Aufgaben zur Ableitung 1 – Mathe für Nicht-Freaks

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Ableitung mit Differentialquotient berechnen[Bearbeiten]

Aufgaben zum Kapitel Ableitung und Differenzierbarkeit[Bearbeiten]

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Aufgabe (Differenzierbare Potenzfunktion)

Zeige, dass die Potenzfunktion an der Stelle differenzierbar ist, und berechne dort die Ableitung. Wie lautet die Ableitung von an einer beliebigen Stelle ?

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Lösung (Differenzierbare Potenzfunktion)

Der Differentialquotient von an der Stelle lautet

Also ist an der Stelle differenzierbar, mit Ableitung . Für ein allgemeines gilt

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Aufgabe (Ableitung einer Produkt-Funktion)

Sei definiert durch

Bestimme .

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Lösung (Ableitung einer Produkt-Funktion)

Es gilt

Dabei haben wir bei benutzt, dass stetig ist als Produkt der stetigen Funktionen für .

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Aufgabe (Ableitung einer Funktion mit Fallunterscheidung)

Untersuche, ob die folgenden Funktionen in differenzierbar sind.

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Lösung (Ableitung einer Funktion mit Fallunterscheidung)

Teilaufgabe 1: Da , genau wie , für sehr schnell zwischen und osziliert, ist zu erwarten, dass in nicht stetig ist. Dazu betrachten wir die Nullfolgen und . Für diese gilt

und

Also existiert nicht. Nach dem Folgenkriterium ist daher im Nullpunkt nicht stetig, und damit auch nicht differenzierbar.

Teilaufgabe 2: Die Funktion ist nach dem Folgenkriterium, wegen , im Nullpunkt stetig. Also betrachten wir den Differentialquotienten. Für diesen gilt

In Teilaufgabe 1 hatten wir gezeigt, dass dieser Grenzwert nicht existiert. Damit ist auch in null nicht differenzierbar.

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Aufgabe (Kriterium für Nicht-Differenzierbarkeit einer allgemeinen Funktion in null)

Sei . Zeige: Gilt für ein und , so ist in null nicht differenzierbar.

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Lösung (Kriterium für Nicht-Differenzierbarkeit einer allgemeinen Funktion in null)

Es gilt

wegen

Daher existiert nicht.

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Aufgabe (Bestimmung von Grenzwerten mit Differentialquotienten)

Sei in differenzierbar. Zeige die folgenden Grenzwerte

  1. für
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Wie kommt man auf den Beweis? (Bestimmung von Grenzwerten mit Differentialquotienten)

Da in differenzierbar ist, gilt

und

Außerdem wissen wir aus den Aufgaben im Kapitel Ableitung und Differenzierbarkeit, dass gilt

Die Idee ist es nun die Grenzwerte so umzuformen, dass wir sie mit Hilfe der Differentialquotienten berechnen können.

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Lösung (Bestimmung von Grenzwerten mit Differentialquotienten)

Teilaufgabe 1: Wegen gilt auch . Damit ist

Teilaufgabe 2: Mit und gilt auch und . Daher ist

Teilaufgabe 3: Hier benötigen wir den „ursprünglichen“ Differenrentialquotienten . Mit diesem gilt

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Aufgabe (Folgerung aus Differenzierbarkeit)

Sei in differenzierbar. Weiter seien und Folgen mit für alle , sowie . Zeige: Dann gilt

Zusatzfrage: Gilt auch die umgekehrte Aussage: Existiert der Grenzwert mit Folgen und wie oben, so ist in differenzierbar, und ist gleich diesem Grenzwert.

Hinweis: Zeige zunächst

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Lösung (Folgerung aus Differenzierbarkeit)

Es gilt

Da nun das Produkt aus einer beschränkten Folge und einer Nullfolge gegen null konvergiert, gilt mit den Rechenregeln für Folgen

Zur Zusatzfrage: Die Umkehrung ist falsch. Betrachten wir die in nicht stetige (und damit nicht differenzierbare) Funktion

Dann gilt für alle Nullfolgen und mit :

Aufgaben zum Kapitel Beispiele von Ableitungen[Bearbeiten]

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Aufgabe (Ableitung von linearen und quadraischen Funktionen)

Bestimme direkt mit der Definition die Ableitung einer linearen Funktion

und einer quadratischen Funktion

mit .

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Lösung (Ableitung von linearen und quadraischen Funktionen)

1. Lineare Funktion: Für gilt

2. Quadratische Funktion: Für gilt

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Aufgabe (Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion)

Berechne die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion

direkt mit Hilfe des Differentialquotienten.

