Beispiele für Ableitungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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In diesem Kapitel wollen wir die wichtigsten Beispiele von Ableitungen zusammenfassen. Mit Hilfe der Rechengesetze für die Ableitung zusammengesetzte Funktionen ebenfalls abgeleitet werden.

Tabelle wichtiger Ableitungen[Bearbeiten]

In der folgenden Tabelle ist , und . Außerdem definieren wir , und .

Funktionsterm Term der Ableitungsfunktion Definitionsbereich der Ableitung

Beispiele zur Berechnung von Ableitungen[Bearbeiten]

Nun werden wir zahlreiche Beispiele von Ableitungen aus der Tabelle von oben durchrechnen. Häufig läuft es darauf raus den Differentialquotient der Funktion, also einen Grenzwert zu lösen. Manchmal ist es aber auch sinnvoll die Rechenregeln aus dem Kapitel zuvor anzuwenden.

Konstante Funktionen[Bearbeiten]

Beginnen wir mit ein paar einfachen Ableitungen:

Satz (Ableitung einer konstanten Funktion)

Jede konstante Funktion ist auf ganz differenzierbar mit Ableitung .

Beweis (Ableitung einer konstanten Funktion)

Ist , so gilt

Potenzfunktionen mit natürlichen Potenzen[Bearbeiten]

Nun wenden wir uns der Ableitung von Potenzfunktionen mit natürlichen Potenzen zu. Dabei behandeln wir zunächst ein paar Spezialfälle:

Beispiel (Ableitung der Identitätsfunktion und der Normalparabelfunktion)

Die Funktionen

und

sind differenzierbar auf ganz . Weiter gilt für :

sowie

Dabei haben wir bei der Ableitung von die aus der Schule bekannte 3. binomische Formel verwendet.

Aufgabe (Ableitung einer Potenzfunktion)

Berechne die Ableitung von

Lösung (Ableitung einer Potenzfunktion)

Für gilt

Anstelle die Identität zu benutzen, hätten wir auch mittels Polynomdivision berechnen können.

Nun wenden wir uns dem allgemeinen Fall, d.h. der Ableitung von für zu:

Satz (Ableitung der Potenzfunktion)

Die Potenzfunktion

ist für auf ganz differenzierbar. Für alle gilt

Beweis (Ableitung der Potenzfunktion)

Ist , so gilt

Dabei haben wir die geometrische Summenformel und die Stetigkeit der Polynomfunktion verwendet.

Polynome und gebrochen rationale Funktionen[Bearbeiten]

Mit Hilfe der Rechenregeln für Ableitungen können wir nun die Ableitungen von Polynomfunktionen und gebrochen rationalen Funktionen berechnen:

Satz (Ableitung von Polynomen)

Ist

mit und eine Polynomfunktion vom Grad . Dann ist auf ganz differenzierbar, und für gilt

Beweis (Ableitung von Polynomen)

Mit Hilfe der Ableitungsregel für das Vielfache einer Funktion idt jeder einzelne Summand des Polynoms auf differenzierbar. Mit der Summenregel können wir jede Polynomfunktion gliedweise auf ableiten und erhalten für :

wobei die Ableitung des nullten Summanden verschwunden ist.

Insbesondere folgt daraus für bzw. , dass lineare und quadratische Funktionen auf ganz differenzierar sind.

Aufgabe (Ableitung von gebrochen rationalen Funktionen)

Sei

mit und eine auf definierte gebrochen rationale Funktion. Zeige, dass auf differenzierbar ist, und berechne dort die Ableitung.

Lösung (Ableitung von gebrochen rationalen Funktionen)

Zähler und Nenner von sind Polynome. Da der Nenner ungleich null ist auf und Polynome differenzierbar sind, folgt aus der Quotientenregel, dass auf differenzierbar ist.

Weiter gilt für :

Potenzfunktionen mit ganzzahligen Potenzen[Bearbeiten]

Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten könne wir bereits ableiten. Nun untersuchen wir solche mit negativen ganzzahligen Exponenten.

Beispiel (Ableitung der Hyperbelfunktion)

Die Potenzfunktion

ist auf differenzierbar und es gilt

für .

Aufgabe (Ableitung von )

Zeige, dass die Potenzfunktion

auf differenzierbar ist und berechne dort ihre Ableitung.

