Cauchy-Produkt für Reihen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Kapitel wollen wir untersuchen, unter welchen Voraussetzungen es erlaubt ist, Reihen miteinander zu multiplizieren. Für die Produktreihe werden wir eine sehr praktische Formel herleiten, die Cauchy-Produkt Formel. Eine sehr wichtige Anwendung ist die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion. Als Voraussetzung für das Cauchy-Produkt wird, wie schon beim Umordnungssatz, die absolute Konvergenz die entscheidende Rolle spielen.

Der Intuitive Ansatz scheitert

Ziel in diesem Kapitel ist es eine Reihenformel $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ für das Produkt zweier Reihen $\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)$ herzuleiten und zu untersuchen unter welchen Voraussetzungen die Produktreihe konvergiert. Wie wir schon im Kapitel Rechenregeln für Reihen gesehen haben, ist die intuitive Lösung $\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\cdot b_{k}$ leider falsch. Als Beispiel betrachten wir das Produkt der beiden geometrischen Reihen $\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}$ und $\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{3}}\right)^{k}$. Denn mit der Geometrischen Summenformel gilt zum einen

${\begin{aligned}\left(\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{3}}\right)^{k}\right)={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{3}}}}={\frac {1}{\frac {1}{2}}}\cdot {\frac {1}{\frac {2}{3}}}=2\cdot {\frac {3}{2}}=3\end{aligned}}$

Zum Anderen ist aber

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\cdot \left({\frac {1}{3}}\right)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{3}}\right)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{6}}\right)^{k}={\frac {1}{1-{\frac {1}{6}}}}={\frac {1}{\frac {5}{6}}}={\frac {6}{5}}\end{aligned}}$

Wir können diese Formel daher ,,getrost vergessen´´!

Multiplikation endlicher Summen

Um der tatsächlichen Reihenformel auf die Schliche zu kommen, betrachten wir zunächst endliche Summen $\sum _{k=0}^{n}a_{k}$ und $\sum _{k=0}^{n}b_{k}$. Der Vorteil bei endliche Summen ist, dass bei diesen die allgemeine Rechengesetze gelten (siehe Eigenschaften für Summe und Produkt). Wir können die Summanden des Produktes also beliebig ausmultiplizieren, vertauschen und Klammern setzen, um eine Summenformel der Form $\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{n}b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}$ zu erhalten.

1. Versuch: Ausmultiplizieren der vollen Summequadrate

Es gilt

${\begin{aligned}\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{n}b_{k}\right)&=(a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n})\cdot (b_{0}+b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n})\\&=(a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n})\cdot b_{0}+(a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n})\cdot b_{1}+\ldots +(a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n})\cdot b_{n}\\&=(a_{0}\cdot b_{0}+a_{1}\cdot b_{0}+a_{2}\cdot b_{0}+\ldots +a_{n}\cdot b_{0})+(a_{0}\cdot b_{1}+a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{1}+\ldots +a_{n}\cdot b_{1})+\ldots +(a_{0}\cdot b_{n}+a_{1}\cdot b_{n}+a_{2}\cdot b_{n}+\ldots +a_{n}\cdot b_{n})\\&=\sum _{k=0}^{n}\sum _{i=0}^{n}a_{k}\cdot b_{i}\end{aligned}}$

Andererseits gilt ebenso

${\begin{aligned}\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{n}b_{k}\right)&=(a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n})\cdot (b_{0}+b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n})\\&=a_{0}\cdot (b_{0}+b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n})+a_{1}\cdot (b_{0}+b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n})+a_{2}\cdot (b_{0}+b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n})+\ldots +a_{n}\cdot (b_{0}+b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n})\\&=(a_{0}\cdot b_{0}+a_{0}\cdot b_{1}+a_{0}\cdot b_{2}+\ldots +a_{0}\cdot b_{n})+(a_{1}\cdot b_{0}+a_{1}\cdot b_{1}+a_{1}\cdot b_{2}+\ldots +a_{1}\cdot b_{n})+\ldots +(a_{n}\cdot b_{0}+a_{n}\cdot b_{1}+a_{n}\cdot b_{2}+\ldots +a_{n}\cdot b_{n})\\&=\sum _{i=0}^{n}\sum _{k=0}^{n}a_{k}\cdot b_{i}\end{aligned}}$

