Kommen wir nun zum Wurzelkriterium, welches ein mächtiges Kriterium ist, um Konvergenz oder Divergenz einer konkret gegebenen Reihe nachzuweisen. Es basiert auf dem Majorantenkriterium, wobei hier die Konvergenz einer Reihe auf die Konvergenz der geometrischen Reihe
mit
zurückgeführt wird.
Das Wurzelkriterium wurde zuerst 1821 vom französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy in seinem Lehrbuch „Cours d'analyse“ veröffentlicht[1]. Deswegen wird es auch „Wurzelkriterium von Cauchy“ genannt.
Wir haben bereits das Majorantenkriterium kennengelernt. Es besagt, dass eine Reihe
absolut konvergiert, wenn es eine konvergente Reihe
mit
gibt.
Außerdem wissen wir, dass jede geometrische Reihe
mit
konvergiert.
Sei
eine Reihe, deren Konvergenz wir mit Hilfe des Majorantenkriteriums nachweisen wollen, indem wir die Konvergenz der Reihe auf die Konvergenz der geometrischen Reihe zurückführen. Um das Majorantenkriterium so anwenden zu können, muss es ein
mit
geben. Dann ist
Die Reihe
konvergiert nach dem Majorantenkriterium absolut. Die Ungleichung
können wir umformen:
Wenn es also ein
mit
gibt, so dass
ist, dann ist
und die Reihe
konvergiert.
Umformulierung mit Limes Superior[Bearbeiten]
Für das Konvergenzverhalten ist der Wert von endlich vielen Summanden egal. Dementsprechend muss auch nicht
für alle
gelten, sondern nur für alle
bis auf endlich viele Ausnahmen. Es muss also nur für fast alle
die Ungleichung
erfüllt sein.
Die Forderung, dass es ein
mit
für fast alle
gibt, können wir auch mit dem Limes Superior formulieren:
Anders ausgedrückt:
Ist
für fast alle
, dann ist die Folge
nach oben beschränkt und muss einen größten Häufungspunkt kleiner gleich
besitzen. Dieser Häufungspunkt ist gleich
und es gilt
.
Sei umgekehrt
für ein
. Dann ist für alle
die Ungleichung
für fast alle
erfüllt. Wegen
gibt es ein
, das klein genug ist, damit auch
ist. Setzen wir
. Es ist
und die Ungleichung
ist für fast alle
erfüllt.
Anstelle von
für fast alle
reicht auch
, um die Konvergenz der Reihe zu zeigen. Wir können also zusammenfassen:
Ist
, dann konvergiert die Reihe
absolut.
Wurzelkriterium für Divergenz[Bearbeiten]
Wir haben bisher nur das Wurzelkriterium für die Konvergenz einer Reihe kennengelernt. Gibt es auch ein Wurzelkriterium für die Divergenz einer Reihe? Stellen wir uns vor, dass
ist. Dann ist für unendlich viele
die Ungleichung
erfüllt. Für diese
gilt
, womit
keine Nullfolge ist. Damit kann aber auch
keine Nullfolge sein. Aus dem Trivialkriterium folgt dann, dass
divergiert. Wir können diesen Fall verallgemeinern, indem wir anstelle von
die Ungleichung
für fast alle
fordern.
Das Wurzelkriterium lautet:
Den Satz haben wir in der obigen Herleitung bereits bewiesen. Wir fassen den Beweis noch einmal kurz zusammen:
Beweis (Wurzelkriterium)
Beweisschritt: Aus
folgt die absolute Konvergenz von
.
Hinweis
Konvergiert
, dann ist
. Man kann also auch
betrachten, wenn dieser Limes existiert. Dies wird in den meisten Konvergenzbeweisen mit dem Wurzelkriterium auch getan.
Grenzen des Wurzelkriteriums[Bearbeiten]
Im Fall
können wir nichts über Konvergenz bzw. Divergenz der Reihe sagen. Es gibt nämlich sowohl konvergente als auch divergente Reihen, die diese Gleichung erfüllen. Ein Beispiel ist die divergente harmonische Reihe
. Es ist
Aber auch die konvergente Reihe
erfüllt diese Gleichung:
Dies zeigt, dass wir aus
weder zeigen können, dass die Reihe konvergiert, noch dass sie divergiert. Wir müssen also in einem solchen Fall ein anderes Konvergenzkriterium verwenden!
Vorgehen bei der Anwendung des Wurzelkriteriums[Bearbeiten]
Entscheidungsbaum für das Wurzelkriterium
Um das Wurzelkriterium auf eine Reihe
anzuwenden, können wir folgendermaßen vorgehen: Wir bilden
und betrachten dessen Limes (bei Existenz des Limes) bzw. dessen Limes Superior.
- Ist
, dann konvergiert die Reihe absolut.
- Ist
, dann divergiert die Reihe.
- Ist
für unendlich viele
, dann divergiert die Reihe.
- Trifft keiner der drei Fälle zu, können wir nichts zum Konvergenzverhalten der Reihe aussagen.
Aufgabe
Konvergiert oder divergiert
?
Lösung
Berechnen wir den Grenzwert von
:
Damit ist
, womit die Reihe nach dem Wurzelkriterium konvergiert.
Aufgabe
Konvergiert oder divergiert
?
Lösung
Es ist
Wegen
divergiert die Reihe nach dem Wurzelkriterium.