Cauchy-Folgen und das Cauchy-Kriterium – Mathe für Nicht-Freaks

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Motivation[Bearbeiten]

In dem letzten Kapitel haben wir den Begriff des Grenzwerts einer Folge kennen gelernt. Du hast auch gesehen, wie man die Konvergenz einer Folge mit Hilfe der Epsilon-Definition des Grenzwerts beweisen kann. Für den Konvergenzbeweis mit der Epsilon-Definition ist es aber notwendig, den Grenzwert der Folge zu kennen beziehungsweise eine Vermutung zu haben, was der Grenzwert der Folge sein könnte.

Die Epsilon-Definition des Grenzwerts lautet nämlich: Zu jedem gibt es ein , so dass die Ungleichung für erfüllt ist. Dabei ist der Grenzwert der Folge . Du siehst: In der Epsilon-Definition muss man den Grenzwert kennen. Doch wie können wir die Konvergenz einer Folge zeigen, wenn es sehr schwer oder sogar unmöglich ist, den Grenzwert der Folge zu bestimmen? In diesem Kapitel steht deswegen folgende Frage im Vordergrund:

Wie kann man beweisen, dass eine Folge konvergiert, ohne den Grenzwert dieser Folge zu kennen?

Wie würdest du dieses Problem lösen? Ein erster Ansatz ist folgende Hypothese:

Eine Folge konvergiert genau dann, wenn der Abstand zwischen benachbarten Folgengliedern beliebig klein wird.

Diese Hypothese ist plausibel. Ist aber dieses Kriterium ausreichend? Leider nicht! Nimm zum Beispiel die Folge

Die Folge wird beliebig groß und divergiert damit. Der Abstand benachbarter Folgenglieder wird aber beliebig klein. Damit siehst du, dass wir ein stärkeres Kriterium als unsere obige Hypothese benötigen. Cauchy-Folgen erfüllen genau dieses stärkere Kriterium.

Herleitung von Cauchy-Folgen[Bearbeiten]

Nehmen wir die Epsilon-Eigenschaft des Grenzwerts und „spielen“ ein wenig damit herum. Wenn eine Folge gegen konvergiert, dann wissen wir aus der Epsilon-Definition der Konvergenz:

Fixieren wir ein . Es gibt dann einen von abhängigen Index , so dass für alle ist. Seien nun . Es ist dann

Insgesamt erhalten wir mit Hilfe der Dreiecksungleichung folgende Abschätzung für :

Folgenglieder nach müssen also alle untereinander einen Abstand kleiner als besitzen. Dies kann auch aus folgender Überlegung geschlussfolgert werden: Alle Folgenglieder nach müssen in der -Umgebung liegen:

Die Epsilon-Umgebung von a

Obige Epsilon-Umgebung besitzt die Breite . Da alle Folgenglieder nach in dieser Umgebung liegen, muss ihr Abstand untereinander kleiner als sein. Insgesamt haben wir also für die konvergente Folge folgendes gezeigt:

Diesen Ausdruck können wir nun schöner schreiben. Hierzu setzen wir . Wenn alle positiven Zahlen durchläuft, dann durchläuft auch alle positiven Zahlen. Die Abbildung bildet nämlich bijektiv auf ab (diese Abbildung nutzen wir, wenn wir setzen). Damit ist

Folgen mit dieser Eigenschaft werden Cauchy-Folgen genannt. Du siehst, dass diese Definition nicht auf den Grenzwert einer Folge zurückgreift. Später werden wir sehen, dass eine reelle Folge genau dann konvergiert, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Dadurch kann man die Konvergenz einer Folge beweisen, ohne den Grenzwert kennen zu müssen.

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Hinweis

In den folgenden Abschnitten werden wir bei Cauchy-Folgen anstelle von nutzen. In diesem Abschnitt hatten wir bereits früher verwendet, weswegen wir die neue Variable eingeführt hatten.

Definition von Cauchy-Folgen[Bearbeiten]

Fassen wir das bisher Hergeleitete zusammen:

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Definition (Cauchy-Folge)

Eine Folge heißt Cauchy-Folge, wenn es für alle ein natürliche Zahl gibt, so dass für alle ist.

Intuitiv gesprochen ist eine Folge genau dann eine Cauchy-Folge, wenn die Abstände der Folgenglieder untereinander beliebig klein werden. Beachte, dass hier mehr als nur der Abstand direkt benachbarter Folgenglieder gemeint ist. Zur Illustration:

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Beispiel (Eine Cauchy-Folge)

Die Folge mit ist eine Cauchy-Folge. Dazu müssen wir zeigen, dass es zu jedem ein gibt, so dass für alle gilt

Nehmen wir nun an. Der Fall geht analog, mit vertauschten Rollen von und . Nun gilt

Wählen wir nun so groß, dass ist (geht immer nach dem archimedischen Axiom). Dann gilt und damit auch für alle . Insgesamt folgt nun für alle mit :

Also ist eine Cauchy-Folge.