Vertauschung der Reihenfolge bei Doppelsummen

Die beiden Doppelsummen bringen uns jedoch leider nicht weiter, da beide Summen von $1$ bis $n$ laufen, und wir ja eine kompakte Darstellung $\sum _{k=0}^{n}c_{k}$ suchen. Die innere Summe darf dafür nur bis $k$ laufen! :-(

2. Versuch: Dreieckssummen

Der „Trick“ beim Cauchy-Produkt ist es, nicht wie oben die vollen „Quadratsummen“ zu betrachten, sondern nur die Reihenfolge der „Dreieckssummen“ zu vertauschen:

Vertauschung der Reihenfolge bei den Dreieckssummen

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}\sum _{i=0}^{n-k}a_{k}b_{i}&=a_{0}\cdot (b_{0}+b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n})+a_{1}\cdot (b_{0}+b_{1}+\ldots +b_{n-1})+\ldots +a_{n-1}\cdot (b_{1}+b_{0})+a_{n}\cdot b_{0}\\[0.25cm]&\downarrow \ {\text{Allgemeines Distributivgesetz}}\\[0.25cm]&=a_{0}b_{0}+a_{0}b_{1}+a_{0}b_{2}+\ldots +a_{0}b_{n}+a_{1}b_{0}+a_{1}b_{1}+\ldots +a_{1}b_{n-1}+\ldots +a_{n-1}b_{1}+a_{n-1}b_{0}+a_{n}b_{0}\\[0.25cm]&\downarrow \ {\text{Allgemeines Kommutativ- und Assoziativgesetz}}\\[0.25cm]&=a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0})+\ldots +(a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+a_{2}b_{n-2}+\ldots +a_{n-1}b_{1}+a_{n}b_{0})\\[0.25cm]&=\sum _{k=0}^{n}\sum _{i=0}^{k}a_{i}\cdot b_{k-i}\\[0.25cm]&=\sum _{k=0}^{n}c_{k}\quad {\text{mit}}\ c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}\cdot b_{k-i}\end{aligned}}$

Cauchy-Produktformel mit Beispiel

Damit haben wir einen „heißen Kandidaten“ für unsere Reihen-Produktformel gefunden! Dieser lautet: ${\begin{aligned}\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}\quad {\text{mit}}\quad c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}\cdot b_{k-i}\end{aligned}}$

Bevor wir uns an den allgemeinen Beweis der Formel ranwagen, überprüfen wir sie zunächst Mal an unserem Beispiel von oben. Wir haben schon gezeigt $\left(\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{3}}\right)^{k}\right)=3$. Andererseits gilt

