Ableitung und lokale Extrema – Mathe für Nicht-Freaks

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In diesem Kapitel werden wir mit Hilfe der Ableitung notwendige und hinreichende Kriterien für die Existenz von Extrema herleiten. In der Schule wird häufig der Satz verwendet, dass eine Funktion notwendigerweise erfüllen muss, damit in ein (lokales) Extremum hat. Wechselt die Ableitungsfunktion in zusätzlich noch das Vorzeichen, so folgt aus dieser Bedingung die Existenz eines Extremums. Der Vorzeichenwechsel der Ableitung ist damit ein hinreichendes Kriterium für die Ableitung. Diese und weitere Folgerungen werden wir nun herleiten, und an Hand zahlreicher Beispiele veranschaulichen. Zunächst werden wir jedoch sauber definieren, welche Art von Extrema es gibt.

Typen von Extrema[Bearbeiten]

Eine Funktion kann zunächst einmal zwei Typen eines Extremums haben: Ein Maximum oder ein Minimum. Dieses kann wiederum lokal oder global sein. Wie die Bezeichnungen schon vermuten lassen, ist ein lokales Minimum beispielsweise ein Wert , der „lokal minimal“ ist. In einer Umgebung von gilt also . Sprich: Es gibt ein Intervall um , so dass für alle Argumente gilt, die in liegen. Ein globales Maximum hingegen ist ein Wert , der „global maximal“ ist. Das heißt, für alle Argumente aus dem gesamten Definitionsbereich muss gelten. Diese intuitive Vorstellung ist in folgender Skizze veranschaulicht:

Charakterisierung lokaler und globaler Extrema

Bei lokalen Extrema wird außerdem noch zwischen strikten und nicht strikten unterschieden. Ein striktes lokales Minimum beispielsweise ist eines, das lokal nur „strikt“ in einem Punkt angenommen wird. Ein nicht striktes Extremum kann auf einem ganzen Teilintervall angenommen werden.

Charakterisierung strikter lokaler Extrema

Die intuitiv erklärten Begriffe definieren wir nun formal:

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Definition (Extrema)

Sei und eine Funktion. Dann hat in ein

  • lokales Maximum bzw. Minimum, falls es ein gibt, so dass (bzw. ) für alle mit gilt.
  • striktes lokales Maximum bzw. Minimum, falls es ein gibt, so dass (bzw. ) für alle mit gilt.
  • globales Maximum bzw. Minimum, falls (bzw. ) für alle gilt

Extremum ist der Überbegriff für ein Maximum oder Minimum. heißt Maximal- oder Minimalstelle.

Ein lokales Maximum/Minimum wird in der Literatur auch gelegentlich als relatives Maximum/Minimum, und ein striktes Maximum/Minimum als isoliertes Maximum/Minimum bezeichnet. Mit der Definition ist außerdem klar, dass jedes globale Extremum auch ein lokales ist. Ebenso ist jedes strikte lokale Extremum auch eines im gewöhnlichen Sinne. Im Folgenden wollen wir mit Hilfe der Ableitung notwendige und hinreichende Bedingungen für (strikte) lokale Extrema bestimmen. Zur Charakterisierung globaler Extrema reichen unsere Kriterien leider nicht aus.

Verständnisfrage: Betrachte die Funktionen

Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch?

  1. hat in ein lokales Minimum.
  2. hat in ein striktes lokales Minimum.
  3. hat in ein globales Minimum.
  4. hat in ein globales Maximum.
  5. hat in ein lokales Maximum.
  6. hat in ein striktes lokales Maximum.
  7. hat in ein lokales Maximum.
  8. hat in ein globales Minimum.
  9. hat in ein lokales Minimum.

Graph der Funktion mit Extrema
Graph der Funktion mit Extrema

Lösungen:

  1. Richtig. Denn für gilt für alle mit .
  2. Richtig. Denn für gilt für alle mit .
  3. Richtig. Denn für alle gilt .
  4. Falsch. Denn beispielsweise für gilt .
  5. Richtig. Denn für alle gilt . Also hat bei ein globales, und daher auch ein lokales Maximum.
  6. Falsch. Denn für alle und alle gilt .
  7. Richtig. Denn für gilt für alle mit .
  8. Richtig. Denn für alle gilt .
  9. Falsch. Denn für alle gibt es ein mit .

Notwendige Bedingung für Extrema[Bearbeiten]

Satz und Beweis[Bearbeiten]

Damit eine Funktion an einer Stelle im Inneren Ihres Definitionsbereichs ein lokales Extremum haben kann, muss die Funktion dort eine waagrechte Tangente besitzen. Das heißt, die Ableitung an dieser Stelle muss gleich Null sein. Genau dies besagt der folgende Satz:

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Satz (Notwendige Bedingung für Extrema)

Sei mit . Sei und in differenzierbar. Sei weiter ein lokales Minimum (bzw. Maximum). Dann gilt .

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Beweis (Notwendige Bedingung für Extrema)

Wir betrachten den Fall, dass bei ein lokales Minimum hat. Der Beweis im Fall eines lokalen Maximums geht analog. Wir wollen zeigen, dass

Da in differenzierbar ist, gilt

Da in ein lokales Minimum hat, gibt es ein , so dass für alle gilt

Also ist auch

Aus den Grenzwertregeln folgt

Andererseits gibt es ein , so dass für alle gilt

Aus den Grenzwertregeln folgt dann

Also ist und daher .

Beispiele[Bearbeiten]

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Beispiel (Quadratische Potenzfunktion)

Graph der Funktion mit Extrema

Die Funktion hat bei ein lokales (sogar globales) Minimum. Da ist, gilt nach dem notwendigen Kriterium folgerichtig .

Liegt ein Extremum in einem Randpunkt vor, so muss die Bedingung in diesem Punkt nicht erfüllt sein! So ist ein lokales Maximum. Es gilt aber .

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Beispiel (Kubische Potenzfunktion)

Graph der Function mit Sattelpunkt bei

Die notwendige Bedingung ist nicht nicht hinreichend. Aus folgt also nicht zwangsweise, dass in ein Extremum besitzt. Ein Beispiel dafür ist die Funktion mit . Denn es gilt und damit . hat aber bei kein Extremum, denn für alle gilt und für alle gilt . Der Nullpunkt ist in diesem Fall ein sogenannter Terrassen- oder Sattelpunkt.

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Beispiel (Sinusfunktion)

Graph der Sinusfunktion mit Extrema

Natürlich kann die Bedingung auch an unendlich vielen Stellen einer Funktion erfüllt sein. Ein Beispiel dafür ist die Sinusfunktion . Es gilt

Weiter gilt , sowie

und

Daher hat in mit lokale Maxima, und in mit lokale Minima.

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Beispiel (Exponentialfunktion)

Exponentialfunktion ohne Extrema

Schließlich kann auch der Fall für alle vorkommen. Betrachten wir hierzu die Exponential funktion . Dann gilt für alle :

Da Randextrema auch nicht möglich sind, folgt aus unserem Kriterium, dass die Exponentialfunktion keine (lokalen) Extrema besitzt.

Übungsaufgaben[Bearbeiten]

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Aufgabe (Lokale Extrema von Funktionen)

Untersuche ob folgende Funktionen lokale Extrema besitzen:

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Lösung (Lokale Extrema von Funktionen)

Lösung Teilaufgabe 1:

Es gilt

Da außerdem für alle , ist ein lokales (sogar globales) Minimum von .

Lösung Teilaufgabe 2:

Hier gilt für alle

Daher hat keine Extrema.

Lösung Teilaufgabe 3:

Schließlich gilt

Weiter gilt , sowie

und

Daher hat in , lokale Maxima, und in , lokale Minima.

Anwendung: Zwischenwerteigenschaft für Ableitungen[Bearbeiten]

Wir haben in den vergangenen Abschnitten bereits festgestellt, dass die Ableitungsfunktion einer differenzierbaren Funktion nicht zwingend stetig sein muss. Ein Beispiel hierfür ist folgende Funktion, die wir im Kapitel „Ableitung höherer Ordnung“ kennen gelernt haben:

Allerdings kann man zeigen, dass die Ableitungsfunktion immer die Zwischenwerteigenschaft erfüllt. Dass dies kein Widerspruch ist, liegt daran, dass die Stetigkeit eine stärkere Eigenschaft als die Zwischenwerteigenschaft ist. Zum Beweis werden wir unser notwendiges Kriterium aus dem vorangegangenen Satz verwenden. Dieses Resultat ist in der Literatur auch als „Satz von Darboux“ bekannt:

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Satz (Satz von Darboux)

Sei differenzierbar. Weiter sei und . Dann existiert ein mit .

