Wir werden hier die komplexen Zahlen
formal definieren und beweisen, dass sie einen Körper bilden. Zuerst machen wir uns klar, wie die Addition und Multiplikation komplexer Zahlen aussehen soll.
Herleitung für die formale Definition komplexer Zahlen[Bearbeiten]
Herleitung der Tupelschreibweise[Bearbeiten]
Komplexe Zahlen haben die Form
, wobei
reelle Zahlen sind und die imaginäre Einheit
die Gleichung
erfüllt. Jedoch fehlt uns eine formale Definition für diese neue Zahlenform. Diese wollen wir nun herleiten.
Eine komplexe Zahl
wird durch die zwei reelle Zahlen
und
beschrieben. Außerdem kann man komplexe Zahlen als Punkte in einer Ebene darstellen.
ist dabei die
-Koordinate des Punktes und der imaginäre Anteil
gibt die
-Koordinate wieder:
Nun können Punkte der Ebene als Tupel
der Menge
beschrieben werden. Wir können also einem Tupel
in
die komplexe Zahl
zuordnen. Es soll also
sein. Dadurch identifizieren wir die komplexe Zahlenmenge
mit der Ebene
.
Da Tupel ein exakt definiertes mathematische Konzept ist, können wir diese für die formale Definition der komplexen Zahlen hernehmen. Hierzu sagen wir, dass komplexe Zahlen
Tupel
sind. Für diese müssen wir zusätzlich noch definieren, wie wir diese addieren und multiplizieren können.
Herleitung der Rechenregeln[Bearbeiten]
Die Addition komplexer Zahlen entspricht der Vektoraddition in der Ebene.
Wir wollen mit komplexen Zahlen wie mit reellen Zahlen rechnen können. Hierzu müssen wir definieren, wie komplexe Zahlen addiert und multipliziert werden können. Betrachten wir zunächst die Addition zweier komplexer Zahlen
und
. Das Ergebnis soll wieder eine komplexe Zahl, d.h. von der Form
, sein. Hierfür addieren wir die beiden komplexen Zahlen, ordnen die Summanden um und klammern
aus:
Das Ergebnis ist wieder von der Form
. Dabei werden jeweils die reellen und die imaginären Anteile summiert. Zur formalen Definition der Addition nutzen wir die Tupelschreibweise
in
benutzen. Dort gilt die Identifizierung
. Damit übersetzen wir obige Rechnung in die Tupelschreibweise:
Wir sehen, dass das Summieren eine komponentenweise Addition in
ist. Das ist genau die Vektoraddition in der Ebene
. Die Multiplikation komplexer Zahlen ist umständlicher. Wir betrachten hierzu das Produkt von zwei komplexen Zahlen
und
und multiplizieren diese aus:
Diese Rechnung übersetzen wir in unsere Tupelschreibweise:
Formale Definition der komplexen Zahlen[Bearbeiten]
Definition der komplexen Zahlen[Bearbeiten]
Die komplexen Zahlen definieren wir über Tupel in
mit der passenden Addition und Multiplikation.
Definition (Die komplexen Zahlen
)
Wir definieren die Menge der komplexen Zahlen als Menge
zusammen mit zwei Verknüpfungen. Komplexe Zahlen sind also Tupel
, wobei
und
reelle Zahlen sind. Die Addition und die Multiplikation sind definiert über
Definition von Real- und Imaginärteil[Bearbeiten]
Eine komplexe Zahl
, kann als Punkt in der Ebene beschrieben werden. Dieser ist eindeutig über seine Koordinaten
und
definiert. Diese Koordinaten haben spezielle Namen.
ist der Realteil und
der Imaginärteil der komplexen Zahl.
Die komplexen Zahlen bilden einen Körper [Bearbeiten]
Wir können mit den definierten Operationen auf den komplexen Zahlen wie in den reellen Zahlen rechnen. Die Addition entspricht dabei der Vektoraddition in
. Damit erbt sie alle Eigenschaften der Addition in einem Vektorraum und erfüllt so beispielsweise das Assoziativgesetz
und das Kommutativgesetz
. Auch die Multiplikation in den komplexen Zahlen hat ähnliche Eigenschaften wie die Multiplikation in den reellen Zahlen.
Wie auch in den reellen Zahlen können wir in
Brüche der Form
bilden. Hierzu müssen wir zu einer komplexen Zahl
ihre Reziprokes
bilden. Diese reziproke Zahl muss die Gleichung
erfüllen. Wir müssen also
so wählen, dass
ist. Wir werden sehen, dass dieses Gleichungssystem für alle
eindeutig lösbar ist.
Insgesamt erfüllen die Addition und die Multiplikation die sogenannten Körperaxiome, die auch die reellen Zahlen erfüllen. Damit ist das Rechnen in
ähnlich zu dem, was uns vom Rechnen mit reellen Zahlen bekannt ist.
Satz
Sei
die Menge der komplexen Zahlen mit der Addition und der Multiplikation:
Diese Menge erfüllt alle Körperaxiome.
Wie kommt man auf den Beweis?
Wir wollen nun nacheinander die Gültigkeit der Körperaxiome in den komplexen Zahlen überprüfen. Hierfür werden wir von den genannten Definitionen der Addition und der Multiplikation in
ausgehen und die Eigenschaften der reellen Zahlen ausnutzen.
Betrachten wir beispielsweise die Kommutativität der Multiplikation. Um diese nachzuweisen, müssen wir folgende Gleichung beweisen:
Welche Umformungsschritte müssen wir nun ausführen, um von der linken Seite der Gleichung auf die rechte zu gelangen? Zunächst ist es hilfreich, die Definition der Multiplikation in den komplexen Zahlen anzuwenden, d. h.
und
. So erhalten wir
Auf diese Weise ist von links und rechts schon der Großteil des Beweises aufgefüllt. Was nun noch zu zeigen ist, ist die Gleichheit
, die wir unmittelbar aus den Eigenschaften von
erhalten: Da
aus dem Körper der reellen Zahlen sind, wissen wir aufgrund der Kommutativität der Multiplikation, dass
und
gilt. Damit sind wir schon fertig und haben die Kommutativität der Multiplikation in den komplexen Zahlen bewiesen. Auf ganz ähnliche Weise lassen sich auch die übrigen Körperaxiome für die komplexen Zahlen zeigen.
Neben der Assoziativität und Kommutativität der Addition und der Multiplikation müssen wir für den Beweis außerdem noch die Existenz des neutralen und inversen Elementes der Addition bzw. Multiplikation in
nachweisen. Dies tun wir, indem wir ein solches konstruieren und durch Nachrechnen zeigen, dass es die in den Körperaxiomen geforderten Eigenschaften besitzt.
Das neutrale Element der Addition ist nicht schwer zu finden: Es ist zu erwarten, dass der Ursprung der komplexen Ebene, welche auch die Null der reellen Zahlenachse ist, der Null in der komplexen Zahlenebene entspricht. Der Punkt
sollte also die komplexe Null sein. Auch aus der Definition der Addition ist schnell zu erkennen, dass
gelten muss, damit
erfüllt ist.
Das additiv Inverse können wir leicht bestimmen, indem wir zu einer komplexen Zahl
jeweils die additiv Inversen der beiden reellen Zahlen
bestimmen. Wir erhalten
, was wir durch Nachrechnen zeigen können.
Bezüglich des neutralen Elements der Multiplikation vermuten wir, dass wie schon beim neutralen Element der Addition eine Analogie zu den reellen Zahlen gilt. Auf der reellen Zahlenachse ist die Eins das neutrale Element der Multiplikation, in der Zahlenebene entspricht dies dem Punkt mit den Koordinaten
. Wir können durch Nachrechnen leicht zeigen, dass
tatsächlich die gewünschten Eigenschaften besitzt.