Lösung (Ableitung von )

Für gilt

Für den allgemeinen Fall mit gilt

Satz (Ableitung von Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten)

Die Potenzfunktion

ist auf differenzierbar, und für gilt

Beweis (Ableitung von Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten)

Für gilt

Aufgabe (Ableitung der Potenzfunktion)

Zeige mit Hilfe der Quotientenregel

Lösung (Ableitung der Potenzfunktion)

Für gilt mit der Quotientenregel

Anmerkung: Natürlich können wir auch direkt die Reziprokenregel anwenden, und erhalten so ebenfalls

Betrachten wir nochmal die Ableitungsregel im letzten Fall, also für . Setzen wir , so erhalten wir . Die Ableitungsregel stimmt also mit der für mit überein. Daher können wir die beiden Fälle zusammmenfassen und erhalten

Satz (Ableitung von Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten)

Für ist die Potenzfunktion

auf differenzierbar. Für gilt dann

Im Fall ist sie sogar auf ganz differenzierbar.

Wurzelfunktionen[Bearbeiten]

Nun untersuchen wir die Ableitung von Wurzelfunktionen. Wir starten wieder mit dem einfachsten Fall:

Beispiel (Ableitung der Quadratwurzelfunktion)

Die Quadratwurzelfunktion

ist auf differenzierbar und für gilt

Verständnisfrage: Warum ist die Quadratwurzelfunktion in nicht differenzierbar, obwohl sie dort definiert und stetig ist?

Für den Differentialquotienten gilt

Also existiert dieser nicht. Daraus folgt die Nicht-Differenzierbarkeit.

Aufgabe (Ableitung der Kubikwurzelfunktion)

Bestimme die Ableitung der Kubikwurzelfunktion

Lösung (Ableitung der Kubikwurzelfunktion)

Für gilt

Nun betrachten wir den allgemeinen Fall der -ten Wurzelfunktion. Hier gilt

Satz (Ableitung der -ten Wurzelfunktion)

Ist , so ist die -te Wurzelfunktion

auf differenzierbar, und für gilt

Beweis (Ableitung der -ten Wurzelfunktion)

Für gilt

Dies lässt sich nun nochmal verallgemeinern

Satz (Ableitung der verallgemeinerten Wurzelfunktion)

Ist und , so ist die verallgemeinerte Wurzelfunktion

auf differenzierbar, und für gilt

Beweis (Ableitung der verallgemeinerten Wurzelfunktion)

Da auf die Funktionen und differenzierbar sind, folgt aus der Kettenregel für

Hinweis

Da für und und war die Potenz mit rationalem Exponenten definiert durch

Damit gilt auch für die Ableitungsregel

Die (verallgemeinerte) Exponentialfunktion und verallgemeinerten Potenzfunktion[Bearbeiten]

In diesem Abschnitt werden wir beweisen, dass die Ableitung der Exponentialfunktion wieder die Exponentialfunktion ist. Damit können wir dann auch die Ableitung der verallgemeinerten Exponential- und Potenzfunktion bestimmen.

Satz (Ableitung der Exponentialfunktion)

Die Exponentialfunktion

auf differenzierbar, und für gilt

Wie kommt man auf den Beweis? (Ableitung der Exponentialfunktion)

Bei dieser Ableitung ist es sinnvoller die -Methode

zu verwenden. Denn bei dieser können wir den bekannten Grenzwert

verwenden. Desweiteren benötigen wir die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion

Beweis (Ableitung der Exponentialfunktion)

Für gilt

Mit Hilfe der Kettenregel lassen sich daraus die Ableitungen der verallgemeinerten Exponentialfunktion für und der verallgemeinerten Potenzfunktion für berechnen:

Satz (Ableitung der verallgemeinerten Exponentialfunktion)

Für ist die verallgemeinerte Exponentialfunktion

auf differenzierbar, und für gilt

Beweis (Ableitung der verallgemeinerten Exponentialfunktion)

Für gilt

Satz (Ableitung der verallgemeinerten Potenzfunktion)

Für ist die verallgemeinerte Potenzfunktion

auf differenzierbar, und für gilt

Aufgabe (Ableitung der verallgemeinerten Potenzfunktion)

Beweise, dass für die Ableitung der verallgemeinerten Potenzfunktion in gleich ist.

Beweis (Ableitung der verallgemeinerten Potenzfunktion)

Für gilt mit der Kettenregel

Die natürliche und verallgemeinerte Logarithmusfunktion[Bearbeiten]

Nun wenden wir uns der Ableitung der natürlichen und verallgemeinerten Logarithmusfunktion zu. Da der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, können wir direkt aus der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion folgern:

Satz (Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion)

Die natürliche Logarithmusfunktion

auf differenzierbar. Für gilt

Beweis (Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion)

Für die Exponentialfunktion gilt: . Also ist die Funktion differenzierbar, und wegen streng monoton steigend. Außerdem ist surjektiv. Die Umkehrfunktion ist die (natürliche) Logarithmusfunktion

Aus dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion folgt nun für jedes :

Die Ableitung lässt sich ebenfalls direkt mittels des Differentialquotienten berechnen. Wer dies probieren möchte, dem sein die ebtsprechende Übungsaufgabe empfohlen.

