Eigenschaften für Summe und Produkt – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Eigenschaften der Summe

Aus der Definition der Summenschreibweise ergeben sich einige Eigenschaften. Sie lauten:

Eigenschaft	Erklärung
$\sum _{k=m}^{n}a_{k}=\sum _{l=m}^{n}a_{l}$	Indexumbenennungsregel: Die Indizes können beliebig umbenannt werden, solange die neu eingeführte Laufvariable nicht in Konflikt mit einer bereits definierten Variable tritt.
$\sum _{k=m}^{n}a_{k}=\sum _{k=m}^{l}a_{k}+\sum _{k=l+1}^{n}a_{k}$	Summen können in zwei Summen aufgeteilt werden.
$\sum _{k=m}^{n+1}a_{k}=\sum _{k=m}^{n}a_{k}+a_{n+1}$	Spezialfall der obigen Eigenschaften bzw. Rekursionsschritt bei der rekursiven Definition der Summe.
$\sum _{k=m}^{n}a_{k}=\sum _{k=m}^{n}a_{m+n-k}$	Umkehrung der Reihenfolge der Summanden
$\sum _{k=m}^{n}a_{k}=\sum _{k=m+l}^{n+l}a_{k-l}$	Indexverschiebung
$\sum _{k=m}^{n}\lambda \cdot a_{k}=\lambda \cdot \sum _{k=m}^{n}a_{k}$	Konstantenregel: Konstanten, Terme unabhängig von der Laufvariable, können aus Summen rausgezogen werden („ausklammern“).
$\sum _{k=m}^{n}\left(a_{k}+b_{k}\right)=\left(\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right)+\left(\sum _{k=m}^{n}b_{k}\right)$
$\sum _{l=r}^{s}\sum _{k=m}^{n}a_{l,k}=\sum _{k=m}^{n}\sum _{l=r}^{s}a_{l,k}$	Allgemeines Kommutativgesetz: Die Reihenfolge der Summen bei Doppel- und damit auch bei Mehrfachsummen ist egal.
$\left(\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{l=r}^{s}b_{l}\right)=\sum _{k=m}^{n}\sum _{l=r}^{s}a_{k}\cdot b_{l}$	Allgemeines Distributivgesetz

Eigenschaften des Produkts

Die Produktschreibweise besitzt ähnliche Eigenschaften:

Eigenschaft	Erklärung
$\prod _{k=m}^{n}a_{k}=\prod _{l=m}^{n}a_{l}$	Indexumbenennungsregel: Die Indizes können beliebig umbenannt werden, solange die neu eingeführte Laufvariable nicht in Konflikt mit einer bereits definierten Variable tritt.
$\prod _{k=m}^{n}a_{k}=\left(\prod _{k=m}^{l}a_{k}\right)\cdot \left(\prod _{k=l+1}^{n}a_{k}\right)$	Produkte können in mehrere Produkte aufgeteilt werden.
$\prod _{k=m}^{n+1}a_{k}=a_{n+1}\cdot \prod _{k=m}^{n}a_{k}$	Spezialfall der obigen Eigenschaften bzw. Rekursionsschritt bei der rekursiven Definition des Produkts.
$\prod _{k=m}^{n}a_{k}=\prod _{k=m}^{n}a_{m+n-k}$	Umkehrung der Reihenfolge der Faktoren
$\prod _{k=m}^{n}a_{k}=\prod _{k=m+l}^{n+l}a_{k-l}$	Indexverschiebung
$\prod _{k=m}^{n}\lambda \cdot a_{k}=\lambda ^{n-m+1}\cdot \prod _{k=m}^{n}a_{k}$	Konstantenregel: Konstanten können aus Produkten rausgezogen werden (Beachte den dabei entstehenden Exponenten $n-m+1$).
$\prod _{k=m}^{n}\left(a_{k}\cdot b_{k}\right)=\left(\prod _{k=m}^{n}a_{k}\right)\cdot \left(\prod _{k=m}^{n}b_{k}\right)$
$\prod _{l=r}^{s}\prod _{k=m}^{n}a_{l,k}=\prod _{k=m}^{n}\prod _{l=r}^{s}a_{l,k}$	Allgemeines Kommutativgesetz: Die Reihenfolge der Produkte bei Doppel- und damit auch bei Mehrfachprodukten ist egal.

Eigenschaften beweisen

Die obigen Eigenschaften ergeben sich direkt aus der Definition der Summe beziehungsweise des Produkts. Die Beweise für die Eigenschaften kannst du dadurch finden, indem du die Schreibweise mit den Auslassungen einsetzt. So kannst du die Eigenschaft

$\sum _{k=m}^{n}a_{k}=\sum _{k=m}^{l}a_{k}+\sum _{k=l+1}^{n}a_{k}$

beweisen durch

${\begin{aligned}\sum _{k=m}^{n}a_{k}&=a_{m}+a_{m+1}+\dots +a_{n-1}+a_{n}\\&=a_{m}+a_{m+1}+\dots a_{l}+a_{l+1}+\dots +a_{n-1}+a_{n}\\[0.6em]&={\color {Orange}a_{m}+a_{m+1}+\dots a_{l}}+{\color {OliveGreen}a_{l+1}+\dots +a_{n-1}+a_{n}}\\&={\color {Orange}\sum _{k=m}^{l}a_{k}}+{\color {OliveGreen}\sum _{k=l+1}^{n}a_{k}}\end{aligned}}$

Die anderen Eigenschaften kannst du auf einem ähnlichen Weg beweisen.