Wir müssen nun noch die multiplikative Inverse finden. Das ist etwas schwerer als die additive Inverse, weil die Multiplikation komplizierter definiert ist als die Addition. Für ein gegebenes
mit
suchen eine komplexe Zahl
mit
. Dabei ist
die bereits gefundene „Eins“ in den komplexen Zahlen.
Was für Bedingungen muss
als Inverse von
erfüllen? Nach der Definition der Multiplikation ist
. Damit muss gelten
. Folgende Gleichungen müssen also erfüllt sein:
Das ist ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten, nämlich
und
, sowie zwei Gleichungen. Wir können nun versuchen dieses Gleichungssystem zu lösen, also die Gleichungen nach
und nach
aufzulösen. Nimm dir Stift und Papier sowie 10 Minuten Zeit und versuche selbst die Gleichungen nach
und
umzuformen.
Wir präsentieren hier eine elegante Lösung, bei der keinerlei Fallunterscheidung wegen Division durch Null nötig sind. Sie ist aber nicht intuitiv und die Wenigsten würden den Beweis beim ersten Versuch so durchführen. Als Erstes multiplizieren wir die erste Gleichung mit
und die zweite mit
:
Wir addieren die beiden Gleichungen und erhalten:
Nun multiplizieren wir „anders herum“, also die erste Gleichung mit
und die zweite mit
:
Subtrahieren wir von der zweiten Gleichung die Erste, so erhalten wir:
Wir haben also
als Inverse von
gefunden. Im Beweis werden wir Proberechnen, dass wirklich
ist.
Beweis
Wir müssen alle nachweisen. Seien dafür
beliebig.
Beweisschritt: Assoziativgesetz der Addition
Beweisschritt: Kommutativgesetz der Addition
Beweisschritt: Existenz der Null
Die Null in
ist gegeben durch
. Es ist nämlich
Beweisschritt: Existenz des additiven Inversen
Im
ist
, denn es ist
Beweisschritt: Assoziativgesetz der Multiplikation
Beweisschritt: Kommutativgesetz der Multiplikation
Beweisschritt: Existenz der Eins
Die Eins in
ist die Zahl
. Es gilt nämlich
und
Beweisschritt: Existenz des multiplikativen Inversen
Sei
eine komplexe Zahl mit
. Das Inverse dieser Zahl ist
. Diese Zahl ist wohldefiniert, da
und deshalb
. Und es gilt
Beweisschritt: Distributivgesetz
als Unterkörper von
[Bearbeiten]
Wir identifizieren die komplexen Zahlen
mit der Ebene
. Dabei ist die in der komplexen Ebene liegende
-Achse die reelle Zahlengerade. So ergibt es Sinn, dass die reellen Zahlen
eine Teilmenge der komplexen Zahlen
sind.
Außerdem wissen wir, dass sowohl
als auch
Körper sind. Es ist sinnvoll, wenn
ein Unterkörper von
ist. Dafür müssen wir mehr zeigen, als dass
eine Teilmenge von
ist. Wir müssen zusätzlich beweisen, dass die Addition und die Multiplikation reeller Zahlen in
erhalten bleibt. Wir wollen also zwei Aussagen zeigen:
ist eine Teilmenge von
und die Rechenoperationen aus den reellen Zahlen bleiben in
erhalten.
Betrachten wir zunächst die erste Aussage:
ist Teilmenge
. Diese stimmt nicht direkt, da dies bedeuten würde, dass für alle
auch
gilt. Nun ist
eine Menge von Tupeln reller Zahlen, womit die Elemente von
und von
verschieden sind.
