Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Die geometrische Reihe hat die Form . Sie ist eine wichtige Reihe, die dir häufig in Beweisen und Herleitungen begegnen wird. Außerdem kann man mit der geometrischen Reihe Konvergenzkritierien wie das Quotienten- oder das Wurzelkriterium beweisen.

Geometrische Summenformel[Bearbeiten]

Ein Video zur Erklärung der Geometrischen Reihe.(YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Wir wiederholen die geometrische Summenformel. Mit dieser Formel können wir die Partialsummen der geometrischen Reihe explizit ausrechnen. Wenn du mehr über die geometrische Summenformel wissen möchtest, dann schau im Kapitel „Geometrische Summenformel“ vorbei. Dort findest du auch einen Beweis der geometrischen Summenformel mit vollständiger Induktion. Beweisen wir nun die geometrische Summenformel:

Satz (Geometrische Summenformel)

Für alle reellen und für alle ist:

Beweis (Geometrische Summenformel)

Es ist

Geometrische Reihe[Bearbeiten]

Song über die geometrische Reihe (Youtube-Video von DorFuchs)
Die geometrische Reihe für , oder konvergiert.

Wir betrachten zwei Fälle: .

Fall [Bearbeiten]

Kommen wir zur geometrischen Reihe . Wir betrachten zunächst den Fall und damit , da wir nur in diesem Fall die geometrische Summenformel anwenden können. Mit dieser Formel können wir die Partialsumme explizit berechnen. Wir erhalten:

Die geometrische Reihe konvergiert also genau dann, wenn die Folge konvergiert. Dies ist genau dann der Fall, wenn eine konvergente Folge ist. Nun wissen wir, dass gegen konvergiert, wenn ist, und gegen konvergiert, wenn ist. Den Fall haben wir in diesem Abschnitt aber ausgeschlossen. Damit erhalten wir zunächst:

Wenn ist, dann konvergiert die geometrische Reihe .

Berechnen wir nun den Grenzwert der geometrischen Reihe für :

Alternativ lässt sich die Konvergenz der geometrischen Reihe für auch direkt mit der Definition beweisen.

Aufgabe (Alternativer Beweis für die Konvergenz der geometrischen Reihe)

Zeige, dass die geometrische Reihe für gegen konvergiert.

Wie kommt man auf den Beweis? (Alternativer Beweis für die Konvergenz der geometrischen Reihe)

Wir müssen zeigen, dass es zu jedem ein gibt, so dass

für alle

Mit der geometrischen Summenformel gilt nun

Da die geometrische Folge für gegen Null konvergiert, gilt dies auch für . Also gibt es zu jedem ein mit

für alle

Weil konstant ist, gibt es auch ein mit

für alle

Damit folgt die Behauptung.

Beweis (Alternativer Beweis für die Konvergenz der geometrischen Reihe)

Sei gegeben. Die geometrische Folge konvergiert für gegen null. Wegen gibt es für ein mit

für alle

Mit der geometrischen Summenformel folgt dann für alle

Somit folgt für den Grenzwert der Reihe: .

Fall [Bearbeiten]

Bei gilt für alle , dass . Also ist die Folge keine Nullfolge. Damit divergiert die Reihe nach dem sogenannten Trivialkriterium, das wir später noch genauer betrachten.

Um die Divergenz zu veranschaulichen, betrachten wir den Fall für ein positives , also . So folgt für alle . Damit können wir die Partialsummen abschätzen: Also ist die Folge der Partialsummen durch die Folge nach unten beschränkt. Da divergiert, divergiert auch die Reihe als Folge der Partialsummen.

Zusammenfassung[Bearbeiten]

Fassen wir das bereits Bewiesene zusammen: Für , und divergiert die geometrische Reihe. Diese drei Fälle können wir in der Bedingung zusammenfassen. Für den Fall konvergiert die geometrische Reihe und hat als Grenzwert :

Satz (Geometrische Reihe)

Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn ist. Sie hat dann den Wert :

Beispiel (Geometrische Reihe)

Für , und gilt

Beispielaufgaben[Bearbeiten]

Beispielaufgabe 1[Bearbeiten]

Aufgabe (Beispiele geometrischer Reihen)

Berechne die Grenzwerte folgender Reihen:

Lösung (Beispiele geometrischer Reihen)

Lösung Teilaufgabe 1:

Lösung Teilaufgabe 2:

Lösung Teilaufgabe 3:

Lösung Teilaufgabe 4:

Illustration für

Man beachte, dass diese Reihe bei 1 und nicht bei 0 beginnt! Dementsprechend müssen wir die Reihe zuerst umformen, bevor wir die obige Formel anwenden können:

Lösung Teilaufgabe 5:

Bei dieser Reihe führen wir zunächst eine Indexverschiebung durch und formen anschließend um:

Beispielaufgabe 2[Bearbeiten]

Aufgabe (Sonderfälle geometrischer Reihen)

Seien mit und . Finde Formeln für die geometrischen Reihen

  1. und
  2. und
  3. und

Lösung (Sonderfälle geometrischer Reihen)

Lösung Teilaufgabe 1:

und

Lösung Teilaufgabe 2:

und

Lösung Teilaufgabe 3:

und

Beispielaufgabe 3[Bearbeiten]

Aufgabe (Verschiebung des Startindex in geometrischer Reihe)

Sei mit . Bestimme eine Formel für jede der folgenden drei Reihen

  1. für

Lösung (Verschiebung des Startindex in geometrischer Reihe)

Lösung Teilaufgabe 1:

Lösung Teilaufgabe 2:

Lösung Teilaufgabe 3:

Für und gilt

Beispielaufgabe 4[Bearbeiten]

Aufgabe (Reihen, die mit der geometrischen Reihe verwandt sind)

Löse folgende drei Aufgaben:

  1. Zeige für alle reellen und die Äquivalenz
  2. Zeige für alle mit die Äquivalenz
  3. Berechne die Reihen und

Lösung (Reihen, die mit der geometrischen Reihe verwandt sind)

Lösung Teilaufgabe 1:

Die Aussage ist für alle und äquivalent zu

Die linke Seite lässt sich nun wie folgt in die rechte umrechnen:

.

Alternativ lässt sich die zu zeigende Äquivalenz direkt rekonstruieren, indem man wie beim Beweis der geometrischen Summelformel vorgeht, nämlich:

Lösung Teilaufgabe 2:

Im Kapitel Beispiele von Grenzwerten hatten wir für gezeigt. Aus den Grenzwertregeln folgt damit und . Daher ist

Lösung Teilaufgabe 3:

Mit der Formel aus Teilaufgabe 2 ergibt sich für :

Weiter gilt

Alternative Lösung:

Hinweis

Genau wie in Teilaufgabe 3 lässt sich allgemein für zeigen: