Geometrische Summenformel – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Eine weitere wichtige Summenformel ist die geometrische Summenformel. Sie lautet:

$\sum _{k=0}^{n}q^{k}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$

Dabei ist $q$ eine beliebige reelle Zahl ungleich 1.

Geometrische Summenformel

Satz (Geometrische Summenformel)

Für alle reellen $q\neq 1$ und für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$ ist:

$\sum _{k=0}^{n}q^{k}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$

Beweis (Geometrische Summenformel)

Es ist

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}q^{k}&=\ 1+q+q^{2}+\dotsb +q^{n}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{beide Seiten mit }}q{\text{ multiplizieren}}\right.}\\[0.5em]\implies \ q\cdot \sum _{k=0}^{n}q^{k}&=\ q+q^{2}+q^{3}+\dotsb +q^{n+1}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{zweite von erster Gleichung subtrahieren}}\right.}\\[0.5em]\implies \ \sum _{k=0}^{n}q^{k}-q\cdot \sum _{k=0}^{n}q^{k}&=\ (1+q+\dotsb +q^{n})-(q+q^{2}+\dotsb +q^{n+1})\\[0.5em]&=1-q^{n+1}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{links }}\sum _{k=0}^{n}q^{k}{\text{ ausklammern}}\right.}\\[0.5em]\implies \ (1-q)\cdot \sum _{k=0}^{n}q^{k}&=\ 1-q^{n+1}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {}\cdot {\frac {1}{1-q}}{\text{, da }}q\neq 1\right.}\\[0.5em]\implies \ \sum _{k=0}^{n}q^{k}&=\ {\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}\\[0.5em]\end{aligned}}$

Geometrische Summe für q = 1

Für $q=1$ ist:

$\sum _{k=0}^{n}q^{k}=\sum _{k=0}^{n}1^{k}=\sum _{k=0}^{n}1=n+1$

Beweis mit vollständiger Induktion

Induktionsanfang

Im Induktionsanfang muss folgende Formel für $n=0$ bewiesen werden:

${\color {Blue}{\sum \limits _{k=0}^{0}q^{k}}}={\color {OliveGreen}{\frac {1-q^{0+1}}{1-q}}}$

Die linke Seite kannst du schreiben als:

${\color {Blue}\sum \limits _{k=0}^{0}q^{k}}=1$

Die rechte Seite ergibt:

${\color {OliveGreen}{\frac {1-q^{0+1}}{1-q}}}={\frac {1-q}{1-q}}=1$

Da auf beiden Seiten das Gleiche steht, ist der Indutkionsanfang für $n=0$ bewiesen.

Induktionsschritt

Im Induktionsschritt nimmt man an, dass die Formel bereits für ein beliebiges $n\geq 0$ gilt. Es wird nun gezeigt, dass die Formel auch für $n+1$ gilt. Da wir bereits die Formel für $n=0$ gezeigt haben, folgt so die Gültigkeit der geometrischen Summenformel nach dem Prinzip der vollständigen Induktion. Unsere Induktionsvoraussetzung lautet:

$\sum _{k=0}^{n}q^{k}{={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}}$

Wir verwenden sie zur Berechnung der ersten $n$ Glieder:

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n+1}q^{k}&=1+q+q^{2}+\dotsb +q^{n}+q^{n+1}\\[0.3em]&=\color {OliveGreen}(1+q+q^{2}+\dotsb +q^{n})\color {black}+q^{n+1}\\[0.3em]&\quad \quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Induktionsvoraussetzung verwenden}}\right.}\\[0.3em]&=\color {OliveGreen}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}\color {black}+q^{n+1}\end{aligned}}$

Jetzt bringen wir die Summe auf einen gemeinsamen Hauptnenner:

${\begin{aligned}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}+{\frac {q^{n+1}\cdot (1-q)}{1-q}}&={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}+{\frac {q^{n+1}-q^{n+2}}{1-q}}\\&={\frac {1-q^{n+1}+q^{n+1}-q^{n+2}}{1-q}}\\&={\frac {1-q^{(n+1)+1}}{1-q}}\end{aligned}}$

Also ist

$\sum _{k=0}^{n+1}q^{k}={\frac {1-q^{(n+1)+1}}{1-q}}$

Dies ist aber gerade die zu beweisende Induktionsbehauptung. Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion ist die geometrische Summenformel für alle $n\geq 0$ bewiesen.

Anwendung der Geometrischen Summenformel

Die geometrische Summenformel lässt sich dazu verwenden, das für eine Rente gesparte Geld zu berechnen. Stell dir dazu vor, du würdest jedes Jahr $2000\,\mathrm {\euro}$ für deine Rente sparen, die mit $5\,\%$ verzinst werden. Wie viel hast du nach 10 Jahren erspart? Die ersten $2000\,\mathrm {\euro}$, die du einzahlst, werden 10-mal verzinst, die zweiten werden 9-mal verzinst, die dritten werden 8-mal verzinst und so weiter. Damit ergibt sich der Betrag des Ersparten $E$:

${\begin{aligned}E&=2000\cdot 1{,}05^{10}+2000\cdot 1{,}05^{9}+\dotsb +2000\cdot 1{,}05^{1}=\sum _{k=1}^{10}2000\cdot 1{,}05^{k}\\&=2000\cdot 1{,}05\cdot \sum _{k=0}^{9}1{,}05^{k}=2000\cdot 1{,}05\cdot {{1-1{,}05^{9+1}} \over {1-1{,}05}}=26\,413{,}57\\\end{aligned}}$

Frage: Wie lautet die allgemeine Formel, wenn $r$ der jährlich eingezahlte Betrag, $p$ der Zins und $n$ die Anzahl der Jahre ist, die du einzahlst?

Analog zu obigen Rechnung ergibt sich der Betrag des Ersparten $E$ zu:

${\begin{aligned}E&=r\cdot (1+p)^{n}+r\cdot (1+p)^{n-1}+\dotsb +r\cdot (1+p)^{1}\\&=\sum \limits _{k=1}^{n}r\cdot (1+p)^{k}\\&=r\cdot \sum \limits _{k=1}^{n}(1+p)^{k}\\&=r\cdot (1+p)\cdot \sum \limits _{k=0}^{n-1}(1+p)^{k}\\&{\color {Orange}\qquad \left\downarrow \ 1+p\neq 1\right.}\\&=r\cdot (1+p)\cdot {\frac {1-(1+p)^{(n-1)+1}}{1-(1+p)}}\\&=r\cdot (1+p)\cdot {\frac {1-(1+p)^{n}}{-p}}\\&=r\cdot (1+p)\cdot {\frac {(1+p)^{n}-1}{p}}\\\end{aligned}}$