Geometrische Reihe – Mathe für Nicht-Freaks

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Die geometrische Reihe hat die Form . Sie ist eine wichtige Reihe, die dir häufig in Beweisen und Herleitungen begegnen wird. Außerdem kann man mit der geometrischen Reihe Konvergenzkritierien wie das Quotienten- oder das Wurzel-Kriterium beweisen.

Geometrische Summenformel[Bearbeiten]

Wir wiederholen die geometrische Summenformel. Mit dieser Formel können wir die Partialsummen der geometrischen Reihe explizit ausrechnen. Wenn du mehr über die geometrische Summenformel wissen möchtest, dann schau im Kapitel „Geometrische Summenformel“ vorbei. Dort findest du auch einen Beweis der geometrischen Summenformel mit vollständiger Induktion. Beweisen wir nun die geometrische Summenformel:

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Satz (Geometrische Summenformel)

Für alle reellen ist

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Beweis (Geometrische Summenformel)

Es ist

Geometrische Reihe[Bearbeiten]

Wir betrachten zwei Fälle: .

Song über die geometrische Reihe (Youtube-Video von DorFuchs)
Die geometrische Reihe für , oder konvergiert.

Fall [Bearbeiten]

Kommen wir zur geometrischen Reihe . Wir betrachten zunächst den Fall und damit , da wir nur in diesem Fall die geometrische Summenformel anwenden können. Mit dieser Formel können wir die Partialsumme explizit berechnen. Wir erhalten:

Die geometrische Reihe konvergiert also genau dann, wenn die Folge konvergiert. Dies ist genau dann der Fall, wenn eine konvergente Folge ist. Nun wissen wir, dass gegen konvergiert, wenn ist, und gegen konvergiert, wenn ist. Den Fall haben wir in diesem Abschnitt aber ausgeschlossen. Damit erhalten wir zunächst:

Wenn ist, dann konvergiert die geometrische Reihe .

Berechnen wir nun den Grenzwert der geometrischen Reihe für :

Alternativ lässt sich die Konvergenz der geometrischen Reihe für auch direkt mit der Definition beweisen.

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Aufgabe (Alternativer Beweis für die Konvergenz der geometrischen Reihe)

Zeige, dass die geometrische Reihe für gegen konvergiert.

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Wie kommt man auf den Beweis? (Alternativer Beweis für die Konvergenz der geometrischen Reihe)

Wir müssen zeigen, dass es zu jedem ein gibt, so dass

für alle

Mit der geometrischen Summenformel gilt nun

Da die geometrische Folge für gegen Null konvergiert, gilt dies auch für . Also gibt es zu jedem ein mit

für alle

Weil konstant ist, gibt es auch ein mit

für alle

Damit folgt die Behauptung.

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Beweis (Alternativer Beweis für die Konvergenz der geometrischen Reihe)

Sei gegeben. Die geometrische Folge konvergiert für gegen null. Wegen gibt es für ein mit

für alle

Mit der geometrischen Summenformel folgt dann für alle

Somit folgt für den Grenzwert der Reihe: .

Fall [Bearbeiten]

Bei gilt für alle , dass . Also ist die Folge keine Nullfolge. Damit divergiert die Reihe nach dem sogenannten Trivialkriterium, das wir später noch genauer betrachten.

Um die Divergenz zu veranschaulichen, betrachten wir den Fall für ein positives , also . So folgt für alle . Damit können wir die Partialsummen abschätzen: Also ist die Folge der Partialsummen durch die Folge nach unten beschränkt. Da divergiert, divergiert auch die Reihe als Folge der Partialsummen.

Zusammenfassung[Bearbeiten]

Fassen wir das bereits Bewiesene zusammen: Für , und divergiert die geometrische Reihe. Diese drei Fälle können wir in der Bedingung zusammenfassen. Für den Fall konvergiert die geometrische Reihe und hat als Grenzwert :

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Satz (Geometrische Reihe)

Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn ist. Sie hat dann den Wert :

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Beispiel (Geometrische Reihe)

Für , und gilt

Beispielaufgaben[Bearbeiten]

Beispielaufgabe 1[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

eine weitere Aufgabe

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Aufgabe (Beispiele geometrischer Reihen)

Berechne die Grenzwerte folgender Reihen:

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Lösung (Beispiele geometrischer Reihen)

Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2:

Teilaufgabe 3:

Teilaufgabe 4:

Illustration für

Man beachte, dass diese Reihe bei 1 und nicht bei 0 beginnt! Dementsprechend müssen wir die Reihe zuerst umformen, bevor wir die obige Formel anwenden können:

Teilaufgabe 5:

Bei dieser Reihe führen wir zunächst eine Indexverschiebung durch und formen anschließend um:

Beispielaufgabe 2[Bearbeiten]

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Aufgabe (Verschiebung des Startindex in geometrischer Reihe)

Sei mit . Bestimme Formeln für die Reihen

  1. für
Applications-office.svg

Lösung (Verschiebung des Startindex in geometrischer Reihe)

Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2:

Teilaufgabe 3:

Für und gilt