Teleskopsumme und Teleskopreihe – Mathe für Nicht-Freaks

Teleskopreihen sind spezielle Reihen, bei denen sich die Summanden zum Teil gegenseitig aufheben. Dadurch ist es bei Teleskopreihen einfacher als bei anderen Reihen, ihr Konvergenzverhalten und ihren Grenzwert zu bestimmen.

Teleskopsumme

Einstiegsbeispiel

Betrachten wir die Summe

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{6}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)&=\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{1+1}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2+1}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3+1}}\right)+\left({\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4+1}}\right)+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{5+1}}\right)+\left({\frac {1}{6}}-{\frac {1}{6+1}}\right)\\[0.3em]&=\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}\right)+\left({\frac {1}{6}}-{\frac {1}{7}}\right)\end{aligned}}$

Natürlich könnten wir die Klammern jetzt nacheinander ausrechnen, und anschließend aufsummieren. Dies ist per Hand jedoch recht aufwendig. Daher ist die Frage, ob es nicht eine leichtere/schnellere Methode gibt diese Summe zu berechnen. Sehen wir uns die die Summe nochmal genauer an:

$\left(1{\color {Red}-{\frac {1}{2}}}\right)+\left({\color {Red}{\frac {1}{2}}}{\color {Orange}-{\frac {1}{3}}}\right)+\left({\color {Orange}{\frac {1}{3}}}{\color {Olive}-{\frac {1}{4}}}\right)+\left({\color {Olive}{\frac {1}{4}}}{\color {Blue}-{\frac {1}{5}}}\right)\left({\color {Blue}{\frac {1}{5}}}{\color {Purple}-{\frac {1}{6}}}\right)+\left({\color {Purple}{\frac {1}{6}}}-{\frac {1}{7}}\right)$

Wir erkennen, dass sich die benachbarten gleichfarbigen Terme immer gegenseitig aufheben. Durch Verschiebung der Klammern, d.h. mehrfache Anwendung des Assoziativgesetzes, erhalten wir

${\begin{aligned}&1+{\color {Red}\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}+{\color {Orange}\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)}+{\color {Olive}\left(-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)}+{\color {Blue}\left(-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{5}}\right)}+{\color {Purple}\left(-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}\right)}-{\frac {1}{7}}\\[0.3em]=&1+{\color {Red}0}+{\color {Orange}0}+{\color {Olive}0}+{\color {Blue}0}+{\color {Purple}0}-{\frac {1}{7}}\\[0.3em]=&1-{\frac {1}{7}}\\[0.3em]=&{\frac {6}{7}}\end{aligned}}$

Dieser Umformungstrick hat uns nun die Berechnung der Summe deutlich vereinfacht. Natürlich können wir diesen Trick nicht nur bei sieben, sondern auch bei beliebig vielen Summanden anwenden. Für $n\in \mathbb {N}$ gilt

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)&=\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{1+1}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2+1}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3+1}}\right)+\ldots +\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right)+\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\[0.3em]=\ &\left(1{\color {Red}-{\frac {1}{2}}}\right)+\left({\color {Red}{\frac {1}{2}}}{\color {Orange}-{\frac {1}{3}}}\right)+\left({\color {Orange}{\frac {1}{3}}}{\color {Olive}-{\frac {1}{4}}}\right)+\ldots +\left({\color {Blue}{\frac {1}{n-1}}}{\color {Purple}-{\frac {1}{n-1}}}\right)+\left({\color {Purple}{\frac {1}{n}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\[0.3em]=\ &1+{\color {Red}\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}+{\color {Orange}\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)}+{\color {Olive}\left(-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)}+\ldots +{\color {Blue}\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right)}+{\color {Purple}\left(-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\right)}-{\frac {1}{n+1}}\\[0.3em]=\ &1+{\color {Red}0}+{\color {Orange}0}+{\color {Olive}0}+\ldots +{\color {Blue}0}+{\color {Purple}0}-{\frac {1}{n+1}}\\[0.3em]=\ &1-{\frac {1}{n+1}}\end{aligned}}$

Wir haben nun das Prinzip einer Teleskopsumme kennengelernt. Durch das geschickte gegenseitige „Wegheben“ fast aller Summanden entsteht eine Summe, dies sich leicht berechnen lässt. Dieses Konzept wollen wir nun verallgemeinern.

Allgemeine Einführung

Mediendatei abspielen

Teleskopsumme: Definition und Erklärung (YouTube-Video vom YouTube-Kanal „MJ Education“)

Zusammenschieben von Teleskopen: Namensgeber der Teleskopsumme

Zusammenschiebbares Fernrohr

Eine Teleskopsumme ist eine Summe der Form $\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1})$. Hier heben sich benachbarte Summanden zum Teil auf. Man erhält

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1})&=(a_{1}{\color {Red}-a_{2}})+({\color {Red}a_{2}}{\color {Orange}-a_{3}})+({\color {Orange}a_{3}}{\color {Olive}-a_{4}})\ldots +({\color {Blue}a_{n-1}}{\color {Purple}-a_{n}})+({\color {Purple}a_{n}}-a_{n+1})\\&=a_{1}+{\color {Red}(-a_{2}+a_{2})}+{\color {Orange}(-a_{3}+a_{3})}+{\color {Olive}(-a_{4}+a_{4})}+\ldots +{\color {Blue}(-a_{n-1}+a_{n-1})}+{\color {Purple}(-a_{n}+a_{n})}-a_{n+1}\\&=a_{1}+{\color {Red}0}+{\color {Orange}0}+\ldots +{\color {Blue}0}+{\color {Purple}0}-a_{n+1}\\&=a_{1}-a_{n+1}\end{aligned}}$

Durch eine analoge Rechnung bekommt man

$\sum _{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_{k})=a_{n+1}-a_{1}$

Aufgabe

Zeige $\sum _{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_{k})=a_{n+1}-a_{1}$.

Lösung

Es gilt

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_{k})&=({\color {Red}a_{2}}-a_{1})+({\color {Orange}a_{3}}{\color {Red}-a_{2}})+({\color {Olive}a_{4}}{\color {Orange}-a_{3}})\ldots +({\color {Purple}a_{n}}{\color {Blue}-a_{n-1}})+(a_{n+1}{\color {Purple}-a_{n}})\\&=(-a_{1}{\color {Red}+a_{2}})+({\color {Red}-a_{2}}{\color {Orange}+a_{3}})++({\color {Orange}-a_{3}}{\color {Olive}+a_{4}})\ldots +({\color {Blue}-a_{n-1}}{\color {Purple}+a_{n}})+({\color {Purple}-a_{n}}+a_{n+1})\\&=-a_{1}+{\color {Red}(-a_{2}+a_{2})}+{\color {Orange}(-a_{3}+a_{3})}+{\color {Olive}(-a_{4}+a_{4})}+\ldots +{\color {Blue}(-a_{n-1}+a_{n-1})}+{\color {Purple}(-a_{n}+a_{n})}+a_{n+1}\\&=-a_{1}+{\color {Red}0}+{\color {Orange}0}+\ldots +{\color {Blue}0}+{\color {Purple}0}+a_{n+1}\\&=a_{n+1}-a_{1}\end{aligned}}$

Der Name leitet sich vom Zusammenschieben von Teleskopen ab, die aus einzelnen Rohren aufgebaut sind.

Definition und Satz

Fassen wir zusammen:

Definition (Teleskopsumme)

Eine Teleskopsumme ist eine Summe der Form $\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1})$ beziehungsweise $\sum _{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_{k})$.

Satz (Wert der Teleskopsumme)

Es ist:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1})&=a_{1}-a_{n+1}\\[0.5em]\sum _{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_{k})&=a_{n+1}-a_{1}\end{aligned}}$

Beispiel (Teleskopsumme)

Bei unserem Einstiegsbeispiel waren $a_{k}={\tfrac {1}{k}}$ und $a_{k+1}={\tfrac {1}{k+1}}$.

