Teleskopsumme und Teleskopreihe – Mathe für Nicht-Freaks

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Teleskopreihen sind spezielle Reihen, bei denen sich die Summanden zum Teil gegenseitig aufheben. Dadurch ist es bei Teleskopreihen einfacher als bei anderen Reihen, ihr Konvergenzverhalten und ihren Grenzwert zu bestimmen.

Teleskopsumme[Bearbeiten]

Beispiel[Bearbeiten]

Wir betrachten die Summe für . Wie können wir den Wert dieser Summe ausrechnen, ohne jeden Summanden einzeln zu berechnen? Für alle können wir schreiben

Also gilt

Diese Formel ist wesentlich einfacher als die ursprüngliche Summe. Hier haben wir ausgenutzt, dass sich in der Summe fast alle Summanden aufheben, was wir nun verallgemeinern wollen.

Einführung[Bearbeiten]

Teleskopsumme: Definition und Erklärung (Youtube-Video vom Youtube-Kanal „MJ Maths“)
Zusammenschieben von Teleskopen: Namensgeber der Teleskopsumme
Zusammenschiebbares Fernrohr

Eine Teleskopsumme ist eine Summe der Form . Hier heben sich benachbarte Summanden zum Teil auf. Man erhält

Durch eine analoge Rechnung bekommt man

Der Name leitet sich vom Zusammenschieben von Teleskopen ab, die aus einzelnen Rohren aufgebaut sind. Fassen wir zusammen:

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Definition (Teleskopsumme)

Eine Teleskopsumme ist eine Summe der Form beziehungsweise .

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Satz (Wert der Teleskopsumme)

Es ist:

Teleskopreihe[Bearbeiten]

Jetzt übertragen wir die Idee einer Teleskopsumme auf Reihen. Wir setzen das Beispiel zu Teleskopsummen fort.

Beispiel[Bearbeiten]

Wir betrachten die Reihe . Wir haben bereits gesehen, dass für alle gilt . Also ist der Wert der Reihe .

Einführung[Bearbeiten]

Teleskopreihen sind Reihen, deren Partialsummen Teleskopsummen sind. Sie sind also Reihen der Form . Als Partialsummenfolge erhält man

Um die Konvergenz einer Teleskopreihe zu bestimmen, müssen wir also das Konvergenzverhalten der Folge untersuchen. Diese Folge konvergiert genau dann, wenn die Folge konvergiert.

Nehmen wir einmal an, dass konvergiert und dass der Grenzwert dieser Folge ist. Als Grenzwert der Teleskopreihe erhalten wir dann

Wenn divergiert, dann divergiert auch die Folge . Somit divergiert auch die Teleskopreihe.

Definition und weiteres Beispiel[Bearbeiten]

Dialog-information.svg
Definition (Teleskopreihe)

Eine Teleskopreihe ist eine Reihe der Form .

Wir haben bereits bewiesen:

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Satz (Konvergenz von Teleskopreihen)

Eine Teleskopreihe konvergiert genau dann, wenn die Folge konvergiert. Der Grenzwert dieser Reihe ist dann

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Beispiel (Teleskopreihe)

Die Reihe divergiert, weil die Folge divergiert. Die Reihe hingegen konvergiert, da die Folge gegen konvergiert. Der Grenzwert dieser Reihe ist

Beispielaufgaben[Bearbeiten]

Beispielaufgabe 1[Bearbeiten]

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Aufgabe (Partialsummen der geometrischen Reihe)

Ziel dieser Aufgabe ist es, ohne Induktion die Formel für die Partialsummen der geometrischen Reihe zu zeigen, also für und . Zeige dazu die Formel .

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Lösung (Partialsummen der geometrischen Reihe)

Für und gilt

Beispielaufgabe 2[Bearbeiten]

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Aufgabe

Konvergiert die Reihe ? Wenn ja, bestimme den Grenzwert der Reihe.

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Lösung

Zunächst erkennen wir bei genauem Hinsehen, dass wir im Nenner der Summanden eine binomische Formel anwenden können:

Nun führen wir, wie in der Aufgabe zuvor, eine Partialbruchzerlegung durch:

Damit erhalten wir

Beispielaufgabe 3[Bearbeiten]

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Aufgabe

Konvergiert die Reihe ? Wenn ja, bestimme den Grenzwert der Reihe.

Applications-office.svg

Lösung

Auch hier können wir wieder eine Partialbruchzerlegung durchführen:

Damit ist

Bei dieser Reihe handelt es sich nun um keine Teleskopreihe, da die Summanden alle addiert und nicht voneinander abgezogen werden. Die Reihe ist auch nicht konvergent, denn für die Folge der Partialsummen gilt

Da nun die harmonische Reihe divergiert, divergiert auch die Reihe nach dem Minorantenkriterium. Diese Aufgabe zeigt, dass nach einer Partialbruchzerlegung nicht immer eine Teleskopreihe zum Vorschein kommt.

Reihe ist Folge und Folge ist Reihe[Bearbeiten]

Zu Beginn des Kapitels hatten wir festgestellt, dass eine Reihe nichts anderes als eine spezielle Folge (von Partialsummen) ist. Umgekehrt lässt sich mit Hilfe der Teleskopsumme jede Folge als spezielle (Teleskop-)Reihe schreiben.

Frage: Sei eine Folge. Wie kannst du diese Folge als Reihe umschreiben?

Es gilt

Wenn wir die Folge nun folgendermaßen definieren

dann ist , und somit ist die Folge gleich der Reihe (diese Reihe fassen wir dabei als Folge ihrer Partialsummen auf).