Ableitungsregeln: Kettenregel, Quotientenregel, Produktregel, Summenregel, Faktorregel – Mathe für Nicht-Freaks

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Wir haben im letzten Kapitel die Ableitungsfunktion einer differenzierbaren Funktion folgendermaßen definiert: . Das ist jedoch oft eine sehr umständliche Art, die Ableitungsfunktion einer konkret gegebenen Funktion zu ermitteln. Nimm zum Beispiel die Funktion mit . Zur Berechnung ihrer Ableitung müssten wir für jedes bestimmen.

Idealerweise finden wir eine Zuordnungsfunktion für die Ableitungsfunktion, mit der wir diese direkt berechnen können und uns den Weg über den Differentialquotienten sparen. Das Schöne ist, dass es Ableitungsgesetzte gibt, mit denen eine zusammengesetze Funktion auf Ableitungen ihrer Basisfunktionen zurückgeführt wird.

Übersichtstabelle der Ableitungsregeln[Bearbeiten]

Sind und differenzierbare Funktionen, so dass die Kompositionen mit , , , und jeweils definiert und differenzierbar sind. Dann gelten die folgenden Ableitungsregeln:

Name Regel
Faktorregel
Summen- / Differenzenregel
Produktregel
Quotientenregel
Reziprokenregel
Kettenregel
Spezialfälle der Kettenregel
Inversenregel

Merkregeln[Bearbeiten]

Folgende Regeln erleichtern das Merken der einzelnen Ableitungsregeln:

  • Faktorregel : Die Ableitung ist linear und kann damit direkt in ein Produkt einer Funktion mit einer Zahl reingezogen werden.
  • Summen- und Differenzenregel : Die Ableitung ist linear und kann damit direkt in die Summe zweier Funktionen reingezogen werden.
  • Produktregel : „Erste Funktion ableiten, zweite bleibt stehen plus zweite Funktion ableiten, erste bleibt stehen“
  • Quotientenregel : NAZ-ZAN ist die Merkregel für den Zähler („Nenner Ableitung Zähler minus Zähler Ableitung Nenner“)
  • Reziprokenregel : Dies ist der Spezialfall der Quotientenregel mit (Zähler ist konstant ).
  • Kettenregel : „Ableitung äußere Funktion mal Ableitung innere Funktion“. Vorsicht, in die Ableitung der äußeren Funktion muss die innere Funktion eingesetzt werden. Auch darf das Nachdifferenzieren der inneren Funktion nicht vergessen werden.

Faktorregel[Bearbeiten]

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Satz (Faktorprodukt)

Sei eine differenzierbare Funktion mit der Ableitung und sei ein Skalar. Dann ist differenzierbar und für die Ableitung gilt

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Beweis (Faktorprodukt)

Wir müssen zeigen, dass existiert und gleich ist. Für gilt

Also ist .

Summenregel[Bearbeiten]

Satz[Bearbeiten]

Nun wollen wir allgemein die Ableitung einer Funktion bestimmen, wobei und differenzierbare Funktionen sind.

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Satz (Summenregel)

Seien mit zwei differenzierbare Funktionen mit Ableitungen und . Dann ist differenzierbar und es gilt für alle :

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Beweis (Summenregel)

Wir müssen zeigen, dass existiert. Wir sehen

Also folgt .

Beispiel[Bearbeiten]

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Beispiel (Ableitung der Summe von Geraden)

Wir betrachten zwei Geraden mit und . Dann ist

Die Ableitung einer Funktion an der Stelle ist die Steigung der Funktion an dieser Stelle. Die Steigung der Geraden und ist bzw. . Also ist und für alle .

Für die Gerade gilt ebenso, dass ihre Steigung ist. So folgt . Die Summenregel stimmt also bei Geraden.

Differenzenregel[Bearbeiten]

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Aufgabe (Differenzenregel)

Zeige, analog zur Summenregel, die Differenzenregel für Ableitungen: Seien mit zwei differenzierbare Funktionen mit Ableitungen und . Dann ist auch differenzierbar. Es gilt gilt für alle :

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Beweis (Differenzenregel)

Für gilt

Produktregel[Bearbeiten]

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Satz (Produktregel)

Seien und mit differenzierbare Funktionen mit bekannten Ableitungsfunktionen . Dann ist die Funktion differenzierbar und für ihre Ableitungsfunktion gilt

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Beweis (Produktregel)

Sei . Dann gilt:

Um zu begründen, dass man die Grenzwerte auseinanderziehen darf, muss man die Rechnung von hinten nach vorne betrachten. Da bei der Anwendung der Grenzwertsätze jeweils alle Subausdrücke konvergierten, können die Grenzwertsätze benutzt werden.

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Alternativer Beweis (Produktregel)

Wir betrachten eine beliebige Stelle . Da und nach Voraussetzung in differenzierbar sind, gibt es Funktionen , so dass für alle gilt

Außerdem gilt und . Für alle gilt also:

Nun definieren wir die Funktion durch

Also gilt für alle :

Wenn wir zeigen können, dass , dann ist in differenzierbar und . Hierzu reicht es zu zeigen, dass für alle Summanden vom Term stärker als gegen konvergieren:

Quotientenregel[Bearbeiten]

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Satz (Quotientenregel)

Sei zwei differenzierbare Funktionen mit für alle . Dann ist die Abbildung , definiert durch , differenzierbar und für die Ableitungsfunktion gilt

Dabei ist . Insbesondere gilt die Reziprokenregel:

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Beweis (Quotientenregel)

Um die Aussage zu beweisen, zeigen wir zuerst, dass ist. Dabei sei eine differenzierbare Funktion mit für alle . Sei nun . Wir betrachten . Es gilt

Am Ende haben wir gesehen, dass alle Subausdrücke bei den jeweiligen Grenzwertsätzen konvergieren. Deswegen dürfen die Grenzwertsätze benutzen. Nun leiten wir daraus die Quotientenregel für her. Dabei ist und für alle . Die Quotientenregel leitet sich nun aus der Produktregel her:

Kettenregel [Bearbeiten]

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Satz (Kettenregel)

Seien und zwei reellwertige und differenzierbare Funktionen mit und . Dann gilt für die Ableitungsfunktion von :

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Wie kommt man auf den Beweis? (Kettenregel)

Wir könnten zunächst versuchen, den Beweis direkt über den Differentialquotienten zu beweisen:

Diese Rechenschritte geben die Grundidee hinter einen Beweis der Kettenregel wider. Jedoch ist diese Argumentation aus mehreren Gründen problematisch bzw. falsch:

  • Wir erweitern mit . Was passiert jedoch, wenn ist? Dann haben wir mit Null erweitert, was nicht erlaubt ist. Der gefundene Grenzwert muss also nicht mehr stimmen.
  • Im letzten Schritt behaupten wir, dass wäre. Wir wissen lediglich, dass ist, können aber nichts darüber sagen, wie sich dieser Grenzwert beim Übergang anstelle von verhält.

Obige Argumentation stellt also keinen validen Beweis dar! Um den Beweis zu retten, gehen wir den Umweg über eine Hilfsfunktion, die an der Stelle wohldefiniert ist und so dass wir den Weg über die Erweiterung mit vermeiden.

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Beweis (Kettenregel)

Sei . Wir definieren folgende Hilfsfunktion:

Dann gilt für alle :

Weiter ist stetig. Als Verkettung stetiger Funktionen ist nämlich in allen stetig. ist auch in stetig, denn wegen der Differenzierbarkeit von gilt

Also:

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Alternativer Beweis (Kettenregel)

Sei . Da und differenzierbar sind, gibt es Funktionen und , so dass für alle und alle gilt

Zudem ist sowie . Also:

Wir definieren nun

Um zu zeigen, dass an der Stelle mit differenzierbar ist, müssen wir noch zeigen, dass gilt. Es ist:

Um diesen Grenzwert zu berechnen, betrachten wir eine beliebige Folge in , die gegen konvergiert. Für alle mit gilt wegen auch .

Falls es nur endlich viele mit gibt, so folgt . Betrachten wir also den Fall, dass für unendlich viele gilt, dass ist. Sei die Teilfolge der Folgenglieder von mit . Es gilt

Damit folgt insgesamt

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Hinweis

Mit Hilfe der Kettenregel lässt sich die Reziprokenregel beweisen. Setzen wir nämlich die „äußere Funktion“ , so gilt . Damit folgt dann

Damit hatten wir oben unter Verwendung der Produktregel die Quotientenregel hergeleitet. Die Quotientenregel lässt sich also mit der Ketten- und der Produktregel zeigen. Ebenso können wir die Produktregel mit der Kettenregel beweisen. Zur Übung empfehlem wir unsere Übungsaufgabe dazu.