Ableitung und lokale Extrema – Mathe für Nicht-Freaks

In diesem Kapitel werden wir mit Hilfe der Ableitung notwendige und hinreichende Kriterien für die Existenz von Extrema herleiten. In der Schule wird häufig der Satz verwendet, dass eine Funktion $f:D\to \mathbb {R}$ notwendigerweise $f'({\tilde {x}})=0$ erfüllen muss, damit $f$ in ${\tilde {x}}\in D$ ein (lokales) Extremum hat. Wechselt die Ableitungsfunktion $f'$ in ${\tilde {x}}$ zusätzlich noch das Vorzeichen, so folgt aus dieser Bedingung die Existenz eines Extremums. Der Vorzeichenwechsel der Ableitung ist damit ein hinreichendes Kriterium für die Ableitung. Diese und weitere Folgerungen werden wir nun herleiten, und an Hand zahlreicher Beispiele veranschaulichen. Zunächst werden wir jedoch sauber definieren, welche Art von Extrema es gibt.

Typen von Extrema

Eine Funktion $f:D\to \mathbb {R}$ kann zunächst einmal zwei Typen eines Extremums haben: Ein Maximum oder ein Minimum. Dieses kann wiederum lokal oder global sein. Wie die Bezeichnungen schon vermuten lassen, ist ein lokales Minimum beispielsweise ein Wert $f({\tilde {x}})$, der „lokal minimal“ ist. In einer Umgebung von ${\tilde {x}}$ gilt also $f\geq f({\tilde {x}})$. Sprich: Es gibt ein Intervall $({\tilde {x}}-\epsilon ,{\tilde {x}}+\epsilon )$ um ${\tilde {x}}$, so dass $f(x)\geq f({\tilde {x}})$ für alle Argumente $x$ gilt, die in $({\tilde {x}}-\epsilon ,{\tilde {x}}+\epsilon )$ liegen. Ein globales Maximum hingegen ist ein Wert $f({\hat {x}})$, der „global maximal“ ist. Das heißt, für alle Argumente $x$ aus dem gesamten Definitionsbereich muss $f(x)\leq f({\hat {x}})$ gelten. Diese intuitive Vorstellung ist in folgender Skizze veranschaulicht:

Bei lokalen Extrema wird außerdem noch zwischen strikten und nicht strikten unterschieden. Ein striktes lokales Minimum beispielsweise ist eines, das lokal nur „strikt“ in einem Punkt angenommen wird. Ein nicht striktes Extremum kann auf einem ganzen Teilintervall angenommen werden.

Die intuitiv erklärten Begriffe definieren wir nun formal:

Definition (Extrema)

Sei $D\subseteq \mathbb {R}$ und $f:D\to \mathbb {R}$ eine Funktion. Dann hat $f$ in ${\tilde {x}}\in D$ ein

• lokales Maximum bzw. Minimum, falls es ein $\epsilon >0$ gibt, so dass $f({\tilde {x}})\geq f(x)$ (bzw. $f({\tilde {x}})\leq f(x)$) für alle $x\in D$ mit $|x-{\tilde {x}}|<\epsilon$ gilt.
• striktes lokales Maximum bzw. Minimum, falls es ein $\epsilon >0$ gibt, so dass $f({\tilde {x}})>f(x)$ (bzw. $f({\tilde {x}})<f(x)$) für alle $x\in D\setminus \{{\tilde {x}}\}$ mit $|x-{\tilde {x}}|<\epsilon$ gilt.
• globales Maximum bzw. Minimum, falls $f({\tilde {x}})\geq f(x)$ (bzw. $f({\tilde {x}})\leq f(x)$) für alle $x\in D$ gilt

Extremum ist der Überbegriff für ein Maximum oder Minimum. ${\tilde {x}}\in D$ heißt Maximal- oder Minimalstelle.

Ein lokales Maximum/Minimum wird in der Literatur auch gelegentlich als relatives Maximum/Minimum, und ein striktes Maximum/Minimum als isoliertes Maximum/Minimum bezeichnet. Mit der Definition ist außerdem klar, dass jedes globale Extremum auch ein lokales ist. Ebenso ist jedes strikte lokale Extremum auch eines im gewöhnlichen Sinne. Im Folgenden wollen wir mit Hilfe der Ableitung notwendige und hinreichende Bedingungen für (strikte) lokale Extrema bestimmen. Zur Charakterisierung globaler Extrema reichen unsere Kriterien leider nicht aus.

Verständnisfrage: Betrachte die Funktionen

${\begin{aligned}f&:[-1,2]\to \mathbb {R} ,\ f(x)=x^{2}\\[1em]g&:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ g(x)=\operatorname {sgn} (x)={\begin{cases}-1&{\text{ für }}x<0,\\0&{\text{ für }}x=0,\\1&{\text{ für }}x>0\end{cases}}\end{aligned}}$

Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch?

1. $f$ hat in ${\tilde {x}}_{1}=0$ ein lokales Minimum.
2. $f$ hat in ${\tilde {x}}_{1}=0$ ein striktes lokales Minimum.
3. $f$ hat in ${\tilde {x}}_{1}=0$ ein globales Minimum.
4. $f$ hat in ${\tilde {x}}_{2}=-1$ ein globales Maximum.
5. $f$ hat in ${\tilde {x}}_{3}=2$ ein lokales Maximum.
6. $g$ hat in ${\hat {x}}_{1}=1$ ein striktes lokales Maximum.
7. $g$ hat in ${\hat {x}}_{1}=1$ ein lokales Maximum.
8. $g$ hat in ${\hat {x}}_{2}=-2$ ein globales Minimum.
9. $g$ hat in ${\hat {x}}_{3}=0$ ein lokales Minimum.

Graph der Funktion $f$ mit Extrema

Graph der Funktion $g$ mit Extrema

Lösungen:

1. Richtig. Denn für $\epsilon =1$ gilt $\underbrace {0} _{=f(0)}\leq \underbrace {x^{2}} _{=f(x)}$ für alle $x\in [-1,2]$ mit $\underbrace {|x|} _{=|x-{\tilde {x}}|}<\underbrace {1} _{=\epsilon }$.
2. Richtig. Denn für $\epsilon =1$ gilt $0<x^{2}$ für alle $x\in [-1,2]\setminus \{0\}$ mit $|x|<1$.
3. Richtig. Denn für alle $x\in [-1,2]$ gilt $0\leq x^{2}$.
4. Falsch. Denn beispielsweise für $x=2$ gilt $f(2)=4>1=f(-1)$.
5. Richtig. Denn für alle $x\in [-1,2]$ gilt $f(x)\leq 4=f(2)$. Also hat $f$ bei ${\tilde {x}}_{3}=2$ ein globales, und daher auch ein lokales Maximum.
6. Falsch. Denn für alle $0<\epsilon <1$ und alle $x\in ]1-\epsilon ,1+\epsilon [$ gilt $g(x)=1=g(1)$.
7. Richtig. Denn für $\epsilon ={\tfrac {1}{2}}$ gilt $g(1)=1\geq 1=g(x)$ für alle $x\in \mathbb {R}$ mit $|x-1|<{\tfrac {1}{2}}$.
8. Richtig. Denn für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt $g(x)\geq -1=g(-2)$.
9. Falsch. Denn für alle $\epsilon >0$ gibt es ein $x\in ]-\epsilon ,0[$ mit $g(x)=-1<0=g(0)$.

Notwendige Bedingung für Extrema

Satz und Beweis

Damit eine Funktion an einer Stelle im Inneren Ihres Definitionsbereichs ein lokales Extremum haben kann, muss die Funktion dort eine waagrechte Tangente besitzen. Das heißt, die Ableitung an dieser Stelle muss gleich Null sein. Genau dies besagt der folgende Satz:

Satz (Notwendige Bedingung für Extrema)

Sei $a<b$ mit $a,b\in \mathbb {R}$. Sei ${\tilde {x}}\in (a,b)$ und $f:(a,b)\to \mathbb {R}$ in ${\tilde {x}}$ differenzierbar. Sei weiter ${\tilde {x}}$ ein lokales Minimum (bzw. Maximum). Dann gilt $f'({\tilde {x}})=0$.

Beweis (Notwendige Bedingung für Extrema)

Wir betrachten den Fall, dass $f$ bei ${\tilde {x}}$ ein lokales Minimum hat. Der Beweis im Fall eines lokalen Maximums geht analog. Wir wollen zeigen, dass

$f'({\tilde {x}})=\lim _{h\to 0}{\frac {f({\tilde {x}}+h)-f({\tilde {x}})}{h}}=0$

Da $f$ in ${\tilde {x}}$ differenzierbar ist, gilt

$\lim _{h\downarrow 0}{\frac {f({\tilde {x}}+h)-f({\tilde {x}})}{h}}=f'({\tilde {x}})=\lim _{h\uparrow 0}{\frac {f({\tilde {x}}+h)-f({\tilde {x}})}{h}}$

Da $f$ in ${\tilde {x}}$ ein lokales Minimum hat, gibt es ein $\epsilon >0$, so dass für alle $h\in (0,\epsilon )$ gilt

$f({\tilde {x}}+h)\geq f({\tilde {x}})\iff f({\tilde {x}}+h)-f({\tilde {x}})\geq 0$

Also ist auch

${\frac {f({\tilde {x}}+h)-f({\tilde {x}})}{h}}\geq 0$

Aus den Grenzwertregeln folgt

$f'({\tilde {x}})=\lim _{h\downarrow 0}{\frac {f({\tilde {x}}+h)-f({\tilde {x}})}{h}}\geq 0$

Andererseits gibt es ein ${\tilde {\epsilon }}>0$, so dass für alle $h\in (-{\tilde {\epsilon }},0)$ gilt

$f({\tilde {x}}+h)\geq f({\tilde {x}})\iff f({\tilde {x}}+h)-f({\tilde {x}})\geq 0$

Aus den Grenzwertregeln folgt dann

$f'({\tilde {x}})=\lim _{h\uparrow 0}{\frac {f({\tilde {x}}+h)-f({\tilde {x}})}{h}}\leq 0$

Also ist $f'({\tilde {x}})\leq 0\leq f'({\tilde {x}})$ und daher $f'({\tilde {x}})=0$.

Beispiele

Beispiel (Quadratische Potenzfunktion)

Graph der Funktion $f$ mit Extrema

Die Funktion $f:[-1,2]\to \mathbb {R} ,\ f(x)=x^{2}$ hat bei ${\tilde {x}}=0$ ein lokales (sogar globales) Minimum. Da $0\in ]-1,2[$ ist, gilt nach dem notwendigen Kriterium folgerichtig $f'(0)=2\cdot 0=0$.

Liegt ein Extremum in einem Randpunkt vor, so muss die Bedingung in diesem Punkt nicht erfüllt sein! So ist ${\hat {x}}=-1$ ein lokales Maximum. Es gilt aber $f'(-1)=2\cdot (-1)=-2\neq 0$.

Beispiel (Kubische Potenzfunktion)

Graph der Function $f(x)=x^{3}$ mit Sattelpunkt bei $(0|0)$

Die notwendige Bedingung ist nicht nicht hinreichend. Aus $f'({\tilde {x}})=0$ folgt also nicht zwangsweise, dass $f$ in ${\tilde {x}}$ ein Extremum besitzt. Ein Beispiel dafür ist die Funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $f(x)=x^{3}$. Denn es gilt $f'(x)=3x^{2}$ und damit $f'(0)=0$. $f$ hat aber bei ${\tilde {x}}=0$ kein Extremum, denn für alle $x<0$ gilt $f(x)<0$ und für alle $x>0$ gilt $f(x)>0$. Der Nullpunkt ist in diesem Fall ein sogenannter Terrassen- oder Sattelpunkt.

Beispiel (Sinusfunktion)

Graph der Sinusfunktion mit Extrema

Natürlich kann die Bedingung $f'({\tilde {x}})=0$ auch an unendlich vielen Stellen einer Funktion erfüllt sein. Ein Beispiel dafür ist die Sinusfunktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=\sin(x)$. Es gilt

$f'(x)=\cos(x){\overset {!}{=}}0\iff x\in \{{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \}=\{\ldots ,-{\tfrac {5\pi }{2}},-{\tfrac {3\pi }{2}},-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}},{\tfrac {5\pi }{2}},\ldots \}$

Weiter gilt $|\sin(x)|\leq 1$, sowie

$\sin(x)=1\iff x\in \{{\tfrac {\pi }{2}}+2k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \}=\{\ldots ,-{\tfrac {3\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {5\pi }{2}},\ldots \}$

und

$\sin(x)=-1\iff x\in \{-{\tfrac {\pi }{2}}+2k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \}=\{\ldots ,-{\tfrac {5\pi }{2}},-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}},\ldots \}$

Daher hat $\sin$ in ${\tilde {x}}={\tfrac {\pi }{2}}+2k\pi$ mit $k\in \mathbb {Z}$ lokale Maxima, und in ${\tilde {x}}=-{\tfrac {\pi }{2}}+2k\pi$ mit $k\in \mathbb {Z}$ lokale Minima.

Beispiel (Exponentialfunktion)

Exponentialfunktion ohne Extrema

Schließlich kann auch der Fall $f'(x)\neq 0$ für alle $x$ vorkommen. Betrachten wir hierzu die Exponential funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=\exp(x)$. Dann gilt für alle $x\in \mathbb {R}$:

$f'(x)=\exp(x)>0$

Da Randextrema auch nicht möglich sind, folgt aus unserem Kriterium, dass die Exponentialfunktion keine (lokalen) Extrema besitzt.

Übungsaufgaben

Aufgabe (Lokale Extrema von Funktionen)

Untersuche ob folgende Funktionen lokale Extrema besitzen:

1. $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=x^{4}$
2. $g:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ,\ g(x)=\ln(x)$
3. $h:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ h(x)=\cos(x)$

Lösung (Lokale Extrema von Funktionen)

Teilaufgabe 1:

Es gilt

$f'(x)=4x^{3}=0\iff x=0$

Da außerdem $f(x)=x^{4}=(x^{2})^{2}\geq 0$ für alle $x\in \mathbb {R}$, ist ${\tilde {x}}=0$ ein lokales (sogar globales) Minimum von $f$.

Teilaufgabe 2:

Hier gilt für alle $x\in \mathbb {R} ^{+}$

$g'(x)={\frac {1}{x}}\neq 0$

Daher hat $g$ keine Extrema.

Teilaufgabe 3:

Schließlich gilt

${\begin{aligned}&h'(x)=-\sin(x){\overset {!}{=}}0\\\iff {}&x\in \{k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \}=\{\ldots ,-2\pi ,-\pi ,0,\pi ,2\pi ,\ldots \}\end{aligned}}$

Weiter gilt $|\cos(x)|\leq 1$, sowie

${\begin{aligned}&\cos(x)=1\\\iff {}&x\in \{2k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \}=\{\ldots ,-2\pi ,0,2\pi ,\ldots \}\end{aligned}}$

und

${\begin{aligned}&\cos(x)=-1\\\iff {}&x\in \{(2k-1)\pi \mid k\in \mathbb {Z} \}=\{\ldots ,-\pi ,\pi ,3\pi ,\ldots \}\end{aligned}}$

Daher hat $h$ in ${\tilde {x}}=2k\pi$, $k\in \mathbb {Z}$ lokale Maxima, und in ${\tilde {x}}=(2k-1)\pi$, $k\in \mathbb {Z}$ lokale Minima.

Anwendung: Zwischenwerteigenschaft für Ableitungen

Wir haben in den vergangenen Abschnitten bereits festgestellt, dass die Ableitungsfunktion einer differenzierbaren Funktion nicht zwingend stetig sein muss. Ein Beispiel hierfür ist folgende Funktion, die wir im Kapitel „Ableitung höherer Ordnung“ kennen gelernt haben:

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)={\begin{cases}x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})&{\text{ für }}x\neq 0,\\0&{\text{ für }}x=0.\end{cases}}$

Allerdings kann man zeigen, dass die Ableitungsfunktion immer die Zwischenwerteigenschaft erfüllt. Dass dies kein Widerspruch ist, liegt daran, dass die Stetigkeit eine stärkere Eigenschaft als die Zwischenwerteigenschaft ist. Zum Beweis werden wir unser notwendiges Kriterium aus dem vorangegangenen Satz verwenden. Dieses Resultat ist in der Literatur auch als „Satz von Darboux“ bekannt:

Satz (Satz von Darboux)

Sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ differenzierbar. Weiter sei $f'(a)<f'(b)$ und $c\in (f'(a),f'(b))$. Dann existiert ein $x_{0}\in (a,b)$ mit $f'(x_{0})=c$.

Beweis (Satz von Darboux)

Wir definieren die Hilfsfunktion

$g:[a,b]\to \mathbb {R} ,\ g(x)=f(x)-cx$

Diese ist differenzierbar mit

$g'(x)=f'(x)-c$

Damit gilt $g'(a)=f'(a)-c<0$ und $g'(b)=f'(b)-c>0$. Also ist

$g'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}<0$

Somit gibt es ein $x_{1}\in (a,b)$ mit

${\frac {g(x_{1})-g(a)}{x_{1}-a}}<0$

Da der Nenner $x_{1}-a$ positiv ist, folgt $g(x_{1})-g(a)<0\iff g(x_{1})<g(a)$. Analog gibt es ein $x_{2}\in (a,b)$ mit $g(x_{2})<g(b)$. Nach dem Satz vom Minimum und Maximum nimmt $g$ auf $[a,b]$ ein Minimum an. Da wir gezeigt haben, dass es $x_{1},x_{2}\in (a,b)$ mit $g(x_{1})<g(a)$ und $g(x_{2})<g(b)$, muss das Minimum in $(a,b)$ liegen. Sei $x_{0}\in (a,b)$ die Minimalstelle. Nach unserem notwendigen Kriterium für ein Extremum muss nun gelten

$g'(x_{0})=f'(x_{0})-c=0$

Daraus folgt $f'(x_{0})=c$.

Hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel der Ableitung

Satz

Bei vielen Funktionen ist es sehr mühsam, nur mit der notwendigen Bedingung $f({\tilde {x}})=0$ festzustellen, ob $f$ in ${\tilde {x}}$ ein Extremum hat. Daher suchen wir nun hinreichende Bedingungen dafür. Eine Möglichkeit ist, die Umgebung der möglichen Extremstelle ${\tilde {x}}$ zu untersuchen. Wenn die Funktion links von ${\tilde {x}}$ steigt und rechts fällt, gibt es ein Maximum. Wenn die Funktion erst fällt und dann steigt gibt es ein Minimum.

Satz (Hinreichende Bedingung für Extrema über Vorzeichenwechsel der Ableitung)

Sei $a<b$ und $f:(a,b)\to \mathbb {R}$ eine differenzierbare Abbildung. Und gelte $f'({\tilde {x}})=0$ für ein ${\tilde {x}}\in (a,b)$. Dann gilt

1. $f$ hat ein strenges Maximum in ${\tilde {x}}$, wenn es $\epsilon _{1},\epsilon _{2}>0$ gibt, so dass für alle $x\in ({\tilde {x}}-\epsilon _{1},{\tilde {x}})$ gilt $f'(x)>0$ und für alle $x\in ({\tilde {x}},{\tilde {x}}+\epsilon _{2})$ gilt $f'(x)<0$.
2. $f$ hat ein strenges Minimum in ${\tilde {x}}$, wenn es $\epsilon _{1},\epsilon _{2}>0$ gibt, so dass für alle $x\in ({\tilde {x}}-\epsilon _{1},{\tilde {x}})$ gilt $f'(x)<0$ und für alle $x\in ({\tilde {x}},{\tilde {x}}+\epsilon _{2})$ gilt $f'(x)>0$.

Beweis (Hinreichende Bedingung für Extrema über Vorzeichenwechsel der Ableitung)

Für den Beweis nutzen wir den Mittelwertsatz:

1.Aussage: $f$ hat strenges Maximum in ${\tilde {x}}$

Veranschaulichung bei lokalem Maximum

Sei $c\in ]{\tilde {x}}-\epsilon _{1},{\tilde {x}}[$ beliebig. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein $y\in ]c,{\tilde {x}}[$, so dass ${\frac {f({\tilde {x}})-f(c)}{{\tilde {x}}-c}}=f'(y)$. Da nach unserer Voraussetzung $f'(y)>0$ ist und ${\tilde {x}}-c>0$, gilt $f({\tilde {x}})-f(c)>0$ bzw. $f({\tilde {x}})>f(c)$.

Außerdem gibt es für alle $d\in ]{\tilde {x}},{\tilde {x}}+\epsilon _{2}[$ ein $z\in ]{\tilde {x}},d[$, so dass ${\frac {f(d)-f({\tilde {x}})}{d-{\tilde {x}}}}=f'(z)$. Wir wissen, dass $f'(z)<0$ und $d-{\tilde {x}}>0$ ist. Also folgt $f(d)-f({\tilde {x}})<0$ oder $f({\tilde {x}})>f(d)$.

Ist $\epsilon =\min\{\epsilon _{1},\epsilon _{2}\}$, so gilt für alle $x\in ]{\tilde {x}}-\epsilon ,{\tilde {x}}+\epsilon [$ mit $x\neq {\tilde {x}}$, dass $f({\tilde {x}})>f(x)$. Damit hat $f$ in ${\tilde {x}}$ ein strenges Maximum.

2.Aussage: $f$ hat strenges Minimum in ${\tilde {x}}$

Veranschaulichung bei lokalem Minimum

Der Beweis geht analog zum 1. Fall: Für alle $c\in ]{\tilde {x}}-\epsilon _{1},{\tilde {x}}[$ gibt es laut Mittelwertsatz ein $y\in ]c,{\tilde {x}}[$ mit ${\frac {f({\tilde {x}})-f(c)}{{\tilde {x}}-c}}=f'(y)$. Es gilt aber $f'(y)<0$ und ${\tilde {x}}-c>0$ und damit folgt $f({\tilde {x}})-f(c)<0$ bzw. $f({\tilde {x}})<f(c)$.

Es gilt auch für alle $d\in ]{\tilde {x}},{\tilde {x}}+\epsilon _{2}[$, dass es ein $z\in ]{\tilde {x}},d[$ gibt, so dass ${\frac {f(d)-f({\tilde {x}})}{d-{\tilde {x}}}}=f'(z)$. Weil aber gilt $f'(z)>0$ und $d-{\tilde {x}}>0$, folgt auch $f(d)-f({\tilde {x}})>0$ oder $f({\tilde {x}})<f(d)$.

Ist $\epsilon =\min\{\epsilon _{1},\epsilon _{2}\}$, so gilt für alle $x\in ]{\tilde {x}}-\epsilon ,{\tilde {x}}+\epsilon [$ mit $x\neq {\tilde {x}}$, dass $f({\tilde {x}})<f(x)$. Also hat $f$ ein strenges Minimum in ${\tilde {x}}$.

Alternativer Beweis (Hinreichende Bedingung für Extrema über Vorzeichenwechsel der Ableitung)

Alternativ kann der Satz auch mit Hilfe des Monotoniekriteriums bewiesen werden. Wir zeigen dies nur für die erste Aussage. Die zweite kann analog bewiesen werden. Wegen $f'(x)>0$ für alle $x\in ]{\tilde {x}}-\epsilon _{1},{\tilde {x}}[$, ist $f$ nach dem Monotoniekriterium streng monoton steigend auf $]{\tilde {x}}-\epsilon _{1},{\tilde {x}}]$. Für alle $x\in ]{\tilde {x}}-\epsilon _{1},{\tilde {x}}[$ gilt daher $f(x)<f({\tilde {x}})$.

Genauso ist folgt aus $f'(x)<0$ für alle $x\in ]{\tilde {x}},{\tilde {x}}+\epsilon _{2}[$, dass $f$ streng monoton fallend auf $[{\tilde {x}},{\tilde {x}}+\epsilon _{2}[$ ist. Für alle $x\in ]{\tilde {x}},{\tilde {x}}+\epsilon _{2}[$ gilt daher $f({\tilde {x}})>f(x)$. Mit $\epsilon =\min\{\epsilon _{1},\epsilon _{2}\}$ erhalten wir $f(x)<f({\tilde {x}})$ für alle $x\in ]{\tilde {x}}-\epsilon ,{\tilde {x}}+\epsilon [\setminus \{{\tilde {x}}\}$. Somit ist ${\tilde {x}}$ ein strenges lokales Maximum von $f$.

Hinweis

Gilt im vorangegangenen Satz nur $f'(x)\geq 0$ beziehungsweise $f'(x)\leq 0$ so gelten die Aussagen nach wie vor. Die Extrema müssen nur nicht mehr zwingend streng sein.

Warnung

Mit dem hinreichenden Kriterium können lediglich lokale Extrema gefunden werden. Ob diese auch globale sind, oder ob es an weiteren Stellen globale Extrema gibt, muss separat untersucht werden.

Beispiel

Beispiel (Überprüfen von Polynomfunktionen auf Extremstellen)

Graph der Funktion $g$

Wir betrachten nun die Polynomfunktion $g:]-2,0[\to \mathbb {R}$ mit $g(x)=x^{3}-3x$. Um die Extremstellen zu finden, leiten wir $g$ zuerst ab. Es gilt

$g'(x)=3x^{2}-3=3(x-1)(x+1)$

Also ist die Ableitung auf dem Intervall $]-2,0[$ nur an der Stelle ${\tilde {x}}=-1$ gleich Null. In unserem Definitionsintervall $]-2,0[$ ist der Faktor $(x-1)$ immer negativ. Im Intervall $]-2,-1[$ ist $(x+1)<0$. Also ist hier $g'(x)=3(x-1)(x+1)>0$. Im Intervall $]-1,0[$ gilt $x+1>0$ und damit folgt $g'(x)=3(x-1)(x+1)<0$.

Laut unserem Satz hat $g$ ein striktes lokales Maximum bei ${\tilde {x}}=-1$.

Verständnisfrage: Besitzt die Polynomfunktion $h:]0,2[\to \mathbb {R} ,\ h(x)=x^{3}-3x$ ein Extremum?

Graph der Funktion $h$

Wieder gilt

$h'(x)=3x^{2}-3=3(x-1)(x+1)$

Die Ableitung hat in $]0,2[$ die Nullstelle ${\hat {x}}=1$. Im Definitionsbereich ist $x+1$ immer positiv. In $]0,1[$ gilt $x-1<0$, und damit $h'(x)<0$. In $]1,2[$ hingegen ist $x-1>0$, und daher $h'(x)>0$. Somit hat $h$ bei ${\hat {x}}=1$ ein strenges lokales Minimum.

Aufgaben

Aufgabe (Extremum einer Funktion)

Zeige, dass für $n\in \mathbb {N}$ die Funktion

$f_{n}:\mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} ,\ f(x)=x^{n}e^{-x}$

ein lokales Maximum und Minimum besitzt, welches ein globales Maximum bzw. Minimum ist.

Lösung (Extremum einer Funktion)

Beweisschritt: $f_{n}$ hat lokales Maximum bei ${\tilde {x}}=n$

$f_{n}$ ist auf $\mathbb {R} ^{+}$ nach der Produktregel differenzierbar mit

$f_{n}'(x)=nx^{n-1}e^{-x}+x^{n}e^{-x}(-1)=x^{n-1}e^{-x}(n-x)$

Nach dem notwendigen Kriterium für die Existenz eines Maximums ${\tilde {x}}\in \mathbb {R} ^{+}$, muss für dieses $f_{n}'({\tilde {x}})=0$ gelten. Nun ist

$f_{n}'(x)=\underbrace {x^{n-1}e^{-x}} _{\neq 0}(n-x)=0\iff n-x=0\iff x=n$

Also ist ${\tilde {x}}=n$ der einzige Kandidat für unser lokales Maximum in $\mathbb {R} ^{+}$. Weiter gilt

$f_{n}'(x)=\underbrace {x^{n-1}e^{-x}} _{>0}(n-x)={\begin{cases}>0&\iff n-x>0\iff x<n,\\<0&\iff n-x<0\iff x>n\end{cases}}$

Damit gilt $f_{n}'(x)>0$ für alle $x\in (0,n)$ und $f_{n}'(x)<0$ für alle $x\in (n,n+1)$. Nach dem hinreichenden Kriterium ist daher ${\tilde {x}}=n$ ein (strenges) lokales Maximum von $f_{n}$.

Beweisschritt: $f_{n}$ hat globales Maximum bei ${\tilde {x}}=n$

Graphen der Funktionen $f_{1},f_{2},f_{3}$

Da $\mathbb {R} ^{+}$ keine Randpunkte hat, kommt nach Teil 1 nur ${\tilde {x}}=n$ für ein globales Maximum von $f_{n}$ in Frage. Wir müssen dafür $f_{n}(x)\leq f_{n}(n)$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{+}$ zeigen. Wegen $f_{n}'(x)>0$ für alle $x\in (0,n)$ ist $f_{n}$ nach dem Monotoniekriterium auf $(0,n]$ streng monoton steigend. Daher gilt für alle $x\in (0,n)$

$f_{n}(x)<f_{n}(n)$

Analog folgt aus $f_{n}'(x)<0$ für alle $x\in (n,\infty )$, dass $f_{n}$ auf $[n,\infty )$ streng monoton fällt. Also ist für alle $x\in (n,\infty )$

$f_{n}(x)<f_{n}(n)\iff f(n)>f(x)$

Insgesamt ist damit $f_{n}(n)\geq f_{n}(x)$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{+}$. Somit ist ${\tilde {x}}=n$ ein globales Maximum von $f_{n}$. Genau wie im ersten Teil können wir außerdem begründen, dass ${\hat {x}}=0$ auch ein globales Minimum von $f_{n}$ ist.

Beweisschritt: $f_{n}$ hat ein globales Minimum bei ${\hat {x}}=0$

Es gilt $f_{n}(0)=0$ und $f_{n}(x)>0$ für alle $x>0$. Also ist ${\hat {x}}=0$ ein globales und damit ein lokales Minimum von $f_{n}$.

Bedingungen sind nicht notwendig

Die Bedingung im vorherigen Satz ist eine hinreichende Bedingung für das Vorliegen einer Extremstelle. Es ist jedoch keine notwendige Bedingung. Es gilt also nicht, dass eine Extremstelle genau dann vorliegt, wenn eine der Bedingungen im vorherigen Satz erfüllt ist. Das zeigen wir mit dem folgenden Beispiel.

Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto {\begin{cases}x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)+2x^{2}&,x\neq 0\\0&,x=0\end{cases}}$

Funktionsgraph von f

Wir haben bereits gesehen, dass die Funktion

$g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto {\begin{cases}x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)&,x\neq 0\\0&,x=0\end{cases}}$

Funktionsgraph von g

differenzierbar ist und

$g':\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto {\begin{cases}2x\cdot \sin \left({\frac {1}{x}}\right)-\cos \left({\frac {1}{x}}\right)&,x\neq 0\\0&,x=0\end{cases}}$

Für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt $f(x)=g(x)+2x^{2}$. Folglich ist auch $f$ differenzierbar mit der Ableitungsfunktion

$f':\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto {\begin{cases}2x\cdot \sin \left({\frac {1}{x}}\right)-\cos \left({\frac {1}{x}}\right)+4x&,x\neq 0\\0&,x=0\end{cases}}$

Für alle $x\neq 0$ ist $\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\geq -1$ und $x^{2}>0$. Somit ist $x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)>-x^{2}$. Folglich ist

$f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)+2x^{2}>-x^{2}+2x^{2}=x^{2}>0$

Es gilt $f(0)=0$ und somit hat die Funktion $f$ an der Stelle $x=0$ ein (globales) Minimum. Als nächstes zeigen wir, dass es kein $b\in \mathbb {R} ^{+}$ gibt, so dass für alle $x\in ]0,b[$ die Ungleich $f'(x)>0$ erfüllt ist. Dazu konstruieren wir eine Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in $\mathbb {R} ^{+}$, die gegen $0$ konvergiert und die Eigenschaft hat, dass für alle $n\in \mathbb {N}$ wir $f'(x_{n})\leq 0$ haben. Wir definieren für alle $n\in \mathbb {N}$

$x_{n}:={\frac {1}{2\pi n}}$

Sei $n\in \mathbb {N}$. Dann gilt

${\begin{aligned}&f'(x_{n})\\[0.3em]=\ &2x_{n}\cdot \sin \left({\frac {1}{x_{n}}}\right)-\cos \left({\frac {1}{x_{n}}}\right)+4x_{n}\\[0.3em]=\ &2{\frac {1}{2\pi n}}\cdot \sin \left({\frac {1}{\tfrac {1}{2\pi n}}}\right)-\cos \left({\frac {1}{\tfrac {1}{2\pi n}}}\right)+4{\frac {1}{2\pi n}}\\[0.3em]=\ &{\frac {1}{\pi n}}\cdot \sin \left(2\pi n\right)-\cos \left(2\pi n\right)+4{\frac {1}{2\pi n}}\\[0.3em]=\ &{\frac {1}{\pi n}}\cdot 0-1+4{\frac {1}{2\pi n}}\\[0.3em]&{\color {Gray}\left\downarrow \ \pi >2\land n\geq 1\implies {\frac {1}{\pi }}<2\land {\frac {1}{n}}\leq 1\right.}\\[0.3em]\leq \ &0-1+4\cdot {\frac {1}{2\cdot 2\cdot 1}}\\[0.3em]=\ &0-1+1\\[0.3em]=\ &0\end{aligned}}$

Hinreichende Bedingung: Vorzeichen der zweiten Ableitung

Satz

Ist $f$ zweimal differenzierbar, so können wir auch das folgende hinreichende Kriterium verwenden:

Satz (Hinreichende Bedingung für Extrema über zweite Ableitung)

Sei $f:(a,b)\to \mathbb {R}$ eine zweimal differenzierbare Abbildung, und gelte $f'({\tilde {x}})=0$ für ein ${\tilde {x}}\in (a,b)$. Dann gilt

1. $f$ hat ein stiktes Maximum in ${\tilde {x}}$, falls $f''({\tilde {x}})<0$ gilt.
2. $f$ hat ein stiktes Minimum in ${\tilde {x}}$, falls $f''({\tilde {x}})>0$ gilt.

Beweis (Hinreichende Bedingung für Extrema über zweite Ableitung)

1.Aussage: $f'({\tilde {x}})=0$, $f''({\tilde {x}})<0$ $\Longrightarrow$ $f$ hat striktes Maximum in ${\tilde {x}}$

Es gilt

$f''({\tilde {x}})=\lim _{x\to {\tilde {x}}}{\frac {f'(x)-f'({\tilde {x}})}{x-{\tilde {x}}}}<0$

Daher gibt es ein $\epsilon >0$, so dass für alle $x\in ]{\tilde {x}}-\epsilon ,{\tilde {x}}+\epsilon [$ gilt:

${\frac {f'(x)-\overbrace {f'({\tilde {x}})} ^{=0}}{x-{\tilde {x}}}}={\frac {f'(x)}{x-{\tilde {x}}}}<0$

Ist nun $x\in ]{\tilde {x}}-\epsilon ,{\tilde {x}}[$, so folgt wegen $x-{\tilde {x}}<0$ unmittelbar $f'(x)>0$. Ist hingegen $x\in ]{\tilde {x}},{\tilde {x}}+\epsilon [$, so folgt wegen $x-{\tilde {x}}>0$, dass $f'(x)<0$ ist. Nach dem ersten hinreichenden Kriterium ist daher ${\tilde {x}}$ ein striktes lokales Maximum von $f$.

2.Aussage: $f'({\tilde {x}})=0$, $f''({\tilde {x}})>0$ $\Longrightarrow$ $f$ hat striktes Minimum in ${\tilde {x}}$

Es gilt

$f''({\tilde {x}})=\lim _{x\to {\tilde {x}}}{\frac {f'(x)-f'({\tilde {x}})}{x-{\tilde {x}}}}>0$

Daher gibt es ein $\epsilon >0$, so dass für alle $x\in ]{\tilde {x}}-\epsilon ,{\tilde {x}}+\epsilon [$ gilt:

${\frac {f'(x)-f'({\tilde {x}})}{x-{\tilde {x}}}}={\frac {f'(x)}{x-{\tilde {x}}}}>0$

Ist nun $x\in ]{\tilde {x}}-\epsilon ,{\tilde {x}}[$, so folgt wegen $x-{\tilde {x}}<0$ die Ungleichung $f'(x)<0$. Außerdem impliziert $x-{\tilde {x}}>0$ für $x\in ]{\tilde {x}},{\tilde {x}}+\epsilon [$, dass dann $f'(x)>0$ gilt. Nach dem ersten hinreichenden Kriterium ist ${\tilde {x}}$ ein striktes lokales Minimum von $f$.

Warnung

Graph der Funktion $f(x)=x^{4}$

Auch dieses hinreichende Kriterium ist nicht notwendig. Da wir es aus dem ersten Kriterium gefolgert hatten, ist es sogar schwächer als dieses. Ein Beispiel dafür ist die Funktion

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=x^{4}$

Wie wir uns weiter oben schon überlegt hatten, bestitzt $f$ bei ${\tilde {x}}=0$ ein striktes lokales Minimum. Das zweite hinreichende Kriterium ist jedoch nicht anwendbar. Es gilt nämlich

$f''({\tilde {x}})=12{\tilde {x}}^{2}=12\cdot 0^{2}=0$

Abhilfe schafft hier eine Erweiterung des zweiten hinreichenden Kriteriums, welches wir später diskutieren werden.

Beispiel und Übungsaufgabe

Beispiel (Überprüfen von Polynomfunktionen auf Extremstellen)

Graph der Funktion $g$

Wir betracheten wieder die Polynomfunktion $g:(-2,0)\to \mathbb {R}$ mit $g(x)=x^{3}-3x$. Wie wir bereits wissen gilt

$g'(x)=3x^{2}-3=3(x-1)(x+1)$

Damit gilt $g'(x)=0\iff x=-1$ auf $(-2,0)$. Weiter ist

$f''(x)=6x$

und daher $g''(-1)=-6<0$. Also hat $g$ ein striktes lokales Maximum bei ${\tilde {x}}=-1$.

Aufgabe (Bestimmung von Extrema einer Funktion)

Gegeben sei die Funktion

$f:\left[-{\tfrac {1}{2}},\infty \right)\to \mathbb {R} ,\ f(x)={\tfrac {3}{2}}x^{2}-4x-{\tfrac {4}{x+1}}$

Bestimme alle lokalen und globalen Extrema von $f$.

Lösung (Bestimmung von Extrema einer Funktion)

Schritt 1: Bestimmung der lokalen Extrema von $f$

$f$ ist auf $\left(-{\tfrac {1}{2}},\infty \right)$ differenzierbar mit

$f'(x)=3x-4+{\tfrac {4}{(x+1)^{2}}}$

Für lokale Extrema in $\left(-{\tfrac {1}{2}},\infty \right)$ muss nun notwendigerweise $f(x)=0$ gelten. Nun ist

${\begin{aligned}f(x)=0&\iff 3x-4+{\tfrac {4}{(x+1)^{2}}}=0\\&\iff 3x(x+1)^{2}-4(x+1)^{2}+4=0\\&\iff 3x(x^{2}+2x+1)-4(x^{2}+2x+1)+4=0\\&\iff 3x^{3}+6x^{2}+3x-4x^{2}-8x-4+4=0\\&\iff 3x^{3}+2x^{2}-5x=0\\&\iff 3x\left(x^{2}+{\tfrac {2}{3}}x-{\tfrac {5}{3}}\right)=0\\&\iff 3x\left(x+{\tfrac {5}{3}}\right)(x-1)=0\end{aligned}}$

Diese Gleichung ist in $\left(-{\tfrac {1}{2}},\infty \right)$ für $x_{1}=0$ und $x_{2}=1$ erfüllt. Also sind $x_{1}$ und $x_{2}$ Kandidaten für lokale Extrema. $f$ ist auf $\left(-{\tfrac {1}{2}},\infty \right)$ auch zweimal differenzierbar, mit

$f''(x)=3-{\tfrac {8}{(x+1)^{3}}}$

Damit gilt

$f''(0)=3-{\tfrac {8}{1}}=3-8=-5<0$

Nach unserem zweiten Kriterium hat $f$ bei $x_{1}=0$ ein striktes lokales Maximum. Außerdem ist

$f''(1)=3-{\tfrac {8}{2^{3}}}=3-1=2>0$

Also hat $f$ bei $x_{2}=1$ ein striktes lokales Minimum. Nun müssen wir noch den Randpunkt $x_{3}=-{\tfrac {1}{2}}$ untersuchen, denn dort greifen unsere Kriterien nicht! Da $f$ in $x_{1}=0$ ein lokales Maximum hat, und auf $\left[-{\tfrac {1}{2}},0\right)$ keine weiteren Nullstellen von $f'$ liegen, ist $f$ auf $\left(-{\tfrac {1}{2}},0\right)$ streng monoton fallend. Also gilt $f\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)<f(x)$ für alle $x\in \left(-{\tfrac {1}{2}},0\right)$. Daher hat $f$ in $x_{3}=-{\tfrac {1}{2}}$ ein striktes lokales Minimum.

Schritt 2: Bestimmung der globalen Extrema von $f$

Graph der Funktion $f$

Aus dem ersten Beweisschritt ergibt sich die folgende Monotonietabelle für $f$:

${\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x\in &(-{\tfrac {1}{2}},0)&(0,1)&(1,\infty )\\\hline f&{\text{sms}}&{\text{smf}}&{\text{sms}}\\\hline \end{array}}$

Weiter gilt $f(-{\tfrac {1}{2}})=-5{\tfrac {5}{8}}<-4{\tfrac {1}{2}}=f(1)$. Damit ist $x_{3}=-{\tfrac {1}{2}}$ ein globales Minimum von $f$. Schließlich ist

${\begin{aligned}\lim _{x\to \infty }f(x)&=\lim _{x\to \infty }{\tfrac {3}{2}}x^{2}-4x-{\tfrac {4}{x+1}}\\[0.3em]&=\lim _{x\to \infty }\underbrace {x^{2}} _{\to \infty }\cdot \underbrace {\left({\tfrac {3}{2}}-{\tfrac {4}{x}}-{\tfrac {4}{x^{2}(x+1)}}\right)} _{\to {\tfrac {3}{2}}}=\infty \end{aligned}}$

Also ist $f$ nach oben unbeschränkt und besitzt somit kein globales Maximum.

Erweitertes hinreichendes Kriteriums

Das Problem bei Funktionen wie $f(x)=x^{4}$ ist, dass $f''(0)=12\cdot 0^{2}=0$ ist und somit die zweite Ableitung verschwindet. Wir können dann nicht mit Hilfe der zweiten Ableitung entscheiden, ob und welche Art eines Extremas vorliegt. Leiten wir $f$ nun zwei weitere Male ab, so erhalten wir $f^{(4)}(0)=12>0$. Die Frage ist nun, ob wir daraus, analog zum zweiten Kriterium, folgern können, dass $f$ in ${\tilde {x}}=0$ ein striktes lokales Minimum hat?

Die Antwort ist „ja“ – jedoch müssen wir etwas beachten: Betrachten wir hierzu das Beispiel $g(x)=x^{3}$. Dieses hat, im Gegensatz zu $f$ in ${\tilde {x}}=0$ kein Extremum, sondern einen Sattelpunkt. Und dies obwohl für die dritte Ableitung ebenfalls $g^{(3)}(0)=6>0$ gilt. Der Unterschied ist, dass hier die Ordnung der ersten Ableitung, die ungleich Null ist, gleich $3$ und damit ungerade ist. Bei $f(x)=x^{4}$ war sie hingegen $4$, also gerade. Berücksichtigen wir dies, so können wir folgendes Kriterium herleiten:

Satz (Hinreichendes Kriterium 2b für lokale Extrema)

Sei $f:]a,b[\to \mathbb {R}$ eine $n$-mal differenzierbare Abbildung ($n\in \mathbb {N}$), und $f^{(n)}$ sei stetig in ${\tilde {x}}\in ]a,b[$. Weiter gelte

${\begin{aligned}f'({\tilde {x}})&=f''({\tilde {x}})=\ldots =f^{(n-1)}({\tilde {x}})=0\\f^{(n)}({\tilde {x}})&\neq 0\end{aligned}}$

Es gilt dann:

• Ist $n$ gerade, so hat $f$ im Fall $f^{(n)}({\tilde {x}})<0$ in ${\tilde {x}}$ ein striktes lokales Maximum. Falls $f^{(n)}({\tilde {x}})>0$ ist, besitzt $f$ ein striktes lokales Minimum.
• Ist $n$ ungerade, so hat $f$ in ${\tilde {x}}$ einen Sattelpunkt.

Zusammenfassung des Beweises (Hinreichendes Kriterium 2b für lokale Extrema)

Für den Beweis benötigen wir für $f$ die Taylor-Formel bis zur Ordnung $n-1$ mit der Lagrange-Restglieddarstellung

$f(x)=f({\tilde {x}})+{\frac {f'({\tilde {x}})}{1!}}(x-{\tilde {x}})^{1}+{\frac {f''({\tilde {x}})}{2!}}(x-{\tilde {x}})^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n-1)}({\tilde {x}})}{(n-1)!}}(x-{\tilde {x}})^{n-1}+{\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}(x-{\tilde {x}})^{n}$

Beweis (Hinreichendes Kriterium 2b für lokale Extrema)

Beweis Teil 1: $f^{(n)}({\tilde {x}})<0$ und $n$ gerade $\Longrightarrow$ $f$ hat in ${\tilde {x}}$ striktes lokales Maximum

Da $f^{(n)}$ stetig in ${\tilde {x}}$ ist gibt es ein $\delta >0$, so dass

$f^{(n)}(x)<0$ für $x\in ]{\tilde {x}}-\delta ,{\tilde {x}}+\delta [$

Nach dem Satz von Taylor gibt es nun zu jedem $x\in ]{\tilde {x}}-\delta ,{\tilde {x}}+\delta [$ ein $\xi \in ]x,{\tilde {x}}[$ (bzw. $\xi \in ]{\tilde {x}},x[$) mit

$f(x)=\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {f^{(k)}({\tilde {x}})}{k!}}(x-{\tilde {x}})^{k}+{\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}(x-{\tilde {x}})^{n}$

Wegen $f'({\tilde {x}})=f''({\tilde {x}})=\ldots =f^{(n-1)}({\tilde {x}})=0$ folgt daraus

$f(x)=f({\tilde {x}})+\underbrace {\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}} _{<0}\underbrace {(x-{\tilde {x}})^{n}} _{\geq 0}<f({\tilde {x}})$

Ist $x\neq {\tilde {x}}$, so ist $(x-{\tilde {x}})^{n}>0$, und damit gilt sogar $f(x)<f({\tilde {x}})$ für alle $x\in ]{\tilde {x}}-\delta ,{\tilde {x}}+\delta [\setminus \{{\tilde {x}}\}$. Also hat $f$ in ${\tilde {x}}$ ein striktes lokales Maximum. Der Beweis, dass $f$ in ${\tilde {x}}$ ein striktes lokales Minimum hat, falls $f^{(n)}({\tilde {x}})>0$ ist geht ganz analog.

Beweis Teil 2: $f^{(n)}({\tilde {x}})>0$ und $n$ ungerade $\Longrightarrow$ $f$ hat in ${\tilde {x}}$ einen Sattelpunkt

Wie im Beweis von Teil 1 gilt, wegen $f'({\tilde {x}})=f''({\tilde {x}})=\ldots =f^{(n-1)}({\tilde {x}})=0$ und dem Satz von Taylor:

$f(x)=f({\tilde {x}})+{\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}(x-{\tilde {x}})^{n}$

für ein $\xi \in ]x,{\tilde {x}}[$ (bzw. $\xi \in ]{\tilde {x}},x[$). Da nun aber $n$ ungerade ist, gilt $(x-{\tilde {x}})^{n}>0$ falls $x>{\tilde {x}}$, und $(x-{\tilde {x}})^{n}<0$ falls $x<{\tilde {x}}$. Ist daher $f^{(n)}({\tilde {x}})>0$, so gilt $f(x)>f({\tilde {x}})$ für $x>{\tilde {x}}$ und $f(x)<f({\tilde {x}})$ für $x<{\tilde {x}}$. Ist $f^{(n)}({\tilde {x}})<0$, so gelten die Ungleichungen genau umgekehrt. In allen Fällen ist ${\tilde {x}}$ somit ein Sattelpunkt.