Aufgaben zu Reihen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Teleskopreihen[Bearbeiten]

Aufgabe

Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls den Grenzwert.

Hinweis zur dritten Teilaufgabe: Es gilt . Warum?

Hinweis zur fünften Teilaufgabe: Es gilt .

Lösung

Teilaufgabe 1: Es handelt sich um eine Teleskopreihe mit . Für die Partialsummen gilt

Da divergiert, divergiert auch die Reihe.

Alternative Lösung: Mit Hilfe eines einfachen Umformungstricks lässt sich die Folge der Partialsummen auch direkt nach unten Abschätzen:

Wegen (harmonische Reihe) ist unbeschränkt, und die Reihe somit divergent.

Teilaufgabe 2: Es gilt

In dieser Form bildet die Reihe offensichtlich eine Teleskopreihe mit , und es gilt:

Teilaufgabe 3: Der Hinweis gilt wegen

Bei der Teleskopsumme handelt es sich hier um eine allgemeinere Variante, bei der nicht nur der erste und der letzte Summand, sondern die ersten beiden und die letzten beiden Summanden übrig bleiben:

Teilaufgabe 4: Es gilt

Dadurch entsteht nun die folgende Teleskopsumme:

Teilaufgabe 5: Laut dem Hinweis gilt

Damit lässt sich die Reihe als Differenz zweier Telekopreihen berechnen:

Alternative Lösung: Es gilt

Damit lässt sich die Reihe als Telekopreihen berechnen:

Teilaufgabe 6: Es gilt

Damit folgt

Geometrische Reihen[Bearbeiten]

Aufgabe (Berechnung geometrischer Reihen)

Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls mit Hilfe der Rechenregeln den Grenzwert.

  1. mit für gerade und für ungerade

Lösung (Berechnung geometrischer Reihen)

Teilaufgabe 1: Es gilt

Teilaufgabe 2: Wegen divergiert die Reihe.

Teilaufgabe 3: Da die Reihe konvergiert, gilt mit den Rechenregeln

Teilaufgabe 4: Da die Reihen und konvergieren, gilt mit den Rechenregeln

Teilaufgabe 5: Da die Reihen und konvergieren, gilt mit den Rechenregeln

Teilaufgabe 6: Da die Reihen und konvergieren, gilt mit den Rechenregeln

Harmonische Reihen[Bearbeiten]

Aufgabe (Harmonische Reihen)

Für diese Aufgabe darfst du voraussetzen, dass konvergiert, und gilt.

  1. Begründe, dass die Reihen , und konvergieren.
  2. Berechne und .

Lösung (Harmonische Reihen)

Teilaufgabe 1:

1. Reihe: Die Folge der Partialsummen ist monoton steigend, da alle Summanden positiv sind. Außerdem ist nach oben beschränkt, wegen

Also konvergiert nach dem Monotoniekriterium.

2. Reihe: Da konvergiert, konvergiert nach den Grenzwertsätzen für Reihen auch .

3. Reihe: Wegen konvergiert die Reihe absolut, und daher auch im gewöhnlichen Sinne.


Teilaufgabe 2:

1. Reihe: Es gilt

Daraus folgt nun

2. Reihe: Es gilt

Anmerkung[Bearbeiten]

Für die verallgemeinerte harmonische Reihe mit lässt sich analog zeigen:


Aufgabe (Alternierende harmonische Reihen)

Für diese Aufgabe darfst du voraussetzen, dass konvergiert und gilt.

Begründe, warum die Reihe konvergiert, und berechne anschließend ihren Grenzwert.

Lösung (Alternierende harmonische Reihen)

  • Konvergenz: Wir zeigen sogar, dass die Reihe absolut konvergiert. Im Kapitel über absolute Konvergenz haben wir gezeigt, dass sie dann auch im gewöhnlichen Sinne konvergiert. Sei also . Da alle Summanden positiv sind, ist monoton steigend. Weiter gilt
.

Also beschränkt, und daher nach dem Monotoniekriterium konvergent.

  • Grenzwert: Es gilt

e-Reihe[Bearbeiten]

Aufgabe (e-Reihen)

Begründe, warum die folgenden Reihen konvergieren, und berechne dann deren Grenzwert:

Lösung (e-Reihen)

Teilaufgabe 1: Die Folge der Partialsummen ist monoton wachsend und nach oben beschränkt, wegen

Also konvergiert die Folge nach dem Monotoniekriterium.