Dies ist kein großes Problem. Wir können nämlich die reellen Zahlen mit einer Teilmenge der komplexen Zahlen identifizieren, die sich ähnlich wie
verhält. Um diese Teilmenge zu finden, nutzen wir die Anschauung der komplexen Zahlen in der Ebene. Die Teilmenge, die wir suchen, ist in unserer Anschauung die reelle Achse in der komplexen Ebene. Eine komplexe Zahl
liegt genau dann auf dieser Achse, wenn ihr Imaginärteil gleich Null ist, wenn
ist. Die reelle Achse ist somit die Menge
.
Wir wollen zeigen, dass wir
mit den reellen Zahlen identifizieren können. Dafür brauchen wir eine eins-zu-eins-Beziehung (bijektive Abbildung) von
zu
. Genauso gut können wir eine injektive Abbildung
mit Bild
definieren. Dann bildet
die reellen Zahlen bijektiv auf
ab.
Aber das reicht uns noch nicht. Wir wollen zusätzlich, dass
die gleiche Struktur wie die reellen Zahlen hat. Unsere Abbildung
soll die Struktur von
in der Abbildung erhalten. Das bedeutet, Summen in
sollen von
auf Summen in
abgebildet werden und genauso mit Produkten. Auch sollen die neutralen Elemente
und
aus den reellen Zahlen auf die entsprechenden neutralen Elemente in den komplexen Zahlen abgebildet werden. Eine Abbildung mit solchen Eigenschaften heißt Körperhomomorphismus.
Wie sollen wir
wählen? Betrachten wir wieder unsere Anschauung der komplexen Ebene. Wir wollen die reelle Zahlengerade
auf die reelle Achse
abbilden. Am einfachsten geht das, wenn wir den Zahlenstrahl in die zweidimensionale Ebene einbetten. Also eine reelle Zahl
nach
schicken:
Definition (Einbettung der reellen in die komplexen Zahlen)
Die Funktion
mit der Funktionsvorschrift
ist die Einbettung der reellen in die komplexen Zahlen.
Es bleibt zu zeigen, dass unsere Abbildung die Eigenschaften eines injektiven Körperhomomorphismus erfüllt. Ein solcher injektiver Körperhomohorphismus wird Körpermonomorphismus genannt:
Satz (Einbettung der reellen Zahlen ist ein Körpermonomorphismus)
Die Einbettung
mit
ist ein Körpermonomorphismus (= injektiver Körperhomomorphismus)
Wie kommt man auf den Beweis? (Einbettung der reellen Zahlen ist ein Körpermonomorphismus)
Um zu zeigen, dass eine beliebige Funktion
zwischen zwei Körper
und
ein Körperhomomorphismus ist, müssen folgende Eigenschaften nachgewiesen werden:
Diese Eigenschaften müssen wir für
nachweisen. Hierfür gehen wir so vor, dass wir zunächst die zu überprüfenden Eigenschaften in den Fall von
übersetzen. Aus der Formel
wird beispielsweise:
Wir müssen also die Gleichung die Gleichung
beweisen. Hier können wir zunächst die Definition von
einsetzen. Damit ist folgende Gleichungskette zu zeigen:
Durch Ausrechnen von
kann diese Gleichungskette bewiesen werden. Analog kann auch bei den anderen Eigenschaften vorgegangen werden. Auch der Beweis der Injektivität kann durch eine ähnliche Vorgehensweise erfolgen.
Beweis (Einbettung der reellen Zahlen ist ein Körpermonomorphismus)
Seien
. Des Weiteren ist wie oben bereits definiert
das neutrale Element der Multiplikation in
, sowie
das neutrale Element der Addition in
. Es ist:
Beweisschritt:
erhält neutrale Elemente
Beweisschritt: 
Beweisschritt: 
Beweisschritt:
ist injektiv
Seien
mit
. Folglich gilt
, also
. Daraus folgt, dass
sein muss. Somit ist die Abbildung injektiv.
Somit stellt die Abbildung
einen injektiven Körperhomomorphismus bzw. einen Körpermomomorphismus dar.
