Teleskopsumme und Teleskopreihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Teleskopreihen sind spezielle Reihen, bei denen sich die Summanden zum Teil gegenseitig aufheben. Dadurch ist es bei Teleskopreihen einfacher als bei anderen Reihen, ihr Konvergenzverhalten und ihren Grenzwert zu bestimmen.

Teleskopsumme[Bearbeiten]

Einstiegsbeispiel[Bearbeiten]

Betrachten wir die Summe

Natürlich könnten wir die Klammern jetzt nacheinander ausrechnen, und anschließend aufsummieren. Dies ist per Hand jedoch recht aufwendig. Sehen wir uns die Summe genauer an:

Wir erkennen, dass sich die benachbarten gleichfarbigen Terme gegenseitig aufheben. Durch Verschiebung der Klammern, d.h. mehrfache Anwendung des Assoziativgesetzes, erhalten wir

Dieser Umformungstrick hat uns nun die Berechnung der Summe deutlich vereinfacht. Natürlich können wir diesen Trick nicht nur bei fünf, sondern auch bei beliebig vielen Summanden anwenden. Für ein beliebiges gilt

Wir haben nun das Prinzip einer Teleskopsumme kennengelernt. Durch das geschickte gegenseitige „Wegheben“ fast aller Summanden entsteht eine Summe, dies sich leicht berechnen lässt.

Allgemeine Einführung[Bearbeiten]

Teleskopsumme: Definition und Erklärung (YouTube-Video vom YouTube-Kanal „MJ Education“)
Zusammenschieben von Teleskopen: Namensgeber der Teleskopsumme
Zusammenschiebbares Fernrohr

Eine Teleskopsumme ist eine Summe der Form . Hier heben sich benachbarte Summanden auf. Man erhält:

Durch eine analoge Rechnung bekommt man

Der Name „Telekopsumme“ leitet sich im Übrigen vom Zusammenschieben von Teleskopen ab, die aus einzelnen Rohren aufgebaut sind.

Aufgabe

Zeige .

Lösung

Es gilt

Definition und Satz[Bearbeiten]

Definition (Teleskopsumme)

Eine Teleskopsumme ist eine Summe der Form beziehungsweise .

Satz (Wert der Teleskopsumme)

Es ist:

Beispiel (Teleskopsumme)

In der Summe sind und . Damit erhalten wir

Ebenso gilt

Partialbruchzerlegung[Bearbeiten]

Leider ist es in der Praxis so, dass man vielen Summen zunächst nicht ansieht, dass es sich um Teleskopsummen handelt. Betrachten wir dazu die folgende Summe:

Diese sieht zunächst nicht nach einer Teleskopsumme aus. Durch einen „Rechenkniff“ lässt sie sich jedoch in eine Teleskopsumme umformen. Für alle ist nämlich:

Damit ist

Die Summe entspricht also einer Teleskopsumme. Wer hätte das gedacht?! :) Die Umformung nennt man eine Partialbruchzerlegung. Sie ist häufig ein nützliches Mittel, um eine Summe in eine Teleskopsumme zu überführen.

Teleskopreihe[Bearbeiten]

Einstiegsbeispiel[Bearbeiten]

Wir betrachten die folgende Reihe

Die Partialsummen dieser Reihe sind Teleskopsummen. Es gilt für alle :

Damit folgt unmittelbar für den Grenzwert der Reihe

Allgemeine Einführung[Bearbeiten]

Teleskopreihen sind Reihen, deren Partialsummen Teleskopsummen sind. Sie sind also von der Form . Als Partialsummenfolge erhält man

Um die Konvergenz einer Teleskopreihe zu bestimmen, müssen wir das Konvergenzverhalten der Folge untersuchen. Diese Folge konvergiert genau dann, wenn die Folge konvergiert. Wenn der Grenzwert dieser Folge ist, erhalten wir sls Grenzwert der Teleskopreihe:

Wenn divergiert, dann divergiert auch die Folge . Somit divergiert auch die Teleskopreihe. Analog erhalten wir, dass die Reihe genau dann konvergiert, falls konvergiert. Der Grenzwert ist in diesem Fall

Definition, Satz und Beispiel[Bearbeiten]

Definition (Teleskopreihe)

Eine Teleskopreihe ist eine Reihe der Form beziehungsweise .

Satz (Konvergenz von Teleskopreihen)

Die Teleskopreihen und konvergieren genau dann, wenn die Folge konvergiert. Die Grenzwerte dieser Reihen sind dann

und

Beispiel (Teleskopreihen)

Die Reihe divergiert, weil die Folge divergiert.

Demgegenüber konvergiert die Reihe , da die Folge gegen konvergiert. Der Grenzwert dieser Reihe ist

Beispielaufgaben[Bearbeiten]

Beispielaufgabe 1[Bearbeiten]

Aufgabe (Partialsummen der geometrischen Reihe)

Ziel dieser Aufgabe ist es, ohne Induktion die Formel für die Partialsummen der geometrischen Reihe zu zeigen, also für und . Zeige dazu die Formel .

Lösung (Partialsummen der geometrischen Reihe)

Für und gilt

Beispielaufgabe 2[Bearbeiten]

Aufgabe

Konvergiert die Reihe ? Wenn ja, bestimme den Grenzwert der Reihe.

Lösung

Zunächst erkennen wir bei genauem Hinsehen, dass wir im Nenner der Summanden eine binomische Formel anwenden können:

Nun führen wir, wie in der Aufgabe zuvor, eine Partialbruchzerlegung durch:

Damit erhalten wir

Beispielaufgabe 3[Bearbeiten]

Aufgabe

Konvergiert die Reihe ? Wenn ja, bestimme den Grenzwert der Reihe.

Lösung

Auch hier können wir wieder eine Partialbruchzerlegung durchführen:

Damit ist

Bei dieser Reihe handelt es sich nun um keine Teleskopreihe, da die Summanden alle addiert und nicht voneinander abgezogen werden. Die Reihe ist auch nicht konvergent, denn für die Folge der Partialsummen gilt

Da nun die harmonische Reihe divergiert, divergiert auch die Reihe nach dem Minorantenkriterium. Diese Aufgabe zeigt, dass nach einer Partialbruchzerlegung nicht immer eine Teleskopreihe zum Vorschein kommt.

Reihe ist Folge und Folge ist Reihe[Bearbeiten]

Zu Beginn des Kapitels hatten wir festgestellt, dass eine Reihe nichts anderes als eine spezielle Folge (von Partialsummen) ist. Umgekehrt lässt sich mit Hilfe der Teleskopsumme jede Folge als spezielle (Teleskop-)Reihe schreiben. Es gilt nämlich

Frage: Warum gilt ?

Es ist

Dies können wir noch schreiben als

mit

Die Folge ist somit gleich der Reihe (diese Reihe fassen wir dabei als Folge ihrer Partialsummen auf).