Rechenregeln für Reihen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wir haben die Reihen als unendliche Summe kennen gelernt. Wie geht man aber mit ihr um? Darf man bei unendlichen Summen dieselben Rechenregeln anwenden, die für endliche Summen gelten? Kann man beispielsweise „wahllos“ Klammern setzen und entfernen (Assoziativgesetz der Addition) oder Summanden „nach Lust und Laune“ umordnen (Kommutativgesetz der Addition)? Nein, nicht unbedingt: Wie wir sehen werden, gibt es beim Setzen von Klammern und beim Umordnen von Summanden bei Reihen Einschränkungen. Jedoch gibt es auch nützliche Rechenregeln: So darf man konvergente Reihen miteinander addieren und diese mit einer Konstanten multiplizieren.

Übersicht[Bearbeiten]

Rechenregeln[Bearbeiten]

Im Kapitel zu den Grenzwertsätzen von Folgen haben wir unter anderem gezeigt, dass für konvergierende Folgen und ist. Auch für Reihen können ähnliche Sätze gezeigt werden. So gelten die folgenden Formeln für konvergente Reihen und sowie für eine Konstante :

Ferner konvergiert eine Reihe , wenn die beiden Reihen und konvergieren, welche man erhält, wenn man die Reihe aufteilt. Dabei ist:

Innerhalb einer konvergenten Reihe können neue Klammern eingefügt werden. Es gilt also:

Dabei ist die streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen mit , bei der jeweils Index den Index der ersten Summanden einer Klammer bezeichnen. Demgegenüber können bei divergenten Reihen beliebig viele Klammern weggelassen werden. Divergiert nämlich die Reihe , dann divergiert auch die Reihe .

Was bei Reihen nicht so einfach funktioniert[Bearbeiten]

Für die Partialsummen gilt: . Das Multiplizieren von zwei oder mehr Reihen ist bei weitem komplexer, derart, dass wir es hier nicht behandeln werden.

Verständnisfrage: Finde ein Beispiel für zwei Reihen und , bei denen gilt!

Ein mögliches Beispiel ist gegeben durch für und für . Es gilt also

Ein allgemein gültiges Assoziativ- und Kommutativgesetz für Reihen existiert nicht. Bei endlichen Summen kommt es nicht auf die Reihenfolge der Summanden an, man darf sie also nach Belieben umordnen und ebenso nach Belieben darf man Klammern setzen und entfernen: Nicht aber bei unendlichen Summen, denn das Setzen bzw. Entfernen von Klammern sowie das Umordnen von Gliegern ist bei Reihen nicht zwangsläufig wirklungslos.

Summenregel[Bearbeiten]

Beweis der Summenregel[Bearbeiten]

Satz (Summenregel für Reihen)

Seien und zwei konvergente Reihen. Dann gilt

Beweis (Summenregel für Reihen)

Es ist:

Dabei durften wir den Grenzwertsatz verwenden, weil die beiden Reihen und nach Voraussetzung konvergieren und damit die Grenzwerte und existieren.

Beispielaufgabe Summenregel[Bearbeiten]

Aufgabe (Summenregel für Reihen)

Berechne den Wert der Reihe .

Lösung (Summenregel für Reihen)

Es gilt

Weil die einzelnen Reihen konvergieren, durften wir die Summenregel anwenden.

Faktorregel[Bearbeiten]

Beweis der Faktorregel[Bearbeiten]

Satz (Faktorregel für Reihen)

Sei eine konvergente Reihe und sei eine beliebige reelle Zahl. Es ist dann:

Beweis (Faktorregel für Reihen)

Es ist:

Dabei dürfen wir verwenden, weil konvergiert und damit der Grenzwert existiert.

Beispielaufgabe Faktorregel[Bearbeiten]

Aufgabe

Berechne .

Lösung

Es ist

Wegen der Konvergenz der Reihe durften wir die Faktorregel anwenden.

Aufteilungsregel[Bearbeiten]

Beweis der Aufteilungsregel[Bearbeiten]

Satz (Aufteilungsregel für Reihen)

Sei eine Folge. Wenn und konvergieren, dann ist auch konvergent, und es gilt:

Beweis (Aufteilungsregel für Reihen)

Diese Regel ist eine Folgerung aus der obigen Summenregel. Zunächst schauen wir uns die beiden Reihen und an. Zu ihnen gehören die Partialsummenfolgen:

Zunächst bilden wir zwei neue Folgen und , indem wir und geschickt mit Nullen auffüllen:

Zu diesen Folgen zugehörigen Partialsummenfolgen lauten damit:

Da und konvergieren, konvergieren auch und , wobei für die Grenzwerte dieser Reihen gilt:

Aus der Summenregel folgt, dass konvergieren muss. Nun ist für alle . Damit muss auch konvergieren, wobei

Verständnisfrage: Gilt auch die Umkehrung der Aufteilungsregel? Folgt also aus der Konvergenz der Reihe auch die Konvergenz der Reihen und ?

Nein, die Umkehrung gilt nicht. Betrachte beispielsweise die konvergente alternierende harmonische Reihe . Dann divergiert , weil sie der Hälfte der harmonischen Folge entspricht. Ebenso divergiert .

Beispielaufgabe Aufteilungsregel[Bearbeiten]

Aufgabe (Aufteilungsregel für Reihen)

Sei Berechne den Wert der Reihe .

Lösung (Aufteilungsregel für Reihen)

Es gilt

Weil die Reihe konvergiert, durften wir die Rechenregeln anwenden.

