Rechenregeln für Reihen – Mathe für Nicht-Freaks

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Im letzten Kapitel haben wir Reihen, also unendliche Summen, definiert. Wie gehen wir aber jetzt mit diesen unendlichen Summen um? Bei endlichen Summen dürfen wir beliebig Klammern setzen und umordnen. Genauso dürfen wir zwei endliche Summen addieren und Skalare multiplizieren. Können wir das bei Reihen auch machen? Nein. Denn wir werden sehen, dass wir nur bei konvergenten Reihen addieren und multiplizieren dürfen. Außerdem ist Klammern setzen und umordnen der Summanden bei unendlichen Summen problematisch.

Übersicht[Bearbeiten]

Rechenregeln[Bearbeiten]

Als wir den Grenzwert von Folgen kennen gelernt haben, haben wir auch einige Regeln zum Umgang mit dem Limes kennen gelernt. Beispielsweise haben wir bewiesen, dass ist, wenn die Folgen und konvergieren. Ähnlich zu den Rechenregeln für die Folgenkonvergenz, gibt es auch einige Regeln für Grenzwerte von Reihen. Für konvergente Reihen und sowie für eine Konstante gilt:

Wenn für eine Folge die beiden Reihen und konvergieren, dann konvergiert auch , wobei gilt:

Innerhalb einer konvergenten Reihe können neue Klammern eingefügt werden. Es ist also für eine streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen mit , wobei jeweils der erste Summand einer Teilsumme ist, die durch die Klammerung zusammengefasst wird. Es ist dann

Demgegenüber können bei divergenten Reihen beliebig viele Klammern weggelassen werden. Divergiert nämlich die Reihe , dann divergiert auch die Reihe .

Die in diesem Abschnitt betrachteten Rechenregeln werden wir im Folgenden genauer untersuchen. Sie sind eine direkte Konsequenz der Grenzwertsätze von Folgen. Wie du noch sehen wirst, beschränken sich die Beweise meist darauf, dass bereits bewiesene Grenzwertsätze auf die Partialsummenfolge angewendet werden.

Was bei Reihen nicht so einfach funktioniert[Bearbeiten]

Bisher haben wir keine Regel zum Produkt betrachtet. Es ist jedoch nicht so einfach Reihen zu multiplizieren, denn für die Partialsummen gilt: . Da Produkte von Summen komplexer sind, werden wir sie im Folgenden nicht behandeln.

Verständnisfrage: Finde ein Beispiel für zwei Reihen und , bei denen gilt!

Ein mögliches Beispiel ist gegeben durch für und für . Es gilt also

Außerdem erfüllen Reihen im Allgemeinen kein Assoziativ- oder Kommutativgesetz. Bei endlichen Summen ist es egal, wie wir Klammern setzen, also in welcher Reihenfolge die Summanden zusammengefasst werden. Aber wir werden später einige Reihen betrachten, deren Verhalten sich unter Klammerung ändert. Auch das umordnen der Reihenglieder ist problematisch. Darauf werden wir beim Umordnungssatz für Reihen näher eingehen.

Summenregel[Bearbeiten]

Beweis[Bearbeiten]

Blue pen icon.svg

Satz (Summenregel für Reihen)

Seien und zwei konvergente Reihen. Dann gilt

Applications-office.svg

Beweis (Summenregel für Reihen)

Zunächst definieren wir die Partialsummen der einzelnen Reihen:

Wegen der Konvergenz der Reihen konvergieren auch die Folgen und . Nun wenden wir die Definition der Reihenkonvergenz an, danach die Linearität der Summe und schließlich können wir den Grenzwertsatz für die Summe konvergenter Folgen benutzen:

Beispielaufgabe Summenregel[Bearbeiten]

Accessories-text-editor.svg

Aufgabe (Summenregel für Reihen)

Berechne den Wert der Reihe .

Applications-office.svg

Lösung (Summenregel für Reihen)

Es gilt

Weil die einzelnen Reihen konvergieren, durften wir die Summenregel anwenden.

Faktorregel[Bearbeiten]

Beweis[Bearbeiten]

Blue pen icon.svg

Satz (Faktorregel für Reihen)

Sei eine konvergente Reihe und sei eine beliebige reelle Zahl. Es ist dann:

Applications-office.svg

Beweis (Faktorregel für Reihen)

Wir definieren zuerst: für . Da die Reihe konvergiert, gilt dies auch für die Folge der Partialsummen . Analog zum Beweis der Summenregel benutzen wir zunächst die Definition des Grenzwerts einer Reihe, danach die Linearität der Summe und schließlich den Grenzwertsatz für das Vielfache einer konvergenten Folge.

Beispielaufgabe Faktorregel[Bearbeiten]

Accessories-text-editor.svg

Aufgabe

Berechne .

Applications-office.svg

Lösung

Es ist

Wegen der Konvergenz der Reihe durften wir die Faktorregel anwenden.

Aufteilungsregel[Bearbeiten]

Beweis[Bearbeiten]

Blue pen icon.svg

Satz (Aufteilungsregel für Reihen)

Sei eine Folge. Wenn und konvergieren, dann ist auch konvergent, und es gilt:

Applications-office.svg

Beweis (Aufteilungsregel für Reihen)

Diese Regel ist eine Folgerung aus der obigen Summenregel. Zunächst schauen wir uns die beiden Reihen und an. Zu ihnen gehören die Partialsummenfolgen:

Zunächst bilden wir zwei neue Folgen und , indem wir und geschickt mit Nullen auffüllen:

Zu diesen Folgen zugehörigen Partialsummenfolgen lauten damit:

Da und konvergieren, konvergieren auch und , wobei für die Grenzwerte dieser Reihen gilt:

Aus der Summenregel folgt, dass konvergieren muss. Nun ist für alle . Damit muss auch konvergieren, wobei

Verständnisfrage: Gilt auch die Umkehrung der Aufteilungsregel? Folgt also aus der Konvergenz der Reihe auch die Konvergenz der Reihen und ?

Nein, die Umkehrung gilt nicht. Betrachte beispielsweise die konvergente alternierende harmonische Reihe . Dann divergiert , weil sie der Hälfte der harmonischen Folge entspricht. Ebenso divergiert .

Beispielaufgabe Aufteilungsregel[Bearbeiten]

Accessories-text-editor.svg

Aufgabe (Aufteilungsregel für Reihen)

Sei Berechne den Wert der Reihe .

Applications-office.svg

Lösung (Aufteilungsregel für Reihen)

Es gilt

Weil die Reihe konvergiert, durften wir die Rechenregeln anwenden.

Neue Klammern in Reihen setzen[Bearbeiten]

Nehme die konvergente Reihe . Diese Reihe stellte die unendliche Summe dar, und zu ihr gehört die Partialsummenfolge

Was passiert, wenn wir neue Klammern in der unendlichen Folge einführen? Beispielsweise können wir die unendliche Summe auch über den Ausdruck notieren, bei der jeweils zwei benachbarte Summanden durch eine Klammer zusammengefasst sind. In der Reihenschreibweise ergibt sich so die Reihe . Zunächst werden jeweils die beiden Summanden und zusammengefasst, danach wird über alle so ausgerechneten Summen die Reihe gebildet. Damit erhalten wir folgende Partialsummenformel

Diese Partialsummenfolge ist eine Teilfolge der ursprünglichen Partialsummenfolge. Nun konvergiert die Reihe und damit auch die dazugehörige Partialsummenfolge. Da bei konvergenten Folgen auch jede Teilfolge gegen denselben Grenzwert konvergiert, muss auch die neu geklammerte Partialsummenfolge gegen denselben Grenzwert wie die ursprüngliche Partialsummenfolge konvergieren.

Dies können wir auf beliebige Reihen verallgemeinern: Wenn wir in einer Reihe benachbarte Summanden durch neue Klammern zunächst zusammenfassen, bevor die Reihe gebildet wird, dann entsteht eine Teilfolge der ursprünglichen Partialsummenfolge. Wenn die ursprüngliche Reihe und damit ihre Partialsummenfolge konvergiert, dann muss auch die neu geklammerte Reihe gegen denselben Grenzwert konvergieren. Dies können wir im folgenden Satz zusammenfassen:

Blue pen icon.svg

Satz (Klammersetzen in Reihen)

Konvergiert eine Reihe, so konvergiert auch jede Reihe gegen denselben Grenzwert, die durch neue Klammern aus der ursprünglichen Reihe entstanden ist. Konkret: Sei eine konvergente Reihe. Sei außerdem eine streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen mit , wobei jeweils der erste Summand einer Teilsumme ist, die durch die Klammerung zusammengefasst wird. Es ist dann

Applications-office.svg

Beweis (Klammersetzen in Reihen)

Sei eine konvergente Reihe. Durch Einführung neuer Klammern entsteht die Reihe , wobei eine streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen mit . Die Zahl ist dabei jeweils der Index des ersten Summanden, welcher in einer Teilsumme durch eine Klammersetzung zusammengefasst wird. Die dazugehörige Partialsummenfolge lautet

Dies ist eine Teilfolge der ursprünglichen Partialsummenfolge. Weil diese ursprüngliche Partialsummenfolge konvergiert, konvergiert auch neue Partialsummenfolge und damit die dazugehörige Reihe. Auch der Grenzwert ist derselbe. Dies folgt daraus, dass jede Teilfolge einer konvergenten Folge gegen denselben Grenzwert konvergiert.

Warum es kein allgemeines Assoziativ- und Kommutativgesetz für Reihen gibt[Bearbeiten]

Bei endlichen Summen ist es dank des Assoziativgesetzes der Addition erlaubt, beliebig Klammern zu setzen. Beispielsweise ist

und ebenso

Bei unendlichen Reihen müssen wir hingegen aufpassen. Betrachten wir in Analogie die Reihe

Diese ist nach dem Trivialkriterium divergent, da keine Nullfolge ist. Dieses Kriterum werden wir später kennenlernen. Durch Setzen von Klammern erhalten wir jedoch eine gegen null konvergente Reihe:

In einer divergenten Reihe dürfen daher Klammern nicht beliebig gesetzt oder weggelassen werden.

Frage: Gibt es auch Klammerungen der Reihe , die gegen beziehungsweise konvergieren? Antwort: Gegen konvergiert die Klammerung

Eine Klammerung, die gegen konvergiert, ist hingegen nicht möglich.

Hinweis für Fortgeschrittene[Bearbeiten]

Nehme die beiden für konvergente Reihen und sowie geltenden Rechenregeln

Solltest du bereits Vektorräume und lineare Abbildungen kennen, dann kannst du die obigen beiden Regeln auch so interpretieren: Zunächst kann man feststellen, dass die Menge aller reellwertigen Folgen unter der punktweisen Addition und skalaren Multiplikation ein Vektorraum ist. Die obigen Regeln bedeuten nun, dass die Menge aller Folgen , bei denen die Reihe konvergiert, ein Untervektorraum von ist. Außerdem ist die Abbildung , die einer Folge den Grenzwert von zuordnet, eine lineare Abbildung.

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Allgemeine ToDos:

  • Zum Kommutativ- und Assiziativgesetz:
    • Endliche Klammersetzung und Umordnungen sind in Ordnung. Nur unendlich viele Umordnungen / Klammersetzung ist problematisch
    • Bei divergenten Reihen können beliebig viele Klammern weggelassen werden.