Aufgaben zur Ableitung 4 – Mathe für Nicht-Freaks

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Kriterium für Konstanz[Bearbeiten]

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Aufgabe (Einfache Anwendung)

Seien und . Für die Funktion gelte

für alle . Zeige: Dann ist konstant.

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Lösung (Einfache Anwendung)

Mit der Voraussetzung gilt

Weiter ist , da ist. Mit dem Einschnürungssatz folgt daraus

für alle . Aus den Rechenregeln für Grenzwerte erhalten wir daraus für den Differentialquotienten

für alle . Daher ist konstant.

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Aufgabe (Beweis von Identitäten)

Zeige

  1. für alle
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Beweis (Beweis von Identitäten)

Teilaufgabe 1: Die Funktion

ist nach der Ketten- und Differenzenregel differenzierbar mit

Also ist konstant. Da weiter gilt

folgt .

Teilaufgabe 2:

ist nach der Summenregel differenzierbar, da die Arcus-Funktionen differenzierbar sind. Weiter gilt

Damit ist konstant. Außerdem gilt

da und ist. Also ist und es folgt die Behauptung.

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Aufgabe (Logarithmus-Darstellungen von und )

Zeige

  1. für
  2. für
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Beweis (Logarithmus-Darstellungen von und )

Teilaufgabe 1:

Die Funktion ist nach den Beispielen für Ableitungen differenzierbar, mit

Nach der Ketten- und Summenregel ist auch differenzierbar, mit

Nach dem Identitätssatz ist daher . Nun ist aber

wegen , sowie

Also ist , und damit .

Teilaufgabe 2:

ist ebenfalls differenzierbar, mit

Nach der Faktor-, Ketten- und Quotientenregel ist auch differenzierbar, mit

Nach dem Identitätssatz ist daher . Wegen

wegen , sowie

ist wieder , und damit .

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Aufgabe (Erweiterung des Identitätsatzes der Differentialrechnung)

Seien zweimal differenzierbar mit . Dann unterscheiden sich und nur durch eine lineare Funktion mit .

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Lösung (Erweiterung des Identitätsatzes der Differentialrechnung)

Wegen gibt es nach dem Identitässatz ein mit

Setzen wir nun , dann gilt

Wieder mit dem Identitätssatz gibt es daher ein mit

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Aufgabe (Allgemeine Lösung einer Differentialgleichung)

Seien differenzierbar und . Weiter gelte

Zeige:

  1. und erfüllen die Differentialgleichungen.
  2. Genügen zwei Funktionen und den Differentialgleichungen, so gilt und .
  3. Ist außerdem und gilt und , so ist und .

Hinweis zu Teil 2: Betrachte und für Funktionen und die die Differentialgleichungen erfüllen.

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Beweis (Allgemeine Lösung einer Differentialgleichung)

Teilaufgabe 1: Es gilt

und

Also erfüllen und die Differentialgleichungen.

Teilaufgabe 2:Wir definieren wie im Hinweis die Hilfsfunktionen

Diese sind nach der Produkt-, Summen- und Differenzenregel ableitbar mit

und

Nach dem Kriterium für Konstanz ist daher

mit . Weiter gilt

Also ist und .

Teilaufgabe 3: Gilt weiter und

so ist

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Hinweis

Wegen und analog genügen und beide der Differentialgleichung (bzw. ).

Monotoniekriterium[Bearbeiten]

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Aufgabe (Monotonie Exponentialfunktion)

Zeige mit Hilfe des Monotoniekriteriums die folgenden Aussagen:

  1. Für alle gilt
  2. ist streng monoton steigend.

Hinweis: Benutze 1. zum Beweis von 2.

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Lösung (Monotonie Exponentialfunktion)

Teilaufgabe 1: Für die differenzierbare Hilfsfunktion gilt

Also ist nach dem Monotoniekriterium streng monoton fallend. Weiter ist

Graph der Funktion

und

Da stetig und streng monoton fallend ist muss nun gelten.