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Beweis (Satz von Darboux)

Wir definieren die Hilfsfunktion

Diese ist differenzierbar mit

Damit gilt und . Also ist

Somit gibt es ein mit

Da der Nenner positiv ist, folgt . Analog gibt es ein mit . Nach dem Satz vom Minimum und Maximum nimmt auf ein Minimum an. Da wir gezeigt haben, dass es mit und , muss das Minimum in liegen. Sei die Minimalstelle. Nach unserem notwendigen Kriterium für ein Extremum muss nun gelten

Daraus folgt .

Hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel der Ableitung[Bearbeiten]

Satz[Bearbeiten]

Bei vielen Funktionen ist es sehr mühsam, nur mit der notwendigen Bedingung festzustellen, ob in ein Extremum hat. Daher suchen wir nun hinreichende Bedingungen dafür. Eine Möglichkeit ist, die Umgebung der möglichen Extremstelle zu untersuchen. Wenn die Funktion links von steigt und rechts fällt, gibt es ein Maximum. Wenn die Funktion erst fällt und dann steigt gibt es ein Minimum.

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Satz (Hinreichende Bedingung für Extrema über Vorzeichenwechsel der Ableitung)

Sei und eine differenzierbare Abbildung. Und gelte für ein . Dann gilt

  1. hat ein strenges Maximum in , wenn es gibt, so dass für alle gilt und für alle gilt .
  2. hat ein strenges Minimum in , wenn es gibt, so dass für alle gilt und für alle gilt .
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Beweis (Hinreichende Bedingung für Extrema über Vorzeichenwechsel der Ableitung)

Für den Beweis nutzen wir den Mittelwertsatz:

Beweisschritt: hat strenges Maximum in

Veranschaulichung bei lokalem Maximum

Sei beliebig. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein , so dass . Da nach unserer Voraussetzung ist und , gilt bzw. .

Außerdem gibt es für alle ein , so dass . Wir wissen, dass und ist. Also folgt oder .

Ist , so gilt für alle mit , dass . Damit hat in ein strenges Maximum.

Beweisschritt: hat strenges Minimum in

Veranschaulichung bei lokalem Minimum

Der Beweis geht analog zum 1. Fall: Für alle gibt es laut Mittelwertsatz ein mit . Es gilt aber und und damit folgt bzw. .

Es gilt auch für alle , dass es ein gibt, so dass . Weil aber gilt und , folgt auch oder .

Ist , so gilt für alle mit , dass . Also hat ein strenges Minimum in .

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Alternativer Beweis (Hinreichende Bedingung für Extrema über Vorzeichenwechsel der Ableitung)

Alternativ kann der Satz auch mit Hilfe des Monotoniekriteriums bewiesen werden. Wir zeigen dies nur für die erste Aussage. Die zweite kann analog bewiesen werden. Wegen für alle , ist nach dem Monotoniekriterium streng monoton steigend auf . Für alle gilt daher .

Genauso ist folgt aus für alle , dass streng monoton fallend auf ist. Für alle gilt daher . Mit erhalten wir für alle . Somit ist ein strenges lokales Maximum von .

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Hinweis

Gilt im vorangegangenen Satz nur beziehungsweise so gelten die Aussagen nach wie vor. Die Extrema müssen nur nicht mehr zwingend streng sein.

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Warnung

Mit dem hinreichenden Kriterium können lediglich lokale Extrema gefunden werden. Ob diese auch globale sind, oder ob es an weiteren Stellen globale Extrema gibt, muss separat untersucht werden.

Beispiel[Bearbeiten]

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Beispiel (Überprüfen von Polynomfunktionen auf Extremstellen)

Graph der Funktion

Wir betrachten nun die Polynomfunktion mit . Um die Extremstellen zu finden, leiten wir zuerst ab. Es gilt

Also ist die Ableitung auf dem Intervall nur an der Stelle gleich Null. In unserem Definitionsintervall ist der Faktor immer negativ. Im Intervall ist . Also ist hier . Im Intervall gilt und damit folgt .

Laut unserem Satz hat ein striktes lokales Maximum bei .

Verständnisfrage: Besitzt die Polynomfunktion ein Extremum?

Graph der Funktion

Wieder gilt

Die Ableitung hat in die Nullstelle . Im Definitionsbereich ist immer positiv. In gilt , und damit . In hingegen ist , und daher . Somit hat bei ein strenges lokales Minimum.

