Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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In diesem Kapitel lernst du ein einfaches und nützliches Kriterium zur Divergenz einer Reihe kennen: das Trivialkriterium, welches auch Nullfolgenkriterium oder Divergenzkriterium genannt wird. Es besagt, dass jede Reihe , bei der keine Nullfolge ist, divergieren muss. Dies kannst du auch so formulieren: Bei jeder konvergenten Reihe muss zwangsweise sein.

Trivialkriterium[Bearbeiten]

Ein Video zur Erklärung des Trivialkriteriums. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)
Erklärung des Trivialkriteriums

Das Trivialkriterium lautet:

Satz (Trivialkriterium)

Wenn eine Reihe konvergiert, dann ist eine Nullfolge. Dies bedeutet, dass jede Reihe divergieren muss, falls divergiert oder ist.

Beispiel (Trivialkriterium)

Die Reihe divergiert, weil die Folge divergent ist (sie besitzt mit und mehr als einen Häufungspunkt und kann deshalb nicht konvergieren).

Auch die Reihe divergiert, weil ist.

Warnung

Dass eine Nullfolge ist, ist nur ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium für Konvergenz der Reihe .

Das bedeutet: Aus der Tatsache, dass kann nicht gefolgert werden, dass konvergiert. Beispielsweise ist die harmonische Reihe divergent, auch wenn ist.

Beweis über Teleskopsumme[Bearbeiten]

Beweis des Trivialkriteriums über die Teleskopsumme

Beweis (Trivialkriterium über Teleskopsumme)

Wir nehmen an, dass eine konvergente Reihe ist. Nun wollen wir zeigen, dass eine Nullfolge ist.

Die Koeffizientenfolge lässt sich als Differenz der beiden Partialsummen und schreiben:

Nun gilt, dass die Reihe gegen einen Grenzwert konvergiert. Also ist

Ebenso gilt , da sich der Grenzwert bei Verschiebung der Folgenglieder nicht ändert. Zusammen erhalten wir nun:

Also ist eine Nullfolge.

Beweis über Cauchy-Kriterium[Bearbeiten]

Beweis des Trivialkriteriums mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums

Beweis (Trivialkriterium über Cauchy-Kriterium)

Du kannst den Beweis des Trivialkriteriums auch mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums führen. Dieses besagt, dass jede konvergente Reihe das Cauchy-Kriterium für Reihen erfüllt:

Betrachten wir nicht alle , sondern nur den Fall :

Die letzte Aussageform ist genau die -Definition dafür, dass eine Nullfolge ist. Damit haben wir bewiesen, dass ist.

Beispielaufgabe[Bearbeiten]

Beispielaufgabe zum Trivialkriterium

Aufgabe

Beweise, dass divergiert.

Lösung

Es ist

Dies zeigt, dass die Folge keine Nullfolge ist. Damit divergiert die Reihe nach dem Trivialkriterium.