Lösung
Teilaufgabe 1: Es handelt sich um eine Teleskopreihe mit
. Für die Partialsummen gilt
Da
divergiert, divergiert auch die Reihe.
Alternative Lösung: Mit Hilfe eines einfachen Umformungstricks lässt sich die Folge der Partialsummen auch direkt nach unten Abschätzen:
Wegen
(harmonische Reihe) ist
unbeschränkt, und die Reihe somit divergent.
Teilaufgabe 2: Es gilt
In dieser Form bildet die Reihe offensichtlich eine Teleskopreihe mit
, und es gilt:
Teilaufgabe 3: Der Hinweis gilt wegen
Bei der Teleskopsumme handelt es sich hier um eine allgemeinere Variante, bei der nicht nur der erste und der letzte Summand, sondern die ersten beiden und die letzten beiden Summanden übrig bleiben:
Teilaufgabe 4: Es gilt
Dadurch entsteht nun die folgende Teleskopsumme:
Teilaufgabe 5: Laut dem Hinweis gilt
Damit lässt sich die Reihe als Differenz zweier Telekopreihen berechnen:
Alternative Lösung: Es gilt
Damit lässt sich die Reihe als Telekopreihen berechnen:
Teilaufgabe 6: Es gilt
Damit folgt
Geometrische Reihen[Bearbeiten]
Lösung (Harmonische Reihen)
Teilaufgabe 1:
1. Reihe: Die Folge der Partialsummen
ist monoton steigend, da alle Summanden positiv sind. Außerdem ist
nach oben beschränkt, wegen
Also konvergiert
nach dem Monotoniekriterium.
2. Reihe: Da
konvergiert, konvergiert nach den Grenzwertsätzen für Reihen auch
.
3. Reihe: Wegen
konvergiert die Reihe absolut, und daher auch im gewöhnlichen Sinne.
Teilaufgabe 2:
1. Reihe: Es gilt
Daraus folgt nun
2. Reihe: Es gilt
Für die verallgemeinerte harmonische Reihe
mit
lässt sich analog zeigen:


Aufgabe (Alternierende harmonische Reihen)
Für diese Aufgabe darfst du voraussetzen, dass
konvergiert und
gilt.
Begründe, warum die Reihe
konvergiert, und berechne anschließend ihren Grenzwert.
Aufgabe (e-Reihen)
Begründe, warum die folgenden Reihen konvergieren, und berechne dann deren Grenzwert:


Lösung (e-Reihen)
Teilaufgabe 1: Die Folge der Partialsummen
ist monoton wachsend und nach oben beschränkt, wegen
Also konvergiert die Folge
nach dem Monotoniekriterium.
Weiter gilt
Alternative Lösung: Mit Teleskopsumme. Es gilt
Teilaufgabe 2: Die Folge der Partialsummen
ist monoton wachsend und nach oben beschränkt, wegen
Also konvergiert die Folge
nach dem Monotoniekriterium.
Weiter gilt
Aufgaben zu Umordnungen von Reihen[Bearbeiten]