Geometrische Summenformel – „Mathe für Nicht-Freaks“

Eine weitere wichtige Summenformel ist die geometrische Summenformel. Sie lautet:

$\sum _{k=0}^n{q}^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

Dabei ist $q$ eine beliebige reelle Zahl ungleich 1.

Geometrische Summenformel

Satz (Geometrische Summenformel)

Für alle reellen $q\ne 1$ und für alle $n\in {\mathbb{N}}_0$ ist:

$\sum _{k=0}^n{q}^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

Beweis (Geometrische Summenformel)

Es ist

$\begin{array}{cc}\sum _{k=0}^n{q}^k& =1+q+q^2+\cdots +q^n\\ & \downarrow \text{beide Seiten mit }q\text{ multiplizieren}\\ ⟹q\cdot \sum _{k=0}^n{q}^k& =q+q^2+q^3+\cdots +q^{n+1}\\ & \downarrow \text{zweite von erster Gleichung subtrahieren}\\ ⟹\sum _{k=0}^n{q}^k-q\cdot \sum _{k=0}^n{q}^k& =(1+q+\cdots +q^n)-(q+q^2+\cdots +q^{n+1})\\ & =1-q^{n+1}\\ & \downarrow \text{links }\sum _{k=0}^n{q}^k\text{ ausklammern}\\ ⟹(1-q)\cdot \sum _{k=0}^n{q}^k& =1-q^{n+1}\\ & \downarrow \cdot \frac{1}{1-q}\text{, da }q\ne 1\\ ⟹\sum _{k=0}^n{q}^k& =\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\\ \end{array}$

Geometrische Summe für q = 1

Für $q=1$ ist:

$\sum _{k=0}^n{q}^k=\sum _{k=0}^n{1}^k=\sum _{k=0}^{n}1=n+1$

Beweis mit vollständiger Induktion

Induktionsanfang

Im Induktionsanfang muss folgende Formel für $n=0$ bewiesen werden:

$\sum _{k=0}^0{q}^k=\frac{1-q^{0+1}}{1-q}$

Die linke Seite kannst du schreiben als:

$\sum _{k=0}^0{q}^k=1$

Die rechte Seite ergibt:

$\frac{1-q^{0+1}}{1-q}=\frac{1-q}{1-q}=1$

Da auf beiden Seiten das Gleiche steht, ist der Induktionsanfang für $n=0$ bewiesen.

Induktionsschritt

Im Induktionsschritt nimmt man an, dass die Formel bereits für ein beliebiges $n\ge 0$ gilt. Es wird nun gezeigt, dass die Formel auch für $n+1$ gilt. Da wir bereits die Formel für $n=0$ gezeigt haben, folgt so die Gültigkeit der geometrischen Summenformel nach dem Prinzip der vollständigen Induktion. Unsere Induktionsvoraussetzung lautet:

$\sum _{k=0}^n{q}^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

Wir verwenden sie zur Berechnung der ersten $n$ Glieder:

$\begin{array}{cc}\sum _{k=0}^{n+1}{q}^k& =1+q+q^2+\cdots +q^n+q^{n+1}\\ & =(1+q+q^2+\cdots +q^n)+q^{n+1}\\ & \downarrow \text{Induktionsvoraussetzung verwenden}\\ & =\frac{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1}\end{array}$

Jetzt bringen wir die Summe auf einen gemeinsamen Hauptnenner:

$\begin{array}{cc}\frac{1-q^{n+1}}{1-q}+\frac{q^{n+1}\cdot (1-q)}{1-q}& =\frac{1-q^{n+1}}{1-q}+\frac{q^{n+1}-q^{n+2}}{1-q}\\ & =\frac{1-q^{n+1}+q^{n+1}-q^{n+2}}{1-q}\\ & =\frac{1-q^{(n+1)+1}}{1-q}\end{array}$

Also ist

$\sum _{k=0}^{n+1}{q}^k=\frac{1-q^{(n+1)+1}}{1-q}$

Dies ist aber gerade die zu beweisende Induktionsbehauptung. Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion ist die geometrische Summenformel für alle $n\ge 0$ bewiesen.

Anwendung der Geometrischen Summenformel

Die geometrische Summenformel lässt sich dazu verwenden, das für eine Rente gesparte Geld zu berechnen. Stell dir dazu vor, du würdest jedes Jahr $2000€$ für deine Rente sparen, die mit $5\mathrm{\%}$ verzinst werden. Wie viel hast du nach 10 Jahren erspart? Die ersten $2000€$, die du einzahlst, werden 10-mal verzinst, die zweiten werden 9-mal verzinst, die dritten werden 8-mal verzinst und so weiter. Damit ergibt sich der Betrag des Ersparten $E$:

$\begin{array}{cc}E& =2000\cdot \mathrm{1,0}{5}^{10}+2000\cdot \mathrm{1,0}{5}^9+\cdots +2000\cdot \mathrm{1,0}{5}^1=\sum _{k=1}^{10}2000\cdot \mathrm{1,0}{5}^k\\ & =2000\cdot \mathrm{1,05}\cdot \sum _{k=0}^9\mathrm{1,0}{5}^k=2000\cdot \mathrm{1,05}\cdot \frac{1-\mathrm{1,0}{5}^{9+1}}{1-\mathrm{1,05}}=26\mathrm{413,57}\\ \end{array}$

Frage: Wie lautet die allgemeine Formel, wenn $r$ der jährlich eingezahlte Betrag, $p$ der Zins und $n$ die Anzahl der Jahre ist, die du einzahlst?

Analog zu obigen Rechnung ergibt sich der Betrag des Ersparten $E$ zu:

$\begin{array}{cc}E& =r\cdot (1+p{)}^n+r\cdot (1+p{)}^{n-1}+\cdots +r\cdot (1+p{)}^1\\ & =\sum _{k=1}^{n}r\cdot (1+p{)}^k\\ & =r\cdot \sum _{k=1}^n(1+p{)}^k\\ & =r\cdot (1+p)\cdot \sum _{k=0}^{n-1}(1+p{)}^k\\ & \downarrow 1+p\ne 1\\ & =r\cdot (1+p)\cdot \frac{1-(1+p{)}^{(n-1)+1}}{1-(1+p)}\\ & =r\cdot (1+p)\cdot \frac{1-(1+p{)}^n}{-p}\\ & =r\cdot (1+p)\cdot \frac{(1+p{)}^n-1}{p}\\ \end{array}$