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}&=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i=0}^{k}a_{i}\cdot b_{k-i}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i=0}^{k}\left({\frac {1}{2}}\right)^{i}\cdot \left({\frac {1}{3}}\right)^{k-i}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i=0}^{k}\left({\frac {1}{2}}\right)^{i}\cdot \left({\frac {1}{3}}\right)^{k}\cdot \left({\frac {1}{3}}\right)^{-i}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{3}}\right)^{k}\cdot \sum _{i=0}^{k}\left({\frac {1}{2}}\right)^{i}\cdot \left({\frac {1}{3}}\right)^{-i}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{3}}\right)^{k}\cdot \sum _{i=0}^{k}\left({\frac {1}{2}}\right)^{i}\cdot \left({\frac {3}{1}}\right)^{i}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{3}}\right)^{k}\cdot \sum _{i=0}^{k}\left({\frac {3}{2}}\right)^{i}\\&\downarrow \quad {\text{Geometrische Summenformel}}\quad \sum _{i=0}^{k}q^{i}={\frac {1-q^{k+1}}{1-q}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{3}}\right)^{k}\cdot {\frac {1-\left({\frac {3}{2}}\right)^{k+1}}{1-{\frac {3}{2}}}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\frac {1}{3}}\right)^{k}-\left({\frac {1}{3}}\right)^{k}\cdot \left({\frac {3}{2}}\right)^{k+1}}{-{\frac {1}{2}}}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\frac {1}{3}}\right)^{k}-\left({\frac {3}{2}}\right)\cdot \left({\frac {3}{2}}\cdot {\frac {1}{3}}\right)^{k}}{-{\frac {1}{2}}}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\left[(-2)\cdot \left({\frac {1}{3}}\right)^{k}-(-2)\cdot \left({\frac {3}{2}}\right)\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\right]\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\left[(-2)\cdot \left({\frac {1}{3}}\right)^{k}+3\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\right]\\&\downarrow \quad {\text{Rechenregeln für Reihen}}\\&=(-2)\cdot \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{3}}\right)^{k}+3\cdot \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\\&\downarrow \quad {\text{Geometrische Reihenformel}}\\&=(-2)\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{3}}}}+3\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}\\&={\frac {-2}{\frac {2}{3}}}+{\frac {3}{\frac {1}{2}}}\\&=-2\cdot {\frac {3}{2}}+3\cdot 2\\&=-3+6\\&=3\end{aligned}}$

Also ist unsere Formel für diese beiden Reihen richtig!

Gegenbeispiel mit konvergenten Reihen

Im Beispiel oben waren beide Reihen $\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}$ und $\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{3}}\right)^{k}$ absolut konvergent. Die Frage ist nun, ob dies, wie beim Umordnungssatz für Reihen eine hinreichende und notwendige Bedingung ist, oder ob es ausreicht, wenn die beiden Reihen nur im gewöhnlichen Sinne konvergieren.

Dazu betrachten wir die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}$. Diese konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium, jedoch nicht absolut, da die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }\left|{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}\right|=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {k+1}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {k}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{\frac {1}{2}}}}$ nach dem Verdichtungskriterium divergiert. Wir bilden das Produkt der Reihe mit sich selbst, d.h. es ist $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}$. Für die rechte Seite in unserer Formel gilt dann

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}&=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i=0}^{k}a_{i}\cdot b_{k-i}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i=0}^{k}{\frac {(-1)^{i}}{\sqrt {i+1}}}\cdot {\frac {(-1)^{k-i}}{\sqrt {k-i+1}}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i=0}^{k}{\frac {(-1)^{i}\cdot (-1)^{k-i}}{{\sqrt {i+1}}\cdot {\sqrt {k-i+1}}}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i=0}^{k}{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {(i+1)(k-i+1)}}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\underbrace {(-1)^{k}\cdot \sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{\sqrt {(i+1)(k-i+1)}}}} _{=c_{k}}\end{aligned}}$

Nun ist aber

${\begin{aligned}|c_{k}|&=\sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{\sqrt {(i+1)(k-i+1)}}}\\&\downarrow \quad \left(i+1\leq k+1\Longrightarrow {\frac {1}{i+1}}\geq {\frac {1}{k+1}}\Longrightarrow {\frac {1}{\sqrt {i+1}}}\geq {\frac {1}{\sqrt {k+1}}}\right){\text{ und }}\\&\quad \ \left(k-i+1\leq k+1\Longrightarrow {\frac {1}{k-i+1}}\geq {\frac {1}{k+1}}\Longrightarrow {\frac {1}{\sqrt {k-i+1}}}\geq {\frac {1}{\sqrt {k+1}}}\right){\text{ für }}0\leq i\leq k\\&\geq \sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{\sqrt {(k+1)(k+1)}}}\\&=\sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{\sqrt {(k+1)^{2}}}}\\&=\sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{k+1}}\\&={\frac {1}{k+1}}\cdot \sum _{i=0}^{k}1\\&={\frac {1}{k+1}}\cdot (k+1)\\&={\frac {k+1}{k+1}}\\&=1\end{aligned}}$

Also ist die Folge der Reihenglieder $(c_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ keine Nullfolge. Nach dem Trivialkriterium divergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$.

