Komplexen Zahlen: Definition – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wir werden hier die komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ formal definieren und beweisen, dass sie einen Körper bilden. Zuerst machen wir uns klar, wie die Addition und Multiplikation komplexer Zahlen aussehen soll.

Herleitung für die formale Definition komplexer Zahlen

Herleitung der Tupelschreibweise

Komplexe Zahlen haben die Form $a+b\,\mathrm {i}$, wobei $a,b$ reelle Zahlen sind und die imaginäre Einheit $\mathrm {i}$ die Gleichung $\mathrm {i} ^{2}=-1$ erfüllt. Jedoch fehlt uns eine formale Definition für diese neue Zahlenform. Diese wollen wir nun herleiten.

Eine komplexe Zahl $a+b\,\mathrm {i}$ wird durch die zwei reelle Zahlen $a$ und $b$ beschrieben. Außerdem kann man komplexe Zahlen als Punkte in einer Ebene darstellen. $a$ ist dabei die $x$-Koordinate des Punktes und der imaginäre Anteil $b$ gibt die $y$-Koordinate wieder:

Komplexe Zahlen sind Punkte auf der Ebene

Nun können Punkte der Ebene als Tupel $(a,b)$ der Menge $\mathbb {R} \times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{2}$ beschrieben werden. Wir können also einem Tupel $(a,b)$ in $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ die komplexe Zahl $a+b\,\mathrm {i}$ zuordnen. Es soll also $(a,b){\hat {=}}a+b\,\mathrm {i}$ sein. Dadurch identifizieren wir die komplexe Zahlenmenge $\mathbb {C}$ mit der Ebene $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$.

Da Tupel ein exakt definiertes mathematische Konzept ist, können wir diese für die formale Definition der komplexen Zahlen hernehmen. Hierzu sagen wir, dass komplexe Zahlen $a+b\,\mathrm {i}$ Tupel $(a,b)$ sind. Für diese müssen wir zusätzlich noch definieren, wie wir diese addieren und multiplizieren können.

Herleitung der Rechenregeln

Die Addition komplexer Zahlen entspricht der Vektoraddition in der Ebene.

Wir wollen mit komplexen Zahlen wie mit reellen Zahlen rechnen können. Hierzu müssen wir definieren, wie komplexe Zahlen addiert und multipliziert werden können. Betrachten wir zunächst die Addition zweier komplexer Zahlen $a+b\,\mathrm {i}$ und $c+d\,\mathrm {i}$. Das Ergebnis soll wieder eine komplexe Zahl, d.h. von der Form $x+y\,\mathrm {i}$, sein. Hierfür addieren wir die beiden komplexen Zahlen, ordnen die Summanden um und klammern $\mathrm {i}$aus:

${\begin{aligned}(a+b\,\mathrm {i} )+(c+d\,\mathrm {i} )&=a+b\,\mathrm {i} +c+d\,\mathrm {i} \\&=a+c+b\,\mathrm {i} +d\,\mathrm {i} \\&=(a+c)+(b+d)\,\mathrm {i} \end{aligned}}$

Das Ergebnis ist wieder von der Form $x+y\,\mathrm {i}$. Dabei werden jeweils die reellen und die imaginären Anteile summiert. Zur formalen Definition der Addition nutzen wir die Tupelschreibweise $(a,b)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R}$. Dort gilt die Identifizierung $(a,b)\ {\hat {=}}\ a+b\,\mathrm {i}$. Damit übersetzen wir obige Rechnung in die Tupelschreibweise:

${\begin{aligned}(a,b)+(c,d)\ &{\hat {=}}\ (a+b\,\mathrm {i} )+(c+d\,\mathrm {i} )=(a+c)+(b+d)\,\mathrm {i} \\&{\hat {=}}(a+c,b+d)\end{aligned}}$

Wir sehen, dass das Summieren eine komponentenweise Addition in $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ ist. Das ist genau die Vektoraddition in der Ebene $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$. Die Multiplikation komplexer Zahlen ist umständlicher. Wir betrachten hierzu das Produkt von zwei komplexen Zahlen $a+b\,\mathrm {i}$ und $c+d\,\mathrm {i}$ und multiplizieren diese aus:

${\begin{aligned}&(a+b\,\mathrm {i} )\cdot (c+d\,\mathrm {i} )\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Ausmultiplizieren}}\right.}\\[0.3em]&=a\cdot c+a\cdot d\,\mathrm {i} +b\,\mathrm {i} \cdot c+b\,\mathrm {i} \cdot d\,\mathrm {i} \\[0.3em]&=a\cdot c+(a\cdot d)\,\mathrm {i} +(b\cdot c)\,\mathrm {i} +(b\cdot d)\,\mathrm {i} ^{2}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \mathrm {i} ^{2}=-1\right.}\\[0.3em]&=a\cdot c+(a\cdot d)\,\mathrm {i} +(b\cdot c)\,\mathrm {i} -(b\cdot d)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Summanden ordnen}}\right.}\\[0.3em]&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,\mathrm {i} \end{aligned}}$

Diese Rechnung übersetzen wir in unsere Tupelschreibweise:

$(a,b)\cdot (c,d)=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c)$

Formale Definition der komplexen Zahlen

Definition der komplexen Zahlen

Die komplexen Zahlen definieren wir über Tupel in $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ mit der passenden Addition und Multiplikation.

