Kriterium für Konstanz[Bearbeiten]
Aufgabe (Beweis von Identitäten)
Zeige

für alle 
Beweis (Beweis von Identitäten)
Teilaufgabe 1: Die Funktion
ist nach der Ketten- und Differenzenregel differenzierbar mit
Also ist
konstant. Da weiter gilt
folgt
.
Teilaufgabe 2:
ist nach der Summenregel differenzierbar, da die Arcus-Funktionen differenzierbar sind. Weiter gilt
Damit ist
konstant. Außerdem gilt
da
und
ist. Also ist
und es folgt die Behauptung.
Beweis (Logarithmus-Darstellungen von
und
)
Teilaufgabe 1:
Die Funktion
ist nach den Beispielen für Ableitungen differenzierbar, mit
Nach der Ketten- und Summenregel ist auch
differenzierbar, mit
Nach dem Identitätssatz ist daher
. Nun ist aber
wegen
, sowie
Also ist
, und damit
.
Teilaufgabe 2:
ist ebenfalls differenzierbar, mit
Nach der Faktor-, Ketten- und Quotientenregel ist auch
differenzierbar, mit
Nach dem Identitätssatz ist daher
. Wegen
wegen
, sowie
ist wieder
, und damit
.
Beweis (Allgemeine Lösung einer Differentialgleichung)
Teilaufgabe 1: Es gilt
und
Also erfüllen
und
die Differentialgleichungen.
Teilaufgabe 2:Wir definieren wie im Hinweis die Hilfsfunktionen
Diese sind nach der Produkt-, Summen- und Differenzenregel ableitbar mit
und
Nach dem Kriterium für Konstanz ist daher
mit
. Weiter gilt
Also ist
und
.
Teilaufgabe 3: Gilt weiter
und
so ist
Aufgabe (Monotonie Exponentialfunktion)
Zeige mit Hilfe des Monotoniekriteriums die folgenden Aussagen:
- Für alle
gilt 
ist streng monoton steigend.
Hinweis: Benutze 1. zum Beweis von 2.
Aufgabe (Bedingung für Monotonie einer kubischen Funktion)
Seien
. Gibt Bedingungen an
an, dass
auf ganz
streng monoton steigend ist.
Lösung (Bedingung für Monotonie einer kubischen Funktion)
Damit
auf ganz
streng monoton steigend, muss nach dem Monotoniekriterium
für alle
gelten.
Fall 1: 
Fall 2: 
Fall 3: 
Hier gilt
Dies ist jedoch niemals für alle
erfüllt. Also ist in diesem Fall
niemals streng monoton wachsend.
Hinweis: Betrachte die Hilfsfunktion
.
Beweis (Anwendung des Monotoniekriteriums)
Wie im Hinweis angegeben betrachten wir
ist nach der Produktregel differenzierbar mit
Nun ist
und nach Voraussetzung
. Also gilt

für alle
Nach dem Monotoniekriterium ist
monoton fallend. Da weiter gilt
folgt

für alle
Damit ist aber auch

für alle
Ableitung und Extrema[Bearbeiten]
Aufgabe (Extrema von Funktionen 1)
Untersuche, ob die folgenden Funktionen lokale/globale Extrema besitzen. Bestimme und charakterisiere diese gegebenenfalls.


Lösung (Extrema von Funktionen 1)
Teilaufgabe 1:
Teil 1: Lokale Extrema von 
ist auf
nach der Quotientenregel differenzierbar mit
Nach dem hinreichenden Kriterium für die Existenz eines Extremums
, muss für dieses
gelten. Nun ist
Also sind
und
die Kandidaten für lokale Extrema in
. Nun gilt
Der Fall
und
ist nicht möglich. Damit ist
auf
Weiter gilt
Also ist
auf
und auf
.
Nach dem hinreichenden Kriterium ist daher
ein (strenges) lokales Minimum und
ein (strenges) lokales Maximum von
.
Teil 2: Globale Extrema von 
Teilaufgabe 2:
Teil 1: Lokale Extrema von 
ist auf
nach der Kettenregel differenzierbar mit
Graph der Funktion

Da nun
und
gilt, ist
. Nach dem notwendigen Kriterium für Extrema besitzt
damit auf
keine lokalen Extrema.
Da
stetig auf
ist, folgt aus
für alle
, dass
auf
streng monoton fällt. Daher besitzt
in
ein lokales Maximum.
Teil 2: Globale Extrema von 
Mit dem gleichen Argument wie in Teil 1, folgt, dass
sogar ein globales Maximum von
ist.
Aufgabe (Extrema von Funktionen 2)
Untersuche, ob die folgenden Funktionen auf Steigkeit, Differenzierbarkeit und lokale/globale Extrema:
Lösung (Extrema von Funktionen 2)
Teil 1: Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Stetigkeit:
Auf
ist
stetig als Polynom und auf
ist
stetig als Komposition der stetigen Funktionen
,
und
. In
gilt
Außerdem gilt wegen
und der Stetigkeit der Exponentialfunktion
Also ist
auch im Nullpunkt, und damit auf ganz
stetig.
Differenzierbarkeit:
Auf
ist
als Polynom differenzierbar mit
Auf
ist
nach der Ketten- und Produktregel differenzierbar als Komposition der differenzierbaren Funktionen
,
und
. Es gilt
In
gilt mit Hilfe der Regel von L'Hospital:
Also ist
im Nullpunkt nicht differenzierbar.
Teil 2: Lokale und globale Extrema
Lokale Extrema:
Auf
gilt
. Also kann
dort keine lokalen Extrema haben.
Auf
hingegen ist
Also ist
der Kandidat für ein Extremum in
. Weiter ist
Damit hat
in
ein striktes lokales Minimum.
Nun müssen wir noch
untersuchen. Da
in dort nicht differenzierbar ist, sind unsere notwendigen und hinreichenden Kriterien nicht anwendbar. Es gilt allerdings

