Aufgaben zu Konvergenzkriterien für Reihen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Anwendung der Konvergenzkriterien[Bearbeiten]

Aufgabe (Anwendung der Konvergenzkriterien 1)

Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

Lösung (Anwendung der Konvergenzkriterien 1)

1. Wurzelkriterium:

Damit konvergiert die Reihe absolut.

2. Quotientenkriterium:

Damit konvergiert die Reihe absolut.

3. Minorantenkriterium: Es gilt

  • divergiert. (Harmonische Reihe)

Damit divergiert die Reihe.

4. Trivialkriterium:

Daher divergiert die Reihe.

5. Wurzelkriterium:

Daher konvergiert die Reihe absolut.

6. Leibnizkriterium: Zunächst gilt

Damit ist

  • monoton fallend, denn
  • eine Nullfolge, denn .

Also konvergiert die Reihe.

Die Reihe konvergiert nicht absolut als Teleskopsumme, denn

7. Trivialkriterium:

Also gibt es eine Teilfolge von , die nicht gegen Null konvergiert, und damit ist keine Nullfolge. Also divergiert die Reihe.

Anmerkung: Das Leibniz-Kriterium ist hier nicht anwendbar, da keine Nullfolge ist!

8. Leibnizkriterium: Für gilt

  • ist monoton fallend
  • , da . Also ist eine Nullfolge.

Damit konvergiert die Reihe.

Die Reihe konvergiert nicht absolut nach dem Minorantenkriterium:

  • , da monoton steigend ist.
  • divergiert. (Harmonische Reihe)

Also divergiert die Reihe .

Aufgabe (Anwendung der Konvergenzkriterien 2)

Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz.

Lösung (Anwendung der Konvergenzkriterien 2)

1. Majorantenkriterium: Es gilt

Damit konvergiert die Reihe absolut.

2. Minorantenkriterium: Es gilt

  • , da ist
  • divergiert

Damit divergiert die Reihe.

3. Quotientenkriterium: Für gilt

Damit konvergiert die Reihe.

Alternativ mit Wurzelkriterium:

Damit konvergiert die Reihe.

4. Trivialkriterium: Für gilt

Also ist keine Nullfolge. Damit divergiert die Reihe.

Anmerkung: Das Leibniz-Kriterium ist hier nicht anwendbar, da keine Nullfolge ist!

5. Leibnizkriterium: Es gilt

  • , da monoton fallend ist. Also ist auch monoton fallend.
  • , da stetig ist. Also ist eine Nullfolge.

Damit konvergiert die Reihe.

6. Majorantenkriterium: Für gilt

  • , da ist.
  • (Geometrische Reihe)

Damit konvergiert die Reihe.

7. Majorantenkriterium: Es gilt

Damit konvergiert die Reihe.

Anmerkung: Das Leibniz-Kriterium ist hier nicht anwendbar, da nicht monoton fallend ist!

Aufgabe (Reihen mit Parametern)

Bestimme alle , für welche die folgenden Reihen (absolut) konvergieren:

Lösung (Reihen mit Parametern)

Teilaufgabe 1: Für alle gilt

Daher konvergiert die Reihe für alle absolut.

Teilaufgabe 2: Wir unterscheiden zwei Fälle:

Fall 1:

Hier ist und

Daher konvergiert die Reihe nach dem Majorantenkriterium absolut.

Fall 2:

, da

Also divergiert die Reihe nach dem Wurzelkriterium.

Teilaufgabe 3: Wir unterscheiden zwei Fälle:

Fall 1:

Daher konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium absolut.

Fall 2:

. Daher ist keine Nullfolge

Also divergiert die Reihe nach dem Trivialkriterium.

Teilaufgabe 4: Wir unterscheiden vier Fälle:

Fall 1:

Hier ist und (geometrische Reihe)

Daher konvergiert die Reihe nach dem Majorantenkriterium absolut.

Fall 2:

divergiert (harmonische Reihe)

Fall 3:

konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium (alternierende harmonische Reihe)

Die Reihe konvergiert nicht absolut, da divergiert

Fall 4:

Hier ist , und divergiert. (harmonische Reihe)

Also divergiert die Reihe nach dem Minorantenkriterium.

Anmerkung: Die Fälle und können auch mit dem Wurzel- oder Quotientenkriterium behandelt werden.

Aufgabe (Grenzwertkriterium)

Untersuche die Reihe

auf Konvergenz.

Lösung (Grenzwertkriterium)

Es gilt

Daher gilt mit :

Da die Reihe konvergiert, konvergiert nach dem Grenzwertkriterium auch .

Alternative Lösung: Mit Majorantenkriterium.

Mit und gilt

Daher gibt es ein mit

für alle

Da konvergiert, konvergiert auch . Nach dem Majorantenkriterium konvergiert auch (absolut).

Leibniz Kiterium: Fehlerabschätzung und Beweis[Bearbeiten]

Aufgabe (Leibniz-Kriterium mit Fehlerabschätzung)

Zeige, dass die Reihe

konvergiert. Bestimme anschließend einen Index , ab dem sich die Partialsummen der Reihe vom Grenzwert um weniger als unterscheiden.