Definition (Die komplexen Zahlen $\mathbb {C}$)

Wir definieren die Menge der komplexen Zahlen als Menge $\mathbb {C} :=\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ zusammen mit zwei Verknüpfungen. Komplexe Zahlen sind also Tupel $(a,b)$, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen sind. Die Addition und die Multiplikation sind definiert über

${\begin{aligned}(a,b)+(c,d)&:=(a+c,b+d)\\(a,b)\cdot (c,d)&:=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c)\end{aligned}}$

Definition von Real- und Imaginärteil

Eine komplexe Zahl $z=(a,b)$, kann als Punkt in der Ebene beschrieben werden. Dieser ist eindeutig über seine Koordinaten $a$ und $b$ definiert. Diese Koordinaten haben spezielle Namen. $a$ ist der Realteil und $b$ der Imaginärteil der komplexen Zahl.

Definition (Real- und Imaginärteil)

Für eine komplexe Zahl $z=(a,b)\in \mathbb {C}$ mit $a,b\in \mathbb {R}$ setzen wir $\operatorname {Re} (z)=a$ und $\operatorname {Im} (z)=b$. Wir nennen $\operatorname {Re} (z)$ den Realteil und $\operatorname {Im} (z)$ den Imaginärteil der komplexen Zahl $z$.

Die komplexen Zahlen bilden einen Körper

Wir können mit den definierten Operationen auf den komplexen Zahlen wie in den reellen Zahlen rechnen. Die Addition entspricht dabei der Vektoraddition in $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$. Damit erbt sie alle Eigenschaften der Addition in einem Vektorraum und erfüllt so beispielsweise das Assoziativgesetz $(z+w)+u=z+(w+u)$ und das Kommutativgesetz $z+w=w+z$. Auch die Multiplikation in den komplexen Zahlen hat ähnliche Eigenschaften wie die Multiplikation in den reellen Zahlen.

Wie auch in den reellen Zahlen können wir in $\mathbb {C}$ Brüche der Form ${\tfrac {w}{z}}$ bilden. Hierzu müssen wir zu einer komplexen Zahl $z=(a,b)$ ihre Reziprokes $z^{-1}=(c,d)$ bilden. Diese reziproke Zahl muss die Gleichung $z\cdot z^{-1}=1$ erfüllen. Wir müssen also $(c,d)$ so wählen, dass $(1,0)=(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ ist. Wir werden sehen, dass dieses Gleichungssystem für alle $(a,b)\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ eindeutig lösbar ist.

Insgesamt erfüllen die Addition und die Multiplikation die sogenannten Körperaxiome, die auch die reellen Zahlen erfüllen. Damit ist das Rechnen in $\mathbb {C}$ ähnlich zu dem, was uns vom Rechnen mit reellen Zahlen bekannt ist.

Satz

Sei $\mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2}$ die Menge der komplexen Zahlen mit der Addition und der Multiplikation:

${\begin{aligned}(a,b)+(c,d)&:=(a+c,b+d)\\(a,b)\cdot (c,d)&:=(a\cdot c-b\cdot d,a\cdot d+b\cdot c)\end{aligned}}$

Diese Menge erfüllt alle Körperaxiome.

Wie kommt man auf den Beweis?

Wir wollen nun nacheinander die Gültigkeit der Körperaxiome in den komplexen Zahlen überprüfen. Hierfür werden wir von den genannten Definitionen der Addition und der Multiplikation in $\mathbb {C}$ ausgehen und die Eigenschaften der reellen Zahlen ausnutzen.

Betrachten wir beispielsweise die Kommutativität der Multiplikation. Um diese nachzuweisen, müssen wir folgende Gleichung beweisen:

$(a,b)\cdot (c,d)=\ldots =(c,d)\cdot (a,b)$

Welche Umformungsschritte müssen wir nun ausführen, um von der linken Seite der Gleichung auf die rechte zu gelangen? Zunächst ist es hilfreich, die Definition der Multiplikation in den komplexen Zahlen anzuwenden, d. h. $(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ und $(c,d)\cdot (a,b)=(ca-db,da+bc)$. So erhalten wir

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)=\ldots =(ca-db,da+cb)=(c,d)\cdot (a,b)$

Auf diese Weise ist von links und rechts schon der Großteil des Beweises aufgefüllt. Was nun noch zu zeigen ist, ist die Gleichheit $(ac-bd,ad+bc)=(ca-db,da+cb)$, die wir unmittelbar aus den Eigenschaften von $\mathbb {R}$ erhalten: Da $a,b,c,d$ aus dem Körper der reellen Zahlen sind, wissen wir aufgrund der Kommutativität der Multiplikation, dass $ac-bd=ca-db$ und $ad+bc=da+cb$ gilt. Damit sind wir schon fertig und haben die Kommutativität der Multiplikation in den komplexen Zahlen bewiesen. Auf ganz ähnliche Weise lassen sich auch die übrigen Körperaxiome für die komplexen Zahlen zeigen.

Neben der Assoziativität und Kommutativität der Addition und der Multiplikation müssen wir für den Beweis außerdem noch die Existenz des neutralen und inversen Elementes der Addition bzw. Multiplikation in $\mathbb {C}$ nachweisen. Dies tun wir, indem wir ein solches konstruieren und durch Nachrechnen zeigen, dass es die in den Körperaxiomen geforderten Eigenschaften besitzt.

Das neutrale Element der Addition ist nicht schwer zu finden: Es ist zu erwarten, dass der Ursprung der komplexen Ebene, welche auch die Null der reellen Zahlenachse ist, der Null in der komplexen Zahlenebene entspricht. Der Punkt $(0,0)$ sollte also die komplexe Null sein. Auch aus der Definition der Addition ist schnell zu erkennen, dass $0_{\mathbb {C} }=(0_{\mathbb {R} },0_{\mathbb {R} })$ gelten muss, damit $(a,b)+(0,0)=(a,b)$ erfüllt ist.

Das additiv Inverse können wir leicht bestimmen, indem wir zu einer komplexen Zahl $(a,b)$ jeweils die additiv Inversen der beiden reellen Zahlen $a,b$ bestimmen. Wir erhalten $-(a,b)=(-a,-b)$, was wir durch Nachrechnen zeigen können.

Bezüglich des neutralen Elements der Multiplikation vermuten wir, dass wie schon beim neutralen Element der Addition eine Analogie zu den reellen Zahlen gilt. Auf der reellen Zahlenachse ist die Eins das neutrale Element der Multiplikation, in der Zahlenebene entspricht dies dem Punkt mit den Koordinaten $(1,0)$. Wir können durch Nachrechnen leicht zeigen, dass $1_{\mathbb {C} }=(1_{\mathbb {R} },0_{\mathbb {R} })$ tatsächlich die gewünschten Eigenschaften besitzt.

Wir müssen nun noch die multiplikative Inverse finden. Das ist etwas schwerer als die additive Inverse, weil die Multiplikation komplizierter definiert ist als die Addition. Für ein gegebenes $(a,b)\in \mathbb {C}$ mit $(a,b)\neq (0,0)$ suchen eine komplexe Zahl $(c,d)\in \mathbb {C}$ mit $(a,b)\cdot (c,d)=(1,0)$. Dabei ist $(1,0)$ die bereits gefundene „Eins“ in den komplexen Zahlen.

Was für Bedingungen muss $(c,d)$ als Inverse von $(a,b)$ erfüllen? Nach der Definition der Multiplikation ist $(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$. Damit muss gelten $(ac-bd,ad+bc)=(1,0)$. Folgende Gleichungen müssen also erfüllt sein:

${\begin{aligned}ac-bd&=1\\ad+bc&=0\end{aligned}}$

Das ist ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten, nämlich $c$ und $d$, sowie zwei Gleichungen. Wir können nun versuchen dieses Gleichungssystem zu lösen, also die Gleichungen nach $c$ und nach $d$ aufzulösen. Nimm dir Stift und Papier sowie 10 Minuten Zeit und versuche selbst die Gleichungen nach $c$ und $d$ umzuformen.

Wir präsentieren hier eine elegante Lösung, bei der keinerlei Fallunterscheidung wegen Division durch Null nötig sind. Sie ist aber nicht intuitiv und die Wenigsten würden den Beweis beim ersten Versuch so durchführen. Als Erstes multiplizieren wir die erste Gleichung mit $a$ und die zweite mit $b$:

${\begin{aligned}{\begin{array}{rcr}ac-bd=1&\implies &a^{2}c-abd=a\\[0.3em]ad+bc=0&\implies &abd+b^{2}c=0\end{array}}\end{aligned}}$

Wir addieren die beiden Gleichungen und erhalten:

${\begin{aligned}{\begin{array}{rrl}&a^{2}c+0+b^{2}c&=a+0\\[0.3em]\implies &(a^{2}+b^{2})c&=a\\[0.3em]&&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\begin{array}{l}a^{2}+b^{2}\neq 0,\\{\text{weil }}(a,b)\neq (0,0)\end{array}}\right.}\\[0.3em]\implies &c&={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}\end{array}}\end{aligned}}$

Nun multiplizieren wir „anders herum“, also die erste Gleichung mit $b$ und die zweite mit $a$:

${\begin{aligned}{\begin{array}{rcr}ac-bd=1&\implies &abc-b^{2}d=b\\[0.3em]ad+bc=0&\implies &a^{2}d+abc=0\end{array}}\end{aligned}}$

Subtrahieren wir von der zweiten Gleichung die Erste, so erhalten wir:

${\begin{aligned}{\begin{array}{rrl}&a^{2}d+0+b^{2}d&=-b\\[0.3em]\implies &(a^{2}+b^{2})d&=-b\\[0.3em]&&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\begin{array}{l}a^{2}+b^{2}\neq 0,\\{\text{weil }}(a,b)\neq (0,0)\end{array}}\right.}\\[0.3em]\implies &d&={\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}\end{array}}\end{aligned}}$

Wir haben also $(c,d)=\left({\tfrac {a}{a^{2}+b^{2}}},{\tfrac {-b}{a^{2}+b^{2}}}\right)\in \mathbb {C}$ als Inverse von $(a,b)$ gefunden. Im Beweis werden wir Proberechnen, dass wirklich $(a,b)\cdot (c,d)=(1,0)$ ist.

Beweis

Wir müssen alle nachweisen. Seien dafür $a,b,c,d,e,f\in \mathbb {R}$ beliebig.

Beweisschritt: Assoziativgesetz der Addition

${\begin{aligned}(a,b)+{\bigg (}(c,d)+(e,f){\bigg )}&=(a,b)+(c+e,d+f)\\&=(a+(c+e),b+(d+f))\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativgesetz in }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]&=((a+c)+e,(b+d)+f)\\&=(a+c,b+d)+(e,f)\\&={\bigg (}(a,b)+(c,d){\bigg )}+(e,f)\end{aligned}}$

Beweisschritt: Kommutativgesetz der Addition

${\begin{aligned}(a,b)+(c,d)&=(a+c,b+d)\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativgesetz in }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]&=(c+a,d+b)\\&=(c,d)+(a,b)\end{aligned}}$

Beweisschritt: Existenz der Null

Die Null in $\mathbb {C}$ ist gegeben durch $(0,0)$. Es ist nämlich

${\begin{aligned}(0,0)+(a,b)&=(a+0,b+0)\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition der }}0{\text{ in }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]&=(a,b)\end{aligned}}$

Beweisschritt: Existenz des additiven Inversen

Im $\mathbb {C}$ ist $-(a,b)=(-a,-b)$, denn es ist

${\begin{aligned}(a,b)+(-a,-b)&=(a-a,b-b)\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{additives Inverses in }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]&=(0,0)\end{aligned}}$

Beweisschritt: Assoziativgesetz der Multiplikation

${\begin{aligned}(a,b)\cdot {\bigg (}(c,d)\cdot (e,f){\bigg )}&=(a,b)\cdot (ce-df,cf+ed)\\&=(a\cdot (ce-df)-b\cdot (cf+ed),a\cdot (cf+ed)+b\cdot (ce-df))\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivgesetz in }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]&=(ace-adf-bcf-bed,acf+aed+bce-bdf)\\&=((ac-bd)\cdot e-(ad+bc)\cdot f,(ac-bd)\cdot f+(ad+bc)\cdot e)\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivgesetz in }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]&=(ac-bd,ad+bc)\cdot (e,f)\\&={\bigg (}(a,b)\cdot (c,d){\bigg )}\cdot (e,f)\end{aligned}}$

Beweisschritt: Kommutativgesetz der Multiplikation

${\begin{aligned}(a,b)\cdot (c,d)&=(ac-bd,ad+bc)\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativgesetz in }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]&=(ca-db,da+cb)\\&=(c,d)\cdot (a,b)\end{aligned}}$

Beweisschritt: Existenz der Eins

Die Eins in $\mathbb {C}$ ist die Zahl $(1,0)$. Es gilt nämlich $(1,0)\neq (0,0)$ und

${\begin{aligned}(1,0)\cdot (a,b)&=(1\cdot a-0\cdot b,1\cdot b+0\cdot a)\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Eigenschaften von }}0{\text{ und }}1{\text{ in }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]&=(a-0,b+0)\\&=(a,b)\end{aligned}}$

Beweisschritt: Existenz des multiplikativen Inversen

Sei $z=(a,b)$ eine komplexe Zahl mit $(a,b)\neq (0,0)$. Das Inverse dieser Zahl ist $(a,b)^{-1}=\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}\right)$. Diese Zahl ist wohldefiniert, da $(a,b)\neq (0,0)$ und deshalb $a^{2}+b^{2}>0$. Und es gilt

${\begin{aligned}(a,b)\cdot (a,b)^{-1}&=(a,b)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}\right)\\[0.3em]&=\left(a\cdot {\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-b\cdot {\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}},a\cdot {\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}+b\cdot {\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}\right)\\[0.3em]&=\left({\frac {aa+bb}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {-ab+ba}{a^{2}+b^{2}}}\right)\\[0.3em]&=\left({\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {0}{a^{2}+b^{2}}}\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Multiplikatives Inverse von }}a^{2}+b^{2}{\text{ in }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]&=(1,0)\end{aligned}}$

Beweisschritt: Distributivgesetz

${\begin{aligned}(a,b)\cdot {\bigg (}(c,d)+(e,f){\bigg )}&=(a,b)\cdot (c+e,d+f)\\&=(a\cdot (c+e)-b\cdot (d+f),a\cdot (d+f)+b\cdot (c+e))\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivgesetz in }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]&=(ac+ae-bd-bf,ad+af+bc+be)\\&=(ac-bd,ad+bc)+(ae-bf,af+be)\\&=(a,b)\cdot (c,d)+(a,b)\cdot (e,f)\end{aligned}}$

$\mathbb {R}$ als Unterkörper von $\mathbb {C}$

Wir identifizieren die komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ mit der Ebene $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$. Dabei ist die in der komplexen Ebene liegende $x$-Achse die reelle Zahlengerade. So ergibt es Sinn, dass die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ eine Teilmenge der komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ sind.

Außerdem wissen wir, dass sowohl $\mathbb {R}$ als auch $\mathbb {C}$ Körper sind. Es ist sinnvoll, wenn $\mathbb {R}$ ein Unterkörper von $\mathbb {C}$ ist. Dafür müssen wir mehr zeigen, als dass $\mathbb {R}$ eine Teilmenge von $\mathbb {C}$ ist. Wir müssen zusätzlich beweisen, dass die Addition und die Multiplikation reeller Zahlen in $\mathbb {C}$ erhalten bleibt. Wir wollen also zwei Aussagen zeigen: $\mathbb {R}$ ist eine Teilmenge von $\mathbb {C}$ und die Rechenoperationen aus den reellen Zahlen bleiben in $\mathbb {C}$ erhalten.

Betrachten wir zunächst die erste Aussage: $\mathbb {R}$ ist Teilmenge $\mathbb {C}$. Diese stimmt nicht direkt, da dies bedeuten würde, dass für alle $x\in \mathbb {R}$ auch $x\in \mathbb {C}$ gilt. Nun ist $\mathbb {C} =\mathbb {R} \times \mathbb {R} =\{(a,b)|a,b\in \mathbb {R} \}$ eine Menge von Tupeln reller Zahlen, womit die Elemente von $\mathbb {R}$ und von $\mathbb {C}$ verschieden sind.

Dies ist kein großes Problem. Wir können nämlich die reellen Zahlen mit einer Teilmenge der komplexen Zahlen identifizieren, die sich ähnlich wie $\mathbb {R}$ verhält. Um diese Teilmenge zu finden, nutzen wir die Anschauung der komplexen Zahlen in der Ebene. Die Teilmenge, die wir suchen, ist in unserer Anschauung die reelle Achse in der komplexen Ebene. Eine komplexe Zahl $z=(a,b)\in \mathbb {C}$ liegt genau dann auf dieser Achse, wenn ihr Imaginärteil gleich Null ist, wenn $b=0$ ist. Die reelle Achse ist somit die Menge $\{(a,0)|a\in \mathbb {R} \}=\mathbb {R} \times \{0\}\subseteq \mathbb {C}$.

Wir wollen zeigen, dass wir $\mathbb {R} \times \{0\}$ mit den reellen Zahlen identifizieren können. Dafür brauchen wir eine eins-zu-eins-Beziehung (bijektive Abbildung) von $\mathbb {R}$ zu $\mathbb {R} \times \{0\}$. Genauso gut können wir eine injektive Abbildung $\iota \colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ mit Bild $\iota (\mathbb {R} )=\mathbb {R} \times \{0\}$ definieren. Dann bildet $\iota$ die reellen Zahlen bijektiv auf $\mathbb {R} \times \{0\}$ ab.

Aber das reicht uns noch nicht. Wir wollen zusätzlich, dass $\mathbb {R} \times \{0\}$ die gleiche Struktur wie die reellen Zahlen hat. Unsere Abbildung $\iota$ soll die Struktur von $\mathbb {R}$ in der Abbildung erhalten. Das bedeutet, Summen in $\mathbb {R}$ sollen von $\iota$ auf Summen in $\mathbb {C}$ abgebildet werden und genauso mit Produkten. Auch sollen die neutralen Elemente $0$ und $1$ aus den reellen Zahlen auf die entsprechenden neutralen Elemente in den komplexen Zahlen abgebildet werden. Eine Abbildung mit solchen Eigenschaften heißt Körperhomomorphismus.

Wie sollen wir $\iota$ wählen? Betrachten wir wieder unsere Anschauung der komplexen Ebene. Wir wollen die reelle Zahlengerade $\mathbb {R}$ auf die reelle Achse $\mathbb {R} \times \{0\}$ abbilden. Am einfachsten geht das, wenn wir den Zahlenstrahl in die zweidimensionale Ebene einbetten. Also eine reelle Zahl $a\in \mathbb {R}$ nach $(a,0)\in \mathbb {R} \times \{0\}$ schicken:

Definition (Einbettung der reellen in die komplexen Zahlen)

Die Funktion $\iota \colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ mit der Funktionsvorschrift $\iota (a)=(a,0)$ ist die Einbettung der reellen in die komplexen Zahlen.

Es bleibt zu zeigen, dass unsere Abbildung die Eigenschaften eines injektiven Körperhomomorphismus erfüllt. Ein solcher injektiver Körperhomohorphismus wird Körpermonomorphismus genannt:

Satz (Einbettung der reellen Zahlen ist ein Körpermonomorphismus)

Die Einbettung $\iota \colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ mit $\iota (a)=(a,0)$ ist ein Körpermonomorphismus (= injektiver Körperhomomorphismus)

Wie kommt man auf den Beweis? (Einbettung der reellen Zahlen ist ein Körpermonomorphismus)

Um zu zeigen, dass eine beliebige Funktion $f\colon L\to K$ zwischen zwei Körper $L$ und $K$ ein Körperhomomorphismus ist, müssen folgende Eigenschaften nachgewiesen werden:

• Die neutralen Elemente bzgl. der jeweiligen auf dem Körper $L$ definierten Verknüpfungen müssen auf die neutralen Elemente aus dem Körper $K$ abgebildet werden, d.h.
  ${\begin{aligned}f(0_{L})&=0_{K}\\f(1_{L})&=1_{K}\end{aligned}}$

  Dabei sind $0_{L}$ und $1_{L}$ das neutrale Element der Addition bzw. das neutrale Element der Multiplikation in der Menge $L$ und $0_{K}$ bzw. $1_{K}$ sind jeweils die neutralen Elemente aus $K$.

• Linearität bzgl. der ersten Verknüpfung, d.h. für alle $a,b\in L$ gilt:
  $f(a+_{L}b)=f(a)+_{K}f(b)$
• Linearität bzgl. der zweiten Verknüpfung, d.h. für alle $a,b\in L$ gilt:
  $f(a\cdot _{L}b)=f(a)\cdot _{K}f(b)$

Diese Eigenschaften müssen wir für $\iota$ nachweisen. Hierfür gehen wir so vor, dass wir zunächst die zu überprüfenden Eigenschaften in den Fall von $\iota$ übersetzen. Aus der Formel $f(a\cdot _{L}b)=f(a)\cdot _{K}f(b)$ wird beispielsweise:

${\begin{aligned}{\color {Thistle}f}(a\cdot _{\color {RedOrange}L}b)&={\color {Thistle}f}(a)\cdot _{\color {Blue}K}{\color {Thistle}f}(b)\\[0.3em]&\downarrow \\[0.3em]{\color {Thistle}\iota }(a\cdot _{\color {RedOrange}\mathbb {R} }b)&={\color {Thistle}\iota }(a)\cdot _{\color {Blue}\mathbb {C} }{\color {Thistle}\iota }(b)\\[0.3em]\end{aligned}}$

Wir müssen also die Gleichung die Gleichung $\iota (a\cdot b)=\iota (a)\cdot \iota (b)$ beweisen. Hier können wir zunächst die Definition von $\iota$ einsetzen. Damit ist folgende Gleichungskette zu zeigen:

$\iota (a\cdot b)=(a\cdot b,0)=\ldots =(a,0)\cdot (b,0)=\iota (a)\cdot \iota (b)$

Durch Ausrechnen von $(a,0)\cdot (b,0)$ kann diese Gleichungskette bewiesen werden. Analog kann auch bei den anderen Eigenschaften vorgegangen werden. Auch der Beweis der Injektivität kann durch eine ähnliche Vorgehensweise erfolgen.

Beweis (Einbettung der reellen Zahlen ist ein Körpermonomorphismus)

Seien $a,b\in \mathbb {R}$. Des Weiteren ist wie oben bereits definiert $(1,0)$ das neutrale Element der Multiplikation in $\mathbb {C}$, sowie $(0,0)$ das neutrale Element der Addition in $\mathbb {C}$. Es ist:

Beweisschritt: $\iota$ erhält neutrale Elemente

Die neutralen Elemente der jeweiligen Verknüpfungen aus $\mathbb {R}$, werden auf die neutralen Elemente aus $\mathbb {C}$ abgebildet:

${\begin{aligned}\iota (1_{\mathbb {R} })&=(1,0)=1_{\mathbb {C} }\\\iota (0_{\mathbb {R} })&=(0,0)=0_{\mathbb {C} }\end{aligned}}$

Beweisschritt: $\iota (a+b)=\iota (a)+\iota (b)$

$\iota (a+b)=(a+b,0)=(a,0)+(b,0)=\iota (a)+\iota (b)$

Beweisschritt: $\iota (a\cdot b)=\iota (a)\cdot \iota (b)$

${\begin{aligned}\iota (a\cdot b)&=(a\cdot b,0)\\&=(a\cdot b-0\cdot 0,a\cdot 0+0\cdot b)\\&=(a,0)\cdot (b,0)=\iota (a)\cdot \iota (b)\end{aligned}}$

Beweisschritt: $\iota$ ist injektiv

Seien $a,b\in \mathbb {R}$ mit $\iota (a)=\iota (b)$. Folglich gilt $(a,0)=\iota (a)=\iota (b)=(b,0)$, also $(a,0)=(b,0)$. Daraus folgt, dass $a=b$ sein muss. Somit ist die Abbildung injektiv.

Somit stellt die Abbildung $\iota$ einen injektiven Körperhomomorphismus bzw. einen Körpermomomorphismus dar.

Durch die Eigenschaften eines Körpermonomorphismus bleibt die Struktur eines Körpers im Bild der Abbildung erhalten. Einfach gesagt erfüllt das Bild des Körpermonomorphismus die Körperaxiome und definiert somit wieder einen Körper. Da das Bild der Abbildung $\iota$ eine Teilmenge des Körpers der komplexen Zahlen ist, können wir das Bild $\iota (\mathbb {R} )$ als Unterkörper von $\mathbb {C}$ auffassen. Ferner ist durch die Abbildung $\iota \colon \mathbb {R} \to \operatorname {Bild} (\iota )$ ein Körperisomorphismus, d.h. ein bijektiver Körperhomomorphismus zwischen dem Körper $\mathbb {R}$ und dem Körper $\operatorname {Bild} (\iota )$ gegeben. Dies rechtfertigt die Bezeichnung $\mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$ und wir übersetzen fortan alle reellen Zahlen $a\in \mathbb {R}$ in die komplexe Zahl $a:=\iota (a)$.

Definition der Schreibweise $a+b\,\mathrm {i}$

Eine komplexe Zahl, die wir als $a+b\,\mathrm {i}$ schreiben möchten, ist nach unserer formalen Definition mit $\mathbb {C} =\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ das Tupel $(a,b)$. Um Rechnungen zu vereinfachen, möchten wir die Schreibweise $a+b\,\mathrm {i}$ ohne Tupel einführen. Hierzu müssen wir $\mathrm {i}$ formal definieren. Da $\mathrm {i}$ in der komplexen Ebene auf der $y$-Achse bei der Zahl $1$ liegt, wählen wir $\mathrm {i} :=(0,1)$:

Definition (imaginäre Einheit)

Wir setzen $\mathrm {i} :=(0,1)$ und dürfen den Buchstaben nun auch formal als komplexe Zahl benutzen.

Anfangs haben wir die Lösung der Gleichung $x^{2}=-1$ gesucht und mit $\mathrm {i}$ eine dieser Lösungen gefunden. Deshalb rechnen wir nach, dass in der Tat $\mathrm {i} ^{2}=-1$ für $\mathrm {i} =(0,1)$ erfüllt ist:

${\begin{aligned}\mathrm {i} ^{2}&=\mathrm {i} \cdot \mathrm {i} =(0,1)\cdot (0,1)\\[0.3em]&=(0\cdot 0-1\cdot 1,0\cdot 1+1\cdot 0)\\[0.3em]&=(-1,0)=\iota (-1)=-1\end{aligned}}$

Wir haben dabei die Einbettung $\iota$ der reellen Zahlen in $\mathbb {C}$ und die Schreibweise $a=\iota (a)$ für $a\in \mathbb {R}$ benutzt. Es gilt also wirklich $\mathrm {i} ^{2}=-1$. Nun zeigen wir, dass wir unsere Schreibweise $a+b\,\mathrm {i}$ für $(a,b)$ verwenden dürfen. Unter Verwendung von $c:=\iota (c)=(c,0)$ für $c\in \mathbb {R}$ zeigen wir $(a,b)=a+b\,\mathrm {i}$. Dank diesem Beweis können anschließend mit den komplexen Zahlen $a+b\,\mathrm {i}$ so rechnen, wie wir es wollen:

Satz

Für alle $(a,b)\in \mathbb {C}$ gilt $a+b\,\mathrm {i} =(a,b)$.

Beweis

Sei $(a,b)\in \mathbb {C}$. Dann ist

${\begin{aligned}(a,b)&=(a,0)+(0,b)\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\begin{aligned}&(b,0)\cdot (0,1)\\=&(b\cdot 0-0\cdot 1,b\cdot 1+0\cdot 0)\\=&(0,b)\end{aligned}}\right.}\\[0.5em]&=(a,0)+(b,0)\cdot (0,1)\\&=a+b\cdot (0,1)=a+b\,\mathrm {i} \end{aligned}}$

$\mathbb {C}$ ist kein geordneter Körper

Es wäre angenehm, komplexe Zahlen anordnen zu können. Sprich: eine Größer/Kleiner-Relation für komplexe Zahlen einzuführen. Betrachten wir die Zahlen $1$ und $\mathrm {i}$. Wir stellen fest, dass diese auf dem Einheitskreis liegen. Dies ist die Menge aller Punkte, die zur Null den Abstand $1$ besitzen:

Einheitskreis in der komplexen Ebene mit 1 und i

Ist nun $1<\mathrm {i}$, $1=\mathrm {i}$ oder $1>\mathrm {i}$? Zunächst scheint dieser Fall uneindeutig zu sein, denn beiden Zahlen haben den gleichen Betrag. Wie sieht es mit $1$ und $-2\mathrm {i}$ aus? Die Zahl $-2\mathrm {i}$ ist weiter von der Null entfernt als die Zahl $1$. Gilt dann auch $-2\mathrm {i} >1$? Kann das Produkt einer negativen Zahl mit der imaginären Einheit wirklich größer als eine positive Zahl sein?

An diesen kleinen Beispielen merken wir bereits, dass die Anordnung der komplexen Zahlen schwierig ist. Tatsächlich ist dies nicht möglich. Dies beweist der folgende Satz:

Satz

Es existiert keine Anordnung der komplexen Zahlen $\mathbb {C}$, die die Ordnung der reellen Zahlen erhält.

Beweis

Wir betrachten die beiden Zahlen $0$ und $\mathrm {i}$. In einer Ordnung muss entweder $\mathrm {i} =0$ oder $0<\mathrm {i}$ oder $\mathrm {i} <0$ gelten (Trichotomie der Positivität). Diese drei Aussagen werden wir nun schrittweise widerlegen:

Fall 1: $\mathrm {i} =0$

Nach der Definition der imaginären Einheit ist $\mathrm {i} \neq 0$. ↯

Fall 2: $\mathrm {i} >0$

Angenommen es gilt $0<\mathrm {i}$. Damit ist $\mathrm {i}$ eine positive Zahl. Nun können beide Seiten einer Ungleichung mit einer positiven Zahl multipliziert werden, ohne dass deren Ordnung geändert wird. Aus $a<b$ und $0<c$ folgt $a\cdot c<b\cdot c$ (Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation). Damit müssen wir beide Seiten von $0<\mathrm {i}$ mit $\mathrm {i}$ multiplizieren können. Wir erhalten $0=0\cdot \mathrm {i} <\mathrm {i} \cdot \mathrm {i} =-1$. Dieses Ergebnis ist nicht kompatibel zur Ordnung der reellen Zahlen und somit ist unsere Annahme nicht richtig. ↯

Fall 3: $\mathrm {i} <0$

Sei nun $\mathrm {i} <0$, dann ziehen wir $-\mathrm {i}$ auf beiden Seiten der Ungleichung ab und erhalten $0<-\mathrm {i}$. Erneut können wir aufgrund der Abgeschlossenheit bezüglich Multiplikation die rechte Seite mit $-\mathrm {i}$ multiplizieren und es folgt $0<(-\mathrm {i} )^{2}=-1$. Auch diese Ungleichung ist nicht kompatibel zur Ordnung der reellen Zahlen, womit $\mathrm {i} <0$ nicht gelten kann. ↯

Es ist weder $\mathrm {i} =0$ noch $0<\mathrm {i}$ noch $\mathrm {i} <0$. Damit kann $\mathbb {C}$ kein geordneter Körper sein, der die Ordnung von $\mathbb {R}$ erhält.

$\mathbb {C}$ ist algebraisch abgeschlossen

Wir haben mit $\mathbb {C}$ einen Körper konstruiert, in dem die Gleichung $x^{2}=-1$ lösbar ist bzw. das Polynom $x^{2}+1$ eine Nullstelle besitzt. In den komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ gilt sogar wesentlich mehr: Jedes Polynom (mit Koeffizienten in $\mathbb {C}$) vom Grad größer gleich $1$ besitzt mindestens eine Nullstelle. Dies schließt nur konstante Polynome aus, die natürlich (bis auf das Nullpolynom) keine Nullstellen besitzen. Diese Eigenschaft gilt in den reellen Zahlen nicht. So besitzt $x^{2}+1$ keine reellen Nullstellen.

Diese Eigenschaft der komplexen Zahlen heißt algebraische Abgeschlossenheit und wird in der Algebra behandelt. Die algebraische Abgeschlossenheit von $\mathbb {C}$ wird in einem Satz mit dem gewichtig klingenden Namen Fundamentalsatz der Algebra bewiesen.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Finde das Ergebnis folgender Produkte

• $(3+2\mathrm {i} )\cdot \mathrm {i}$
• $(3+2\mathrm {i} )\cdot 2\mathrm {i}$
• $(3+2\mathrm {i} )\cdot (-2-2\mathrm {i} )$
• $(3+2\mathrm {i} )\cdot (2+2\mathrm {i} )$

Lösung

Wir erhalten:

• $(3+2\mathrm {i} )\cdot \mathrm {i} =-2+3\mathrm {i}$
• $(3+2\mathrm {i} )\cdot 2\mathrm {i} =-4+6\mathrm {i}$
• $(3+2\mathrm {i} )\cdot (-2-2\mathrm {i} )=-6-6\mathrm {i} -4\mathrm {i} +4=-2-10\mathrm {i}$
• $(3+2\mathrm {i} )\cdot (2+2\mathrm {i} )=6+6\mathrm {i} +4\mathrm {i} -4=2+10\mathrm {i}$