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Lösung (Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion)

1.Möglichkeit: Standardmethode

Für gilt

Nun gilt für die Ungleichung

Vertauschen wir die Rollen von und , so gilt

Da nun die linke und die rechte Seite der Ungleichung für gegen konvergieren, folgt aus dem Einschnürungssatz

2.Möglichkeit: -Methode

Für gilt

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Aufgabe (Berechnung der Ableitung der hyperbolischen Funktionen und )

Bestimme die Ableitung der folgenden Funktionen mithilfe des Differentialquotienten

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Lösung (Berechnung der Ableitung der hyperbolischen Funktionen und )

Teilaufgabe 1: Sei . Dann gilt

Alternativer Beweis:

Teilaufgabe 2: Sei . Dann gilt

Alternativer Beweis:

Teilaufgabe 3: Sei . Dann gilt

Damit ist

Alternativer Beweis:

Rechengesetze für Ableitungen[Bearbeiten]

Anwenden der Rechengesetze[Bearbeiten]

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Aufgabe (Ableitungen der Potenzfunktion)

Zeige mittels vollständiger Induktion über , das die Potenzfunktion

differenzierbar ist mit

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Beweis (Ableitungen der Potenzfunktion)

Induktionsanfang:

Ist , dann gilt

Induktionsvoraussetzung:

Ist für ein , dann gilt

Induktionsschritt:

Sei . Dann ist nach der Induktionsvoraussetzung mit der Produktregel differenzierbar, und für gilt

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Aufgabe (Ableitungen von Sekans und Kosekans)

Die Funktionen (Sekans) und (Kosekans) sind folgendermaßen definiert

sowie

Bestimme deren Definitionsbereich und Ableitungen auf diesen.

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Lösung (Ableitungen von Sekans und Kosekans)

Teilaufgabe 1: Sekans

Definitionsbereich: definiert

Ableitung: Da auf differenzierbar ist, gilt mit der Kettenregel

Teilaufgabe 2: Kosekans

Definitionsbereich: definiert

Ableitung: Da auf differenzierbar ist, gilt mit der Kettenregel

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Aufgabe (Berechnung von Ableitungen)

Bestimme den Definitionsbereich der folgenden Funktionen, sowie deren Ableitungen

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Lösung (Berechnung von Ableitungen)

Teilaufgabe 1:

Definitionsbereich:

Ableitung: Für gilt mit der Produktregel

Teilaufgabe 2:

Definitionsbereich: , denn

Ableitung: Für gilt mit der Kettenregel

Teilaufgabe 3:

Definitionsbereich:

Ableitung: Für gilt mit der Ketten- und Produktregel

Teilaufgabe 4:

Definitionsbereich: , denn es muss gelten

Ableitung: Für gilt mit der Quotientenregel

Teilaufgabe 5:

Definitionsbereich:

Ableitung:

Für gilt

Für gilt

Weiter gilt

sowie

Daher ist

Fassen wir die drei Fälle zusammen, so ergibt sich für

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Aufgabe (Ableitungen von Exponentialfunktionen)

Bestimme die Ableitungen der folgenden Funktionen auf deren Definitionsbereich ()

Bei der Funktion darf die Klammer auch weggelassen werden, da allgemein definiert ist.

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Lösung (Ableitungen von Exponentialfunktionen)

Teilaufgabe 1: Es gilt . ist differenzierbar mit . Daher ist nach der Ketten- und Produktregel differenzierbar, und für gilt

Teilaufgabe 2: Es gilt . Daher ist nach der Ketten- und Produktregel differenzierbar, und für gilt

Teilaufgabe 3: Es gilt . Daher ist nach der Ketten- und Produktregel differenzierbar, und für gilt

Teilaufgabe 4: Es gilt . Daher ist nach der Ketten- und Produktregel differenzierbar, und für gilt

Teilaufgabe 5: Es gilt . ist differenzierbar mit . Daher ist nach der Ketten- und Produktregel differenzierbar, und für gilt

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Aufgabe (Beweis von Summenformeln mit Ableitung)

Beweise mittels des binomischen Lehrsatzes für alle die Formeln

Setze im binomischen Lehrsatz und bilde die Ableitung auf beiden Seiten.

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Beweis (Beweis von Summenformeln mit Ableitung)

Für lautet der binomische Lehrsatz

für und . Nun ist die linke Seite der Gleichung ein Polynom und die rechte Seite eine Potenzfunktion . Beide Seiten sind daher auf differenzierbar mit

und

Wegen gilt auch . Insbesondere sind also

und

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Aufgabe (Logarithmische Ableitungen berechnen)

Bestimme die logarithmische Ableitung der folgenden Funktionen

  1. mit

Beweis von Rechengesetzen[Bearbeiten]

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Aufgabe (Alternativer Beweis der Produktregel)

Beweise für differenzierbare die Produktregel

unter Verwendung der Kettenregel.

Hinweis: Es gilt:

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Beweis (Alternativer Beweis der Produktregel)

Die Funktion ist differenzierbar auf mit

Nach der Kettenregel ist daher differenzierbar mit

für alle . Unter Verwendung des Hinweises folgt daraus mit der Faktor- und Summenregel

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Aufgabe (Sonderfall der Kettenregel)

Leite eine allgemeine Ableitungsformel für die folgende Funktion her:

Falls differenzierbar sind.

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Lösung (Sonderfall der Kettenregel)

Es gilt

mit und für alle . ist nach der Produktregel differenzierbar mit

Mit der Kettenregel ist auch differenzierbar, und es gilt

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Satz (Rechenregeln für logarithmische Ableitung)

Für zwei differenzierbare Funktionen und ohne Nullstellen gilt

  1. für und
  2. für und