Lösung (Leibniz-Kriterium mit Fehlerabschätzung)

Beweisschritt: Die Reihe konvergiert

Für gilt

Also ist monoton fallend. Weiter gilt

Damit ist eine Nullfolge. Nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert die Reihe.

Beweisschritt: Bestimmung von

Mit der Fehlerabschätzung zum Leibnizkriterium gilt

Hier ist . Um nicht zu viel rechnen zu müssen, schätzen wir den Bruch noch durch einen einfacheren Ausdruck nach oben ab:

Ist nun , so gilt auch . Es gilt

Also ist . Für unterscheiden sich daher die Partialsummen der Reihe garantiert um weniger als vom Grenzwert.

Aufgabe (Alternativer Beweis des Leibniz-Kriteriums)

Beweise das Leibniz-Kriterium mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums.

Lösung (Alternativer Beweis des Leibniz-Kriteriums)

Das Leibniz-Kriterium lautet:

Sei eine nichtnegative monoton fallende Folge reeller Zahlen mit , dann konvergiert die alternierende Reihe .

Um das Cauchy-Kriterium anwenden zu können, müssen wir zeigen, dass unter den Voraussetzungen des Leibniz-Kriteriums gilt

Zunächst betrachten wir nur ungerade und schätzen für diese die Summe ab. Zum einen ist

Zum anderen gilt

Die beiden Ungleichungsketten zusammen ergeben für ungerade .

Ganz analog erhalten wir für gerade die beiden Ungleichungen

woraus sich für gerade ebenfalls ergibt. Also gilt die Ungleichung für alle .

Nun war aber nach Voraussetzung eine Nullfolge, d.h. . Mit der gerade gezeigten Ungleichung folgt daher

Also konvergiert die Reihe nach dem Cauchy-Kriterium.

Verdichtungskriterium[Bearbeiten]

Aufgabe (Reihe mit Parameter)

Bestimme, für welche die folgende Reihe konvergiert:

Lösung (Reihe mit Parameter)

Da eine monoton fallende Nullfolge ist, konvergiert die Reihe nach dem Verdichtungskriterium genau dann, wenn die folgende Reihe konvergiert:

Nach der Übungsaufgabe im Hauptartikel zum Verdichtungskriterium konvergiert die Reihe für und divergiert für . Genau diese beiden Fälle unterscheiden wir auch hier:

Fall 1:

Hier gilt

und . Nach dem Majorantenkriterium konvergiert die Reihe für alle .

Fall 2:

Hier ist

und divergiert. Nach dem Minorantenkriterium divergiert die Reihe für alle .

Weitere Konvergenzkriterien[Bearbeiten]

Aufgabe (Absolute Konvergenz von Produktreihen)

Seien und zwei reelle Zahlenfolgen. Zeige:

  1. Konvergiert die Reihe absolut und ist beschränkt, so konvergiert auch die Reihe absolut.
  2. Konvergiert die Reihe und ist beschränkt, so muss die Reihe nicht konvergieren.

Lösung (Absolute Konvergenz von Produktreihen)

1. Teilaufgabe:

1. Möglichkeit: Mit Beschränktheit der Partialsummen.

Da absolut konvergiert, ist die Partialsummenfolge beschränkt. Weiter ist beschränkt. Daher gibt es eine mit für alle . Damit folgt

Da nun beschränkt ist, ist auch beschränkt. Aus der Ungleichung folgt, dass auch beschränkt ist. Damit konvergiert absolut.

2. Möglichkeit: Mit Majorantenkriterium.

Da beschränkt ist, gibt es eine mit für alle . Damit folgt

Da nun absolut konvergiert, konvergiert auch absolut. Nach dem Majorantenkriterium konvergiert absolut.

Teilaufgabe 2:

Wir wissen, dass die harmonische Reihe divergiert und die alternierende harmonische Reihe konvergiert (jedoch nicht absolut). Nun können wir wie folgt umschreiben:

Weiter ist beschränkt, denn . Also ist konvergent, beschränkt, aber divergent.

Aufgabe (Kriterium von Raabe)

  1. Seien und zwei reelle Zahlenfolgen. Zeige: Gilt für fast alle und
    • für ein , so ist absolut konvergent.
    • , so ist divergent.
  2. Zeige mit dem Kriteriums von Raabe, dass die folgende Reihe für jedes konvergiert:

Lösung (Kriterium von Raabe)

Teiulaufgabe 1:

  • Zunächst gilt die Äquivalenzumformung

Da die Umformung für fast alle gilt, gibt es ein , so dass sie für alle gilt. Summieren wir nun beide Seiten bis zu einer natürlichen Zahl auf, so erhalten wir

Also ist die Folge der Partialsummen beschränkt. Somit konvergiert die Reihe absolut, und damit auch die Reihe .

  • Im 2. Fall gilt für alle die Umformung

Dies ist nun äqivalent zu

Da nun die Reihe divergiert (harminische Reihe), divergiert nach dem Minorantenkriterium auch die Reihe , und damit auch .

Teilaufgabe 2: Hier ist , und damit

Mit folgt nun mit dem Kriterium von Raabe die absolute Konvergenz der Reihe .