Rechenregeln der bestimmten Divergenz – Mathe für Nicht-Freaks

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Am Ende des letzten Kapitels hatten wir bereits erwähnt, dass wir die Rechenregeln für konvergente Folgen nicht einfach auf uneigentlich konvergente Folgen anwenden dürfen. Konvergiert beispielsweise eine Folge (uneigentlich) gegen und eine weitere Folge (eigentlich) gegen , so ist es unmöglich, eine Aussage über die Konvergenz/Divergenz der Produktfolge zu machen!

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Aufgabe

Gib Beispiele von Folgen und mit den oben beschriebenen Eigenschaften an, so dass

  1. mit
  2. beschränkt ist und divergiert
  3. unbeschränkt ist und nicht bestimmt divergiert
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Lösung

Teilaufgabe 1: Wähle beispielsweise und , dann gilt , und

Teilaufgabe 2: Wähle beispielsweise und , dann gilt , und

Teilaufgabe 3: Wähle beispielsweise und , dann gilt , und

Teilaufgabe 4: Wähle beispielsweise und , dann gilt , und

Teilaufgabe 5: Wähle beispielsweise und , dann gilt , und ist beschränkt und divergiert

Teilaufgabe 6: Wähle beispielsweise und , dann gilt , und ist unbeschränkt und divergiert nicht bestimmt

Rechenregeln für uneigentlich konvergente Folgen[Bearbeiten]

Nun werden wir uns überlegen, inwiefern wir unter bestimmten Einschränkungen trotzdem Regeln für uneigentlich konvergente Folgen herleiten können. Wir werden sehen, dass auch hier, unter Berücksichtigung der Voraussetzungen, Summen-, Produkt-, und Quotientenregeln gelten.

Produktregel[Bearbeiten]

Überlegen wir uns zunächst, inwiefern wir die Produktregel übertragen können. Wir setzen voraus, dass eine Folge mit ist, und überlegen uns, was mit der Produktfolge passiert. Da wir oben schon bemerkt haben, dass der Fall Probleme bereitet, schließen wir diesen aus.

1. Fall: . In dieser Fall ist es intuitiv vollkommen klar, dass auch gelten sollte. Dies müssen wir aber formal sauber beweisen. Wir müssen also zeigen:

Sei daher so ein vorgegeben. Wegen gibt es dann ein mit für alle . Analog gibt es wegen ein mit für alle . Für alle gilt somit

Also gilt .

2. Fall: . Auch in diesem Fall ist intuitiv klar, dass auch gelten sollte. Wir müssen also zeigen:

Sei daher vorgegeben. Wegen gibt es ein mit für alle . Analog gibt es wegen ein mit für alle . Für alle gilt somit

Also gilt .

3. Fall: . In diesem Fall sollte wie im 1.Fall gelten. Wir müssen also wieder zeigen:

Sei daher vorgegeben. Wegen gibt es zu jedem ein mit für alle . Setzen wir , so gilt daher : , also insbesondere . Wegen gibt es ein mit für alle . Für alle gilt somit

Also ist .

4. Fall: . Hier gilt .

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Aufgabe

Beweise dies.

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Lösung

Hier müssen wir zeigen:

Sei daher vorgegeben. Wegen gibt es zu jedem ein mit für alle . Setzen wir , so gilt daher : , also insbesondere . Wegen gibt es ein mit für alle . Für alle gilt somit

Also ist .

Die vier Fälle lassen sich auch kompakt zusammenfassen. Dazu führen wir folgende praktische Erweiterung der reellen Zahlen ein: Wir erweitern durch und erhalten so die Menge .