Mit Hilfe der Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion können wir nun unmittelbar folgern

Satz (Ableitung der verallgemeinerten Logarithmusfunktion)

Für ist die verallgemeinerte Logarithmusfunktion

auf differenzierbar. Für gilt

Beweis (Ableitung der verallgemeinerten Logarithmusfunktion)

Aus der Ableitungsregel für das Vielfache einer Funktion folgt für alle :

Wenn die Ableitung des natürlichen Logarithmus nicht zur Verfügung steht, so können wir den Satz auch über die Ableitung der Umkehrfunktion berechnen.

Die trigonometrischen Funktionen[Bearbeiten]

Sinus[Bearbeiten]

Satz (Ableitung vom Sinus)

Der Sinus ist differenzierbar, wobei für alle gilt:

Beweis (Ableitung vom Sinus)

Für ist

Kosinus[Bearbeiten]

Satz (Ableitung des Kosinus)

Die Kosinus-Funktion ist ableitbar mit

Beweis (Ableitung des Kosinus)

Tangens[Bearbeiten]

Satz (Ableitung des Tangens)

Die Tangens-Funktionen

ist auf differenzierbar, und für gilt

Beweis (Ableitung des Tangens)

Wegen für ist nach der Quotientenregel differenzierbar, und für gilt

Aufgabe (Ableitung des Kotangens)

Die Kotangens-Funktionen

ist auf differenzierbar, und für gilt

Lösung (Ableitung des Kotangens)

Wegen für ist nach der Quotientenregel differenzierbar, und für gilt

Alternative Lösung:

Die Ableitungen von Sekans und Kosekans findest du in der entsprechenden Übungsaufgabe.

Die Arkus-Funktionen[Bearbeiten]

Mit Hilfe der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion bestimmen wir nun die Ableitungen der Arkus-Funktionen.

Arkussinus und Arkuskosinus[Bearbeiten]

Satz (Ableitungen des Arkussinus und -kosinus)

Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen , sind differenzierbar, und es gilt

Hinweis: Zwar sind und auf definiert und stetig, jedoch nur auf differenzierbar.

Beweis (Ableitungen des Arkussinus und -kosinus)

Ableitung von :

Für die Sinusfunktion gilt: . Also ist die Funktion differenzierbar, und wegen für alle , auf diesem Intervall streng monoton steigend. Weiter ist . Also ist surjektiv. Die Umkehrfunktion ist die Arcussinus-Funktion

Aus dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion folgt nun für jedes :

Ableitung von :

Für die Cosinusfunktion gilt: . Also ist die Funktion differenzierbar, und wegen , streng monoton fallend. Weiter ist . Also ist surjektiv. Die Umkehrfunktion

ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für jedes gilt:

Arkustangens und Arkuskotangens[Bearbeiten]

Satz (Ableitungen des Arkustangens und -kotangens)

Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen , sind differenzierbar, und es gilt

Beweis (Ableitungen des Arkustangens und -kotangens)

Für die Tangensfunktion gilt: . Also ist die Funktion differenzierbar und streng monoton steigend. Weiter ist . Also ist surjektiv. Die Umkehrfunktion

ist damit differenzierbar, und nun für gilt:

Die Hyperbolischen Funktionen[Bearbeiten]

Zuletzt bestimmen wir noch die Ableitungen der Hyperbolischen Funktionen , und :

Satz (Ableitungen der Hyperbolischen Funktionen)

Die Funktionen

sind differenzierbar, und es gilt

Beweis (Ableitungen der Hyperbolischen Funktionen)

Die Ableitungen folgen unmittelbar aus den Rechenregeln. Wir zeigen nur die Ableitung von . Die beiden anderen sind euch zur Übung überlassen.

Nach der Faktor- und Differenzenregel ist für alle differenzierbar, und es gilt

Aufgabe (Ableitung von und )

Zeige, dass und differenzierbar ist mit

und

Beweis (Ableitung von und )

Ableitung von :

Nach der Faktor- und Summenregel ist für alle differenzierbar, und es gilt

Ableitung von :

ist nach der Quotientenregel auf ganz differenzierbar, und es gilt