Aufgaben zu Potenzreihen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Konvergenzradius bestimmen[Bearbeiten]

Aufgabe (Konvergenzradius von Potenzreihen 1)

Bestimme jeweils den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen.

Lösung (Konvergenzradius von Potenzreihen 1)

Vorbemerkung: Sämtliche Potenzreihe in dieser Aufgabe lassen sich mit der Formel von Cauchy-Hadamard lösen.

  • Lösung zu Teilaufgabe 1: Hier gilt mit :

    Also ist der Konvergenzradius gleich .

  • Lösung zu Teilaufgabe 2: Hier gilt mit :

    Also ist der Konvergenzradius gleich .

  • Lösung zu Teilaufgabe 3: Hier gilt mit :

    Also ist der Konvergenzradius gleich .

  • Lösung zu Teilaufgabe 4: Bei der Potenzreihe gilt für die Koeffizientenfolge

    Damit folgt

    Also ist der Konvergenzradius gleich .

  • Lösung zu Teilaufgabe 5: Bei der letzten Potenzreihe gilt für die Koeffizientenfolge

    Damit folgt

    Also ist der Konvergenzradius gleich .

Aufgabe (Konvergenzradius von Potenzreihen 2)

Bestimme jeweils den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen.

  1. mit
  2. mit mit

Lösung (Konvergenzradius von Potenzreihen 2)

  • Lösung zu Teilaufgabe 1: Die Formel von Euler-Formel ist ohne Weiteres anwendbar. Es gilt

    Also ist der Konvergenzradius .

    Die Formel von Cauchy-Hadamard ist ebenfalls anwendbar, falls der Grenzwert bekannt ist. Es ergibt sich

    Damit folgt ebenfalls .

  • Lösung zu Teilaufgabe 2: Auch hier ist die Formel von Cauchy-Hadmard schwer anzuwenden. Dazu müssten wir den Grenzwert bestimmen, was alles andere als einfach ist. Die Formel von Euler hingegen ergibt

    Damit besitzt die Potenzreihe den Konvergenzradius .

    Hinweis

    Damit habe wir im Übrigen auch gezeigt:

  • Lösung zu Teilaufgabe 3: Für die Koeffizientenfolge der Potenzreihe gilt

    Damit ist die Formel von Euler nicht anwendbar, da die Quotientenfolge nicht konvergiert. Die Formel von Cauchy-Hadamard ist hingegen anwendbar und ergibt

    Also ist der Konvergenzradius der Potenzreihe gleich .

  • Lösung zu Teilaufgabe 4: Der Konvergenzradius dieser Potenzreihe lässt sich mit Hilfe einer Fallunterscheidung untersuchen. Die Formel von Euler ist aus demselben Grund wie Teilaufgabe 3 nicht anwendbar. Daher verwenden wir die Formel von Cauch-Hadamard.
    1. Ist , so gilt: .
    2. Ist , so gilt analog: .
    Insgesamt ergibt sich . Für den Konvergenzradius der Potenzreihe folgt damit
  • Lösung zu Teilaufgabe 5: Hier ist die Formel von Cauchy-Hadamard eher ungeeignet, denn wir müssten den Grenzwert bestimmen, was sehr schwierig ist. Die Formel von Euler ergibt mit Hilfe des (hoffentlich bekannten) Grenzwerts :

    Damit besitzt die Potenzreihe den Konvergenzradius .

Verhalten auf dem Rand des Konvergenzradius[Bearbeiten]

Aufgabe (Binomialreihen)

Bestimme das Konvergenzverhalten der folgenden Reihen.

Lösung (Binomialreihen)

  • Lösung zu Teilaufgabe 1: Wir verwenden das Majorantenkriterium:

    Da die Reihe konvergiert, konvergiert mit dem Majorantenkriterium auch die Reihe (absolut).

    Hinweis

    Genz analog lässt sich allgemeiner zeigen, dass die Reihe für alle absolut konvergiert.

  • Lösung zu Teilaufgabe 2: Das Majorantenkriterium mit der Abschätzung aus Teilaufgabe 1 ist hier nicht anwendbar, da wir hier lediglich die Abschätzung

    ergibt, und die Reihe als harmonische Reihe divergiert. Auch mit anderen Abschätzungen ist das Majorantenkriterium hier nicht anwendbar.

    Stattdessen können wir hier das Leibniz-Kriterium anwenden. Dazu müssen wir uns allerdings zunächst einnmal überlegen, dass die Reihe alternierend ist. Dies folgt allerdings unmittelbar aus

    für

    Außerdem ist . Wir müssen also zeigen, dass eine monoton fallende Nullfolge ist.

    1. , also ist monoton fallend.
    2. Es gilt

    Mit dem Der Sandwichsatz ist eine Nullfolge.

    Also konvergiert .

    Hinweis

    Ganz analog lässt sich allgemeiner zeigen, dass die Reihe für alle konvergiert. Mit Hilfe des Kriteriums von Raabe lässt sich sogar zeigen, dass die Reihe absolut konvergiert.

