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Aufgabe
Gibt es ein
, so dass
zwei verschiedene Nullstellen in
hat?
Lösung
Angenommen es gibt ein
, so dass
zwei Nullstellen
hat. Da
stetig auf
und differenzierbar auf
ist, gibt es nach dem Satz von Rolle ein
mit
. Nun gilt aber für jedes
:
. Also kann
keine zwei Nullstellen haben.
Beweis
ist stetig auf
und
. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es daher ein
mit
.
Weiter ist
stetig auf
, differenzierbar auf
und
. Nach dem Satz von Rolle gibt es daher ein
mit
. Also hat
mindestens eine Nullstelle (auf
).
Aufgabe (Nützliche Ungleichung 1)
Zeige: Für alle
gilt
Lösung (Nützliche Ungleichung 1)
Beweisschritt: 
Fall 1: 
Wir definieren
durch
. Dann ist
stetig, und auf
differenzierbar. Damit ist der Mittelwertsatz anwendbar, und es existiert ein
mit
Wegen
ist nun
Fall 2: 
Hier gilt
, also Gleichheit.
Fall 3: 
Wieder gibt es nach dem Mittelwertsatz ein
mit
Also gilt
für alle
Beweisschritt: 
Hier zeigen wir nur den Fall
:
Wir definieren wieder
. Dann ist
stetig, und auf
differenzierbar. Nach dem Mittelwertsatz existiert ein
mit
Für
gilt wieder Gleichheit, und für
folgt die Aussage analog mit dem Mittelwertsatz.
Hinweis
Aus der ersten Ungleichung lässt sich durch den Übergang zu
für
noch die Ungleichung
folgern.
Aufgabe (Nützliche Ungleichung 2)
Zeige: Für
gilt
Lösung (Nützliche Ungleichung 2)
Beweisschritt: 
Sei
. Dann ist die Sinusfunktion auf
stetig und auf
differenzierbar. Mit dem Mittelwertsatz gibt es ein
mit
Nun ist aber
für
. Damit folgt
Beweisschritt: 
Sei
. Dann ist die Tangesfunktion auf
stetig und auf
differenzierbar. Mit dem Mittelwertsatz gibt es ein
mit
Nun ist aber
für
. Damit folgt
Hinweis
Die Ungleichung lässt sich für alle
noch erweitern zu
Wobei Gleichheit nur in
gegeben ist.
Aufgabe (Folgerung des Mittelwertsatzes)
Zeige mit Hilfe des Mittelwertsatzes:
Seien
auf
stetig und auf
differenzierbar. Außerdem gelte
und
auf
. Dann gilt:
auf
.
Als Anwendung: Zeige die folgende Verallgemeinerung der Bernoulli-Ungleichung: Für
und alle
gilt
Beweis (Folgerung des Mittelwertsatzes)
Wir betrachten die Hilfsfunktion
Diese ist stetig und differenzierbar auf
. Weiter gilt

für alle 
1. Möglichkeit: Mit Mittelwertsatz
Nach dem Mittelwertsatz gibt es für alle
ein
mit

für alle
2. Möglichkeit: Mit Monotoniekriterium
Aus 1. folgt, dass
monoton steigend auf
(sogar
) ist.

