Ableitung höherer Ordnung – Mathe für Nicht-Freaks

Motivation

Diagramm für Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Ruck eines Objekts. Der Ort ist die türkise Linie. Die Geschwindigkeit (violett) steigt, ist dann zwischen $x=3$ und $x=4$ konstant und fällt dann wieder auf Null ab. Sobald die Geschwindigkeit abfällt, wird die Beschleunigung (grün) negativ. Ein Ruck spielt sich nur in nicht konstant beschleunigten Bereichen ab und ist eine Stufenfunktion. Deshalb ist die Ableitung des Rucks auch Null (bei den Sprungstellen ist die Ableitung nicht deffiniert).

Die Ableitung $f'$ beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion $f$. Nun kann man die abgeleitete Funktion $f'$ wieder ableiten, vorausgesetzt, dass diese wieder differenzierbar ist. Die gewonne Ableitung der Ableitung wird zweite Ableitung bzw. Ableitung zweiter Ordnung genannt und mit $f''$ oder $f^{(2)}$ bezeichnet. Dies lässt sich beliebig oft durchführen. Wenn die zweite Ableitung wiederum differenzierbar ist, so erhält man die dritte Ableitung $f^{(3)}$, danach die vierte Ableitung $f^{(4)}$ usw..

Diese höheren Ableitungen gestatten Aussagen über den Verlauf eines Funktionsgraphen. Die zweite Ableitung sagt zum Beispiel aus, ob ein Graph oben gekrümmt („konvex“) oder nach nach unten gekrümmt („konkav“) ist. Bei konvexen Graphen von differenzierbaren Funktionen nimmt seine Steigung kontinuierlich zu. Hierfür ist $f''(x)>0$ eine hinreichende Bedingung. Wenn nämlich die zweite Ableitung stets positiv ist, dann muss die erste Ableitung kontinuierlich wachsen. Analog folgt aus $f''(x)<0$, dass der Graph konkav ist und die Ableitung monoton fällt.

Um die Aussagekraft höherer Ableitungen genauer zu verdeutlichen betrachten wir die Funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ mit $f(t)=t^{3}+2$, welche den Ort $f(t)$ eines Autos zum Zeitpunkt $t$ angeben soll. Wir wissen schon, dass wir die Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt $t$ mit der ersten Ableitung berechnen können: $f'(t)=f^{(1)}(t)=3t^{2}$. Was sagt nun die Ableitung $f''(t)$ von $f'$ aus? Diese ist die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit und damit die Beschleunigung des Autos. Es beschleunigt mit $f''(t)=f^{(2)}(t)=6t$.

Nun kann man diese zweite Ableitung wieder ableiten, wodurch wir die momentane Änderungsrate der Beschleunigung $f'''(t)=f^{(3)}(t)=6$ erhalten. Diese wird in der Fahrdynamik Ruck genannt und sagt aus, wie schnell ein Auto die Beschleunigung erhöht oder wie schnell es die Bremsung einleitet. Ein großer Ruck entsteht zum Beispiel bei einer Notbremsung. Da $f^{(3)}(t)<0$ bei einer Notbremsung ist, ist der Graph der Geschwindigkeit $f'$ konvex – die Geschwindigkeit fällt immer stärker. Die vierte Ableitung $f^{4}(t)=0$ sagt uns wiederum, dass der Ruck keine momentane Änderungsrate hat.

Definition

Definition (Ableitungen höherer Ordnung)

Sei $f:D\to W$ mit $D,W\subseteq \mathbb {R}$ eine reellwertige Funktion. Wir setzen $f^{(0)}:=f$ und im Fall der Differenzierbarkeit $f^{(1)}=f'$. Wir definieren die zweite Ableitung über $f^{(2)}=\left(f^{(1)}\right)'$, die dritte Ableitung über $f^{(3)}=\left(f^{(2)}\right)'$ usw., wenn diese höheren Ableitungen existieren. Insgesamt definieren wir rekursiv für $k\in \mathbb {N} _{0}$:

$f^{(k+1)}:=\left(f^{(k)}\right)'$

Wir sagen, $f$ ist $k$-Mal differenzierbar, wenn die $k$-te Ableitung $f^{(k)}$ von $f$ existiert. $f$ heißt $k$-Mal stetig differenzierbar, falls $f^{(k)}$ stetig ist.

Die Menge aller $k$-fach stetig differenzierbaren Funktionen mit Definitionsbereich $D$ und Wertebereich $W$ wird mit $C^{k}(D,W)$ notiert. Insbesondere besteht $C^{0}(D,W)=C(D,W)$ aus den stetigen Funktionen. Falls wir die Funktion $f$ beliebig oft ableiten können, so schreiben wir $f\in C^{\infty }(D,W)$. Ist $W=\mathbb {R}$, so können wir kürzer $C^{k}(D)$ beziehungsweise $C^{\infty }(D)$ schreiben. Es gilt:

$C(D,W)\supseteq C^{1}(D,W)\supseteq C^{2}(D,W)\supseteq \ldots \supseteq C^{k}(D,W)\supseteq C^{k+1}(D,W)$

Verständnisfrage: Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch?

1. $|x|\in C(\mathbb {R} )$
2. $|x|\in C^{1}(\mathbb {R} )$
3. $\operatorname {sgn} (x)\in C(\mathbb {R} )$
4. $\operatorname {sgn} (x)\in C^{1}(\mathbb {R} )$
5. $x\in C(\mathbb {R} )$
6. $x\in C^{1}(\mathbb {R} )$

Lösungen:

1. wahr
2. falsch
3. falsch
4. falsch
5. wahr
6. wahr

Beispiele und Aufgaben

Betrachten wir zunächst unser Beispiel am Anfang.

Beispiel (Ableitungen der Potenzfunktion)

Wir betrachten die Funktion

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2}$

Diese Funktion ist unendlich oft differenzierbar, denn es gilt für alle $x\in \mathbb {R}$ und alle $k\in \mathbb {N} ,k\geq 3$:

${\begin{aligned}&\ f'(x)=2x\\[0.3em]&\ f''(x)=2\\[0.3em]&\ f^{(k)}=0\\[0.3em]\end{aligned}}$

Allgemein gilt für

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto x^{n}$

mit $n\in \mathbb {N}$:

${\begin{aligned}&\ f'(x)=nx^{n-1}\\[0.3em]&\ f^{(k)}(x)=n(n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)x^{n-k}{\text{ für }}k\leq n\\[0.3em]&\ f^{(k)}=0{\text{ für }}k>n\\[0.3em]\end{aligned}}$

Beispiel (Ableitungen der Exponentialfunktion)

Für die Exponentialfunktion

$\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

folgt wegen $\exp '(x)=\exp(x)$ für alle $x\in \mathbb {R}$ unmittelbar $\exp \in C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$. Außerdem gilt

$\exp ^{(k)}(x)=\exp(x)$

für alle $k\in \mathbb {N}$.

Beispiel

Die Funktion $\sin :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ist unendlich oft stetig differenzierbar. Für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt:

${\begin{aligned}&\sin '(x)=\cos(x)\\[0.3em]&\sin ''(x)=\cos '(x)=-\sin(x)\\[0.3em]&\sin '''(x)=(-\sin )'(x)=-\cos(x)\\[0.3em]&\sin ^{(4)}(x)=(-\cos )'(x)=\sin(x)\\[0.3em]\end{aligned}}$

Allgemein gilt für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$:

${\begin{aligned}&\sin ^{(4n+1)}(x)=\cos(x)\\[0.3em]&\sin ^{(4n+2)}(x)=\cos '(x)=-\sin(x)\\[0.3em]&\sin ^{(4n+3)}(x)=(-\sin )'(x)=-\cos(x)\\[0.3em]&\sin ^{(4n)}(x)=(-\cos )'(x)=\sin(x)\\[0.3em]\end{aligned}}$

Verständnisfrage: Wie lauten analog die Ableitungen von $\cos :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$?

