Aufgaben zu Reihen – Mathe für Nicht-Freaks

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Teleskopreihen[Bearbeiten]

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Aufgabe

Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls den Grenzwert.

Hinweis zur dritten Teilaufgabe: Es gilt . Warum?

Hinweis zur fünften Teilaufgabe: Es gilt .

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Lösung

Teilaufgabe 1: Es handelt sich um eine Teleskopreihe mit . Für die Partialsummen gilt

Da divergiert, divergiert auch die Reihe.

Alternative Lösung: Mit Hilfe eines einfachen Umformungstricks lässt sich die Folge der Partialsummen auch direkt nach unten Abschätzen:

Wegen (harmonische Reihe) ist unbeschränkt, und die Reihe somit divergent.

Teilaufgabe 2: Es gilt

In dieser Form bildet die Reihe offensichtlich eine Teleskopreihe mit , und es gilt:

Teilaufgabe 3: Der Hinweis gilt wegen

Bei der Teleskopsumme handelt es sich hier um eine allgemeinere Variante, bei der nicht nur der erste und der letzte Summand, sondern die ersten beiden und die letzten beiden Summanden übrig bleiben:

Teilaufgabe 4: Es gilt

Dadurch entsteht nun die folgende Teleskopsumme:

Teilaufgabe 5: Laut dem Hinweis gilt

Damit lässt sich die Reihe als Differenz zweier Telekopreihen berechnen:

Alternative Lösung: Es gilt

Damit lässt sich die Reihe als Telekopreihen berechnen:

Teilaufgabe 6: Es gilt

Damit folgt

Geometrische Reihen[Bearbeiten]

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Aufgabe (Berechnung geometrischer Reihen)

Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls mit Hilfe der Rechenregeln den Grenzwert.

  1. mit für gerade und für ungerade
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Lösung (Berechnung geometrischer Reihen)

Teilaufgabe 1: Es gilt

Teilaufgabe 2: Wegen divergiert die Reihe.

Teilaufgabe 3: Da die Reihe konvergiert, gilt mit den Rechenregeln

Teilaufgabe 4: Da die Reihen und konvergieren, gilt mit den Rechenregeln

Teilaufgabe 5: Da die Reihen und konvergieren, gilt mit den Rechenregeln

Teilaufgabe 6: Da die Reihen und konvergieren, gilt mit den Rechenregeln

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Aufgabe (Sonderfälle geometrischer Reihen)

Seien mit und . Finde Formeln für die geometrischen Reihen

  1. und
  2. und
  3. und
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Lösung (Sonderfälle geometrischer Reihen)

Teilaufgabe 1: Es gilt

und

Teilaufgabe 2: Weiter ist

und

Teilaufgabe 3: Schließlich gilt

und

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Aufgabe (Zu geometrischer Reihe verwandte Reihe)

  1. Zeige für alle und
  2. Folgere für alle mit
  3. Berechne und
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Lösung (Zu geometrischer Reihe verwandte Reihe)

Teilaufgabe 1: Die Aussage ist äquivalent zu

.

Die linke Seite lässt sich nun wie folgt in die rechte umrechnen:

.

Teilaufgabe 2: Im Kapitel Beispiele von Grezwerten hatten wir für gezeigt. Aus den Grenzwertregeln folgt damit und . Daher ist

Teilaufgabe 3: Mit der Formel aus Teilaufgabe 2 ergibt sich für :

Weiter gilt

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Hinweis

Genau wie in Teilaufgabe 3 lässt sich allgemein für zeigen:

Harmonische Reihen[Bearbeiten]

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Aufgabe (Harmonische Reihen)

Für diese Aufgabe darfst du voraussetzen, dass konvergiert, und gilt.

  1. Begründe, dass die Reihen , und konvergieren.
  2. Berechne und .
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Lösung (Harmonische Reihen)

Teilaufgabe 1:

1. Reihe: Die Folge der Partialsummen ist monoton steigend, da alle Summanden positiv sind. Außerdem ist nach oben beschränkt, wegen

Also konvergiert nach dem Monotoniekriterium.

2. Reihe: Da konvergiert, konvergiert nach den Grenzwertsätzen für Reihen auch .

3. Reihe: Wegen konvergiert die Reihe absolut, und daher auch im gewöhnlichen Sinne.


Teilaufgabe 2:

1. Reihe: Es gilt

Daraus folgt nun

2. Reihe: Es gilt

Anmerkung[Bearbeiten]

Für die verallgemeinerte harmonische Reihe mit lässt sich analog zeigen:


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Aufgabe (Alternierende harmonische Reihen)

Für diese Aufgabe darfst du voraussetzen, dass konvergiert und gilt.

Begründe, warum die Reihe konvergiert, und berechne anschließend ihren Grenzwert.

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Lösung (Alternierende harmonische Reihen)

  • Konvergenz: Wir zeigen sogar, dass die Reihe absolut konvergiert. Im Kapitel über absolute Konvergenz haben wir gezeigt, dass sie dann auch im gewöhnlichen Sinne konvergiert. Sei also . Da alle Summanden positiv sind, ist monoton steigend. Weiter gilt

.

Also beschränkt, und daher nach dem Monotoniekriterium konvergent.

  • Grenzwert: Es gilt

e-Reihe[Bearbeiten]

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Aufgabe (e-Reihen)

Begründe, warum die folgenden Reihen konvergieren, und berechne dann deren Grenzwert:

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Lösung (e-Reihen)

Teilaufgabe 1: Die Folge der Partialsummen ist monoton wachsend und nach oben beschränkt, wegen

Also konvergiert die Folge nach dem Monotoniekriterium.

Weiter gilt

Alternative Lösung: Mit Teleskopsumme. Es gilt

Teilaufgabe 2: Die Folge der Partialsummen ist monoton wachsend und nach oben beschränkt, wegen

Also konvergiert die Folge nach dem Monotoniekriterium.

Weiter gilt

Aufgaben zu Umordnungen von Reihen[Bearbeiten]

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Aufgabe (Umordnungen der alternierenden harmonischen Reihe)

Die alternierende harmonische Reihe

konvergiert gegen den Grenzwert . Zeige, dass die folgenden Umordnungen gegen die angegebenen Grenzwerte konvergieren: