Aufgaben zu Teilfolgen, Häufungspunkte und Cauchy-Folgen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Aufgaben zu Teilfolgen[Bearbeiten]

Aufgabe (Teilfolgen der e-Folge)

  1. Berechne den Grenzwert
  2. Berechne den Grenzwert
  3. Berechne mit Hilfe von 1. den Grenzwert

Lösung (Teilfolgen der e-Folge)

Teilaufgabe 1: Für gilt: . Damit gilt auch für die Teilfolge :

Teilaufgabe 2: Es gilt

Nun ist ebenfalls eine Teilfolge der Folge aus Teilaufgabe 1. Also gilt: . Mit der Rechenregeln für Grenzwerte gilt daher

Teilaufgabe 3: Für gilt: mit der Folge aus Teilaufgabe 1.

Wegen ist nach oben beschränkt, d.h. es gibt ein (sogar ) mit für alle . Daher ist nach oben durch beschränkt. Es gilt sogar

Wegen folgt mit dem Sandwichsatz

Aufgaben zu Häufungspunkten[Bearbeiten]

Aufgabe (Häufungspunkte)

Bestimme alle Häufungspunkte der Folgen mit und .

Wie kommt man auf den Beweis? (Häufungspunkte)

  • Zu : Der vordere Teil der Folge konvergiert gegen , daher konvergiert auch jede Teilfolge von dieser gegen . Der hintere Teil, also die Folge , alterniert zwischen und . Er hat also die Häufungspunkte und .
  • Zu : Für gerade ist gleich einer Teilfolge der -Folge , für ungerade eine Teilfolge der Folge , die gegen konvergiert.

Lösung (Häufungspunkte)

  • Es gilt . Also hat den Häufungspunkt .

Außerdem gilt . Also hat den Häufungspunkt .

Weitere Häufungspunkte besitzt nicht, da alle anderen Teilfolgen entweder divergieren, oder ebenfalls gegen oder konvergieren.

  • Es gilt , da . Also hat den Häufungspunkt .

Außerdem ist , da . Also hat den Häufungspunkt

Weitere Häufungspunkte besitzt nicht, da alle anderen Teilfolgen entweder divergieren, oder ebenfalls gegen oder konvergieren.

Aufgaben zu Lim inf und Lim sup [Bearbeiten]

Aufgabe (Lim inf und Lim sup)

Bestimme für die Folgen mit und den Limes inferior und den Limes superior.

Wie kommt man auf den Beweis? (Lim inf und Lim sup)

  • Zunächst untersuchen wir auf Beschränktheit. Wir erkennen, dass die Folge nach unten beschränkt und nach oben unbeschränkt ist. Also ist der Limes inferior gleich dem kleinsten Häufungspunkt der Folge. Diesen bestimmen wir über die Teilfolge mit den ungeraden Folgengliedern. Der Limes superior ist gleich , da die Folge nach oben unbeschränkt ist.
  • ist (nach oben und unten) beschränkt, da alle drei Teilfolgen (nach oben und unten) beschränkt sind. Für den Limes superior und Limes inferior von müssen wir nun die Grenzwerte der drei Teilfolgen bestimmen.

Lösung (Lim inf und Lim sup)

  • Zunächst gilt , da ist. Also ist nach unten beschränkt. ist daher gleich dem kleinsten Häufungswert von . Für die Teilfolge gilt

Also ist ein Häufungspunkt von . Weitere Häufungspunkte hat die Folge nicht, da alle weiteren Teilfolgen ebenfalls gegen konvergieren oder divergent sind. Somit ist .

Alternative Lösung: Für gilt , da die ungeraden Folgenglieder monoton gegen fallen. Daher ist

Für gilt

Nach einer Folgerung zum Archimedischen Axiom gilbt es zu jedem ein mit . Also ist nach oben unbeschränkt, und daher .

  • Für die Folge gilt

Also besitzt die Häufungspunkte und . Weitere Häufungspunkte besitzt nicht. Außerdem ist beschränkt, da alle Teilfolgen beschränkt sind. Insgesamt erhalten wir und .

Aufgabe (Lim inf und Lim sup 2)

  1. Sei eine Folge positiver reeller Zahlen. Zeige die Ungleichung
  2. Sei die Folge mit

    Berechne , , und .

  3. Folgere aus dem 1.Teil: Ist eine Folge positiver Zahlen mit , so gilt auch .
  4. Beweise die Grenzwerte

Lösung (Lim inf und Lim sup 2)

  1. Sei eine positive Folge mit

    Wir müssen die folgende Ungleichung zeigen:

    Sei ohne Einschränkung und . Da nach Definition der kleinste und der größte Häufungswert der Folge , gibt es zu jedem () ein mit

    Für ein beliebiges mit folgt nun durch -maliges Anwenden der Ungleichung für :

    Der Ausdruck in der Mitte ist nun ein Teleskopprodukt, bei dem nur der Nenner des ersten Faktors und der Zähler des letzten Faktors stehenbleiben. Alle anderen Terme kürzen sich gegegnseitig weg:

    Multiplizieren wir diese Ungleichung mit durch und ziehen anschließend die -te Wurzel, so erhalten wir

    Für konvergiert die linke Seite gegen und die rechte Seite gegen , wegen . Daher ist

    und

    Da beliebig klein gewählt werden kann, folgt

        und    

    Da die Ungleichung immer per Definition gilt, folgt die Behauptung.

    • Zunächst gilt für alle : , da Zähler und Nenner immer positiv sind. Also ist die Quotientenfolge nach unten durch null beschränkt. Ist nun ungerade und damit gerade, so folgt
    für

    Also gibt es eine Teilfolge der Quotientenfolge, die gegen null konvergiert, und somit ist

    • Ist umgekehrt gerade und damit ungerade, so folgt
    für

    Also ist die Quotientenfolge nach oben unbeschränkt, und somit ist

    • Ist ungerade, so folgt

    und ebenso folgt für gerade

    Also hat die Wurzelfolge die Häufungspunkte und , und damit gilt

    und
  2. Wegen gilt auch

    Wegen der Ungleichung aus 1. und dem Der Sandwichsatz folgt

    Daraus ergibt sich .

  3. 1. Grenzwert: Setzten wir , so gilt

    Aus Teil 3. folgt .

    2. Grenzwert: Hier setzten wir . Damit gilt

    Erneut mit Teil 3. folgt .

Hinweis

In diesem Beispiel aus Teil 2 gilt die Ungleichung aus Teil 1 in der 'scharfen' Variante:

Hinweis

Durch Übergang zum Kehrwert erhält man aus den Grenzwerten aus Teil 4 ebenso die Grenzwerte:

Aufgaben zu Cauchy-Folgen[Bearbeiten]

Aufgabe (Konvergenzkriterium für Folgen)

  1. Sei und eine Folge reeller Zahlen mit für alle . Zeige: Dann konvergiert die Folge .
  2. Seien und . Zeige, dass die Folge konvergiert, und berechne deren Grenzwert.

Lösung (Konvergenzkriterium für Folgen)

Teilaufgabe 1: Wir zeigen, dass eine Cauchy-Folge ist. Nach dem Cauchy-Kriterium folgt daraus dann die Konvergenz. Aus der Voraussetzung folgt zunächst

Sind nun und , dann gibt es ein mit . Damit ist dann

Aus beiden Ungleichungen zusammen folgt

Nach einer Folgerung zum Archimedischen Axiom gibt es nun zu jedem ein , so dass für alle gilt

Also ist eine Cauchy-Folge und damit konvergent.

Teilaufgabe 2: Für die Folge gilt

Mit ist das Kriterium aus Teilaufgabe 1 erfüllt, und somit konvergent.

Der Grenzwert lässt sich nun wie folgt berechnen. Zunächst gilt analog zu oben, nur ohne die Beträge

durch -maliges Anwenden dieser Gleichung ergibt sich

Damit erhalten wir nun

Mit den Rechenregeln für Grenzwerte folgt nun