Dieses Gegenbeispiel zeigt, dass „gewöhnliche“ Konvergenz für die beiden Reihen, die multipliziert werden nicht ausreicht!

Cauchy-Produkt für absolut konvergente Reihen

Satz (Cauchy-Produkt für Reihen)

Sind die Reihen $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ und $\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ absolut konvergent, so konvergiert auch die Produktreihe $\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)$ absolut und es gilt die Cauchy-Produktformel

$A\cdot B:=\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}\quad {\text{mit}}\quad c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}\cdot b_{k-i}$

Beweis (Cauchy-Produkt für Reihen)

Seien $A_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$ und $B_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{k}$ die $n$-te Partialsummen der Reihen und $A_{n}^{*}=\sum _{k=0}^{n}|a_{k}|$ und $B_{n}^{*}=\sum _{k=0}^{n}|b_{k}|$.

Beweisschritt: $(A_{n}B_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(A_{n}^{*}B_{n}^{*})$ konvergieren.

Da $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ und $\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$ absolut konvergieren, konvergieren nach den Grenzwertsätzen für Folgen ebenso $(A_{n}B_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(A_{n}^{*}B_{n}^{*})_{n\in \mathbb {N} }$. Außerdem konvergiert $(A_{n}B_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $A\cdot B:=\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)$ und $(A_{n}^{*}B_{n}^{*})_{n\in \mathbb {N} }$ ist eine Cauchy-Folge.

Beweisschritt: $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ mit $c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}\cdot b_{k-i}$ konvergiert ebenfalls gegen $A\cdot B$

Quadratsumme

Multiplizieren wir die Partialsummen $A_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$ und $B_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{k}$, so erhalten wir die „Quadratsumme“

$A_{n}\cdot B_{n}=\sum _{k,i=0}^{n}a_{k}\cdot b_{i}=\sum \{a_{k}\cdot b_{i}\mid (k,i)\in Q_{n}\}\ {\text{ mit }}\ Q_{n}=\{(k,i)\in \mathbb {N} _{0}\times \mathbb {N} _{0}\mid 0\leq k\leq n,\ 0\leq i\leq n\}$

Dreieckssume

Andererseits ist $C_{n}=\sum _{k=0}^{n}c_{k}$ gleich der „Dreieckssumme“

$\sum _{k=0}^{n}c_{k}=\sum _{k=0}^{n}\sum _{i=0}^{k}a_{i}\cdot b_{k-i}=\sum \{a_{k}\cdot b_{i}\mid (k,i)\in \triangle _{n}\}\ {\text{ mit }}\ \triangle _{n}=\{(k,i)\in \mathbb {N} _{0}\times \mathbb {N} _{0}\mid k+i\leq n\}$

Differenz aus Quadrat- und Dreieckssumme

Wegen $\triangle _{n}\subset Q_{n}$ ist außerdem

$A_{n}\cdot B_{n}-C_{n}=\sum _{k+i>n}a_{k}\cdot b_{i}=\sum \{a_{k}\cdot b_{i}\mid (k,i)\in Q_{n}\setminus \triangle _{n}\}$

Differenz der Quadratsummen

Zuletzt ist noch $Q_{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }\subset \triangle _{n}$ und daher $Q_{n}\setminus \triangle _{n}\subset Q_{n}\setminus Q_{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }$. Dabei ist $\lfloor .\rfloor$ die Gaußklammer, d.h. größte ganze Zahl $\leq {\tfrac {n}{2}}$. Diese bewirkt, dass ${\tfrac {n}{2}}$ abgerundet wird, falls $n$ ungerade ist. Ist ${\tfrac {n}{2}}$ gerade, so ändert sie Nichts. Daraus folgt für den Betrag unserer Differenz

${\begin{aligned}|A_{n}\cdot B_{n}-C_{n}|&=\left|\sum \{a_{k}\cdot b_{i}\mid (k,i)\in Q_{n}\setminus \triangle _{n}\}\right|\\[0.2cm]&\downarrow \quad {\text{Dreiecksungleichung}}\\[0.2cm]&\leq \sum \{|a_{k}\cdot b_{i}|\mid (k,i)\in Q_{n}\setminus \triangle _{n}\}\\[0.2cm]&\downarrow \quad Q_{n}\setminus \triangle _{n}\subset Q_{n}\setminus Q_{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }\\[0.2cm]&\leq \sum \{|a_{k}\cdot b_{i}|\mid (k,i)\in Q_{n}\setminus Q_{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }\}\\[0.2cm]&=A_{n}^{*}\cdot B_{n}^{*}-A_{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }^{*}\cdot B_{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }^{*}\end{aligned}}$

Da $(A_{n}^{*}\cdot B_{n}^{*})$ nach Beweisschritt 1 eine Cauchy-Folge ist, konvergiert die Differenz für $n\to \infty$ gegen $0$. Damit folgt

$\lim _{n\to \infty }C_{n}=\lim _{n\to \infty }A_{n}\cdot B_{n}=A\cdot B$

Beweisschritt: $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ konvergiert absolut, d.h. $\sum _{k=0}^{\infty }|c_{k}|$.

Es gilt

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}|c_{k}|&=\sum _{k=0}^{n}\left|\sum _{i=0}^{k}a_{i}\cdot b_{k-i}\right|\\[0.2cm]&\downarrow \quad {\text{Dreiecksungleichung}}\\&\leq \sum _{k=0}^{n}\sum _{i=0}^{k}|a_{i}|\cdot |b_{k-i}|\\[0.2cm]&=\sum _{i+k\leq n}|a_{k}|\cdot |b_{i}|\\[0.2cm]&\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{n}|b_{i}|\right)\\[0.2cm]&\leq \left(\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{\infty }|b_{i}|\right)\\[0.2cm]&=A\cdot B\end{aligned}}$

Also sind die Partialsummen $\sum _{k=0}^{n}|c_{k}|$ beschränkt, daraus folgt die absolute Konvergenz der Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$.

Anwendungsbeispiele

Funktionalgleichung der Exponentialfunktion

Wir starten mit der „Mutter aller Anwendungsbeipiele“ zum Cauchy-Produkt, der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion. Die Exponentialreihe $\exp(x):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}$ konvergiert mit dem Quotientenkriterium für alle $x\in \mathbb {R}$ absolut, denn

${\begin{aligned}\lim _{k\to \infty }\left|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|&=\lim _{k\to \infty }{\frac {x^{k+1}}{(k+1)!}}\cdot {\frac {k!}{x^{k}}}\\[0.5em]&=\lim _{k\to \infty }{\frac {x}{k+1}}\\[0.5em]&=0<1\end{aligned}}$

Damit ist die Cauchy-Produktformel anwendbar, und es gilt

${\begin{aligned}\exp(x)\cdot \exp(y)&=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}\right)\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Cauchy-Produktformel}}\ \left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i=0}^{k}a_{i}\cdot b_{k-i}\right.}\\[0.3em]&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}}\cdot {\frac {y^{n-k}}{(n-k)!}}\\[0.3em]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}x^{k}\cdot y^{n-k}\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition des Binomialkoeffizienten}}\right.}\\[0.3em]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}\cdot y^{n-k}\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Binomischer Lehrsatz}}\right.}\\[0.3em]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(x+y)^{n}}{n!}}\\[0.3em]&=\exp(x+y)\end{aligned}}$

Cauchy-Produkt Geometrischer Reihen

Die Geometrische Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$ konvergiert für alle $x\in \mathbb {R}$ mit $|x|<1$ absolut und es gilt die Geometrische Summenformel $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}={\frac {1}{1-x}}$.