für alle
![{\displaystyle x\in [a,b]\Leftrightarrow f(x)\geq g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/564b2103c1390b82a5ff2829946718bae654cfb6)
für alle
3. Möglichkeit: Mit HDI
Nach Voraussetzung ist
integrierbar und wegen der Monotonie des Integrals gilt für alle
:
Nun ist aber nach dem HDI
Zur Anwendungsaufgabe: Wir definieren
und
Dann sind
und
auf
stetig und auf
differenzierbar mit
und
Weiterhin ist
. Da die Exponentialfunktion streng monoton steigend ist, gilt außerdem für alle
:
Mit der bewiesenen Aussage folgt daher für alle
:
Hinweis
Die verallgemeinerte Bernoulli-Ungleichung lässt sich sogar für alle
zeigen. Dabei gilt Gleichheit nur im Fall
.
Lösung (Mittelwertsatz für stetig differenzierbare Funktionen)
Wir betrachten eine beliebige Funktion
mit den angegebenen Eigenschaften und deren Sekante durch die Punkte
und
. Die Steigung der Sekante ist gegeben durch den Differenzenquotienten
. Als nächstes sehen wir uns die Steigung des Graphen, also die Ableitungswerte der Funktion, im Intervall
an.
Fall 1: Der Funktionsgraph ist eine Gerade.
Dann ist die Ableitungsfunktion konstant und folglich gilt
für alle
.
Fall 2: Der Funktionsgraph ist keine Gerade.
Dann muss ein
existieren mit
oder
, damit
keine Gerade als Funktionsgraphen hat. Daraus wiederum folgt, dass ein
existiert mit
oder
, da der Graph bei
sonst nie den Funktionswert
annehmen kann. Insgesamt existieren also
mit
. Nach dem Zwischenwertsatz, der hier auf die Ableitungsfunktion anwendbar ist weil sie stetig ist, gibt es nun ein
mit
.
Also gibt es in jedem Fall ein
mit
.
Aufgabe (Unbeschränkte Ableitung und gleichmäßige Stetigkeit)
Sei
eine differenzierbare Funktion mit
. Beweise, dass dann
keine gleichmäßig stetige Funktion ist.
Aufgabe (Anwendung des zweiten Mittelwertsatzes)
Seien
differenzierbar. Weiter gelte
für alle
. Zeige, dass dann auch
für alle
gilt.
Beweis (Anwendung des zweiten Mittelwertsatzes)
Seien
beliebig mit
. Dann sind
und
nach Voraussetzung auf
stetig und auf
differenzierbar. Dann gibt es mit dem zweiten Mittelwertsatz ein
mit
Da nach Voraussetzung
für alle
gilt, ist
.
Daraus folgt
Aufgabe (Lipschitz-Stetigkeit von Funktionen)
Zeige, mit Hilfe des Schrankensatzes, dass die folgenden Funktionen Lipschitz-stetig sind. Bestimme außerdem geeignete Lipschitz-Konstanten.



Lösung (Lipschitz-Stetigkeit von Funktionen)
Teilaufgabe 1: Für alle
gilt
Also hat
eine beschränkte Ableitung, und ist mit dem Schrankensatz daher Lipschitz-stetig. Weiter gilt für alle
Daher ist
eine geeignete Lipschitz-Konstante.
Teilaufgabe 2: Hier ist für alle
:
Also ist
mit dem Schrankensatz ebenfalls Lipschitz-stetig. Außerdem gilt für alle
Daher ist hier
eine geeignete Lipschitz-Konstante.
Teilaufgabe 3: schließlich gilt für alle
:
Also ist auch
mit dem Schrankensatz Lipschitz-stetig, und für alle
gilt
Daher ist
eine geeignete Lipschitz-Konstante.
Aufgabe (Variante des Schrankensatzes)
Sei
eine stetige Funktion, die auf
differenzierbar ist. Seien
zwei beliebige reelle Zahlen, so dass
für alle
ist. Beweise, dass für alle
die folgende Abschätzung erfüllt ist:
Beweis (Variante des Schrankensatzes)
Sei
eine stetige Funktion mit der Eigenschaften der Aufgabenstellung. Sei
beliebig. Ist
so ist
und
, so dass obige Abschätzung erfüllt ist. Sei also im Folgenden
.
Beweisschritt: 
Widerspruchsbeweis: Sei
. So ist
. Aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung folgt, dass es ein
mit
gibt. Somit ist
im Widerspruch zu
für alle
.
Beweisschritt: 
Widerspruchsbeweis: Sei
. So ist
. Aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung folgt, dass es ein
mit
gibt. Somit ist
im Widerspruch zu
für alle
.
Beweis (Lokale Lipschitz-Stetigkeit)
Sei
eine stetig differenzierbare Funktion, wobei
offen ist. Sei
beliebig. Da
offen ist, gibt es ein
, so dass
ist. Wähle
. Dann ist
. Da
stetig ist, ist
auf
eine beschränkte Funktion.
Nun haben wir bereits bewiesen, dass differenzierbare Funktionen mit beschränkter Ableitung Lipschitz-stetig sind. Damit ist
auf
und damit auch auf
Lipschitz-stetig.