Aufgaben[Bearbeiten]

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Aufgabe (Extremum einer Funktion)

Zeige, dass für die Funktion

ein lokales Maximum und Minimum besitzt, welches ein globales Maximum bzw. Minimum ist.

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Lösung (Extremum einer Funktion)

Beweisschritt: hat lokales Maximum bei

ist auf nach der Produktregel differenzierbar mit

Nach dem notwendigen Kriterium für die Existenz eines Maximums , muss für dieses gelten. Nun ist

Also ist der einzige Kandidat für unser lokales Maximum in . Weiter gilt

Damit gilt für alle und für alle . Nach dem hinreichenden Kriterium ist daher ein (strenges) lokales Maximum von .

Beweisschritt: hat globales Maximum bei

Graphen der Funktionen

Da keine Randpunkte hat, kommt nach Teil 1 nur für ein globales Maximum von in Frage. Wir müssen dafür für alle zeigen. Wegen für alle ist nach dem Monotoniekriterium auf streng monoton steigend. Daher gilt für alle

Analog folgt aus für alle , dass auf streng monoton fällt. Also ist für alle

Insgesamt ist damit für alle . Somit ist ein globales Maximum von . Genau wie im ersten Teil können wir außerdem begründen, dass auch ein globales Minimum von ist.

Beweisschritt: hat ein globales Minimum bei

Es gilt und für alle . Also ist ein globales und damit ein lokales Minimum von .

Bedingungen sind nicht notwendig[Bearbeiten]

Die Bedingung im vorherigen Satz ist eine hinreichende Bedingung für das Vorliegen einer Extremstelle. Es ist jedoch keine notwendige Bedingung. Es gilt also nicht, dass eine Extremstelle genau dann vorliegt, wenn eine der Bedingungen im vorherigen Satz erfüllt ist. Das zeigen wir mit dem folgenden Beispiel.

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Beispiel

Wir betrachten die Funktion

Funktionsgraph von f

Wir haben bereits gesehen, dass die Funktion

Funktionsgraph von g

differenzierbar ist und

Für alle gilt . Folglich ist auch differenzierbar mit der Ableitungsfunktion

Für alle ist und . Somit ist . Folglich ist

Es gilt und somit hat die Funktion an der Stelle ein (globales) Minimum. Als nächstes zeigen wir, dass es kein gibt, so dass für alle die Ungleich erfüllt ist. Dazu konstruieren wir eine Folge in , die gegen konvergiert und die Eigenschaft hat, dass für alle wir haben. Wir definieren für alle

Sei . Dann gilt

Hinreichende Bedingung: Vorzeichen der zweiten Ableitung[Bearbeiten]

Satz[Bearbeiten]

Ist zweimal differenzierbar, so können wir auch das folgende hinreichende Kriterium verwenden:

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Satz (Hinreichende Bedingung für Extrema über zweite Ableitung)

Sei eine zweimal differenzierbare Abbildung, und gelte für ein . Dann gilt

  1. hat ein stiktes Maximum in , falls gilt.
  2. hat ein stiktes Minimum in , falls gilt.
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Beweis (Hinreichende Bedingung für Extrema über zweite Ableitung)

1.Aussage: , hat striktes Maximum in

Es gilt

Daher gibt es ein , so dass für alle gilt:

Ist nun , so folgt wegen unmittelbar . Ist hingegen , so folgt wegen , dass ist. Nach dem ersten hinreichenden Kriterium ist daher ein striktes lokales Maximum von .

2.Aussage: , hat striktes Minimum in

Es gilt

Daher gibt es ein , so dass für alle gilt:

Ist nun , so folgt wegen die Ungleichung . Außerdem impliziert für , dass dann gilt. Nach dem ersten hinreichenden Kriterium ist ein striktes lokales Minimum von .

Achtung.svg

Warnung

Graph der Funktion

Auch dieses hinreichende Kriterium ist nicht notwendig. Da wir es aus dem ersten Kriterium gefolgert hatten, ist es sogar schwächer als dieses. Ein Beispiel dafür ist die Funktion

Wie wir uns weiter oben schon überlegt hatten, bestitzt bei ein striktes lokales Minimum. Das zweite hinreichende Kriterium ist jedoch nicht anwendbar. Es gilt nämlich

Abhilfe schafft hier eine Erweiterung des zweiten hinreichenden Kriteriums, welches wir später diskutieren werden.

