt mit dem Sandwichsatz auch $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}=e$.

Bemerkungen

• Alternativ lässt sich auch $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\le e\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}$ zeigen, woraus dann ebenfalls $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}=e$ folgt.
• Des Weiteren bilden die Folgen $a_n=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}$ und $b_n=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}+\frac{1}{n\cdot n!}$ eine Intervallschachtellung $(I_n{)}_{n\in \mathbb{N}}=([a_n,b_n]{)}_{n\in \mathbb{N}}$, deren Schnittelement $e$ ist.
• Der Vorteil der $e$-Reihe im Vergleich zur $e$-Folge ist, dass die Reihe wesentlich schneller gegen die eulersche Zahl konvergiert. Beispielsweise stimmt $\sum _{k=0}^{10}\frac{1}{k!}\approx 2.7182818011$ schon auf 7 Nachkommastellen mit $e=2.718281828$ überein, während ${(1+\frac{1}{1000})}^{1000}=2.7169239$ erst auf 2 Nachkommastellen übereinstimmt.

Ausblick: Exponentialreihe

Wie in der Einleitung schon angekündigt werden wir später noch die Exponentialreihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}$ behandeln. Wir werden zeigen, dass diese für alle $x\in ℝ$ konvergiert. Daher wird über diese auch die reelle (sogar komplexe) Exponentialfunktion $\exp :ℝ\to ℝ$ definiert. Dass diese auch tatsächlich die aus der Schule bekannten Eigenschaften besitzt, muss natürlich noch gezeigt werden. Mit dem Grenzwert der $e$-Reihe können wir dann folgern:

$\exp (1)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1^k}{k!}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}=e$