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Satz (Produktregel für uneigentlich konvergente Folgen)

Sei eine reelle Folge mit und eine reelle Folge mit . Dann gilt

Summenregel[Bearbeiten]

Sei erneut eine Folge mit . Die Frage ist nun, wie es sich mit dem Grenzwert der Summenfolge verhält. Uns wir schnell klar, dass hier der kritische Fall ist. In diesem Fall ist es unmöglich, eine allgemeine Aussage über das Konvergenzverhalten von zu machen. Für und gilt beispielsweise , für und gilt . Wir schließen daher den Fall aus, und betrachten nur die übrigen relevanten Fälle:

1. Fall: . Hier ist klar, dass gelten muss. Wir müssen zeigen:

Sei vorgegeben. Wegen gibt es dann ein mit für alle . Analog gibt es wegen ein mit für alle . Für alle gilt somit

Also ist .

2. Fall: . Hier gilt ebenfalls . Auch hier müssen wir zeigen:

Sei vorgegeben. Wegen gibt es dann zu jedem ein mit für alle . Insbesondere auch für . Also gilt für alle . Wegen gibt es außerdem ein mit für alle . Für alle gilt somit

Also ist .

Die beiden Fälle fassen wir wieder zusammen:

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Satz (Summenregel für uneigentlich konvergente Folgen)

Sei eine reelle Folge mit und eine reelle Folge mit . Dann gilt

Inversionsregeln[Bearbeiten]

Auch die nächste Regel ist intuitiv vollkommen logisch. Ist eine Folge mit für alle und oder , so muss eine Nullfolge sein.

1.Fall: . Wir müssen zeigen

Sei vorgegeben. Wegen gibt es zu ein , so dass gilt . Damit gilt auch

Somit ist .

2.Fall: .

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Aufgabe

Zeige, dass auch in diesem Fall eine Nullfolge ist.

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Lösung

Auch hier müssen wir zeigen:

Sei vorgegeben. Wegen gibt es zu ein , so dass gilt . Damit ist . Also gilt auch

Somit ist auch hier .

Wir halten das Ergebnis noch einmal fest:

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Satz (Inversionsregel 1 für uneigentlich konvergente Folgen)

Sei eine reelle Folge mit für alle und . Dann gilt

Verständnisfrage: Gilt im Allgemeinen auch die Rückrichtung der Inversionsregel, d.h. folgt aus immer oder ?

Nein, die Rückrichtung gilt im Allgemeinen nicht. Betrachte die Folge mit . Dann gilt , aber divergiert nicht bestimmt gegen oder .

Die Frage ist nun, wie wir die Voraussetzungen einschränken müssen, damit auch die Rückrichtung der Inversionsregel gilt. Bei dem Gegenbeispiel war das Problem, dass die Folge alternierend war. Daher gibt es unendlich viele Folgenglieder, die positiv sind, und unendlich viele Folgenglieder, die negativ sind. Fordern wir als zusätzliche Voraussetzung an , dass entweder nur endlich viele Folgenglieder negativ, oder nur unendlich viele Folgenglieder positiv sind, so tritt das Problem nicht mehr auf.

1.Fall: Sei zunächst eine Folge mit , alle Folgenglieder seien und und fast alle Folgenglieder seien positiv. Dann ist es intuitiv klar, dass gilt. Zum Beweis müssen wir zeigen:

Sei gegeben. Da eine Nullfolge ist, gibt es zu ein mit für alle . Da fast alle Folgenglieder von positiv sind, gibt es ein mit für alle . Damit gilt nun für alle . Also ist .

2.Fall: Sei nun eine Folge mit , alle Folgenglieder seien und fast alle Folgenglieder seien negativ.

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Aufgabe

Zeige, dass in diesem Fall gilt.

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Lösung

Hier müssen wir zeigen:

Sei gegeben. Da eine Nullfolge ist, gibt es zu ein mit für alle . Da fast alle Folgenglieder von negativ sind, gibt es ein mit für alle . Damit gilt nun , und daraus folgt für alle . Also ist .

