Aufgaben zu Teilfolgen, Häufungspunkte und Cauchy-Folgen – Mathe für Nicht-Freaks

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Aufgaben zu Teilfolgen[Bearbeiten]

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Aufgabe (Teilfolgen der e-Folge)

  1. Berechne den Grenzwert
  2. Berechne den Grenzwert
  3. Berechne mit Hilfe von 1. den Grenzwert
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Lösung (Teilfolgen der e-Folge)

Teilaufgabe 1: Für gilt: . Damit gilt auch für die Teilfolge :

Teilaufgabe 2: Es gilt

Nun ist ebenfalls eine Teilfolge der Folge aus Teilaufgabe 1. Also gilt: . Mit der Rechenregeln für Grenzwerte gilt daher

Teilaufgabe 3: Für gilt: mit der Folge aus Teilaufgabe 1.

Wegen ist nach oben beschränkt, d.h. es gibt ein (sogar ) mit für alle . Daher ist nach oben durch beschränkt. Es gilt sogar

Wegen folgt mit dem Sandwichsatz

Aufgaben zu Häufungspunkten[Bearbeiten]

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Aufgabe (Häufungspunkte)

Bestimme alle Häufungspunkte der Folgen mit und .

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Wie kommt man auf den Beweis? (Häufungspunkte)

  • Zu : Der vordere Teil der Folge konvergiert gegen , daher konvergiert auch jede Teilfolge von dieser gegen . Der hintere Teil, also die Folge , alterniert zwischen und . Er hat also die Häufungspunkte und .
  • Zu : Für gerade ist gleich einer Teilfolge der -Folge , für ungerade eine Teilfolge der Folge , die gegen konvergiert.
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Lösung (Häufungspunkte)

  • Es gilt . Also hat den Häufungspunkt .

Außerdem gilt . Also hat den Häufungspunkt .

Weitere Häufungspunkte besitzt nicht, da alle anderen Teilfolgen entweder divergieren, oder ebenfalls gegen oder konvergieren.

  • Es gilt , da . Also hat den Häufungspunkt .

Außerdem ist , da . Also hat den Häufungspunkt

Weitere Häufungspunkte besitzt nicht, da alle anderen Teilfolgen entweder divergieren, oder ebenfalls gegen oder konvergieren.

Aufgaben zu Lim inf und Lim sup[Bearbeiten]

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Aufgabe (Lim inf und Lim sup)

Bestimme für die Folgen mit und den Limes inferior und den Limes superior.

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Wie kommt man auf den Beweis? (Lim inf und Lim sup)

  • Zunächst untersuchen wir auf Beschränktheit. Wir erkennen, dass die Folge nach unten beschränkt und nach oben unbeschränkt ist. Also ist der Limes inferior gleich dem kleinsten Häufungspunkt der Folge. Diesen bestimmen wir über die Teilfolge mit den ungeraden Folgengliedern. Der Limes superior ist gleich , da die Folge nach oben unbeschränkt ist.
  • ist (nach oben und unten) beschränkt, da alle drei Teilfolgen (nach oben und unten) beschränkt sind. Für den Limes superior und Limes inferior von müssen wir nun die Grenzwerte der drei Teilfolgen bestimmen.
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Lösung (Lim inf und Lim sup)

  • Zunächst gilt , da ist. Also ist nach unten beschränkt. ist daher gleich dem kleinsten Häufungswert von . Für die Teilfolge gilt

Also ist ein Häufungspunkt von . Weitere Häufungspunkte hat die Folge nicht, da alle weiteren Teilfolgen ebenfalls gegen konvergieren oder divergent sind. Somit ist .

Alternative Lösung: Für gilt , da die ungeraden Folgenglieder monoton gegen fallen. Daher ist

Für gilt

Nach einer Folgerung zum Archimedischen Axiom gilbt es zu jedem ein mit . Also ist nach oben unbeschränkt, und daher .

  • Für die Folge gilt

Also besitzt die Häufungspunkte und . Weitere Häufungspunkte besitzt nicht. Außerdem ist beschränkt, da alle Teilfolgen beschränkt sind. Insgesamt erhalten wir und .

Aufgaben zu Cauchy-Folgen[Bearbeiten]

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Aufgabe (Konvergenzkriterium für Folgen)

  1. Sei und eine Folge reeller Zahlen mit für alle . Zeige: Dann konvergiert die Folge .
  2. Seien und . Zeige, dass die Folge konvergiert, und berechne deren Grenzwert.
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Lösung (Konvergenzkriterium für Folgen)

Teilaufgabe 1: Wir zeigen, dass eine Cauchy-Folge ist. Nach dem Cauchy-Kriterium folgt daraus dann die Konvergenz. Aus der Voraussetzung folgt zunächst

Sind nun und , dann gibt es ein mit . Damit ist dann

Aus beiden Ungleichungen zusammen folgt

Nach einer Folgerung zum Archimedischen Axiom gibt es nun zu jedem ein , so dass für alle gilt

Also ist eine Cauchy-Folge und damit konvergent.

Teilaufgabe 2: Für die Folge gilt

Mit ist das Kriterium aus Teilaufgabe 1 erfüllt, und somit konvergent.

Der Grenzwert lässt sich nun wie folgt berechnen. Zunächst gilt analog zu oben, nur ohne die Beträge

durch -maliges Anwenden dieser Gleichung ergibt sich

Damit erhalten wir nun

Mit den Rechenregeln für Grenzwerte folgt nun