$\sum _{k=1}^{n}({\tfrac {1}{k}}-{\tfrac {1}{k+1}})={\tfrac {1}{1}}-{\tfrac {1}{n+1}}=1-{\tfrac {1}{n+1}}$

Ebenso gilt

$\sum _{k=1}^{n}({\tfrac {1}{k+1}}-{\tfrac {1}{k}})={\tfrac {1}{n+1}}-1$

Partialbruchzerlegung

Leider ist es in der Praxis so, dass man vielen Summen zunächst nicht ansieht, dass es sich um Teleskopsummen handelt. Betrachten wir dazu das Beispiel

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\ldots +{\frac {1}{(n-1)n}}+{\frac {1}{n(n+1)}}$

Diese Summe sieht zunächst überhaupt nicht nach einer Teleskopsumme aus. Durch einen „Rechnenkniff“ lässt sie sich jedoch in eine Teleskopsumme umformen. Für alle $k\in \mathbb {N}$ gilt

${\frac {1}{k(k+1)}}={\frac {1+(k-k)}{k(k+1)}}={\frac {(k+1)-k}{k(k+1)}}={\frac {k+1}{k(k+1)}}-{\frac {k}{k(k+1)}}={\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}$

Damit ist

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)$

Die Summe entspricht also der Teleskopsumme aus dem Einstiegsbeispiel. Wer hätte das gedacht?! ;-) Die Umformung ${\tfrac {1}{k(k+1)}}={\tfrac {1}{k}}-{\tfrac {1}{k+1}}$ nennt man eine Partialbruchzerlegung. Sie ist häufig ein nützliches Mittel, um eine Summe in eine Teleskopsumme überzuführen.

Teleskopreihe

Jetzt übertragen wir die Idee einer Teleskopsumme auf Reihen. Wir setzen das Beispiel zu Teleskopsummen fort.

Einstiegsbeispiel

Wir betrachten nun die Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}=\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$

Wir haben bereits gesehen, dass für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)=1-{\frac {1}{n+1}}$

Damit folgt unmittelbar für den Grenzwert der Reihe

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}&=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}\\[0.3em]&=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)\\[0.3em]&=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n+1}}\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Rechenregeln für Grenzwerte}}\right.}\\[0.3em]&=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n+1}}\\[0.3em]&=1-0\\[0.3em]&=1\end{aligned}}$

Auch dieses Konzept der Teleskopreihe wollen wir verallgemeinern.

Allgemeine Einführung

Teleskopreihen sind Reihen, deren Partialsummen Teleskopsummen sind. Sie sind also Reihen der Form $\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}-a_{k+1})$. Als Partialsummenfolge erhält man

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}-a_{k+1})&=\left(\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1})\right)_{n\in \mathbb {N} }\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1}){\text{ ist eine Teleskopsumme}}\right.}\\[1em]&=\left(a_{1}-a_{n+1}\right)_{n\in \mathbb {N} }\end{aligned}}$

Um die Konvergenz einer Teleskopreihe zu bestimmen, müssen wir also das Konvergenzverhalten der Folge $\left(a_{1}-a_{n+1}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ untersuchen. Diese Folge konvergiert genau dann, wenn die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert.

Nehmen wir einmal an, dass $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert und dass $a$ der Grenzwert dieser Folge ist. Als Grenzwert der Teleskopreihe erhalten wir dann

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}-a_{k+1})&=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1})\\[1em]&=\lim _{n\to \infty }(a_{1}-a_{n+1})\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lim _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}+\lim _{n\to \infty }b_{n}\right.}\\[1em]&=\lim _{n\to \infty }a_{1}-\lim _{n\to \infty }a_{n+1}\\&=a_{1}-a\end{aligned}}$

Wenn $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ divergiert, dann divergiert auch die Folge $(a_{1}-a_{n+1})_{n\in \mathbb {N} }$. Somit divergiert auch die Teleskopreihe.