Teilaufgabe 2:

Es gilt . Da streng monoton steigend ist, ist genau dann streng monoton steigend, wenn die „innere Funktion“ streng monoton steigend ist. Diese ist auf mit der Produktregel differenzierbar, und es gilt

Nach dem Monotoniekriterium ist , und damit auch streng monoton steigend.

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Aufgabe (Bedingung für Monotonie einer kubischen Funktion)

Seien . Gibt Bedingungen an an, dass

auf ganz streng monoton steigend ist.

Hinweis: Unterscheide die Fälle , und

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Lösung (Bedingung für Monotonie einer kubischen Funktion)

Damit auf ganz streng monoton steigend, muss nach dem Monotoniekriterium

für alle gelten.

Fall 1:

Dann ist . Damit streng monoton steigend ist, muss gelten . Für ist dies aber niemals für alle möglich.

Ist hingegen , so gilt . Also ist für und streng monoton steigend.

Fall 2:

Mit Hilfe von quadratischer Ergänzung erhalten wir

Damit ist streng monoton steigend, wenn gilt

Dies ist für alle genau dann erfüllt, wenn die rechte Seite negativ ist. Dies ist genau für

der Fall. ist daher für und streng monoton steigend.

Fall 3:

Hier gilt

Dies ist jedoch niemals für alle erfüllt. Also ist in diesem Fall niemals streng monoton wachsend.

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Hinweis

Ebenso können wir zeigen, dass in den Fällen und , sowie und streng monoton fallend ist.

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Aufgabe (Anwendung des Monotoniekriteriums)

Sei differenzierbar mit . Weiter gelte für ein (festes) und alle . Zeige, dass gilt

für alle

Hinweis: Betrachte die Hilfsfunktion .

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Beweis (Anwendung des Monotoniekriteriums)

Wie im Hinweis angegeben betrachten wir

ist nach der Produktregel differenzierbar mit

Nun ist und nach Voraussetzung . Also gilt

für alle

Nach dem Monotoniekriterium ist monoton fallend. Da weiter gilt folgt

für alle

Damit ist aber auch

für alle

Ableitung und Extrema[Bearbeiten]

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Aufgabe (Extrema von Funktionen 1)

Untersuche, ob die folgenden Funktionen lokale/globale Extrema besitzen. Bestimme und charakterisiere diese gegebenfalls.

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Lösung (Extrema von Funktionen 1)

Teilaufgabe 1:

Teil 1: Lokale Extrema von

ist auf nach der Quotientenregel differenzierbar mit

Nach dem hinreichenden Kriterium für die Existenz eines Extremums , muss für dieses gelten. Nun ist

Also sind und die Kandidaten für lokale Extrema in . Nun gilt

Der Fall und ist nicht möglich. Damit ist auf

Weiter gilt

Also ist auf und auf .

Nach dem hinreichenden Kriterium ist daher ein (strenges) lokales Minimum und ein (strenges) lokales Maximum von .

Teil 2: Globale Extrema von

Für globale Extrema müssen wir zunächst die Grenzwerte und bestimmen.

Wegen und gilt

Graph der Funktion

Damit ist nach oben unbeschränkt, und hat daher kein lokales Extremum. Weiter wächst für jede Potenz von schwächer als . Also ist

(Da Zähler und Nenner positiv sind.) Nun ist . Somit ist ein globales Minimum von .

Teilaufgabe 2:

Teil 1: Lokale Extrema von

ist auf nach der Kettenregel differenzierbar mit

Graph der Funktion

Da nun und gilt, ist . Nach dem notwendigen Kriterium für Extrema besitzt damit auf keine lokalen Extrema.

Da stetig auf ist, folgt aus für alle , dass auf streng monoton fällt. Daher besitzt in ein lokales Maximum.

Teil 2: Globale Extrema von

Mit dem gleichen Argument wie in Teil 1, folgt, dass sogar ein globales Maximum von ist.