${\begin{aligned}&\left(\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}\right)\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Cauchy-Produktformel}}\ \left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i=0}^{k}a_{i}\cdot b_{k-i}\right.}\\[0.3em]=&\ \sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i=0}^{k}x^{i}\cdot x^{k-i}\\[0.3em]=&\ \sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i=0}^{k}x^{i+k-i}\\[0.3em]=&\ \sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i=0}^{k}x^{k}\\[0.3em]=&\ \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}\cdot \sum _{i=0}^{k}1\\[0.3em]=&\ \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}\cdot (k+1)\\[0.3em]=&\ \sum _{k=0}^{\infty }(k+1)x^{k}\end{aligned}}$

Andererseits gilt mit der geometrischen Summenformel $\left(\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}\right)=\left({\frac {1}{1-x}}\right)\cdot \left({\frac {1}{1-x}}\right)={\frac {1}{(1-x)^{2}}}$. Daraus folgt nun

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }(k+1)x^{k}={\frac {1}{(1-x)^{2}}}\end{aligned}}$

Hinweis

Allgemeiner gilt für alle $p\in \mathbb {N}$ und für $|x|<1$ die Formel

$\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {k+p-1}{k}}x^{k}={\frac {1}{(1-x)^{p}}}$

Für $p=1$ ergibt sich die geometrische Summenformel, für $p=2$ die Formel aus dem Beispiel. Zum Beweis verweisen wir auf die entsprechende Übungsaufgabe.

Cauchy-Produkt von Sinus- und Kosinus-Reihe

Mit Hilfe des Cauchy-Produktes lassen sich auch verschiedene Identitäten für die Sinus- und Kosinusfunktion beweisen. Dazu benutzen wir die Reihendarstellungen $\sin(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}x^{2k+1}$ und $\cos(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}x^{2k}$. Diese konvergieren nach dem Quotientenkriterium absolut für alle $x\in \mathbb {R}$.

Additionstheorem der Sinusfunktion

Wir zeigen zunächst das Additionstheorem für die Sinusfunktion

$\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$ für alle $x,y\in \mathbb {R}$

Wir starten auf der rechten Seite der Gleichung

${\begin{aligned}\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)&=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}x^{2k+1}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}y^{2k}\right)+\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}y^{2k+1}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}x^{2k}\right)\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Cauchy-Produktformel}}\ \left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i=0}^{k}a_{i}\cdot b_{k-i}\ {\text{zweimal angewendet}}\right.}\\[0.3em]=&\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i=0}^{k}{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}x^{2i+1}\cdot {\frac {(-1)^{k-i}}{(2(k-i))!}}y^{2(k-i)}+\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i=0}^{k}{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}x^{2i}\cdot {\frac {(-1)^{k-i}}{(2(k-i)+1)!}}y^{2(k-i)+1}\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \quad {\text{Summen zusammenfassen}}\right.}\\[0.3em]=&\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\sum _{i=0}^{k}{\frac {x^{2i+1}y^{2k-2i}}{(2i+1)!\cdot (2k-2i)!}}x^{2i+1}y^{2k-2i}+\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\sum _{i=0}^{k}{\frac {x^{2i}y^{2k-2i+1}}{(2i)!\cdot (2k-2i+1)!}}\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \quad {\text{Zusammenfassen beider Reiher erlaubt, da beide konvergieren}}\right.}\\[0.3em]=&\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\sum _{i=0}^{k}{\frac {x^{2i+1}y^{2k-2i}}{(2i+1)!\cdot (2k-2i)!}}+{\frac {x^{2i}y^{2k-2i+1}}{(2i)!\cdot (2k-2i+1)!}}\\[0.3em]=&\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\sum _{i=0}^{k}\underbrace {\frac {x^{2i+1}y^{2k+1-(2i+1)}}{(2i+1)!\cdot (2k+1-(2i+1))!}} _{\text{ungerade i-Terme}}+\underbrace {\frac {x^{2i}y^{2k+1-2i}}{(2i)!\cdot (2k+1-2i)!}} _{\text{gerade i-Terme}}\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \quad {\text{gerade und ungerade i-Terme zusammenfassen}}\right.}\\[0.3em]=&\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\sum _{i=0}^{2k+1}{\frac {x^{i}y^{2k+1-i}}{i!\cdot (2k+1-i)!}}\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \quad {\frac {(2k+1)!}{(2k+1)!}}\quad {\text{ergänzen}}\right.}\\[0.3em]=&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}\sum _{i=0}^{2k+1}{\frac {(2k+1)!}{i!\cdot (2k+1-i)!}}x^{i}y^{2k+1-i}\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \quad {\frac {(2k+1)!}{i!\cdot (2k+1-i)!}}={\binom {2k+1}{i}}\right.}\\[0.3em]=&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}\sum _{i=0}^{2k+1}{\binom {2k+1}{i}}x^{i}y^{2k+1-i}\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \quad {\text{Binomischer Lehrsatz:}}\quad \sum _{i=0}^{2k+1}{\binom {2k+1}{i}}x^{i}y^{2k+1-i}=(x+y)^{2k+1}\right.}\\[0.3em]=&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}(x+y)^{2k+1}\\[0.3em]=&\sin(x+y)\end{aligned}}$

