Aufgaben zu Konvergenzkriterien für Reihen – Mathe für Nicht-Freaks

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Anwendung der Konvergenzkriterien[Bearbeiten]

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Aufgabe (Anwendung der Konvergenzkriterien 1)

Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

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Lösung (Anwendung der Konvergenzkriterien 1)

1. Wurzelkriterium:

Damit konvergiert die Reihe absolut.

2. Quotientenkriterium:

Damit konvergiert die Reihe absolut.

3. Minorantenkriterium: Es gilt

  • divergiert. (Harmonische Reihe)

Damit divergiert die Reihe.

4. Trivialkriterium:

Daher divergiert die Reihe.

5. Wurzelkriterium:

Daher konvergiert die Reihe absolut.

6. Leibnizkriterium: Zunächst gilt

Damit ist

  • monoton fallend, denn
  • eine Nullfolge, denn .

Also konvergiert die Reihe.

Die Reihe konvergiert nicht absolut als Teleskopsumme, denn

7. Trivialkriterium:

Also gibt es eine Teilfolge von , die nicht gegen Null konvergiert, und damit ist keine Nullfolge. Also divergiert die Reihe.

Anmerkung: Das Leibniz-Kriterium ist hier nicht anwendbar, da keine Nullfolge ist!

8. Leibnizkriterium: Für gilt

  • ist monoton fallend
  • , da . Also ist eine Nullfolge.

Damit konvergiert die Reihe.

Die Reihe konvergiert nicht absolut nach dem Minorantenkriterium:

  • , da monoton steigend ist.
  • divergiert. (Harmonische Reihe)

Also divergiert die Reihe .

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Aufgabe (Anwendung der Konvergenzkriterien 2)

Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz.

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Lösung (Anwendung der Konvergenzkriterien 2)

1. Majorantenkriterium: Es gilt

Damit konvergiert die Reihe absolut.

2. Minorantenkriterium: Es gilt

  • , da ist
  • divergiert

Damit divergiert die Reihe.

3. Quotientenkriterium: Für gilt

Damit konvergiert die Reihe.

Alternativ mit Wurzelkriterium:

Damit konvergiert die Reihe.

4. Trivialkriterium: Für gilt

Also ist keine Nullfolge. Damit divergiert die Reihe.

Anmerkung: Das Leibniz-Kriterium ist hier nicht anwendbar, da keine Nullfolge ist!

5. Leibnizkriterium: Es gilt

  • , da monoton fallend ist. Also ist auch monoton fallend.
  • , da stetig ist. Also ist eine Nullfolge.

Damit konvergiert die Reihe.

6. Majorantenkriterium: Für gilt

  • , da ist.
  • (Geometrische Reihe)

Damit konvergiert die Reihe.

7. Majorantenkriterium: Es gilt

Damit konvergiert die Reihe.

Anmerkung: Das Leibniz-Kriterium ist hier nicht anwendbar, da nicht monoton fallend ist!

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Aufgabe (Reihen mit Parametern)

Bestimme alle , für welche die folgenden Reihen (absolut) konvergieren:

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Lösung (Reihen mit Parametern)

Teilaufgabe 1: Für alle gilt

Daher konvergiert die Reihe für alle absolut.

Teilaufgabe 2: Wir unterscheiden zwei Fälle:

Fall 1:

Hier ist und

Daher konvergiert die Reihe nach dem Majorantenkriterium absolut.

Fall 2:

, da

Also divergiert die Reihe nach dem Wurzelkriterium.

Teilaufgabe 3: Wir unterscheiden zwei Fälle:

Fall 1:

Daher konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium absolut.

Fall 2:

. Daher ist keine Nullfolge

Also divergiert die Reihe nach dem Trivialkriterium.

Teilaufgabe 4: Wir unterscheiden vier Fälle:

Fall 1:

Hier ist und (geometrische Reihe)

Daher konvergiert die Reihe nach dem Majorantenkriterium absolut.

Fall 2:

divergiert (harmonische Reihe)

Fall 3:

konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium (alternierende harmonische Reihe)

Die Reihe konvergiert nicht absolut, da divergiert

Fall 4:

Hier ist , und divergiert. (harmonische Reihe)

Also divergiert die Reihe nach dem Minorantenkriterium.

Anmerkung: Die Fälle und können auch mit dem Wurzel- oder Quotientenkriterium behandelt werden.

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Aufgabe (Grenzwertkriterium)

Untersuche die Reihe

auf Konvergenz.

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Lösung (Grenzwertkriterium)

Es gilt

Daher gilt mit :

Da die Reihe konvergiert, konvergiert nach dem Grenzwertkriterium auch .

