Eine weitere wichtige Summenformel ist die geometrische Summenformel . Sie lautet:
∑
k
=
0
n
q
k
=
1
−
q
n
+
1
1
−
q
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}q^{k}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}}
Dabei ist
q
{\displaystyle q}
eine beliebige reelle Zahl ungleich 1.
Geometrische Summenformel [ Bearbeiten ]
Beweis (Geometrische Summenformel)
Es ist
∑
k
=
0
n
q
k
=
1
+
q
+
q
2
+
⋯
+
q
n
↓
beide Seiten mit
q
multiplizieren
⟹
q
⋅
∑
k
=
0
n
q
k
=
q
+
q
2
+
q
3
+
⋯
+
q
n
+
1
↓
zweite von erster Gleichung subtrahieren
⟹
∑
k
=
0
n
q
k
−
q
⋅
∑
k
=
0
n
q
k
=
(
1
+
q
+
⋯
+
q
n
)
−
(
q
+
q
2
+
⋯
+
q
n
+
1
)
=
1
−
q
n
+
1
↓
links
∑
k
=
0
n
q
k
ausklammern
⟹
(
1
−
q
)
⋅
∑
k
=
0
n
q
k
=
1
−
q
n
+
1
↓
⋅
1
1
−
q
, da
q
≠
1
⟹
∑
k
=
0
n
q
k
=
1
−
q
n
+
1
1
−
q
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}q^{k}&=\ 1+q+q^{2}+\dotsb +q^{n}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{beide Seiten mit }}q{\text{ multiplizieren}}\right.}\\[0.5em]\implies \ q\cdot \sum _{k=0}^{n}q^{k}&=\ q+q^{2}+q^{3}+\dotsb +q^{n+1}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{zweite von erster Gleichung subtrahieren}}\right.}\\[0.5em]\implies \ \sum _{k=0}^{n}q^{k}-q\cdot \sum _{k=0}^{n}q^{k}&=\ (1+q+\dotsb +q^{n})-(q+q^{2}+\dotsb +q^{n+1})\\[0.5em]&=1-q^{n+1}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{links }}\sum _{k=0}^{n}q^{k}{\text{ ausklammern}}\right.}\\[0.5em]\implies \ (1-q)\cdot \sum _{k=0}^{n}q^{k}&=\ 1-q^{n+1}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {}\cdot {\frac {1}{1-q}}{\text{, da }}q\neq 1\right.}\\[0.5em]\implies \ \sum _{k=0}^{n}q^{k}&=\ {\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}\\[0.5em]\end{aligned}}}
Geometrische Summe für q = 1 [ Bearbeiten ]
Für
q
=
1
{\displaystyle q=1}
ist:
∑
k
=
0
n
q
k
=
∑
k
=
0
n
1
k
=
∑
k
=
0
n
1
=
n
+
1
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}q^{k}=\sum _{k=0}^{n}1^{k}=\sum _{k=0}^{n}1=n+1}
Beweis mit vollständiger Induktion [ Bearbeiten ]
Im Induktionsanfang muss folgende Formel für
n
=
0
{\displaystyle n=0}
bewiesen werden:
∑
k
=
0
0
q
k
=
1
−
q
0
+
1
1
−
q
{\displaystyle {\color {Blue}{\sum \limits _{k=0}^{0}q^{k}}}={\color {OliveGreen}{\frac {1-q^{0+1}}{1-q}}}}
Die linke Seite kannst du schreiben als:
∑
k
=
0
0
q
k
=
1
{\displaystyle {\color {Blue}\sum \limits _{k=0}^{0}q^{k}}=1}
Die rechte Seite ergibt:
1
−
q
0
+
1
1
−
q
=
1
−
q
1
−
q
=
1
{\displaystyle {\color {OliveGreen}{\frac {1-q^{0+1}}{1-q}}}={\frac {1-q}{1-q}}=1}
Da auf beiden Seiten das Gleiche steht, ist der Indutkionsanfang für
n
=
0
{\displaystyle n=0}
bewiesen.
