Teleskopreihen sind spezielle Reihen, bei denen sich die Summanden zum Teil gegenseitig aufheben. Dadurch ist es bei Teleskopreihen einfacher als bei anderen Reihen, ihr Konvergenzverhalten und ihren Grenzwert zu bestimmen.
Betrachten wir die Summe
Natürlich könnten wir die Klammern jetzt nacheinander ausrechnen, und anschließend aufsummieren. Dies ist per Hand jedoch recht aufwendig. Sehen wir uns die Summe genauer an:
Wir erkennen, dass sich die benachbarten gleichfarbigen Terme gegenseitig aufheben. Durch Verschiebung der Klammern, d.h. mehrfache Anwendung des Assoziativgesetzes, erhalten wir
Dieser Umformungstrick hat uns nun die Berechnung der Summe deutlich vereinfacht. Natürlich können wir diesen Trick nicht nur bei fünf, sondern auch bei beliebig vielen Summanden anwenden. Für ein beliebiges
gilt
Wir haben nun das Prinzip einer Teleskopsumme kennengelernt. Durch das geschickte gegenseitige „Wegheben“ fast aller Summanden entsteht eine Summe, die sich leicht berechnen lässt.
Allgemeine Einführung[Bearbeiten]
Zusammenschieben von Teleskopen: Namensgeber der Teleskopsumme
Zusammenschiebbares Fernrohr
Eine Teleskopsumme ist eine Summe der Form
. Hier heben sich benachbarte Summanden auf. Man erhält:
Durch eine analoge Rechnung bekommt man
Der Name „Telekopsumme“ leitet sich im Übrigen vom Zusammenschieben von Teleskopen ab, die aus einzelnen Rohren aufgebaut sind.
Aufgabe
Zeige
.
Lösung
Es gilt
Definition und Satz[Bearbeiten]
Definition (Teleskopsumme)
Eine Teleskopsumme ist eine Summe der Form
beziehungsweise
.
Satz (Wert der Teleskopsumme)
Es ist:
Partialbruchzerlegung[Bearbeiten]
Leider ist es in der Praxis so, dass man vielen Summen zunächst nicht ansieht, dass es sich um Teleskopsummen handelt. Betrachten wir dazu die folgende Summe:
Diese sieht zunächst nicht nach einer Teleskopsumme aus. Durch einen „Rechenkniff“ lässt sie sich jedoch in eine Teleskopsumme umformen. Für alle
ist nämlich:
Damit ist
Die Summe entspricht also einer Teleskopsumme. Wer hätte das gedacht?!
Die Umformung
nennt man eine Partialbruchzerlegung. Sie ist häufig ein nützliches Mittel, um eine Summe in eine Teleskopsumme zu überführen.
Wir betrachten die folgende Reihe
Die Partialsummen dieser Reihe sind Teleskopsummen. Es gilt für alle
:
Damit folgt unmittelbar für den Grenzwert der Reihe
Allgemeine Einführung[Bearbeiten]
Teleskopreihen sind Reihen, deren Partialsummen Teleskopsummen sind. Sie sind also von der Form
. Als Partialsummenfolge erhält man
Um die Konvergenz einer Teleskopreihe zu bestimmen, müssen wir das Konvergenzverhalten der Folge
untersuchen. Diese Folge konvergiert genau dann, wenn die Folge
konvergiert. Wenn
der Grenzwert dieser Folge ist, erhalten wir als Grenzwert der Teleskopreihe:
Wenn
divergiert, dann divergiert auch die Folge
. Somit divergiert auch die Teleskopreihe. Analog erhalten wir, dass die Reihe
genau dann konvergiert, falls
konvergiert. Der Grenzwert ist in diesem Fall
Definition, Satz und Beispiel[Bearbeiten]
Definition (Teleskopreihe)
Eine Teleskopreihe ist eine Reihe der Form
beziehungsweise
.
Lösung (Partialsummen der geometrischen Reihe)
Für
und
gilt
Aufgabe
Konvergiert die Reihe
? Wenn ja, bestimme den Grenzwert der Reihe.
Lösung
Zunächst erkennen wir bei genauem Hinsehen, dass wir im Nenner der Summanden eine binomische Formel anwenden können:
Nun führen wir, wie in der Aufgabe zuvor, eine Partialbruchzerlegung durch:
Damit erhalten wir
Aufgabe
Konvergiert die Reihe
? Wenn ja, bestimme den Grenzwert der Reihe.
Lösung
Auch hier können wir wieder eine Partialbruchzerlegung durchführen:
Damit ist
Bei dieser Reihe handelt es sich nun um keine Teleskopreihe, da die Summanden alle addiert und nicht voneinander abgezogen werden. Die Reihe ist auch nicht konvergent, denn für die Folge
der Partialsummen gilt
Da nun die harmonische Reihe
divergiert, divergiert auch die Reihe
nach dem Minorantenkriterium. Diese Aufgabe zeigt, dass nach einer Partialbruchzerlegung nicht immer eine Teleskopreihe zum Vorschein kommt.
Reihe ist Folge und Folge ist Reihe[Bearbeiten]
Zu Beginn des Kapitels hatten wir festgestellt, dass eine Reihe nichts anderes als eine spezielle Folge (von Partialsummen) ist. Umgekehrt lässt sich mit Hilfe der Teleskopsumme jede Folge
als spezielle (Teleskop-)Reihe schreiben. Es gilt nämlich
Frage: Warum gilt
?
Es ist
Dies können wir noch schreiben als

mit
Die Folge
ist somit gleich der Reihe
(diese Reihe fassen wir dabei als Folge ihrer Partialsummen auf).