Wir halten die beiden Fälle für die Rückrichtung der Inversionsregel noch einmal fest

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Satz (Inversionsregel 2 für uneigentlich konvergente Folgen)

Sei eine reelle Folge mit für alle und . Dann gilt

  • , falls für fast alle
  • , falls für fast alle
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Beispiel (Inversionsregel)

Im Kapitel Beispiele für Grenzwerte hatten wir gezeigt, dass für und eine Nullfolge ist. Für sind nun alle Folgenglieder nicht-negativ. Daher gilt nach der Inversionsregel

Analog gilt für :

Quotientenregelregel[Bearbeiten]

Als nächstes wenden wir uns Quotientenfolgen mit uneigentlichen Grenzwerten zu. Seien also und Folgen mit für alle und die daraus gebildete Quotientenfolge.

Zunächst setzen wir voraus. Klar ist, dass wir die Fälle ausschließen müssen, denn hier können wir keine allgemeine Aussage über das Konvergenz-/Divergenzverhalten der Quotientenfolge machen. Sei daher . Dann gilt . Wir müssen dazu zeigen

Sei vorgegeben. Wegen ist beschränkt, d.h. es gibt ein mit für alle . Weiter gilt, wegen , nach der Inversionsregel . Also gibt es ein mit für alle . Damit gilt :

Somit ist .

Völlig analog gilt im Fall und ebenfalls .

Zusammen ergibt sich

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Satz (Quotientenregel 1 für uneigentlich konvergente Folgen)

Seien und reelle Folgen mit und . Dann gilt .

Nun setzen wir für die Zählerfolge fest: . Wieder müssen wir die Fälle ausschließen.

1.Fall: . Hier gilt . Zum Beweis haben wir zu zeigen:

Sei gegeben. Da gegen konvergiert, gibt es ein , so dass für alle . Wegen gibt es ein mit für alle . Damit gilt für alle :

Also ist .

2.Fall: und fast alle seien positiv. Hier gilt ebenfalls . Zum Beweis müssen wir erneut zeigen:

Sei gegeben. Da gegen konvergiert und fast alle Folgenglieder positiv sind, gibt es ein mit für alle . Wegen gibt es ein mit für alle . Damit gilt für alle :

Also ist .

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Aufgabe

Zeige, dass in den Fällen und , und fast alle seien negativ, gilt:

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Lösung

1.Fall: . Wir zu zeigen:

Sei gegeben. Da gegen konvergiert, gibt es ein , so dass für alle . Wegen gibt es ein mit für alle . Damit gilt für alle :

Also ist .

2.Fall: und fast alle seien negativ. Wir müssen erneut zeigen:

Sei gegeben. Da gegen konvergiert und fast alle Folgenglieder negativ sind, gibt es ein mit für alle . Wegen gibt es ein mit für alle . Damit gilt für alle :

Also ist .

Zusammengefasst lautet die zweite Version der Quotientenregel

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Satz (Quotientenregel 2 für uneigentlich konvergente Folgen)

Seien und reelle Folgen mit .

  • Ist oder und fast alle , dann gilt .
  • Ist oder und fast alle , dann gilt .

Minorantenkriterium für Folgen[Bearbeiten]

Intuitiv ist dieses Kriterium vollkommen klar. Haben wir eine Folge gegeben und wissen wir von einer weiteren Folge , dass diese "kleiner oder gleich" ist für fast alle und uneigentlich gegen konvergiert, so muss auch uneigentlich gegen konvergieren. Beweisen können wir dies folgendermaßen: Wir müssen zeigen

Sei also gegeben. Wegen gibt es ein mit für alle . Wegen für fast alle existiert ein mit für alle . Also gilt .

Halten wir noch einmal fest:

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Satz (Minorantenkriterium für Folgen)

Sei eine reelle Folge und eine weitere Folge mit für fast alle ist und . Dann gilt auch .

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Beispiel (Minorantenkriterium für Folgen)

Betrachten wir die Folge . Für gilt

Außerdem ist . Nach dem Minorantenkriterium gilt somit