Geometrische Summenformel – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Eine weitere wichtige Summenformel ist die geometrische Summenformel. Sie lautet:

Dabei ist eine beliebige reelle Zahl ungleich 1.

Geometrische Summenformel[Bearbeiten]

Satz (Geometrische Summenformel)

Für alle reellen und für alle ist:

Beweis (Geometrische Summenformel)

Es ist

Geometrische Summe für q=1[Bearbeiten]

Für ist:

Beweis mit vollständiger Induktion[Bearbeiten]

Induktionsanfang[Bearbeiten]

Im Induktionsanfang muss folgende Formel für bewiesen werden:

Die linke Seite kannst du schreiben als:

Die rechte Seite ergibt:

Da auf beiden Seiten das Gleiche steht, ist der Indutkionsanfang für bewiesen.

Induktionsschritt[Bearbeiten]

Im Induktionsschritt nimmt man an, dass die Formel bereits für ein beliebiges gilt. Es wird nun gezeigt, dass die Formel auch für gilt. Da wir bereits die Formel für gezeigt haben, folgt so die Gültigkeit der geometrischen Summenformel nach dem Prinzip der vollständigen Induktion. Unsere Induktionsvoraussetzung lautet:

Wir verwenden sie zur Berechnung der ersten Glieder:

Jetzt bringen wir die Summe auf einen gemeinsamen Hauptnenner:

Also ist

Dies ist aber gerade die zu beweisende Induktionsbehauptung. Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion ist die geometrische Summenformel für alle bewiesen.

Anwendung der Geometrischen Summenformel[Bearbeiten]

Die geometrische Summenformel lässt sich dazu verwenden, das für eine Rente gesparte Geld zu berechnen. Stell dir dazu vor, du würdest jedes Jahr 2000€ für deine Rente sparen, die mit 5% verzinst werden. Wie viel hast du nach 10 Jahren erspart? Die ersten 2000€, die du einzahlst, werden 10-mal verzinst, die zweiten werden 9-mal verzinst, die dritten werden 8-mal verzinst und so weiter. Damit ergibt sich der Betrag des Erspartem E:

Frage: Wie lautet die allgemeine Formel, wenn der jährlich eingezahlte Betrag, der Zins und die Anzahl der Jahre ist, die du einzahlst?

Analog zu obigen Rechnung ergibt sich der Betrag des Erspartem zu: