Konstanzkriterium: Zusammenhang zwischen Konstanz einer Funktion und ihrer Ableitung – Mathe für Nicht-Freaks

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In diesem Kapitel wollen wir eine nützliche Folgerung aus dem Mittelwertsatz besprechen, die bereits aus der Schulzeit bekannt ist: Das Kriterium für Konstanz. Dieses besagt, dass eine Funktion konstant sein muss, wenn ihre Ableitung überall verschwindet (gleich Null ist).

Kriterium für Konstanz[Bearbeiten]

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Satz

Sei ein Intervall und eine differenzierbare Funktion mit für alle . Dann ist konstant.

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Beweis

Seien mit beliebig. Sei außerdem auf dem Intervall differenzierbar und für alle gelte . Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein mit

Wir wissen, dass gelten muss. Also:

Wegen ist . Nun multiplizieren wir beide Seiten mit . Wir erhalten:

Es folgt . Da dies für alle und in gilt, ist konstant.

Identitätssatz der Differentialrechnung [Bearbeiten]

Die erste Folgerung besagt, dass Funktionen mit identischer Ableitung bis auf eine Konstante übereinstimmen. Dieses Ergebnis wird sich später beim Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung als sehr nützlich erweisen.

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Satz (Identitätssatz)

Seien zwei differenzierbare Funktionen mit . Dann gilt für alle . Dabei ist eine konstante Zahl.

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Beweis (Identitätssatz)

Wir definieren die Hilfsfunktion

Diese ist differenzierbar, da und differenzierbar sind, und es gilt

Nach dem Kriterium für Konstanz ist daher für alle mit einer konstanten Zahl . Dies ist äquivalent zu

Anwendung: Charakterisierung der Exponentialfunktion[Bearbeiten]

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Satz (Charakterisierung der Exponentialfunktion)

Sei differenzierbar. Weiter sei und für alle gelte

Dann gilt für alle mit einer Konstanten . Ist und gilt zusätzlich , so ist .

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Beweis (Charakterisierung der Exponentialfunktion)

Wir definieren die Hilfsfunktion

Diese ist nach der Produkt- und Kettenregel differenzierbar. Es gilt

Nach dem Kriterium für Konstanz gibt es ein mit für alle . Dies ist nun aber äquivalent zu

Gilt nun und zusätzlich , so ist

Also ist .

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Hinweis

Alternativ kann man auch als schreiben und die Quotientenregel anwenden, um die Ableitung zu bestimmen. Außerdem erfüllt die Funktion die Differentialgleichung . Es ist nämlich:

Übungsaufgaben[Bearbeiten]

Intervallvoraussetzung des Konstanzkriteriums[Bearbeiten]

Die Voraussetzung, dass die Funktion auf einem Intervall definiert ist, ist für das Kriterium für Konstanz notwendig! Dies zeigt folgende Aufgabe:

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Aufgabe

Finde eine differenzierbare Funktion mit und für alle , die nicht konstant ist.

muss hier so gewählt werden, dass es kein Intervall ist. Ansonsten würde aus dem vorherigen Satz folgen, dass konstant ist.

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Lösung

Die Funktion

Wir definieren und setzen

Die Funktion ist offensichtlich nicht konstant. Es gilt aber für alle die Gleichung . Hierzu betrachten wir zunächst ein . Sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Dann gibt es ein , so dass für alle die Ungleichung erfüllt ist. Daraus folgt . Es gilt folglich für alle , dass ist. Also:

Damit gilt:

Der Beweis, dass auch für alle die Gleichung erfüllt ist, geht komplett analog.

Trigonometrischer Pythagoras[Bearbeiten]

Mit Hilfe des Kriteriums für Konstanz lassen sich auch sehr gut Identitäten über Funktionen beweisen:

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Aufgabe (Trigonometrischer Pythagoras)

Zeige, dass für alle gilt

Dabei ist und .

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Lösung (Trigonometrischer Pythagoras)

Wir definieren die Hilfsfunktion

Diese ist nach der Ketten- und Summenregel für Ableitungen auf ganz differenzierbar, und es gilt

Damit ist konstant eine Zahl . Diese können wir bestimmen, indem wir berechnen:

Also ist konstant und es gilt damit:

Funktionalgleichung für Arkustangens[Bearbeiten]

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Aufgabe (Funktionalgleichung für )

Zeige: für

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Lösung (Funktionalgleichung für )

Wir definieren und . Die Funktion ist auf nach der Summen- und Kettenregel für Ableitungen differenzierbar. Damit gilt

Nach dem Kriterium für Konstanz ist daher konstant. Um den genauen Wert zu bestimmen reicht es eine konkreten Wert einzusetzen. Wir wählen und erhalten

Es ist nämlich und damit . Damit folgt die Behauptung.

Übungsaufgabe zum Identitätssatz[Bearbeiten]

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Aufgabe (Logarithmus-Darstellung des Areasinus Hyperbolicus)

Zeige, dass für alle gilt

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Beweis (Logarithmus-Darstellung des Areasinus Hyperbolicus)

Die Funktion ist nach den Beispielen für Ableitungen auf ganz differenzierbar. Ihre Ableitung ist

Nach der Ketten- und Summenregel ist auch auf ganz differenzierbar. Es gilt:

Es ist für alle und nach dem Identitätssatz ist daher mit einer Konstanten . Nun ist aber wegen :

Außerdem ist

Also ist und damit folgt die Behauptung.

Charakterisierung vom Sinus und Kosinus[Bearbeiten]

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Aufgabe (Charakterisierung von Sinus und Cosinus)

Seien zwei differenzierbare Funktionen mit

Beweise:

  1. Es gilt für alle
  2. Es gibt genau ein Funktionenpaar, welches die obigen Bedingungen erfüllt, nämlich und .

Hinweis: Betrachte bei der zweiten Teilaufgabe die Hilfsfunktion .

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Beweis (Charakterisierung von Sinus und Cosinus)

Teilaufgabe 1:

Wir betrachten die Hilfsfunktion

wobei und die Bedingungen von oben erfüllen. Dann ist mit der Summen- und Kettenregel differenzierbar, und es gilt

Nach dem Kriterium für Konstanz ist daher für ein . Nach den Vorraussetzungen gilt

Also ist und es gilt die Behauptung .

Teilaufgabe 1:

Wir betrachten die differenzierbare Hilfsfunktion

Für diese gilt

Nach dem Kriterium für Konstanz ist daher mit . Auf Grund der Voraussetzungen gilt

Also ist . Nun ist sowohl und für alle . Damit also die Summe gleich Null sein kann, müssen beide Summanden und gleich Null sein. Es folgt

Damit ist und , was zu beweisen war.