Das Assoziativgesetz bei Reihen[Bearbeiten]

Warum es kein allgemeines Assoziativgesetz für Reihen gibt[Bearbeiten]

Bei endlichen Summen ist es dank des Assoziativgesetzes der Addition erlaubt, beliebige Klammern zu setzen. Beispielsweise ist

Analog gilt

Bei unendlichen Reihen müssen wir hingegen aufpassen. Betrachten wir in Analogie die Reihe

Diese Reihe hat die folgende Summe von Partialsummen:

Diese folge springt zwischen den Werten und hin und her und ist damit divergent (da sie mit und verschiedene Häufungspunkte besitzt). Durch Setzen von Klammern erhalten wir jedoch eine gegen Null konvergente Reihe:

In einer divergenten Reihe dürfen daher Klammern nicht beliebig gesetzt oder weggelassen werden, da sonst das Konvergenzverhalten der Reihe verändert werden kann. Obiges Beispiel zeigt aber auch, dass bei konvergenten Reihen Klammern nicht weggelassen werden dürfen. So ist die obige Reihe konvergent. Wenn man aber die Klammern weglässt, erhalten wir die Ausgangsreihe , welche divergiert.

Frage: Gibt es auch Klammerungen der Reihe , die gegen beziehungsweise konvergieren?

Gegen konvergiert die Klammerung

Eine Klammerung, die gegen konvergiert, ist nicht möglich.

Beispiel: Eine Situation, wo Klammern gesetzt werden können[Bearbeiten]

Betrachten wir die konvergente Reihe . Diese Reihe stellt die unendliche Summe dar. Zu ihr gehört die Partialsummenfolge:

Was passiert, wenn wir neue Klammern in der unendlichen Folge einfügen? Beispielsweise können wir zwei benachbarte Summanden durch eine Klammer zusammenfassen und erhalten so den Ausdruck . In der Reihenschreibweise erhalten wir . Damit erhalten wir folgende Partialsummenformel

Diese Partialsummenfolge ist eine Teilfolge der ursprünglichen Partialsummenfolge. Nun konvergiert die Reihe und damit auch die dazugehörige Partialsummenfolge. Da bei konvergenten Folgen auch jede Teilfolge gegen denselben Grenzwert konvergiert, muss auch die neu geklammerte Partialsummenfolge gegen denselben Grenzwert wie die ursprüngliche Partialsummenfolge konvergieren. Es ist also möglich, Klammern in Reihen zu setzen.

Wann Klammern gesetzt und weggelassen werden können[Bearbeiten]

Wenn wir in einer Reihe benachbarte Summanden durch Klammern zusammenfassen, bevor die Reihe gebildet wird, dann entsteht eine Teilfolge der ursprünglichen Partialsummenfolge. Nun gilt:

  • Konvergiert eine Folge, dann konvergiert jede Teilfolge.
  • Divergiert eine Teilfolge, dann divergiert auch die ursprüngliche Folge.

Da Klammersetzung in einer Reihe eine Teilfolge der ursprünglichen Partialsummenfolge ergibt, erhalten wir:

  • In konvergierenden Reihen können Klammern beliebig gesetzt werden.
  • In divergenten Reihen können Klammern beliebig weggelassen werden.

Wir erhalten den folgenden Satz:

Satz (Klammersetzen in Reihen)

Konvergiert eine Reihe, so konvergiert auch jede Reihe gegen denselben Grenzwert, die durch neue Klammern aus der ursprünglichen Reihe entstanden ist. Divergiert eine Reihe, so können beliebig Klammerungen weggelassen werden.

Sei eine konvergente Reihe. Sei außerdem eine streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen mit . Hier gibt den Index des ersten Summanden der -ten Teilsumme an, die durch die Klammerung zusammengefasst wird. Es gilt also:

  • Konvergiert so konvergiert auch gegen denselben Grenzwert.
  • Divergiert , so divergiert auch . In divergenten Reihen können also Klammerungen weggelassen werden, ohne dass das Grenzwertverhalten verändert wird.

Beweis (Klammersetzen in Reihen)

Sei eine konvergente Reihe. Durch Einführung neuer Klammern entsteht die Reihe , wobei eine streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen mit . Die Zahl ist dabei jeweils der Index des ersten Summanden, welcher in einer Teilsumme durch eine Klammersetzung zusammengefasst wird. Die dazugehörige Partialsummenfolge lautet

Dies ist eine Teilfolge der ursprünglichen Partialsummenfolge. Nun konvergiert eine Folge genau dann gegen einen Grenzwert, wenn jede ihrer Teilfolgen gegen denselben Grenzwert konvergiert. Daraus folgt:

  • Konvergiert so konvergiert auch ihre Teilfolge gegen denselben Grenzwert.
  • Divergiert die Teilfolge , so divergiert auch .

Damit können in konvergenten Reihen beliebig Klammern gesetzt und in divergenten Reihen beliebig Klammern weggelassen werden.

Ausblick: Reihen und Vektorräume[Bearbeiten]

Für Reihen und sowie geltenden die folgenden Rechenregeln:

Mit Hilfe des Begriffs des Vektorraums und der lineare Abbildungen können diese Regeln auch so interpretiert werden: Die Menge aller reellwertigen Folgen bildet unter der punktweisen Addition und der skalaren Multiplikation einen Vektorraum (Vektorräume sind Mengen, deren Elemente man addieren und skalieren kann). Aus den obigen Regeln folgt, dass die Menge aller Folgen , bei denen die Reihe konvergiert, ein Untervektorraum der Menge aller Folgen ist. Außerdem ist die Abbildung , die einer Folge den Grenzwert von ihrer Reihe zuordnet, eine lineare Abbildung.