Für $x\in \mathbb {R}$ gilt

${\begin{aligned}&\cos '(x)=-\sin(x)\\[0.3em]&\cos ''(x)=-\cos(x)\\[0.3em]&\cos '''(x)=\sin(x)\\[0.3em]&\cos ^{(4)}(x)=\cos(x)\end{aligned}}$

Allgemein gilt somit für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$:

${\begin{aligned}&\cos ^{(4n+1)}(x)=-\sin(x)\\[0.3em]&\cos ^{(4n+2)}(x)=-\cos(x)\\[0.3em]&\cos ^{(4n+3)}(x)=\sin(x)\\[0.3em]&\cos ^{(4n)}(x)=\cos(x)\end{aligned}}$

Aufgabe (Ableitungen der natürlichen Logarithmusfunktion)

Zeige, dass die natürliche Logarithmusfunktion $\ln :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$ beliebig oft differenzierbar ist mit

$\ln ^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}{\frac {(n-1)!}{x^{n}}}$

für alle $n\in \mathbb {N}$.

Beweis (Ableitungen der natürlichen Logarithmusfunktion)

Wir beweisen die Aufgabe mittels vollständiger Induktion über $n\in \mathbb {N}$:

Induktionsanfang: $n=1$

$\ln '(x)={\frac {1}{x}}=(-1)^{0}{\frac {0!}{x^{1}}}$

Induktionsvoraussetzung:

$\ln ^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}{\frac {(n-1)!}{x^{n}}}$ gelte für ein $n\in \mathbb {N}$

Induktionsschritt: $n\to n+1$

$\ln ^{(n+1)}(x)=(\ln ^{(n)}(x))'{\underset {\text{voraussetzung}}{\overset {\text{Induktions-}}{=}}}\left((-1)^{n-1}{\frac {(n-1)!}{x^{n}}}\right)'=\left((-1)^{n-1}(n-1)!x^{-n}\right)'{\underset {\text{regeln}}{\overset {\text{Ableitungs-}}{=}}}(-1)^{n-1}(n-1)!(-n)x^{-n-1}=(-1)^{n}{\frac {n!}{x^{n+1}}}$

Die nächste Aufgabe behandelt eine Funktion, die genau einmal differenzierbar ist:

Aufgabe (Genau einmal differenzierbare Funktion)

Zeige, dass die Funktion

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto {\begin{cases}x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)&,x\neq 0\\0&,x=0\end{cases}}$

einmal, jedoch nicht zweimal differenzierbar ist.

Lösung (Genau einmal differenzierbare Funktion)

Die Funktion $f$ mit $f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ für $x\neq 0$ und $f(0)=0$.

Diese Funktion ist in allen Punkten ${\tilde {x}}\neq 0$ differenzierbar, denn für alle $x$ in der Umgebung $]0,2{\tilde {x}}[$ für ${\tilde {x}}>0$ bzw. $]2{\tilde {x}},0[$ für ${\tilde {x}}<0$ gilt $f(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$ und folglich gilt nach der Produktregel und der Kettenregel

$f'({\tilde {x}})=2{\tilde {x}}\cdot \sin \left({\frac {1}{\tilde {x}}}\right)+{\tilde {x}}^{2}\cos \left({\frac {1}{\tilde {x}}}\right)\cdot {\frac {-1}{{\tilde {x}}^{2}}}=2{\tilde {x}}\cdot \sin \left({\frac {1}{\tilde {x}}}\right)-\cos \left({\frac {1}{\tilde {x}}}\right)$

Für ${\tilde {x}}=0$ erhalten wir

${\begin{aligned}&\ \lim \limits _{x\to 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}\\[0.3em]&\ =\lim \limits _{x\to 0}{\frac {x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-0}{x}}\\[0.3em]&\ =\lim \limits _{x\to 0}{x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}\\[0.3em]&\ =0\end{aligned}}$

Denn für alle $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ gilt $\sin \left({\frac {1}{x}}\right)\in ]-1,1[$ und ist somit beschränkt. Damit ist die Ableitungsfunktion

$f':\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto {\begin{cases}2x\cdot \sin \left({\frac {1}{x}}\right)-\cos \left({\frac {1}{x}}\right)&,x\neq 0\\0&,x=0\end{cases}}$

Diese Funktion ist jedoch nicht in ${\tilde {x}}=0$ differenzierbar. Dazu betrachten wir die Folgen $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, wobei wir für alle $n\in \mathbb {N}$ definieren

${\begin{aligned}&\ a_{n}={\frac {1}{{\tfrac {\pi }{2}}+2\pi n}}\\[0.3em]&\ b_{n}={\frac {1}{{\tfrac {3\pi }{2}}+2\pi n}}\\[0.3em]\end{aligned}}$

Dann gilt $\lim \limits _{n\to \infty }{a_{n}}=0$ und $\lim \limits _{n\to \infty }{b_{n}}=0$. Weiter gilt für alle $n\in \mathbb {N}$

${\begin{aligned}&\ f'(a_{n})=2{\frac {1}{{\tfrac {\pi }{2}}+2\pi n}}\cdot \sin \left({\tfrac {\pi }{2}}+2\pi n\right)-\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}+2\pi n\right)={\frac {2}{{\tfrac {\pi }{2}}+2\pi n}}\\[0.3em]&\ f'(b_{n})=2{\frac {1}{{\tfrac {3\pi }{2}}+2\pi n}}\cdot \sin \left({\tfrac {3\pi }{2}}+2\pi n\right)-\cos \left({\tfrac {3\pi }{2}}+2\pi n\right)={\frac {-2}{{\tfrac {\pi }{2}}+2\pi n}}\\[0.3em]\end{aligned}}$

Also gilt

${\begin{aligned}&\ \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {f'(a_{n})-f'(0)}{a_{n}-0}}\\[0.3em]&\ =\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {{\frac {2}{{\tfrac {\pi }{2}}+2\pi n}}-0)}{{\frac {1}{{\tfrac {\pi }{2}}+2\pi n}}-0}}\\[0.3em]&\ =2\end{aligned}}$

Aber

${\begin{aligned}&\ \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {f'(b_{n})-f'(0)}{b_{n}-0}}\\[0.3em]&\ =\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {{\frac {-2}{{\tfrac {3\pi }{2}}+2\pi n}}-0)}{{\frac {1}{{\tfrac {3\pi }{2}}+2\pi n}}-0}}\\[0.3em]&\ =-2\end{aligned}}$

Folglich existiert der Grenzwert

$\lim \limits _{x\to 0}{\frac {f'(x)-f'(0)}{x-0}}$

nicht und damit ist $f'$ in $0$ nicht differenzierbar.

Ergänzungsfrage: Ist $f'$ stetig in $0$?

Nein. Denn für die Folgen

${\begin{aligned}&\ (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=({\tfrac {1}{2n\pi }})_{n\in \mathbb {N} }\\[0.3em]&\ (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=({\tfrac {1}{(2n+1)\pi }})_{n\in \mathbb {N} }\\[0.3em]\end{aligned}}$

gilt: $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$. Jedoch ist

${\begin{aligned}&\ f'(a_{n})=2{\frac {1}{2n\pi }}\cdot \underbrace {\sin \left(2n\pi \right)} _{=0}-\underbrace {\cos \left(2n\pi \right)} _{=1}=-1\\[0.3em]&\ f'(b_{n})=2{\frac {1}{(2n+1)\pi }}\cdot \underbrace {\sin \left((2n+1)\pi \right)} _{=0}-\underbrace {\cos \left((2n+1)\pi \right)} _{=-1}=1\end{aligned}}$

Also existiert $\lim _{x\to 0}f'(x)$ nicht. Nach dem Folgenkriterium ist $f'$ daher nicht stetig in $0$.

Anmerkung: Damit können wir natürlich auch die Nicht-Differenzierbarkeit von $f'$ in $0$ begründen.

Rechenregeln für höhere Ableitungen

Linearität

Die Linearität der Ableitung „vererbt“ sich auch auf höhere Ableitungen: Sind $f$ und $g$ differenzierbar, und $a,b\in \mathbb {R}$, so ist bekanntlich auch $af+bg$ differenzierbar mit

$(af+bg)'=af'+bg'$

Sind nun $f$ und $g$ sogar zweimal differenzierbar, so gilt

$(af+bg)''=(af'+bg')'=af''+bg''$

Führen wir dies fort, so erhalten wir

Satz (Linearität höherer Ableitungen)

Sind $a,b\in \mathbb {R}$ und $f,g:D\to \mathbb {R}$ $n$-mal differenzierbare Funktionen, so ist auch $af+bg:D\to \mathbb {R}$ $n$ mal differenzierbar, und es gilt

$(af+bg)^{(n)}=af^{(n)}+bg^{(n)}$

für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$.

Beispiel (Linearität höherer Ableitungen)

Wegen $\sin ^{(4n+1)}=\cos$ und $\cos ^{(4n+1)}=-\sin$ für $n\in \mathbb {N}$ gilt

$(3\sin(x)+4\cos(x))^{(1001)}=3\sin ^{(1001)}(x)+4\cos ^{(1001)}(x)=3\sin ^{(4\cdot 250+1)}(x)+4\cos ^{(4\cdot 250+1)}(x)=3\cos(x)-4\sin(x)$

Beweis (Linearität höherer Ableitungen)

Induktionsanfang: $n=0$

$(af+bg)^{(0)}=af+bg=af^{(0)}+bg^{(0)}$

Induktionsvoraussetzung:

$(af+bg)^{(n)}=af^{(n)}+bg^{(n)}$ gelte für ein $n\in \mathbb {N}$

Induktionsschritt: $n\to n+1$

$(af+bg)^{(n+1)}=((af+bg)^{(n)})'{\underset {\text{voraussetzung}}{\overset {\text{Induktions-}}{=}}}(af^{(n)}+bg^{(n)})'{\underset {\text{Ableitung}}{\overset {\text{Linearität der}}{=}}}af^{(n+1)}+bg^{(n+1)}$

Leibniz-Regel für Produktfunktionen

Wir vesuchen nun eine allgemeine Formel für die $n$-te Ableitung der Produktfunktion $fg$ zweier beliebig oft differenzierbarer Funktionen zu $f$ und $g$ zu bestimmen. Durch mehrmaliges anwenden der Faktor-, Summen- und Produktregel erhalten wir für $n=1,2,3$ unmittelbar

${\begin{aligned}(fg)'&=f'g+fg'\\(fg)''&=(f'g+g'f)'=(f'g)'+(fg')'\\&=f''g+f'g'+f'g'+fg''\\&=f''g+2f'g'+fg''\\(fg)'''&=(f''g+2f'g'+fg'')'\\&=(f''g)'+(2f'g')'+(fg'')'\\&=f'''g+f''g'+2f''g'+2f'g''+f'g''+fg'''\\&=f'''g+3f''g'+3f'g''+fg'''\end{aligned}}$

Setzen wir $f=x$ und $g=y$, und statt den Ableitungen von $f$ und $g$ die entsprechenden Potenzen von $x$ und $y$, so sehen wir eine eindeutige Analogie zum binomischen Lehrsatz:

${\begin{aligned}(x+y)^{1}&=x^{1}y^{0}+x^{0}+y^{1}\\(x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2}\\&=x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+x^{0}y^{2}\\(x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\\&=x^{3}y^{0}+3x^{2}y^{1}+3x^{1}y^{2}+3x^{0}y^{3}\end{aligned}}$

Diese Analogie können wir uns allgemein so überlegen:

Wir ordnen für jedes $k\in \mathbb {N} _{0}$ der Ableitung $f^{(k)}$ die Potenz $x^{k}$, und der Ableitung $g^{(k)}$ die Potenz $y^{k}$ zu. Dabei entspricht die $0$-te Ableitung $f^{(0)}=f$ der $0$-ten Potenz $x^{0}=1$. Die Ableitung des Terms $f^{(k)}g^{(l)}$ lautet mit der Produktregel

$(f^{(k)}g^{(l)})'=f^{(k+1)}g^{(l)}+f^{(k)}g^{(l+1)}$

Der Ausdruck $f^{(k+1)}g^{(l)}+f^{(k)}g^{(l+1)}$ entspricht in unserer Analogie nun der Summe $x^{k+1}y^{l}+x^{k}y^{l+1}$. Diesen Term erhalten wir aus $x^{k}y^{l}$ durch Multiplikation mit $x+y$. Denn mit dem Distributivgesetz gilt

$(x^{k}y^{l})(x+y)=x^{k+1}y^{l}+x^{k}y^{l+1}$

Also entspricht die Anwendung der Produktregel der Multiplikation mit der Summe $x+y$. Damit wird der $n$-ten Ableitung $(fg)^{(n)}$ die Potenz $(x+y)^{n}$ zugeordnet. Aus dem binomischen Lehrsatz

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n-k}$

ergibt sich somit

Satz (Leibniz-Regel für Ableitungen)

Sind $f,g:D\to \mathbb {R}$ $n$-mal differenzierbare Funktionen, so ist auch $fg:D\to \mathbb {R}$ $n$-mal differenzierbar, und es gilt

$(fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}g^{(n-k)}$

für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$.

Beispiel (Leibniz-Regel für Ableitungen)

Mit Hilfe der Leibniz-Regel berechnen wir $(x^{3}e^{x})^{(2016)}$. Die Regel ist anwendbar, da $x\mapsto x^{3}$ und $x\mapsto e^{x}$ auf $\mathbb {R}$ beliebig oft differenzierbar sind. Es gilt

${\begin{aligned}(x^{3}e^{x})^{(2016)}&{\underset {\text{regel}}{\overset {\text{Leibniz-}}{=}}}\sum _{k=0}^{2016}{\binom {2016}{k}}(x^{3})^{(k)}(e^{x})^{(2016-k)}\\[0.3em]&\color {Gray}\left\downarrow \ (x^{3})'=3x^{2},\ (x^{3})''=6x,\ (x^{3})^{(3)}=6,\ (x^{3})^{(k)}=0{\text{ für }}k\geq 4,\ (e^{x})^{(k)}=e^{x}{\text{ für alle }}k\in \mathbb {N} \right.\\[0.3em]&={\binom {2016}{0}}x^{3}e^{x}+{\binom {2016}{1}}\cdot 3x^{2}ex+{\binom {2016}{2}}\cdot 6xe^{x}+{\binom {2016}{3}}\cdot 6e^{x}\\[0.3em]&=x^{3}e^{x}+2016\cdot 3x^{2}ex+{\frac {2016\cdot 2015}{2}}\cdot 6xe^{x}+{\frac {2016\cdot 2015\cdot 2014}{3\cdot 2}}\cdot 6e^{x}\\[0.3em]&=x^{3}e^{x}+2016\cdot 3x^{2}ex+2016\cdot 2015\cdot 3xe^{x}+2016\cdot 2015\cdot 2014e^{x}\end{aligned}}$

Aufgabe (Beweis der Leibniz Regel)

Beweise die Leibniz-Regel mittels vollständiger Induktion über $n$.

Beweis (Beweis der Leibniz Regel)

Induktionsanfang: $n=0$

$(fg)^{(0)}=fg=\sum _{k=0}^{0}{\binom {0}{k}}f^{(k)}g^{(0-k)}$

Induktionsvoraussetzung:

$(fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}g^{(n-k)}$ gelte für ein $n\in \mathbb {N}$

Induktionsschritt: $n\to n+1$

${\begin{aligned}(fg)^{(n+1)}&=\left[(fg)^{(n)}\right]'\\[0.3em]&\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{ Induktionsvoraussetzung}}\right.\\[0.3em]&=\left[\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}g^{(n-k)}\right]'\\[0.3em]&\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{ Linearität der Ableitung}}\right.\\[0.3em]&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\left[f^{(k)}g^{(n-k)}\right]'\\[0.3em]&\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{ Produktregel}}\right.\\[0.3em]&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\left[f^{(k+1)}g^{(n-k)}+f^{(k)}g^{(n-k+1)}\right]\\[0.3em]&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k+1)}g^{(n-k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}g^{(n-k+1)}=\\[0.3em]&\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{ Indexverschiebung}}\right.\\[0.3em]&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(k)}g^{(n-(k-1))}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(k)}g^{(n-k+1)}\\[0.3em]&\color {Gray}\left\downarrow \ {\binom {n}{-1}}=0{\text{ und }}{\binom {n}{n+1}}=0\right.\\[0.3em]&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(k)}g^{(n-k+1)}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}f^{(k)}g^{(n-k+1)}\\[0.3em]&=\sum _{k=0}^{n+1}\left[{\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right]f^{(k)}g^{(n-k+1)}\\[0.3em]&\color {Gray}\left\downarrow \ {\text{ Additionstheorem für Binomialkoeffizienten}}\right.\\[0.3em]&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(k)}g^{((n+1)-k)}\end{aligned}}$