  • Lösung zu Teilaufgabe 3: Auch hier können wir das Leibniz-Kriterium anwenden. Der Beweis, dass die Reihe alternierend und monoton fallend ist kann eins zu eins aus der Teilaufgabe 2 übernommen werden. Der Beweis, dass die Folge eine Nullfolge ist, ist hier allerdings etwas schwieriger. Die Abschätzung aus Teilaufgabe 2 ergibt hier lediglich die Ungleichung

    was nicht ausreicht. Hier müssen wir genauer abschätzen. Dazu benötigen wir verschiedene Eigenschaften der Exponentialfunktion:

    Mit dem Der Sandwichsatz ist eine Nullfolge.

    Also konvergiert .

    Hinweis

    Ganz analog lässt sich allgemeiner zeigen, dass die Reihe für alle konvergiert.

  • Lösung zu Teilaufgabe 4: In diesem Fall gilt die Abschätzung

    Damit kann keine Nullfolge sein. Mit dem Trivialkriterium ist die Reihe divergent.

    Hinweis

    Ernet lässt sich allgemeiner ganz analog zeigen, dass die Reihe für alle divergiert.

Dirichletsche Reihen[Bearbeiten]

Aufgabe (Dirichletsche Reihen)

Eine Reihen der Form mit heißt Dirichletsche Reihe oder Dirichlet-Reihe. Zeige:

  1. Es gibt eine Konvergenzabszisse , so dass die Reihe konvergiert für und divergiert für .
  2. Bestimme die Konvergenzabszisse für die folgenden Dirichlet-Reihen:

Hinweis: Zur Lösung der 1. Teilaufgabe zeige zunächst mit Hilfe des Dirichlet-Kriteriums: Konvergiert für ein , so konvergiert für alle .

Lösung (Dirichletsche Reihen)

  • Lösung von Teilaufgabe 1:

    Beweisschritt: Konvergiert für ein , so konvergiert für alle

    Konvergiert für ein . Dann gilt

    Da die Reihe konvergiert, bilden die Partialsummen eine beschränkte Folge. Außerdem ist die Folge mit eine monoton fallende Nullfolge. Mit dem Dirichlet-Kriteriums konvergiert daher die Produktreihe .

    Beweisschritt: konvergiert für alle mit .

    Sei mit . Nach der Definition des Infimums gibt es dann ein mit , so dass konvergiert. Wegen , folgt aus dem 1. Beweisschritt, dass konvergiert.

    Beweisschritt: konvergiert für alle mit .

    Sei mit . Wir nehmen an, dass konvergiert. Aus dem 1. Beweisschritt, folgt, dass für alle mit konvergiert. Dies ist ein Widerspruch zu . Also kann nicht konvergieren und ist daher divergent.

  • Beweisschritt: Konvergenzabszisse der Reihe (a)

    Es gilt

    Auf Grund des Konvergenzverhaltens der allgemeinen harmonischen Reihe konvergiert diese Reihe genau dann, falls ist, und divergiert, falls ist. Daher ist die Konvergenzabszisse dieser Reihe gleich .

    Beweisschritt: Konvergenzabszisse der Reihe (b)

    Nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert diese Reihe genau dann, falls eine monoton fallende Nullfolge ist. Dies ist genau dann der Fall, falls ist. Für ist die Folge keine Nullfolge. Daher ist die Konvergenzabszisse dieser Reihe gleich .

    Beweisschritt: Konvergenzabszisse der Reihe (c)

    Hier ist die Koeffizientenfolge als Kehrwert der Nullfolge unbeschränkt und daher keine Nullfolge. Daher konvergiert die Reihe für kein und ist die Konvergenzabszisse dieser Reihe somit gleich .

    Beweisschritt: Konvergenzabszisse der Reihe (d)

    Hier ist die Koeffizientenfolge als Quotient Potenzfolge durch geometrische Folge für jedes eine Nullfolge. Daher konvergiert die Reihe für jedes und ist die Konvergenzabszisse dieser Reihe somit gleich .

Approximation der Umkehrfunktion[Bearbeiten]

Aufgabe (Approximation der Umkehrfunktion)

Betrachte die Funktion

Berechne für das Taylor-Polynom 2.Ordnung

Lösung (Approximation der Umkehrfunktion)

Schritt 1: Existenz und Berechnung von

ist auf differenzierbar als Quotient der beiden differenzierbaren Funktionen und mit der Ableitung

Weiter ist , da für . Also ist nach dem Monotoniektiterium streng monoton steigend und damit injektiv. Daher ist bijektiv. Weiter ist , also , und es gilt . Damit ist in differenzierbar mit

Schritt 2: Existenz und Berechnung von

ist auf nach der Quotientenregel differenzierbar mit

Damit ist nach der Quotienten- und Kettenregel differenzierbar, und es gilt mit :