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Aufgabe (Extrema von Funktionen 2)

Untersuche, ob die folgenden Funktionen auf Steigkeit, Differenzierbarkeit und lokale/globale Extrema:

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Lösung (Extrema von Funktionen 2)

Teil 1: Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Stetigkeit:

Auf ist stetig als Polynom und auf ist stetig als Komposition der stetigen Funktionen , und . In gilt

Außerdem gilt wegen und der Stetigkeit der Exponentialfunktion

Also ist auch im Nullpunkt, und damit auf ganz stetig.

Differenzierbarkeit:

Auf ist als Polynom differenzierbar mit

Auf ist nach der Ketten- und Produktregel differenzierbar als Komposition der differenzierbaren Funktionen , und . Es gilt

In gilt mit Hilfe der Regel von L'Hospital:

Also ist im Nullpunkt nicht differenzierbar.

Teil 2: Lokale und globale Extrema

Lokale Extrema:

Auf gilt . Also kann dort keine lokalen Extrema haben.

Auf hingegen ist

Also ist der Kandidat für ein Extremum in . Weiter ist

Damit hat in ein striktes lokales Minimum.

Nun müssen wir noch untersuchen. Da in dort nicht differenzierbar ist, sind unsere notwendigen und hinreichenden Kriterien nicht anwendbar. Es gilt allerdings

für alle

und

für alle

Damit ist auf streng monoton steigend, und auf streng monoton fallend. Da stetig in null ist, folgt daraus

für alle

Also hat in ein striktes lokales Maximum.

Globale Extrema:

Es gilt

Graph der Funktion

und

Daher ist nach oben und unten unbeschränkt, und besitzt keine globalen Extrema.

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Aufgabe (Extrema von Funktionen 3)

Zeige, dass die Funktion

genau zwei lokale Extrema besitzt, und bestimme deren Art.

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Lösung (Extrema von Funktionen 3)

Kandidaten für die Extremwerte ergeben sich nach unserer notwendigen Bedingung aus

Graph der Hilfsfunktion

Da sich die Nullstellen von nicht explizit berechnen lassen, müssen wir diese Funktion genauer untersuchen. Es gilt

  1. , und

Wegen der Stetigkeit und 2. ist hat mit dem Zwischenwertsatz (mindestens) zwei Nullstellen und .

Wegen 1. ist streng monoton steigend auf und streng monoton fallend auf . Damit ist jeweils injektiv auf und und hat damit genau die beiden Nullstellen und .

Für die Ableitung von folgt nun

Nach unseren ersten hinreichendem Kriterium hat daher ein striktes lokales Maximum in und ein striktes lokales Minimum in .

Grenzwerte mit L'Hospital berechnen[Bearbeiten]

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To-Do:
  • Im entsprechenden Kapitel oder in den Aufgaben sollte zu allen möglichen Typen ein Beispiel vorhanden sein: , , ✓, , , ✓, , Weitere?, mehrfache Anwendung von L'Hospital
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Aufgabe (L'Hospital 1)

Berechne die folgenden Grenzwerte:

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Aufgabe (L'Hospital 2)

Berechne die folgenden Grenzwerte:

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Lösung (L'Hospital 2)

1.

und da der Grenzwert existiert, war die Anwendung von L'Hospital gerechtfertigt.

2.

und da der Grenzwert existiert, war die Anwendung von L'Hospital gerechtfertigt.

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Aufgabe (Differenzierbarkeit in Punkt)

Sei

  1. Zeige, dass in null stetig ist.
  2. Zeige, dass ist auf differenzierbar ist, und berechne dort die Ableitung.
  3. Bestimme mit Hilfe von 1. und 2. die Ableitung .
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Lösung (Differenzierbarkeit in Punkt)

Teilaufgabe 1: Mit der Regel von L'Hospital gilt

Also ist stetig in null.

Teilaufgabe 2: Da , und auf differenzierbar sind, ist mit der Quotientenregel auch dort differenzierbar. Weiter gilt für :

Teilaufgabe 3: Wir benutzen das Kriterium aus dem Satz zuvor. Es gilt

Nach dem Kriterium ist in null differenzierbar mit .