Hinweis

Sehr ähnlich zeigt man für alle $x,y\in \mathbb {R}$ das Kosinus-Additionstheorem

$\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$

Zum Beweis siehe auf die entsprechende Übungsaufgabe.

Formel für die Kosinusfunktion

Als zweites Beispiel zeigen wir für $x\in \mathbb {R}$ die Formel

$2\cdot \cos(x)^{2}=\cos(2x)+1$

Da die Kosiuns-Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}x^{2k}$ für $x\in \mathbb {R}$ absolut konvergiert, gilt

${\begin{aligned}2\cdot \cos(x)^{2}&=2\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}x^{2k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}x^{2k}\right)\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Cauchy-Produktformel}}\ \left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i=0}^{k}a_{i}\cdot b_{k-i}\right.}\\[0.3em]=&\ 2\cdot \sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i=0}^{k}{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}x^{2i}\cdot {\frac {(-1)^{k-i}}{(2(k-i))!}}x^{2(k-i)}\\[0.3em]=&\ 2\cdot \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{2k}\sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{(2i)!\cdot (2k-2i)!}}\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \quad {\frac {(2k)!}{(2k)!}}\quad {\text{ergänzen}}\right.}\\[0.3em]=&\ 2\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}x^{2k}\sum _{i=0}^{k}{\frac {(2k)!}{(2i)!\cdot (2k-2i)!}}\\[0.3em]=&\ 2\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}x^{2k}\sum _{i=0}^{k}{\binom {2k}{2i}}\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \quad {\text{Summanden}}\quad k=0\quad {\text{aus Summe ziehen}}\right.}\\[0.3em]=&\ 2\cdot \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}x^{2k}\sum _{i=0}^{k}{\binom {2k}{2i}}+\underbrace {2\cdot {\frac {(-1)^{0}}{0!}}x^{0}{\binom {0}{0}}} _{=2}\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \quad \sum _{i=0}^{k}{\binom {2k}{2i}}=2^{2k-1}\ {\text{für}}\ k\geq 1\right.}\\[0.3em]=&\ 2\cdot \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}x^{2k}2^{2k-1}+2\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \quad {\text{Vorfaktor}}\ 2\ {\text{in Reihe ziehen erlaubt, da diese konvergiert}}\right.}\\[0.3em]=&\ \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}x^{2k}2^{2k}+2\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \quad {\text{Summanden}}\quad k=0\quad {\text{ergänzen}}\right.}\\[0.3em]=&\ \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}(2x)^{2k}-\underbrace {{\frac {(-1)^{0}}{0!}}(2x)^{0}} _{=1}+2\\[0.3em]=&\ \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}(2x)^{2k}+1\\[0.3em]=&\ \cos(2x)+1\end{aligned}}$

Hinweis

Die Formel kann einfacher auch ohne das Cauchy-Produkt mit Hilfe des Additiontheorems für den Kosinus und des trigonometrische Pythagoras beweisen:

${\begin{aligned}\cos(2x)+1&=\cos(x+x)+1\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kosinus-Additionstheorem}}\ \cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)\right.}\\[0.3em]=&\ \cos(x)\cos(x)-\sin(x)\sin(x)+1\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow {\text{Trigonometrischer Pythagoras}}\quad \sin(x)^{2}+\cos(x)^{2}=1\right.}\\[0.3em]=&\ \cos(x)^{2}-\sin(x)^{2}+\sin(x)^{2}+\cos(x)^{2}\\[0.3em]=&\ \cos(x)^{2}+\cos(x)^{2}\\[0.3em]=&\ 2\cdot \cos(x)^{2}\end{aligned}}$

Abschließendes Gegenbeispiel

Wir haben oben schon gesehen, dass das Cauchy-Produkt zweier konvergenter Reihen, die jedoch nicht absolut konvergieren, divergieren kann. Ebenso kann es auch umgekehrt sein, dass das Cauchy-Produkt zweier divergenter Reihen konvergiert. Dazu betrachten wir die Reihen

$-1+\sum _{k=1}^{\infty }1\quad {\text{und}}\quad 2+\sum _{k=1}^{\infty }2^{k}$

Beide Reihen sind offensichtlich divergent, da die Partialsummen unbeschränkt sind. Für das Cauchy-Produkt gilt jedoch

${\begin{aligned}&\left(-1+\sum _{k=1}^{\infty }1\right)\cdot \left(2+\sum _{k=1}^{\infty }2^{k}\right)&\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Cauchy-Produktformel}}\quad \left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i=0}^{k}a_{i}\cdot b_{k-i}\right.}\\[0.3em]=&\sum _{k=0}^{\infty }(\overbrace {-1\cdot 2^{k}} ^{a_{0}\cdot b_{k}}+\overbrace {1\cdot 2^{k-1}} ^{a_{1}\cdot b_{k-1}}+\overbrace {1\cdot 2^{k-2}} ^{a_{2}\cdot b_{k-2}}+\ldots +\overbrace {1\cdot 2^{2}} ^{a_{k-2}\cdot b_{2}}+\overbrace {1\cdot 2^{1}} ^{a_{k-1}\cdot b_{1}}+\overbrace {1\cdot 2} ^{a_{k}\cdot b_{0}})\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \quad {\text{Summanden zusammenfassen}}\right.}\\[0.3em]=&\sum _{k=0}^{\infty }(-2^{k}+2^{k-1}+2^{k-2}+\ldots +2^{2}+2^{1}+2)\\[0.3em]=&\sum _{k=0}^{\infty }(-2^{k}+\sum _{i=1}^{k-1}2^{i}+2)\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \quad {\text{0. Summanden}}\ 2^{0}\ {\text{ergänzt}}\right.}\\[0.3em]=&\sum _{k=0}^{\infty }(-2^{k}+\sum _{i=0}^{k-1}2^{i}-2^{0}+2)\\[0.3em]=&\sum _{k=0}^{\infty }(-2^{k}+\sum _{i=0}^{k-1}2^{i}+1)\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \quad {\text{Geometrische Summenformel}}\ \sum _{i=0}^{n}q^{i}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}\ {\text{mit}}\ q=2\ {\text{und}}\ n=k-1\right.}\\[0.3em]=&\sum _{k=0}^{\infty }(-2^{k}+{\frac {1-2^{k}}{1-2}}+1)\\[0.3em]=&\sum _{k=0}^{\infty }(-2^{k}+{\frac {1-2^{k}}{-1}}+1)\\[0.3em]=&\sum _{k=0}^{\infty }(-2^{k}-(1-2^{k})+1)\\[0.3em]=&\sum _{k=0}^{\infty }(-2^{k}-1+2^{k}+1)\\[0.3em]=&\sum _{k=0}^{\infty }0\\[0.3em]=&0\end{aligned}}$

Also konvergiert das Cauchy-Produkt und ergibt sogar null! Wer hätte das gedacht?! ;-)