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Lösung
Teilaufgabe 1: Es handelt sich um eine Teleskopreihe mit . Für die Partialsummen gilt
Da divergiert, divergiert auch die Reihe.
Alternative Lösung: Mit Hilfe eines einfachen Umformungstricks lässt sich die Folge der Partialsummen auch direkt nach unten Abschätzen:
Wegen (harmonische Reihe) ist unbeschränkt, und die Reihe somit divergent.
Teilaufgabe 2: Es gilt
In dieser Form bildet die Reihe offensichtlich eine Teleskopreihe mit , und es gilt:
Teilaufgabe 3: Der Hinweis gilt wegen
Bei der Teleskopsumme handelt es sich hier um eine allgemeinere Variante, bei der nicht nur der erste und der letzte Summand, sondern die ersten beiden und die letzten beiden Summanden übrig bleiben:
Teilaufgabe 4: Es gilt
Dadurch entsteht nun die folgende Teleskopsumme:
Teilaufgabe 5: Laut dem Hinweis gilt
Damit lässt sich die Reihe als Differenz zweier Telekopreihen berechnen:
Alternative Lösung: Es gilt
Damit lässt sich die Reihe als Telekopreihen berechnen:
Teilaufgabe 6: Es gilt
Damit folgt
Lösung (Harmonische Reihen)
Teilaufgabe 1:
1. Reihe: Die Folge der Partialsummen ist monoton steigend, da alle Summanden positiv sind. Außerdem ist nach oben beschränkt, wegen
Also konvergiert nach dem Monotoniekriterium.
2. Reihe: Da konvergiert, konvergiert nach den Grenzwertsätzen für Reihen auch .
3. Reihe: Wegen konvergiert die Reihe absolut, und daher auch im gewöhnlichen Sinne.
Teilaufgabe 2:
1. Reihe: Es gilt
Daraus folgt nun
2. Reihe: Es gilt
Für die verallgemeinerte harmonische Reihe mit lässt sich analog zeigen:
Aufgabe (Alternierende harmonische Reihen)
Für diese Aufgabe darfst du voraussetzen, dass konvergiert und gilt.
Begründe, warum die Reihe konvergiert, und berechne anschließend ihren Grenzwert.
Aufgabe (e-Reihen)
Begründe, warum die folgenden Reihen konvergieren, und berechne dann deren Grenzwert:
Lösung (e-Reihen)
Teilaufgabe 1: Die Folge der Partialsummen ist monoton wachsend und nach oben beschränkt, wegen
Also konvergiert die Folge nach dem Monotoniekriterium.
Weiter gilt
Alternative Lösung: Mit Teleskopsumme. Es gilt
Teilaufgabe 2: Die Folge der Partialsummen ist monoton wachsend und nach oben beschränkt, wegen
Also konvergiert die Folge nach dem Monotoniekriterium.
Weiter gilt
Lösung (Umordnungen von konvergenter, jedoch nicht absolut konvergenter Reihen)
Wir benutzen in beiden Teilaufgaben, dass bei einer konvergente, jedoch nicht absolut konvergente Reihe , sowohl die Reihe der positiven Glieder als auch die Reihe der negativen Glieder uneigentlich gegen bzw. konvergiert.
Teilaufgabe 1: Wir wählen zunächst so, dass ist. Für unsere Umordnung setzen wir für . Dann ist .
Nun wählen wir mit so, dass ist. Für unsere Umordnung setzen wir daher für . Dann ist .
Anschließend wählen wir wieder ein mit , so dass wieder gilt und setzen für , so ist .
Dies setzen wir mit den negativen Summanden erneut fort und bestimmen mit , so dass bei entsprechender Anpassung unserer Umordnung gilt .
Führen wir dies nun sukzessive fort, so erhalten wir die Umordnung unserer Reihe für die gilt:
Zu jedem gibt es mit und mit .
Die so entstandene Umordnung divergiert daher, jedoch nicht bestimmt gegen oder .
Teilaufgabe 2: Hier wählen wir zunächst das kleinstmögliche so, dass ist. Für unsere Umordnung bedeutet dies für . Dann ist .
Nun wählen wir das kleinstmögliche mit . Setzen wir für , so gilt .
Dieses Prinzip setzen wir fort, und erhalten so weiter kleinstmögliche und , so dass bei entsprechender Anpassung von gilt und .
Führen wir dies nun sukzessive fort, so erhalten wir die Umordnung der alternierenden harmonischen Reihe mit
Die so entstandene Umordnung konvergiert gegen , denn es gilt für :
Für gilt , sowie und . Daher folgt mit dem Sandwichsatz:
Lösung (Gegenbeispiele zur intuitiven Formel)
Lösung Teilaufgabe 1:
Wählen wir beispielsweise , so konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium.
Jedoch gilt , und diese Reihe divergiert, da es sich um die Harmonische Reihe handelt.
Lösung Teilaufgabe 2:
Wählen wir umgekehrt beispielsweise , so divergiert die harmonische Reihe .
Jedoch ist die Reihe konvergent.
Lösung (Cauchy-Produkt von Exponential und geometrischen Reihen)
Beweis (Cauchy-Produkt geometrischer Reihen)
Beweisschritt: Induktionsanfang: .
Beweisschritt: Induktionsvoraussetzung.
Beweisschritt: Induktionsschritt: .
Aufgabe (Cauchy-Produkt von Sinus- und Kosinus-Reihe)
Zeige, mit Hilfe des Cauchy-Produktes, für alle doe folgenden Identitäten.
- Additionstheorem für die Kosinusfunktion
- Trigonometrischer Pythagoras
Lösung (Cauchy-Produkt von Sinus- und Kosinus-Reihe)
Lösung Teilaufgabe 1:
Die Reihen und konvergieren nach dem Quotientenkriterium absolut für alle . Also ist das Cauchy-Produkt für Reihen anwendbar. Es gilt