Beispiel und Übungsaufgabe[Bearbeiten]

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Beispiel (Überprüfen von Polynomfunktionen auf Extremstellen)

Graph der Funktion

Wir betracheten wieder die Polynomfunktion mit . Wie wir bereits wissen gilt

Damit gilt auf . Weiter ist

und daher . Also hat ein striktes lokales Maximum bei .

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Aufgabe (Bestimmung von Extrema einer Funktion)

Gegeben sei die Funktion

Bestimme alle lokalen und globalen Extrema von .

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Lösung (Bestimmung von Extrema einer Funktion)

Beweisschritt: Bestimmung der lokalen Extrema von

ist auf differenzierbar mit

Für lokale Extrema in muss nun notwendigerweise gelten. Nun ist

Diese Gleichung ist in für und erfüllt. Also sind und Kandidaten für lokale Extrema. ist auf auch zweimal differenzierbar, mit

Damit gilt

Nach unserem zweiten Kriterium hat bei ein striktes lokales Maximum. Außerdem ist

Also hat bei ein striktes lokales Minimum. Nun müssen wir noch den Randpunkt untersuchen, denn dort greifen unsere Kriterien nicht! Da in ein lokales Maximum hat, und auf keine weiteren Nullstellen von liegen, ist auf streng monoton fallend. Also gilt für alle . Daher hat in ein striktes lokales Minimum.

Beweisschritt: Bestimmung der globalen Extrema von

Graph der Funktion

Aus dem ersten Beweisschritt ergibt sich die folgende Monotonietabelle für :

Weiter gilt . Damit ist ein globales Minimum von . Schließlich ist

Also ist nach oben unbeschränkt und besitzt somit kein globales Maximum.

Erweitertes hinreichendes Kriteriums[Bearbeiten]

Das Problem bei Funktionen wie ist, dass ist und somit die zweite Ableitung verschwindet. Wir können dann nicht mit Hilfe der zweiten Ableitung entscheiden, ob und welche Art eines Extremas vorliegt. Leiten wir nun zwei weitere Male ab, so erhalten wir . Die Frage ist nun, ob wir daraus, analog zum zweiten Kriterium, folgern können, dass in ein striktes lokales Minimum hat?

Die Antwort ist „ja“ – jedoch müssen wir etwas beachten: Betrachten wir hierzu das Beispiel . Dieses hat, im Gegensatz zu in kein Extremum, sondern einen Sattelpunkt. Und dies obwohl für die dritte Ableitung ebenfalls gilt. Der Unterschied ist, dass hier die Ordnung der ersten Ableitung, die ungleich Null ist, gleich und damit ungerade ist. Bei war sie hingegen , also gerade. Berücksichtigen wir dies, so können wir folgendes Kriterium herleiten:

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Satz (Hinreichendes Kriterium 2b für lokale Extrema)

Sei eine -mal differenzierbare Abbildung (), und sei stetig in . Weiter gelte

Es gilt dann:

  • Ist gerade, so hat im Fall in ein striktes lokales Maximum. Falls ist, besitzt ein striktes lokales Minimum.
  • Ist ungerade, so hat in einen Sattelpunkt.
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Zusammenfassung des Beweises (Hinreichendes Kriterium 2b für lokale Extrema)

Für den Beweis benötigen wir für die Taylor-Formel bis zur Ordnung mit der Lagrange-Restglieddarstellung

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Beweis (Hinreichendes Kriterium 2b für lokale Extrema)

Beweisschritt: und gerade hat in striktes lokales Maximum

Da stetig in ist gibt es ein , so dass für . Nach dem Satz von Taylor gibt es nun zu jedem ein (bzw. ) mit

Wegen folgt daraus

Ist , so ist , und damit gilt sogar für alle . Also hat in ein striktes lokales Maximum. Der Beweis, dass in ein striktes lokales Minimum hat, falls ist geht ganz analog.

Beweisschritt: und ungerade hat in einen Sattelpunkt

Wie im Beweis von Teil 1 gilt, wegen und dem Satz von Taylor:

für ein (bzw. ). Da nun aber ungerade ist, gilt falls , und falls . Ist daher , so gilt für und für . Ist , so gelten die Ungleichungen genau umgekehrt. In allen Fällen ist somit ein Sattelpunkt.