Im Induktionsschritt nimmt man an, dass die Formel bereits für ein beliebiges
n
≥
0
{\displaystyle n\geq 0}
gilt. Es wird nun gezeigt, dass die Formel auch für
n
+
1
{\displaystyle n+1}
gilt. Da wir bereits die Formel für
n
=
0
{\displaystyle n=0}
gezeigt haben, folgt so die Gültigkeit der geometrischen Summenformel nach dem Prinzip der vollständigen Induktion . Unsere Induktionsvoraussetzung lautet:
∑
k
=
0
n
q
k
=
1
−
q
n
+
1
1
−
q
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}q^{k}{={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}}}
Wir verwenden sie zur Berechnung der ersten
n
{\displaystyle n}
Glieder:
∑
k
=
0
n
+
1
q
k
=
1
+
q
+
q
2
+
⋯
+
q
n
+
q
n
+
1
=
(
1
+
q
+
q
2
+
⋯
+
q
n
)
+
q
n
+
1
↓
Induktionsvoraussetzung verwenden
=
1
−
q
n
+
1
1
−
q
+
q
n
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n+1}q^{k}&=1+q+q^{2}+\dotsb +q^{n}+q^{n+1}\\[0.3em]&=\color {OliveGreen}(1+q+q^{2}+\dotsb +q^{n})\color {black}+q^{n+1}\\[0.3em]&\quad \quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Induktionsvoraussetzung verwenden}}\right.}\\[0.3em]&=\color {OliveGreen}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}\color {black}+q^{n+1}\end{aligned}}}
Jetzt bringen wir die Summe auf einen gemeinsamen Hauptnenner:
1
−
q
n
+
1
1
−
q
+
q
n
+
1
⋅
(
1
−
q
)
1
−
q
=
1
−
q
n
+
1
1
−
q
+
q
n
+
1
−
q
n
+
2
1
−
q
=
1
−
q
n
+
1
+
q
n
+
1
−
q
n
+
2
1
−
q
=
1
−
q
(
n
+
1
)
+
1
1
−
q
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}+{\frac {q^{n+1}\cdot (1-q)}{1-q}}&={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}+{\frac {q^{n+1}-q^{n+2}}{1-q}}\\&={\frac {1-q^{n+1}+q^{n+1}-q^{n+2}}{1-q}}\\&={\frac {1-q^{(n+1)+1}}{1-q}}\end{aligned}}}
Also ist
∑
k
=
0
n
+
1
q
k
=
1
−
q
(
n
+
1
)
+
1
1
−
q
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n+1}q^{k}={\frac {1-q^{(n+1)+1}}{1-q}}}
Dies ist aber gerade die zu beweisende Induktionsbehauptung. Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion ist die geometrische Summenformel für alle
n
≥
0
{\displaystyle n\geq 0}
bewiesen.
Anwendung der Geometrischen Summenformel [ Bearbeiten ]
Die geometrische Summenformel lässt sich dazu verwenden, das für eine Rente gesparte Geld zu berechnen. Stell dir dazu vor, du würdest jedes Jahr
2000
€
{\displaystyle 2000\,\mathrm {\euro} }
für deine Rente sparen, die mit
5
%
{\displaystyle 5\,\%}
verzinst werden. Wie viel hast du nach 10 Jahren erspart? Die ersten
2000
€
{\displaystyle 2000\,\mathrm {\euro} }
, die du einzahlst, werden 10-mal verzinst, die zweiten werden 9-mal verzinst, die dritten werden 8-mal verzinst und so weiter. Damit ergibt sich der Betrag des Ersparten
E
{\displaystyle E}
:
E
=
2000
⋅
1
,
05
10
+
2000
⋅
1
,
05
9
+
⋯
+
2000
⋅
1
,
05
1
=
∑
k
=
1
10
2000
⋅
1
,
05
k
=
2000
⋅
1
,
05
⋅
∑
k
=
0
9
1
,
05
k
=
2000
⋅
1
,
05
⋅
1
−
1
,
05
9
+
1
1
−
1
,
05
=
26
413
,
57
{\displaystyle {\begin{aligned}E&=2000\cdot 1{,}05^{10}+2000\cdot 1{,}05^{9}+\dotsb +2000\cdot 1{,}05^{1}=\sum _{k=1}^{10}2000\cdot 1{,}05^{k}\\&=2000\cdot 1{,}05\cdot \sum _{k=0}^{9}1{,}05^{k}=2000\cdot 1{,}05\cdot {{1-1{,}05^{9+1}} \over {1-1{,}05}}=26\,413{,}57\\\end{aligned}}}
Analog zu obigen Rechnung ergibt sich der Betrag des Ersparten
E
{\displaystyle E}
zu:
E
=
r
⋅
(
1
+
p
)
n
+
r
⋅
(
1
+
p
)
n
−
1
+
⋯
+
r
⋅
(
1
+
p
)
1
=
∑
k
=
1
n
r
⋅
(
1
+
p
)
k
=
r
⋅
∑
k
=
1
n
(
1
+
p
)
k
=
r
⋅
(
1
+
p
)
⋅
∑
k
=
0
n
−
1
(
1
+
p
)
k
↓
1
+
p
≠
1
=
r
⋅
(
1
+
p
)
⋅
1
−
(
1
+
p
)
(
n
−
1
)
+
1
1
−
(
1
+
p
)
=
r
⋅
(
1
+
p
)
⋅
1
−
(
1
+
p
)
n
−
p
=
r
⋅
(
1
+
p
)
⋅
(
1
+
p
)
n
−
1
p
{\displaystyle {\begin{aligned}E&=r\cdot (1+p)^{n}+r\cdot (1+p)^{n-1}+\dotsb +r\cdot (1+p)^{1}\\&=\sum \limits _{k=1}^{n}r\cdot (1+p)^{k}\\&=r\cdot \sum \limits _{k=1}^{n}(1+p)^{k}\\&=r\cdot (1+p)\cdot \sum \limits _{k=0}^{n-1}(1+p)^{k}\\&{\color {Orange}\qquad \left\downarrow \ 1+p\neq 1\right.}\\&=r\cdot (1+p)\cdot {\frac {1-(1+p)^{(n-1)+1}}{1-(1+p)}}\\&=r\cdot (1+p)\cdot {\frac {1-(1+p)^{n}}{-p}}\\&=r\cdot (1+p)\cdot {\frac {(1+p)^{n}-1}{p}}\\\end{aligned}}}