Ganz analog erhalten wir, dass die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k+1}-a_{k})=(a_{n+1}-a_{1})_{n\in \mathbb {N} }$ genau dann konvergiert, falls $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert. Der Grenzwert ist in diesem Fall

$\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k+1}-a_{k})=\lim _{n\to \infty }a_{n+1}-\lim _{n\to \infty }a_{1}=a-a_{1}$

Definition, Satz und weitere Beispiele

Definition (Teleskopreihe)

Eine Teleskopreihe ist eine Reihe der Form $\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}-a_{k+1})$ beziehungsweise $\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k+1}-a_{k})$.

Wir haben bereits bewiesen:

Satz (Konvergenz von Teleskopreihen)

Die Teleskopreihen $\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}-a_{k+1})$ und $\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k+1}-a_{k})$ konvergieren genau dann, wenn die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert. Die Grenzwerte dieser Reihen sind dann

$\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}-a_{k+1})=a_{1}-\lim _{n\to \infty }a_{n}$

und

$\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k+1}-a_{k})=\lim _{n\to \infty }a_{n}-a_{1}$

Beispiel (Teleskopreihen)

1. Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }\left((-1)^{k}-(-1)^{k+1}\right)$ divergiert, weil die Folge $a_{k}=(-1)^{k}$ divergiert.
2. Die Reihe $\sum _{k=2}^{\infty }\left({\sqrt[{k}]{9}}-{\sqrt[{k+1}]{9}}\right)$ hingegen konvergiert, da die Folge $a_{k}={\sqrt[{k}]{9}}$ gegen $1$ konvergiert. Der Grenzwert dieser Reihe ist

   ${\begin{aligned}\sum _{k=2}^{\infty }\left({\sqrt[{k}]{9}}-{\sqrt[{k+1}]{9}}\right)&=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=2}^{n}\left({\sqrt[{k}]{9}}-{\sqrt[{k+1}]{9}}\right)\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Telekopsumme}}\right.}\\[1em]&=\lim _{n\to \infty }\left({\sqrt[{2}]{9}}-{\sqrt[{n+1}]{9}}\right)\\[1em]&=\underbrace {\sqrt[{2}]{9}} _{=\ 3}-\underbrace {\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n+1}]{9}}} _{=1}\\[1em]&=3-1\\&=2\end{aligned}}$

Beispielaufgaben

Beispielaufgabe 1

Aufgabe (Partialsummen der geometrischen Reihe)

Ziel dieser Aufgabe ist es, ohne Induktion die Formel für die Partialsummen der geometrischen Reihe zu zeigen, also $\sum _{k=0}^{n}q^{k}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$ für $q\neq 1$ und $n\in \mathbb {N} _{0}$. Zeige dazu die Formel $(1-q)\sum _{k=0}^{n}q^{k}=1-q^{n+1}$.

Lösung (Partialsummen der geometrischen Reihe)

Für $n\in \mathbb {N} _{0}$ und $q\neq 1$ gilt

${\begin{aligned}(1-q)\sum _{k=0}^{n}q^{k}&=\sum _{k=0}^{n}(1-q)\cdot q^{k}\\[0.3em]&=\sum _{k=0}^{n}q^{k}-q^{k+1}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Teleskopsumme}}\right.}\\[0.3em]&=q^{0}-q^{n+1}=1-q^{n+1}\end{aligned}}$

Beispielaufgabe 2

Aufgabe

Konvergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{4k^{2}-1}}$? Wenn ja, bestimme den Grenzwert der Reihe.

Lösung

Zunächst erkennen wir bei genauem Hinsehen, dass wir im Nenner der Summanden eine binomische Formel anwenden können:

${\frac {1}{4k^{2}-1}}={\frac {1}{(2k-1)(2k+1)}}$

Nun führen wir, wie in der Aufgabe zuvor, eine Partialbruchzerlegung durch:

${\begin{aligned}{\frac {1}{(2k-1)(2k+1)}}&={\frac {1+k-k}{(2k-1)(2k+1)}}\\[0.5em]&={\frac {{\frac {1}{2}}\cdot (2+2k-2k)}{(2k-1)(2k+1)}}\\[0.5em]&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {(2k+1-2k+1)}{(2k-1)(2k+1)}}\\[0.5em]&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {(2k+1)-(2k-1)}{(2k-1)(2k+1)}}\\[0.5em]&={\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {2k+1}{(2k-1)(2k+1)}}-{\frac {2k-1}{(2k-1)(2k+1)}}\right)\\[0.5em]&={\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2k+1}}\right)\\[0.5em]\end{aligned}}$

Damit erhalten wir

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{4k^{2}-1}}&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2k+1}}\right)\\[1em]&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2}}\cdot \sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2k+1}}\right)\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Teleskopsumme}}\right.}\\[1em]&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {1}{2\cdot 1-1}}-{\frac {1}{2n+1}}\right)\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2n+1}}=0\right.}\\[1em]&={\frac {1}{2}}\cdot 1\\[1em]&={\frac {1}{2}}\end{aligned}}$

Beispielaufgabe 3

Aufgabe

Konvergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {2k+1}{k(k+1)}}$? Wenn ja, bestimme den Grenzwert der Reihe.

Lösung

Auch hier können wir wieder eine Partialbruchzerlegung durchführen:

${\begin{aligned}{\frac {2k+1}{k(k+1)}}&={\frac {k+k+1}{k(k+1)}}\\[0.5em]&={\frac {k+1}{k(k+1)}}+{\frac {k}{k(k+1)}}\\[0.5em]&={\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k+1}}\\[0.5em]\end{aligned}}$

Damit ist

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2k+1}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k+1}}\right)=\left(1+{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\ldots$

Bei dieser Reihe handelt es sich nun um keine Teleskopreihe, da die Summanden alle addiert und nicht voneinander abgezogen werden. Die Reihe ist auch nicht konvergent, denn für die Folge $(S_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen gilt

$S_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k+1}}\right)\geq \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$

Da nun die harmonische Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k}}$ divergiert, divergiert auch die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {2k+1}{k(k+1)}}$ nach dem Minorantenkriterium. Diese Aufgabe zeigt, dass nach einer Partialbruchzerlegung nicht immer eine Teleskopreihe zum Vorschein kommt.

Reihe ist Folge und Folge ist Reihe

Zu Beginn des Kapitels hatten wir festgestellt, dass eine Reihe nichts anderes als eine spezielle Folge (von Partialsummen) ist. Umgekehrt lässt sich mit Hilfe der Teleskopsumme jede Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ als spezielle (Teleskop-)Reihe schreiben. Es gilt nämlich

$a_{n}=a_{1}+\sum _{k=2}^{n}(a_{k}-a_{k-1})$

Frage: Warum gilt $a_{n}=a_{1}+\sum _{k=2}^{n}(a_{k}-a_{k-1})$?

Es ist

${\begin{aligned}&a_{1}+\sum _{k=2}^{n}(a_{k}-a_{k-1})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Indexverschiebung}}\right.}\\[0.3em]=\ &a_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Teleskopsumme}}\right.}\\[0.3em]=\ &a_{1}+(a_{n}-a_{1})\\[0.3em]=\ &a_{n}\end{aligned}}$

Dies können wir noch schreiben als

$a_{n}=\sum _{k=1}^{n}c_{k}$ mit $c_{k}={\begin{cases}a_{k}-a_{k-1}&;k\geq 2\\a_{1}&;k=1\end{cases}}$

Die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ist somit gleich der Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}$ (diese Reihe fassen wir dabei als Folge ihrer Partialsummen auf).