Alternative Lösung: Mit Majorantenkriterium.

Mit und gilt

Daher gibt es ein mit

für alle

Da konvergiert, konvergiert auch . Nach dem Majorantenkriterium konvergiert auch (absolut).

Leibniz Kiterium: Fehlerabschätzung und Beweis[Bearbeiten]

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Aufgabe (Leibniz-Kriterium mit Fehlerabschätzung)

Zeige, dass die Reihe

konvergiert. Bestimme anschließend einen Index , ab dem sich die Partialsummen der Reihe vom Grenzwert um weniger als unterscheiden.

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Lösung (Leibniz-Kriterium mit Fehlerabschätzung)

Beweisschritt: Die Reihe konvergiert

Für gilt

Also ist monoton fallend. Weiter gilt

Damit ist eine Nullfolge. Nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert die Reihe.

Beweisschritt: Bestimmung von

Mit der Fehlerabschätzung zum Leibnizkriterium gilt

Hier ist . Um nicht zu viel rechnen zu müssen, schätzen wir den Bruch noch durch einen einfacheren Ausdruck nach oben ab:

Ist nun , so gilt auch . Es gilt

Also ist . Für unterscheiden sich daher die Partialsummen der Reihe garantiert um weniger als vom Grenzwert.

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Aufgabe (Alternativer Beweis des Leibniz-Kriteriums)

Beweise das Leibniz-Kriterium mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums.

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Lösung (Alternativer Beweis des Leibniz-Kriteriums)

Das Leibniz-Kriterium lautet:

Sei eine nichtnegative monoton fallende Folge reeller Zahlen mit , dann konvergiert die alternierende Reihe .

Um das Cauchy-Kriterium anwenden zu können, müssen wir zeigen, dass unter den Voraussetzungen des Leibniz-Kriteriums gilt

Zunächst betrachten wir nur ungerade und schätzen für diese die Summe ab. Zum einen ist

Zum anderen gilt

Die beiden Ungleichungsketten zusammen ergeben für ungerade .

Ganz analog erhalten wir für gerade die beiden Ungleichungen

woraus sich für gerade ebenfalls ergibt. Also gilt die Ungleichung für alle .

Nun war aber nach Voraussetzung eine Nullfolge, d.h. . Mit der gerade gezeigten Ungleichung folgt daher

Also konvergiert die Reihe nach dem Cauchy-Kriterium.

Verdichtungskriterium[Bearbeiten]

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Aufgabe (Reihe mit Parameter)

Bestimme, für welche die folgende Reihe konvergiert:

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Lösung (Reihe mit Parameter)

Da eine monoton fallende Nullfolge ist, konvergiert die Reihe nach dem Verdichtungskriterium genau dann, wenn die folgende Reihe konvergiert:

Nach der Übungsaufgabe im Hauptartikel zum Verdichtungskriterium konvergiert die Reihe für und divergiert für . Genau diese beiden Fälle unterscheiden wir auch hier:

Fall 1:

Hier gilt

und . Nach dem Majorantenkriterium konvergiert die Reihe für alle .

Fall 2:

Hier ist

und divergiert. Nach dem Minorantenkriterium divergiert die Reihe für alle .

Weitere Konvergenzkriterien[Bearbeiten]

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Aufgabe (Absolute Konvergenz von Produktreihen)

Seien und zwei reelle Zahlenfolgen. Zeige:

  1. Konvergiert die Reihe absolut und ist beschränkt, so konvergiert auch die Reihe absolut.
  2. Konvergiert die Reihe und ist beschränkt, so muss die Reihe nicht konvergieren.
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Lösung (Absolute Konvergenz von Produktreihen)

1. Teilaufgabe:

1. Möglichkeit: Mit Beschränktheit der Partialsummen.

Da absolut konvergiert, ist die Partialsummenfolge beschränkt. Weiter ist beschränkt. Daher gibt es eine mit für alle . Damit folgt

Da nun beschränkt ist, ist auch beschränkt. Aus der Ungleichung folgt, dass auch beschränkt ist. Damit konvergiert absolut.

2. Möglichkeit: Mit Majorantenkriterium.

Da beschränkt ist, gibt es eine mit für alle . Damit folgt

Da nun absolut konvergiert, konvergiert auch absolut. Nach dem Majorantenkriterium konvergiert absolut.

Teilaufgabe 2:

Wir wissen, dass die harmonische Reihe divergiert und die alternierende harmonische Reihe konvergiert (jedoch nicht absolut). Nun können wir wie folgt umschreiben:

Weiter ist beschränkt, denn . Also ist konvergent, beschränkt, aber divergent.