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Beispiel (Keine Cauchy-Folge)

Die Folge mit ist hingegen keine Cauchy-Folge. Zu jedem und können wir so weit auseinander wählen, dass garantiert ist. Wählen wir beispielsweise und nehmen ein beliebiges . Nun können wir und definieren. Es ist und

Damit erfüllt nicht die Cauchy-Definition für und ist damit keine Cauchy-Folge.

Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge[Bearbeiten]

Wir haben die Definition der Cauchy-Folge als Alternative zur Konvergenzdefinition hergeleitet. In den folgenden Abschnitten werden wir beweisen, dass bei reellwertigen Folgen jede Cauchy-Folge konvergiert und umgekehrt. Beginnen wir mit dem Beweis, dass konvergente Folgen Cauchy-Folgen sind:

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Satz

Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.

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Wie kommt man auf den Beweis?

In der Einleitung haben wir eigentlich schon den Beweis für den Satz aufgeschrieben. Hier haben wir nämlich ausgehend von der Epsilon-Definition der Konvergenz die Definition einer Cauchy-Folge hergeleitet. Um den Beweis schöner zu schreiben, sollten wir aber nicht den Umweg über die neue Variable gehen. Hierzu müssen wir einfach und fordern, damit am Ende der Abschätzung und nicht rauskommt.

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Beweis

Sei eine beliebige konvergente Folge. Sei . Es gibt dann ein mit

für alle . Sei nun beliebig. Es ist

Jede Cauchy-Folge ist beschränkt[Bearbeiten]

Genau wie bei konvergenten Folgen können wir folgenden Satz beweisen:

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Satz (Cauchy-Folgen sind beschränkt)

Jede Cauchy-Folge ist beschränkt.

Dieser Satz verwundert nicht. Wir haben Cauchy-Folgen eingeführt, um mit ihnen die Konvergenz einer Folge zeigen zu können. Jede Cauchy-Folge soll nämlich konvergieren (wir werden sehen, dass dies für reelle Folgen tatsächlich gilt) und konvergente Folgen sind bekanntlich beschränkt. Der Beweis zum obigen Satz ist ähnlich wie der entsprechende Beweis bei konvergenten Folgen:

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Beweis (Cauchy-Folgen sind beschränkt)

Sei eine Cauchy-Folge. Wir wissen, dass es für alle ein gibt, so dass für alle ist. Setzen wir wie beim Beschränktheitsbeweis konvergenter Folgen . Wir erhalten ein mit für alle . Setzen wir , dann ist

für alle . Damit liegen alle Folgenglieder für im Intervall . Somit sind alle Folgenglieder ab dem Index nach oben durch und nach unten durch beschränkt:

Vor liegen nur endlich viele Folgenglieder . Diese müssen deswegen zwangsweise beschränkt sein. So sind sie nach oben durch und nach unten durch beschränkt. Wir haben:

Insgesamt ist die Folge damit nach oben durch und nach unten durch beschränkt.

Cauchy-Folgen mit konvergenten Teilfolgen konvergieren[Bearbeiten]

Es folgt nun ein (Hilfs-)Satz, den wir später benötigen werden, um die Konvergenz einer (reellwertigen) Cauchy-Folge zu beweisen:

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Satz (Cauchy-Folgen mit konvergenten Teilfolgen konvergieren)

Jede Cauchy-Folge , die eine gegen konvergente Teilfolge besitzt, konvergiert gegen den Grenzwert der konvergenten Teilfolge.

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Wie kommt man auf den Beweis? (Cauchy-Folgen mit konvergenten Teilfolgen konvergieren)

Sei eine Cauchy-Folge und eine konvergente Teilfolge der Cauchy-Folge mit dem Grenzwert . Für die Cauchy-Folge wissen wir aus der Definition, dass die Folgenglieder beliebig nah beieinander liegen. Außerdem wissen wir für die konvergente Teilfolge, dass ihre Folgenglieder beliebig nah an liegen. Diese beiden Eigenschaften müssen wir nun zu einem Beweis kombinieren.

Sei also . Wir müssen nun ein finden, so dass für alle ist. Beginnen wir mit der Ungleichung

Wenn das Folgenglied in der Teilfolge liegt, ist obige Abschätzung kein Problem, da wir hier wissen, dass diese Ungleichung für ausreichend große Indizes erfüllt ist. Herausfordernd ist der Fall, dass kein Glied der Teilfolge ist. Aus der Cauchy-Eigenschaft folgt aber, dass es in einer beliebigen Umgebung von Glieder der Teilfolge geben muss und diese liegen bekanntlich beliebig nahe an dem Grenzwert. Wir können also den Abstand über den Umweg des Teilfolgenglieds abschätzen. Dies können wir durch die Dreiecksungleichung erreichen:

Beide Beträge können wir beliebig klein machen. Wenn beide Beträge kleiner als sind, dann ist garantiert kleiner als . Beginnen wir zunächst mit . Hier finden wir ein mit für alle . Die Zahl existiert, weil die Teilfolge gegen konvergiert.

Nun zum zweiten Betrag: Es gibt ein mit für alle . Anstelle von haben wir . Wir müssen also garantieren, dass ist. Generell ist , da eine steigende Folge natürlicher Zahlen ist. Damit können wir wählen, weil dann ist. Da aber auch größer als sein sollte, wählen wir ein . Beachte, dass es egal ist, welches wir hier wählen.

Die Variable trat bisher nur im Term auf. Hier hatten wir gefordert, dass ist. Dementsprechend haben wir für die einzige Anforderung, dass es größer gleich sein muss. Also wählen wir im Konvergenzbeweis .

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Beweis (Cauchy-Folgen mit konvergenten Teilfolgen konvergieren)

Sei eine Cauchy-Folge und eine konvergente Teilfolge der Cauchy-Folge mit dem Grenzwert . Sei beliebig. Aus der Cauchy-Eigenschaft folgt, dass es ein mit für alle gibt. Außerdem gibt es ein mit für alle . Sei eine beliebige natürliche Zahl mit . Sei beliebig. Es ist

Jede Cauchy-Folge konvergiert[Bearbeiten]

Kommen wir nun zum eigentlichen Grund, warum es sich lohnt, Cauchy-Folgen zu studieren. Wir können nämlich zeigen, dass jede Cauchy-Folge konvergiert. Es gilt der Satz

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Satz (Cauchy-Folgen konvergieren)

Sei eine Cauchy-Folge reeller Zahlen. Dann gibt es eine reelle Zahl , gegen die konvergiert.

Weil in der Definition einer Folge ihr Grenzwert keine Rolle spielt, können wir mit dem obigen Satz die Konvergenz einer Folge nachweisen, ohne dessen Grenzwert kennen zu müssen. Dies ist insbesondere in Beweisen hilfreich, wo die zu betrachtende Folge so allgemein ist, dass wir ihren Grenzwert nicht kennen können.

Bevor wir uns mit dem Beweis beschäftigen, möchte ich dir noch zeigen, wie wichtig die Grundmenge ist. Nehme hierzu von die Folge der endlichen Dezimalbrüche:

Diese Folge konvergiert gegen und ist damit nach dem Satz aus dem vorherigem Abschnitt eine Cauchy-Folge. Gehen wir nun davon aus, dass unsere Grundmenge und nicht ist. Wir gehen also davon aus, dass es nur rationale Zahlen gibt. Obige Folge besteht nur aus rationalen Zahlen und ist damit eine valide Folge in unserer neuen Grundmenge. Sie ist auch in der neuen Grundmenge eine Cauchy-Folge (der Abstand der Folgenglieder untereinander hat sich beim Ändern der Grundmenge nicht geändert). Jedoch konvergiert obige Folge nicht mehr. Beim Ändern der Grundmenge haben wir nämlich den Grenzwert der Folge entfernt, weil dieser Grenzwert irrational ist. In unserer neuen Grundmenge gibt es keine Zahl, gegen die die Folge konvergiert. Durch das Ändern der Grundmenge wurde die Folge damit divergent.

Wir sehen, wie wichtig die Grundmenge für den obigen Satz ist. Wir sehen auch, dass wir im Beweis die Vollständigkeit von benutzen müssen, denn das Vollständigkeitsaxiom ist das einzige Axiom, was von unterscheidet. Wenn wir nämlich die Vollständigkeit nicht benutzen würden, dann müsste der Satz auch in gelten, was er ja nicht tut. Das Vollständigkeitsaxiom werden wir in Form des Satzes von Bolzano-Weierstraß verwenden. In dem Beweis dieses Satzes hatten wir nämlich das Vollständigkeitsaxiom bereits verwendet.

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Beweis (Cauchy-Folgen konvergieren)

Sei eine Cauchyfolge. Wir hatten in diesem Kapitel bereits bewiesen, dass diese Folge beschränkt ist. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß muss damit eine konvergente Teilfolge besitzen. Eine Cauchyfolge mit einer konvergenten Teilfolge konvergiert nach dem obigen Satz.