Durch die Eigenschaften eines Körpermonomorphismus bleibt die Struktur eines Körpers im Bild der Abbildung erhalten. Einfach gesagt erfüllt das Bild des Körpermonomorphismus die Körperaxiome und definiert somit wieder einen Körper. Da das Bild der Abbildung
eine Teilmenge des Körpers der komplexen Zahlen ist, können wir das Bild
als Unterkörper von
auffassen. Ferner ist durch die Abbildung
ein Körperisomorphismus, d.h. ein bijektiver Körperhomomorphismus zwischen dem Körper
und dem Körper
gegeben. Dies rechtfertigt die Bezeichnung
und wir übersetzen fortan alle reellen Zahlen
in die komplexe Zahl
.
Definition der Schreibweise
[Bearbeiten]
Eine komplexe Zahl, die wir als
schreiben möchten, ist nach unserer formalen Definition mit
das Tupel
. Um Rechnungen zu vereinfachen, möchten wir die Schreibweise
ohne Tupel einführen. Hierzu müssen wir
formal definieren. Da
in der komplexen Ebene auf der
-Achse bei der Zahl
liegt, wählen wir
:
Definition (imaginäre Einheit)
Wir setzen
und dürfen den Buchstaben nun auch formal als komplexe Zahl benutzen.
Anfangs haben wir die Lösung der Gleichung
gesucht und mit
eine dieser Lösungen gefunden. Deshalb rechnen wir nach, dass in der Tat
für
erfüllt ist:
Wir haben dabei die Einbettung
der reellen Zahlen in
und die Schreibweise
für
benutzt. Es gilt also wirklich
. Nun zeigen wir, dass wir unsere Schreibweise
für
verwenden dürfen. Unter Verwendung von
für
zeigen wir
. Dank diesem Beweis können anschließend mit den komplexen Zahlen
so rechnen, wie wir es wollen:
Satz
Für alle
gilt
.
Beweis
Sei
. Dann ist
ist kein geordneter Körper [Bearbeiten]
Es wäre angenehm, komplexe Zahlen anordnen zu können. Sprich: eine Größer/Kleiner-Relation für komplexe Zahlen einzuführen. Betrachten wir die Zahlen
und
. Wir stellen fest, dass diese auf dem Einheitskreis liegen. Dies ist die Menge aller Punkte, die zur Null den Abstand
besitzen:
Ist nun
,
oder
? Zunächst scheint dieser Fall uneindeutig zu sein, denn beiden Zahlen haben den gleichen Betrag. Wie sieht es mit
und
aus? Die Zahl
ist weiter von der Null entfernt als die Zahl
. Gilt dann auch
? Kann das Produkt einer negativen Zahl mit der imaginären Einheit wirklich größer als eine positive Zahl sein?
An diesen kleinen Beispielen merken wir bereits, dass die Anordnung der komplexen Zahlen schwierig ist. Tatsächlich ist dies nicht möglich. Dies beweist der folgende Satz:
Satz
Es existiert keine Anordnung der komplexen Zahlen
, die die Ordnung der reellen Zahlen erhält.
ist algebraisch abgeschlossen[Bearbeiten]
Wir haben mit
einen Körper konstruiert, in dem die Gleichung
lösbar ist bzw. das Polynom
eine Nullstelle besitzt. In den komplexen Zahlen
gilt sogar wesentlich mehr: Jedes Polynom (mit Koeffizienten in
) vom Grad größer gleich
besitzt mindestens eine Nullstelle. Dies schließt nur konstante Polynome aus, die natürlich (bis auf das Nullpolynom) keine Nullstellen besitzen. Diese Eigenschaft gilt in den reellen Zahlen nicht. So besitzt
keine reellen Nullstellen.
Diese Eigenschaft der komplexen Zahlen heißt algebraische Abgeschlossenheit und wird in der Algebra behandelt. Die algebraische Abgeschlossenheit von
wird in einem Satz mit dem gewichtig klingenden Namen Fundamentalsatz der Algebra bewiesen.