Aufgaben zur Ableitung 3 – Mathe für Nicht-Freaks

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Satz von Rolle und Zwischenwertsatz [Bearbeiten]

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Aufgabe

Gibt es ein , so dass zwei verschiedene Nullstellen in hat?

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Lösung

Angenommen es gibt ein , so dass zwei Nullstellen hat. Da stetig auf und differenzierbar auf ist, gibt es nach dem Satz von Rolle ein mit . Nun gilt aber für jedes : . Also kann keine zwei Nullstellen haben.

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Aufgabe

Es sei differenzierbar und stetig. Es sei weiterhin , und . Zeige, daß mindestens eine Nullstelle besitzt.

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Beweis

ist stetig auf und . Nach dem Zwischenwertsatz gibt es daher ein mit .

Weiter ist stetig auf , differenzierbar auf und . Nach dem Satz von Rolle gibt es daher ein mit . Also hat mindestens eine Nullstelle (auf ).

Mittelwertsatz[Bearbeiten]

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Aufgabe (Einfache Anwendung zum Mittelwertsatz)

Sei , . Zeige: Es gibt ein mit ?

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Lösung (Einfache Anwendung zum Mittelwertsatz)

ist auf stetig und auf differenzierbar, als Komposition stetiger beziehungsweise differenzierbarer Funktionen. Damit ist der Mittelwertsatz anwendbar. Es gibt also ein mit

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Aufgabe (Nützliche Ungleichung 1)

Zeige: Für alle gilt

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Lösung (Nützliche Ungleichung 1)

Erste Ungleichung:

Fall 1:

Wir definieren durch . Dann ist stetig, und auf differenzierbar. Damit ist der Mittelwertsatz anwendbar, und es existiert ein mit

Wegen ist nun

Fall 2:

Hier gilt , also Gleichheit.

Fall 3:

Wieder gibt es nach dem Mittelwertsatz ein mit

Also gilt für alle

Zweite Ungleichung:

Hier zeigen wir nur den Fall :

Wir definieren wieder . Dann ist stetig, und auf differenzierbar. Nach dem Mittelwertsatz existiert ein mit

Für gilt wieder Gleichheit, und für folgt die Aussage analog mit dem Mittelwertsatz.

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Hinweis

Aus der ersten Ungleichung lässt sich durch den Übergang zu für noch die Ungleichung

folgern.

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Aufgabe (Nützliche Ungleichung 2)

Zeige: Für gilt

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Lösung (Nützliche Ungleichung 2)

Erste Ungleichung:

Sei . Dann ist die Sinusfunktion auf stetig und auf differenzierbar. Mit dem Mittelwertsatz gibt es ein mit

Nun ist aber für . Damit folgt

Zweite Ungleichung:

Sei . Dann ist die Tangesfunktion auf stetig und auf differenzierbar. Mit dem Mittelwertsatz gibt es ein mit

Nun ist aber für . Damit folgt

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Hinweis

Die Ungleichung lässt sich für alle noch erweitern zu

Wobei Gleichheit nur in gegeben ist.

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Aufgabe (Folgerung des Mittelwertsatzes)

Zeige mit Hilfe des Mittelwertsatzes:

Seien auf stetig und auf differenzierbar. Außerdem gelte und auf . Dann gilt: auf .

Als Anwendung: Zeige die folgende Verallgemeinerung der Bernoulli-Ungleichung: Für und alle gilt

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Wie kommt man auf den Beweis? (Folgerung des Mittelwertsatzes)

Wir stellen drei verschiedene Lösungsmöglichkeiten vor: Eine mit Verwendung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung, eine mit dem Monotoniekriterium und eine mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Bei allen Dreien benötigen wir die Hilfsfunktion

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Beweis (Folgerung des Mittelwertsatzes)

Wir betrachten die Hilfsfunktion

Diese ist stetig und differenzierbar auf . Weiter gilt

  1. für alle

1. Möglichkeit: Mit Mittelwertsatz

Nach dem Mittelwertsatz gibt es für alle ein mit

für alle

2. Möglichkeit: Mit Monotoniekriterium

Aus 1. folgt, dass monoton steigend auf (sogar ) ist.

für alle für alle

3. Möglichkeit: Mit HDI

Nach Voraussetzung ist integrierbar und wegen der Monotonie des Integrals gilt für alle :

Nun ist aber nach dem HDI

Zur Anwendungsaufgabe: Wir definieren

und

Dann sind und auf stetig und auf differenzierbar mit

und

Weiterhin ist . Da die Exponentialfunktion streng monoton steigend ist, gilt außerdem für alle :

Mit der bewiesenen Aussage folgt daher für alle :

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Hinweis

Gilt in der vorherigen Aufgabe sogar und auf , dann folgt auf .

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Hinweis

Die verallgemeinerte Bernoulli-Ungleichung lässt sich sogar für alle zeigen. Dabei gilt Gleichheit nur im Fall .

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Aufgabe (Mittelwertsatz für stetig differenzierbare Funktionen)

Sei stetig, und auf stetig differenzierbar. Zeige: Es gibt ein mit , unter Benutzung des Zwischenwertsatzes.