für alle
und

für alle
Damit ist
auf
streng monoton steigend, und auf
streng monoton fallend. Da
stetig in null ist, folgt daraus

für alle
Also hat
in
ein striktes lokales Maximum.
Globale Extrema:
Es gilt
Graph der Funktion

und
Daher ist
nach oben und unten unbeschränkt, und besitzt keine globalen Extrema.
Aufgabe (Extrema von Funktionen 3)
Zeige, dass die Funktion
genau zwei lokale Extrema besitzt, und bestimme deren Art.
Lösung (Extrema von Funktionen 3)
Kandidaten für die Extremwerte ergeben sich nach unserer notwendigen Bedingung aus
Graph der Hilfsfunktion

Da sich die Nullstellen von
nicht explizit berechnen lassen, müssen wir diese Funktion genauer untersuchen. Es gilt

,
und 
Wegen der Stetigkeit und 2. ist hat
mit dem Zwischenwertsatz (mindestens) zwei Nullstellen
und
.
Wegen 1. ist
streng monoton steigend auf
und streng monoton fallend auf
. Damit ist
jeweils injektiv auf
und
und hat damit genau die beiden Nullstellen
und
.
Für die Ableitung von
folgt nun
Nach unseren ersten hinreichendem Kriterium hat daher
ein striktes lokales Maximum in
und ein striktes lokales Minimum in
.
Grenzwerte mit L'Hospital berechnen[Bearbeiten]
Lösung (L'Hospital 1)
Teilaufgabe 1:
Teilaufgabe 2:
Hier ist die Regel von L'Hospital nicht anwendbar. Die Funktion
ist jedoch im Punkt
stetig, und daher gilt
Teilaufgabe 3:
Teilaufgabe 4:
Dieser Grenzwert existiert nicht. Zunächst lässt er sich zerlegen in
Für den linksseitigen Grenzwert gilt nun mit Teilaufgabe 1:
Analog gilt jedoch für den rechtsseitigen Grenzwert:
Also ist
, und damit existiert
nicht.
Teilaufgabe 5:
Teilaufgabe 6:
L'Hospital lässt sich hier anwenden, bringt jedoch nichts:
Stattdessen macht es hier Sinn, auf die Definitionen von
und
zurückzugreifen, und den Quotienten dann umzuformen:
Teilaufgabe 7:
L'Hospital lässt sich hier nicht anwenden, da der Zähler
für
uneigentlich divergiert. Stattdessen lässt sich der Bruch wie folgt abschätzen:
Mit dem Einschließungssatz folgt
.
Teilaufgabe 8:
Teilaufgabe 9:
Teilaufgabe 10:
Lösung (L'Hospital 2)
Teilaufgabe 1:
und da der Grenzwert existiert, war die Anwendung von L'Hospital gerechtfertigt.
Teilaufgabe 2:
und da der Grenzwert existiert, war die Anwendung von L'Hospital gerechtfertigt.
Teilaufgabe 3:
und da der Grenzwert existiert, war die Anwendung von L'Hospital gerechtfertigt.
Teilaufgabe 4:
Teilaufgabe 5:
Für den Ausdruck im Exponenten gilt nun
und da der Grenzwert existiert, war die Anwendung von L'Hospital gerechtfertigt.
Wegen der Stetigkeit von
im Punkt
folgt nun
Teilaufgabe 6: Zunächst gilt: Existiert der Grenzwert
, so existiert auch der Folgengrenzwert
.
Weiter ist
Für den Ausdruck im Exponenten gilt
und da der Grenzwert existiert, war die Anwendung von L'Hospital gerechtfertigt.
Wegen der Stetigkeit von
im Punkt
folgt nun
Mit der Vorbemerkung gilt auch
.
Teilaufgabe 7:
Für den Ausdruck im Exponenten gilt
und da der Grenzwert existiert, war die Anwendung von L'Hospital gerechtfertigt.
Wegen der Stetigkeit von
im Punkt
folgt nun
Teilaufgabe 8:
Für den Ausdruck im Exponenten gilt
und da der Grenzwert existiert, war die Anwendung von L'Hospital gerechtfertigt.
Wegen der Stetigkeit von
im Punkt
folgt nun
Teilaufgabe 9:
und da der Grenzwert existiert, war die Anwendung von L'Hospital gerechtfertigt.
Teilaufgabe 10:
und da der Grenzwert existiert, war die Anwendung von L'Hospital gerechtfertigt.