Weiter gilt

Alternative Lösung: Mit Teleskopsumme. Es gilt

Teilaufgabe 2: Die Folge der Partialsummen ist monoton wachsend und nach oben beschränkt, wegen

Also konvergiert die Folge nach dem Monotoniekriterium.

Weiter gilt

Aufgaben zu Umordnungen von Reihen[Bearbeiten]

Aufgabe (Umordnungen von alternierenden harmonischen Reihen)

Die alternierende harmonische Reihen

und

konvergieren gegen die Grenzwerte bzw. . Zeige, dass die folgenden Umordnungen gegen die angegebenen Grenzwerte konvergieren:

Hinweis zu Teilaufgabe 2: Zeige zunächst: , falls die -te Partialsumme der alternierenden harmonischen Reihe, und die -te Partialsummen der umgeordneten Reihe ist.

Lösung (Umordnungen von alternierenden harmonischen Reihen)

Teilaufgabe 1: Sind und die Partialsummen der alternierenden harmonischen Reihe , und der Umordnung aus Teil 1, so gilt

Nun konvergiert , und damit , gegen . Also konvergiert auch , und damit , gegen .

Teilaufgabe 2: Es gilt

Da und gegen konvergieren, konvergiert gegen . Mit dem eben Gezeigten konvergiert auch , und damit gegen .

Teilaufgabe 3: Wegen konvergiert die Reihe absolut. Mit dem Umordungssatz für absolut konvergente Reihen konvergiert auch jede Umordung dieser Reihe gegen denselben Grenzwert. Also konvergiert die angegebene Umordung gegen .

Aufgabe (Umordnungen von konvergenter, jedoch nicht absolut konvergenter Reihen)

Beweise die folgenden Aussagen: Ist eine konvergente, jedoch nicht absolut konvergente Reihe, so gibt es eine Umordnung dieser Reihe, die

  1. divergiert, jedoch nicht bestimmt gegen oder .
  2. gegen ein beliebiges konvergiert.

Lösung (Umordnungen von konvergenter, jedoch nicht absolut konvergenter Reihen)

Wir benutzen in beiden Teilaufgaben, dass bei einer konvergente, jedoch nicht absolut konvergente Reihe , sowohl die Reihe der positiven Glieder als auch die Reihe der negativen Glieder uneigentlich gegen bzw. konvergiert.

Teilaufgabe 1: Wir wählen zunächst so, dass ist. Für unsere Umordnung setzen wir für . Dann ist .

Nun wählen wir mit so, dass ist. Für unsere Umordnung setzen wir daher für . Dann ist .

Anschließend wählen wir wieder ein mit , so dass wieder gilt und setzen für , so ist .

Dies setzen wir mit den negativen Summanden erneut fort und bestimmen mit , so dass bei entsprechender Anpassung unserer Umordnung gilt .

Führen wir dies nun sukzessive fort, so erhalten wir die Umordnung unserer Reihe für die gilt:

Zu jedem gibt es mit und mit .

Die so entstandene Umordnung divergiert daher, jedoch nicht bestimmt gegen oder .

Teilaufgabe 2: Hier wählen wir zunächst das kleinstmögliche so, dass ist. Für unsere Umordnung bedeutet dies für . Dann ist .

Nun wählen wir das kleinstmögliche mit . Setzen wir für , so gilt .

Dieses Prinzip setzen wir fort, und erhalten so weiter kleinstmögliche und , so dass bei entsprechender Anpassung von gilt und .

Führen wir dies nun sukzessive fort, so erhalten wir die Umordnung der alternierenden harmonischen Reihe mit

Die so entstandene Umordnung konvergiert gegen , denn es gilt für :

Für gilt , sowie und . Daher folgt mit dem Sandwichsatz:

Aufgaben zum Cauchy-Produkt[Bearbeiten]

Aufgabe (Gegenbeispiele zur intuitiven Formel)

Finde jeweils ein Beispiel zweier Reihen und , so dass

  1. beide Reihen konvergieren, jedoch divergiert.
  2. beide Reihen divergieren, jedoch konvergiert.

Lösung (Gegenbeispiele zur intuitiven Formel)

Lösung Teilaufgabe 1:

Wählen wir beispielsweise , so konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium.

Jedoch gilt , und diese Reihe divergiert, da es sich um die Harmonische Reihe handelt.

Lösung Teilaufgabe 2:

Wählen wir umgekehrt beispielsweise , so divergiert die harmonische Reihe .

Jedoch ist die Reihe konvergent.