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Lösung (Mittelwertsatz für stetig differenzierbare Funktionen)

Wir betrachten eine beliebige Funktion mit den angegebenen Eigenschaften und deren Sekante durch die Punkte und . Die Steigung der Sekante ist gegeben durch den Differenzenquotienten . Als nächstes sehen wir uns die Steigung des Graphen, also die Ableitungswerte der Funktion, im Intervall an.

Fall 1: Der Funktionsgraph ist eine Gerade.

Dann ist die Ableitungsfunktion konstant und folglich gilt für alle .

Fall 2: Der Funktionsgraph ist keine Gerade.

Dann muss ein existieren mit oder , damit keine Gerade als Funktionsgraphen hat. Daraus wiederum folgt, dass ein existiert mit oder , da der Graph bei sonst nie den Funktionswert annehmen kann. Insgesamt existieren also mit . Nach dem Zwischenwertsatz, der hier auf die Ableitungsfunktion anwendbar ist weil sie stetig ist, gibt es nun ein mit .

Also gibt es in jedem Fall ein mit .

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Aufgabe (Unbeschränkte Ableitung und gleichmäßige Stetigkeit)

Sei eine differenzierbare Funktion mit . Beweise, dass dann keine gleichmäßig stetige Funktion ist.

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Beweis (Unbeschränkte Ableitung und gleichmäßige Stetigkeit)

Sei eine differenzierbare Funktion mit . Um zu zeigen, dass nicht gleichmäßig stetig ist, muss gezeigt werden, dass es ein gibt, so dass es für alle reelle Zahlen mit und gibt.

Wähle . Sei nun beliebig. Wegen gibt es ein mit für alle mit . Nach dem Mittwelwertsatz der Differentialgleichung gilt dann für alle mit :

Wähle nun . Es ist nach der obigen Abschätzung und wir erhalten:

Damit ist nicht gleichmäßig stetig.

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Aufgabe (Anwendung des zweiten Mittelwertsatzes)

Seien differenzierbar. Weiter gelte für alle . Zeige, dass dann auch

für alle gilt.

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Beweis (Anwendung des zweiten Mittelwertsatzes)

Seien beliebig mit . Dann sind und nach Voraussetzung auf stetig und auf differenzierbar. Dann gibt es mit dem zweiten Mittelwertsatz ein mit

Da nach Voraussetzung für alle gilt, ist .

Daraus folgt

Schrankensatz[Bearbeiten]

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Aufgabe (Lipschitz-Stetigkeit von Funktionen)

Zeige, mit Hilfe des Schrankensatzes, dass die folgenden Funktionen Lipschitz-stetig sind. Bestimme außerdem geeignete Lipschitz-Konstanten.

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Lösung (Lipschitz-Stetigkeit von Funktionen)

Teilaufgabe 1: Für alle gilt

Also hat eine beschränkte Ableitung, und ist mit dem Schrankensatz daher Lipschitz-stetig. Weiter gilt für alle

Daher ist eine geeignete Lipschitz-Konstante.

Teilaufgabe 2: Hier ist für alle :

Also ist mit dem Schrankensatz ebenfalls Lipschitz-stetig. Außerdem gilt für alle

Daher ist hier eine geeignete Lipschitz-Konstante.

Teilaufgabe 3: schließlich gilt für alle :

Also ist auch mit dem Schrankensatz Lipschitz-stetig, und für alle gilt

Daher ist eine geeignete Lipschitz-Konstante.

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Aufgabe (Variante des Schrankensatzes)

Sei eine stetige Funktion, die auf differenzierbar ist. Seien zwei beliebige reelle Zahlen, so dass für alle ist. Beweise, dass für alle die folgende Abschätzung erfüllt ist:

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Beweis (Variante des Schrankensatzes)

Sei eine stetige Funktion mit der Eigenschaften der Aufgabenstellung. Sei beliebig. Ist so ist und , so dass obige Abschätzung erfüllt ist. Sei also im Folgenden .

Beweisschritt:

Widerspruchsbeweis: Sei . So ist . Aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung folgt, dass es ein mit gibt. Somit ist im Widerspruch zu für alle .

Beweisschritt:

Widerspruchsbeweis: Sei . So ist . Aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung folgt, dass es ein mit gibt. Somit ist im Widerspruch zu für alle .

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Aufgabe (Lokale Lipschitz-Stetigkeit)

Sei eine stetig differenzierbare Funktion, wobei eine offene Teilmenge von ist. Beweise, dass lokal Lipschitz-stetig ist. Beweise also, dass es für alle ein gibt, so dass auf Lipschitz-stetig ist.

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Beweis (Lokale Lipschitz-Stetigkeit)

Sei eine stetig differenzierbare Funktion, wobei offen ist. Sei beliebig. Da offen ist, gibt es ein , so dass ist. Wähle . Dann ist . Da stetig ist, ist auf eine beschränkte Funktion.

Nun haben wir bereits bewiesen, dass differenzierbare Funktionen mit beschränkter Ableitung Lipschitz-stetig sind. Damit ist auf und damit auch auf Lipschitz-stetig.