Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (kurz HDI) ist einer der bedeutendsten Sätze der Analysis. Nach ihm kann über das Integral die Gesamtänderung einer Funktion bestimmt werden, wenn ihre Ableitung überall bekannt ist. So kann beispielsweise die Veränderung eines Systems ausgerechnet werden, wenn man zu jedem Zeitpunkt die momentane Änderungsrate (also die Ableitung) kennt.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt so eine Beziehung zwischen der Ableitung und dem Integral her und zeigt, dass sich Ableitung und Integration in gewisser Weise umkehren. Dies kann beispielsweise ausgenutzt werden, um Integrale leichter auszurechnen. Dabei werden zwei Versionen des Hauptsatzes unterschieden: Die eine Version trifft eine Aussage darüber, was das Integral der Ableitungsfunktion ist und die andere beschreibt, was die Ableitung der sogenannten Integralfunktion ist.

Häufig wird die Definition des Integrals aus der Grundvorstellung hergeleitet, dass es die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der $x$-Achse wiedergibt. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zeigt, dass diese orientierte Fläche unter dem Graphen einer Ableitung als Funktionsänderung der ursprünglichen Funktion interpretiert werden kann.

Erste Variante des Hauptsatzes

Version: Integral der Ableitungsfunktion

Eine Variante des Hauptsatzes kann so formuliert werden:

Das Integral ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$ entspricht der Gesamtänderung einer Funktion, die an jeder Stelle $x\in [a,b]$ die momentane Änderungsrate $f(x)$ besitzt.

Sei $F:[a,b]\to \mathbb {R}$ eine solche Funktion, die an jeder Stelle $x\in [a,b]$ die momentane Änderungsrate $f(x)$ besitzt. Da die Ableitung die momentane Änderungsrate einer Funktion beschreibt, ist also $F'(x)=f(x)$ für alle $x\in [a,b]$. Eine solche Funktion $F$ wird Stammfunktion von $f$ genannt. Die Gesamtänderung der Funktion $F$ im Intervall $[a,b]$ entspricht der Differenz $F(b)-F(a)$. Es muss also gelten:

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)$

Dies ist die erste Version des Hauptsatzes. Da wir im Beweis auf den Mittelwertsatz der Integralrechnung zurückgreifen, werden wir die Stetigkeit von $f$ zusätzlich voraussetzen:

Satz (Haupsatz der Differential- und Integralrechnung: Integral der Ableitungsfunktion)

Sei $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Für jede Stammfunktion $F\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ gilt:

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)$

Stammfunktion

In der ersten Variante des Hauptsatzes ist die Rede von einer Funktion $F$, deren Ableitungsfunktion gleich $f$ ist. Eine solche Funktion wird Stammfunktion von $f$ genannt:

Definition (Stammfunktion)

Eine differenzierbare Funktion $F:D\to \mathbb {R}$ heißt Stammfunktion einer gegebenen Funktion $f:D\to \mathbb {R}$, wenn $f$ die Ableitung von $F$ ist. Es muss also $F'(x)=f(x)$ für alle $x\in D$ gelten.

Salopp gesprochen ist eine Stammfunktion das „Gegenteil“ der Ableitungsfunktion. Sie ist jedoch im Gegensatz zur Ableitungsfunktion nicht eindeutig. Betrachte die Funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $f(x)=3x^{2}$. Eine mögliche Stammfunktion ist die Funktion $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $F(x)=x^{3}+4$. Denn es gilt nach den Ableitungsregeln $F'(x)=3x^{2}$. Es fällt auf, dass wir anstelle der Konstanten $4$ auch eine andere hätten wählen können, da diese bei der Ableitung verschwindet. Tatsächlich ist jede Funktion der Form $F(x)=x^{3}+C$ mit einer beliebigen Konstanten $C\in \mathbb {R}$ eine Stammfunktion von $f$.

Verständnisfrage: Wie lauten alle Stammfunktionen zu folgenden Funktionen auf $\mathbb {R}$?

1. $f(x)=x^{2}$.
2. $g(x)=e^{-x}$
3. $h(x)=\sin \left({\tfrac {1}{2}}x\right)$

Antwort:

1. $F(x)={\tfrac {1}{3}}x^{3}+C$ mit $C\in \mathbb {R}$
2. $G(x)=-e^{-x}+C$ mit $C\in \mathbb {R}$
3. $H(x)=-2\cos \left({\tfrac {1}{2}}x\right)+C$ mit $C\in \mathbb {R}$

Differenz von Stammfunktionen

Hat also eine Funktion $f$ eine Stammfunktion $F$, so hat sie auch unendlich viele weitere Stammfunktionen, nämlich alle Funktionen ${\tilde {F}}(x)=F(x)+C$ mit einer beliebigen Konstante $C\in \mathbb {R}$. Das liegt daran, dass eine (additive) Konstante beim Ableiten wegfällt. Wir können sogar zeigen, dass man auf diese Weise alle Stammfunktionen von $f$ erhält:

Satz

Seien $F$ und ${\tilde {F}}$ Stammfunktionen der gleichen Funktion $f$. Dann unterscheiden sich $F$ und ${\tilde {F}}$ nur um eine additive Konstante, d.h. es existiert eine reelle Zahl $C$ mit ${\tilde {F}}(x)=F(x)+C$ für alle $x\in \mathbb {R}$.

Beweis

Wir betrachten die Differenz $G(x):={\tilde {F}}(x)-F(x)$ der beiden Stammfunktionen. Für diese gilt nach der Differenzregel

$G'(x)={\tilde {F}}'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0$

für alle $x\in \mathbb {R}$. Wir wollen zeigen, dass die Funktion $G$ konstant ist, denn aus $G(x)=C$ für alle $x\in \mathbb {R}$ folgt, dass ${\tilde {F}}(x)=F(x)+C$ für alle $x\in \mathbb {R}$.

Angenommen, $G$ ist nicht konstant. Dann gibt es $a\neq b$ mit $G(a)\neq G(b)$. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein $\xi \in \mathbb {R}$ mit

$G'(\xi )={\frac {G(b)-G(a)}{b-a}}$

Wegen $G(a)\neq G(b)$ gilt einerseits $G'(\xi )\neq 0$. Andererseits haben wir uns oben bereits überlegt, dass $G'(x)=0$ für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt, also auch $G'(\xi )=0$. Das ist ein Widerspruch und somit muss $G$ konstant sein.

Anwendung: (Re-)konstruktion der Stammfunktion

Über das Integral kann aus der Ableitung die Gesamtänderung einer Funktion berechnet werden. Damit können wir das Integral benutzen, um aus einer bekannten Ableitung die ursprüngliche Funktion zu rekonstruieren bzw. eine gesuchte Funktion zu bestimmen, deren Ableitung bekannt ist. Da wir nur Änderungen einer Funktion bestimmen können, brauchen wir noch einen Anfangswert, den die Funktion an einer festgelegten Stelle haben soll.

Nehmen wir an, dass wir eine Funktion $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ bestimmen wollen. Ihre Ableitung sei die für uns bekannte Funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$. Außerdem wissen wir, dass an der Stelle $a\in \mathbb {R}$ die Funktion $F$ den Wert $y_{a}\in \mathbb {R}$ besitzt. Es gilt also $F(a)=y_{a}$. Aus diesen beiden Informationen können wir mit Hilfe des Integrals die Funktion $F$ (re-)konstruieren:

${\begin{aligned}F(x)&={\color {OliveGreen}\underbrace {F(a)} _{\text{Anfangswert}}}+{\color {NavyBlue}\underbrace {F(x)-F(a)} _{{\text{Änderung zwischen }}a{\text{ und }}x}}\\[0.3em]&={\color {OliveGreen}y_{a}}+{\color {NavyBlue}\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}\end{aligned}}$

Mit dieser Formel kann der Wert einer Funktion bestimmt werden, wenn man deren Ableitung und einen Anfangswert kennt.

Zweite Variante des Hauptsatzes

Version: Ableitung der Integralfunktion

In der Herleitung der Formel ${\textstyle F(x)=y_{a}+\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$ haben wir angenommen, dass $f$ die Ableitung von $F$ ist. Können wir umgekehrt die Gleichung $F'(x)=f(x)$ zeigen, wenn wir $F$ über ${\textstyle F(x)=y_{a}+\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$ definieren? Hierzu müsste gelten:

${\begin{aligned}f(x)&=F'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(y_{a}+\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t\right)\\[0.5em]&=\underbrace {{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}y_{a}} _{=\ 0}+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t\right)\end{aligned}}$

Damit unsere Vermutung stimmt, müssen wir ${\textstyle f(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t\right)}$ beweisen. Sprich: Für eine Funktion $H:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit ${\textstyle H(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$ muss $H'(x)=f(x)$ gelten. Eine solche Funktion $H$ werden wir Integralfunktion nennen. Auch bei dieser neuen Version des Hauptsatzes werden wir voraussetzen, dass die Funktion $f$ stetig ist:

Satz (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Ableitung der Integralfunktion)

Sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ stetig. Dann ist die Integralfunktion $F:[a,b]\to \mathbb {R}$ mit $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$ eine Stammfunktion von $f$. Es gilt also $F'({\tilde {x}})=f({\tilde {x}})$ für alle ${\tilde {x}}\in [a,b]$.

Integralfunktion

In der Rekonstruktion der Stammfunktion kommt eine Funktion $H$ mit ${\textstyle H(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$ vor. Eine solche Funktion wird Integralfunktion genannt:

Definition (Integralfunktion)

Sei $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ eine reellwertige stetige Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$. Dann definieren wir die Integralfunktion von $f$ als

$H:[a,b]\to \mathbb {R} ,\ H(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$

Verständnisfrage: Besitzt die Integralfunktion $F$ von $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ immer eine Nullstelle?

Ja, denn es gilt ${\textstyle F(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,\mathrm {d} t=0}$.

Zusammenhang: Integral- und Ableitungsfunktion

Die Integralfunktion ist das Pendant zur Ableitungsfunktion. Wie die Ableitungsfunktion ist es ein Funktionsoperator: Es nimmt als Argument eine Funktion $f$ an und ordnet ihr als Resultat eine neue Funktion zu, wobei die Zuordnungsvorschrift gleich ${\textstyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(x)\,\mathrm {d} x}$ ist. Die Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung klären den Zusammenhang zwischen der Ableitungs- und der Integralfunktion. Zum einen ändert man eine Funktion nicht, wenn man zuerst die Integralfunktion bildet und von dieser die Ableitungsfunktion bestimmt:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t=f(x)$

Anders verhält es sich, wenn wir die Reihenfolge umkehren. Wenn man die Integralfunktion der Ableitungsfunktion bildet, dann kommt nicht zwangsweise die ursprüngliche Funktion raus. Jedoch erhalten wir so eine Funktion, die sich nur um einen konstanten Wert von $f(x)$ unterscheidet. Dieser konstante Wert ist gleich dem Funktionswert $f(a)$. Es gilt nämlich:

$f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(t)\right)\,\mathrm {d} t$

Dies kann so erklärt werden: Durch die Bildung der Ableitung erhält man nur die Information darüber, wie sich eine Funktion ändert. Die Information über den Anfangswert $f(a)$ geht verloren (die Ableitung einer Konstanten ist gleich Null). Wenn man von der Ableitungsfunktion die Integralfunktion bildet, kann man diese verlorene Information zum Anfangswert nicht mehr herstellen. Man weiß zwar, dass die ursprüngliche Funktion eine Stammfunktion der gebildeten Ableitungsfunktion ${\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(t)$ ist – welche es ist, weiß man aber nicht. Deswegen gibt man diejenige Stammfunktion zurück, die an der Stelle $a$ eine Nullstelle besitzt. So kann durch Addition des Wertes $f(a)$ die ursprüngliche Funktion wiederhergestellt werden.

Beweis

Wir werden erst die zweite Variante des Hauptsatzes beweisen und aus dieser dann die erste Variante herleiten.

Variante: Ableitung der Integralfunktion

Satz (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Ableitung der Integralfunktion)

Sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ stetig. Dann ist die Integralfunktion ${\textstyle F:[a,b]\to \mathbb {R} }$ mit $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$ eine Stammfunktion von $f$. Es gilt also $F'({\tilde {x}})=f({\tilde {x}})$ für alle ${\tilde {x}}\in [a,b]$.

Beweis (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Ableitung der Integralfunktion)

Sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ stetig und $F:[a,b]\to \mathbb {R}$ mit ${\textstyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$ die Integralfunktion von $f$. Wir müssen zeigen, dass der Differentialquotient ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {F({\tilde {x}}+h)-F({\tilde {x}})}{h}}}$ existiert und gleich $f({\tilde {x}})$ ist. Sei dazu ${\tilde {x}}\in [a,b]$ fest und $h\neq 0$ mit ${\tilde {x}}+h\in [a,b]$. Aufgrund der Additivität der Grenzen des Integrals gilt

${\frac {F({\tilde {x}}+h)-F({\tilde {x}})}{h}}={\frac {1}{h}}\left(\int _{c}^{{\tilde {x}}+h}f(t)\,{\rm {d}}t-\int _{c}^{\tilde {x}}f(t)\,{\rm {d}}t\right)={\frac {1}{h}}\int _{\tilde {x}}^{{\tilde {x}}+h}f(t)\,{\rm {d}}t$

Nach dem Mittelwertsatz für Integrale existiert eine reelle Zahl $\xi _{h}\in [{\tilde {x}},{\tilde {x}}+h]$ mit:

$\int _{\tilde {x}}^{{\tilde {x}}+h}f(t)\,{\rm {d}}t=h\cdot f(\xi _{h})$

Im Grenzwert $h\to 0$ haben wir $\xi _{h}\to {\tilde {x}}$ wegen ${\tilde {x}}\leq \xi _{h}\leq {\tilde {x}}+h$. Mit der Stetigkeit von $f$ folgt

${\begin{aligned}F'({\tilde {x}})&=\lim _{h\to 0}{\frac {F({\tilde {x}}+h)-F({\tilde {x}})}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\cdot h\cdot f(\xi _{h})\\[0.5em]&=\lim _{h\to 0}f(\xi _{h})=f\left(\lim _{h\to 0}\xi _{h}\right)=f({\tilde {x}})\end{aligned}}$

Die Ableitung von $F$ in ${\tilde {x}}$ existiert also und hat den Wert $f({\tilde {x}})$.

Variante: Integral der Ableitungsfunktion

Satz (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Integral der Ableitungsfunktion)

Sei $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Für jede Stammfunktion $F\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ gilt:

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)$

Beweis (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Integral der Ableitungsfunktion)

Sei $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ eine stetige und damit integrierbare Funktion. Sei ${\tilde {F}}:[a,b]\to \mathbb {R}$ mit ${\textstyle {\tilde {F}}(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$ die Integralfunktion von $f$. Nach der Variante „Ableitung der Integralfunktion“ ist wegen der Stetigkeit von $f$ die Integralfunktion ${\tilde {F}}$ eine Stammfunktion von $f$. Außerdem gilt wegen ${\textstyle {\tilde {F}}(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,\mathrm {d} t=0}$:

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x={\tilde {F}}(b)={\tilde {F}}(b)-{\tilde {F}}(a)$

Die zu beweisende Gleichung ist also für die Integralfunktion als spezielle Stammfunktion von $f$ erfüllt. Sei nun $F:[a,b]\to \mathbb {R}$ eine beliebige Stammfunktion von $f$. Da sich zwei Stammfunktionen nur um eine Konstante unterscheiden, gibt es einen Wert $C\in \mathbb {R}$ mit ${\tilde {F}}(x)=F(x)+C$. Damit ist:

$\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t={\tilde {F}}(b)-{\tilde {F}}(a)=(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$

Anwendung

Mit dem Hauptsatz können bestimmte Integrale berechnet werden. Sofern eine Stammfunktion $F$ des Integranden $f$ bekannt ist, kann das Integral ${\textstyle \int _{a}^{b}f\;{\rm {d}}x}$ über die Differenz $F(b)-F(a)$ bestimmt werden. In der Praxis wird häufig der Ausdruck $\left[F(x)\right]_{a}^{b}$ oder $\left.F(x)\right|_{a}^{b}$ für die Differenz $F(b)-F(a)$ verwendet. Dabei spielt es keine Rolle, welche Stammfunktion gewählt wird. Da diese sich nur um eine Konstante unterscheiden, fällt diese bei der Differenz $F(b)-F(a)$ weg.

Beispiel (Bestimmtes Integral der Quadratfunktion)

Wir berechnen das Integral von $f(x):=x^{2}$ im Intervall $[1,3]$ mittels Umkehrung der Potenzregel. Nach der allgemeinen Ableitungsregel für Potenzen ist die Ableitungsfunktion der Polynomfunktion $f(x)=x^{3}$ gleich $f'(x)=3x^{2}$. Daher ist die Ableitungsfunktion von $f(x)={\tfrac {1}{3}}x^{3}$ gleich $f'(x)={\tfrac {1}{3}}\cdot 3x^{2}=x^{2}$. Mit dem Hauptsatz erhalten wir

$\int _{1}^{3}x^{2}\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{1}^{3}={\frac {1}{3}}\cdot 3^{3}-{\frac {1}{3}}\cdot 1^{3}={\frac {26}{3}}$

Beispiel (Bestimmtes Integral der Sinusfunktion)

Sei $f(x):=\sin(x)$. Man möchte nun die bilanzierte Fläche unter dem Graphen von $f$ zwischen $[0,\pi ]$ wissen, was in mathematischer Schreibweise dem Integral $\int _{0}^{\pi }\sin(x)\,{\rm {d}}x$ entspricht. Da $F(x):=-\cos(x)$ eine Stammfunktion von $f$ ist, folgt:

$\int _{0}^{\pi }\sin(x){\rm {d}}x=F(\pi )-F(0)=-\cos(\pi )-(-\cos(0))=-(-1)+1=2$

Verständnisfrage: Sei $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ eine differenzierbare Funktion. Bestimme

1. ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$
2. $\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(t)\,\mathrm {d} t$

Lösungen:

1. ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}F(x)=F'(x)=f(x)$
2. $\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(t)\,\mathrm {d} t=f(x)-f(a)$

Unbestimmte Integrale

Definition des unbestimmten Integrals

Zu einer Funktion gibt es mehrere Stammfunktionen. Über das unbestimmte Integral kann die Menge aller Stammfunktionen bestimmt werden:

Definition (Unbestimmtes Integral)

Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion $f$ wird mit ${\textstyle \int f\,\mathrm {d} x}$ bezeichnet und heißt unbestimmtes Integral von $f$.

Beispiel (Unbestimmtes Integral)

Jede Stammfunktion der Funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $f(x)=3x^{2}$ hat die Zuordnungsvorschrift $F(x)=x^{3}+C$. Damit gilt:

$\int 3x^{2}\,\mathrm {d} x=\{F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \mid F(x)=x^{3}+C,\ C\in \mathbb {R} \}$

Der Einfachheit halber schreiben wir kürzer:

$\int 3x^{2}\,\mathrm {d} x=x^{3}+C$

Verständnisfrage: Bestimme das unbestimmte Integral $\int (x^{3}+2)\,\mathrm {d} x$.

$\int (x^{3}+2)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{4}}x^{4}+2x+C$

Zusammenhang zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral

Es ist wichtig, dass du zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral sauber unterscheidest. Das bestimmte Integral ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$ ist eine Zahl und gibt die orientierte Fläche unter den Graphen von $f$ zurück. Das unbestimmte Integral ${\textstyle \int f(x)\,\mathrm {d} x}$ ist eine Menge von Funktionen, nämlich die Menge aller Stammfunktionen von $f$. Wie beide Begriffe zusammenhängen, wird im Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung deutlich. Die Variante „Integral der Ableitungsfunktion“ kann folgendermaßen formuliert werden:

Für alle Funktionen $F$ aus ${\textstyle \int f(x)\,\mathrm {d} x}$ gilt ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)}$.

Auch die Version „Ableitung der Integralfunktion“ kann mit Hilfe des unbestimmten Integrals ausgedrückt werden:

Die Funktion $H:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit ${\textstyle H(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$ ist eine Funktion der Menge ${\textstyle \int f(x)\,\mathrm {d} x}$.

Beide Aussagen gelten, wenn $f$ eine stetige Funktion ist.

Liste von unbestimmten Integralen

→ Hauptartikel: Beispiele für Integrale

Folgende Liste gibt eine Übersicht über die wichtigsten unbestimmten Integrale. Es gilt überall $C\in \mathbb {R}$:

• $\int x^{s}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{s+1}}x^{s+1}+C$ mit $s\in \mathbb {R} \setminus \{-1\}$ und $x>0$
• $\int {\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=\ln |x|+C$
• $\int \sin(x)\,\mathrm {d} x=-\cos(x)+C$
• $\int \cos(x)\,\mathrm {d} x=\sin(x)+C$
• $\int \tan(x)\,\mathrm {d} x=-\ln(\cos(x))+C$
• $\int \exp(x)\,\mathrm {d} x=\exp(x)+C$
• $\int \ln(x)\,\mathrm {d} x=x\ln(x)-x+C$
• $\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\arctan(x)+C$
• $\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\arcsin(x)+C$
• $\int {\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\arccos(x)+C$

Aufgaben

Aufgabe 1

Aufgabe (Bestimmte Integrale)

Berechne die folgenden Integrale mit Hilfe des Hauptsatzes:

1. $\int _{0}^{1}(1-x)^{2}\,\mathrm {d} x$
2. $\int _{1}^{\ln(2)}(e^{x}+{\frac {1}{x}})\,\mathrm {d} x$
3. $\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x$
4. $\int _{-1}^{4}{\frac {1}{\sqrt {|x|}}}\,\mathrm {d} x$

Lösung (Bestimmte Integrale)

1. $\int _{0}^{1}(1-x)^{2}\,\mathrm {d} x=\left[-{\frac {1}{3}}(1-x)^{3}\right]_{0}^{1}=-{\frac {1}{3}}\cdot 0+{\frac {1}{3}}\cdot 1={\frac {1}{3}}$
2. $\int _{1}^{\ln(2)}(e^{x}+{\frac {1}{x}})\,\mathrm {d} x=\left[e^{x}+\ln(x)\right]_{1}^{\ln(2)}=e^{\ln(2)}+\ln(\ln(2))-e^{1}-\ln(1)=2+\ln(\ln(2))-e$
3. $\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\left[\arctan(x)\right]_{0}^{\tfrac {\pi }{2}}=\arctan({\tfrac {\pi }{2}})-\arctan(0)=1-0=1$
4. $\int _{-1}^{4}{\frac {1}{\sqrt {|x|}}}\,\mathrm {d} x=\int _{-1}^{0}\underbrace {\frac {1}{\sqrt {|x|}}} _{={\frac {1}{\sqrt {-x}}}}\,\mathrm {d} x+\int _{0}^{4}\underbrace {\frac {1}{\sqrt {|x|}}} _{={\frac {1}{\sqrt {x}}}}=\left[-2{\sqrt {-x}}\right]_{-1}^{0}+\left[2{\sqrt {x}}\right]_{0}^{4}=-2\cdot 0+2\cdot 1+2\cdot 2-2\cdot 0=6$

Aufgabe 2

Aufgabe (Unbestimmte Integrale)

Bestimme die folgenden Integrale auf den entsprechenden Definitionsbereichen:

1. $\int (x-a)^{b}\,\mathrm {d} x$ mit $a,b\in \mathbb {R}$ auf $D=]a,\infty [$
2. $\int a^{x}\,\mathrm {d} x=\int e^{x\ln(a)}\,\mathrm {d} x$ mit $a>0$ auf $D=\mathbb {R}$
3. $\int \log _{a}(x)\,\mathrm {d} x=\int {\frac {\ln(x)}{\ln(a)}}\,\mathrm {d} x$ mit $a>0$ auf $D=\mathbb {R} ^{+}$
4. $\int {\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}\,\mathrm {d} x=\int (1+\tan ^{2}(x))\,\mathrm {d} x$ auf $D=\mathbb {R} \setminus \{{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \}$
5. $\int \cot(x)\,\mathrm {d} x=\int {\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}\,\mathrm {d} x$ auf $D=\mathbb {R} \setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \}$
6. $\int {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\,\mathrm {d} x$ auf $D=\mathbb {R}$

Lösung (Unbestimmte Integrale)

1. $\int (x-a)^{b}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {1}{b+1}}(x-a)^{b+1}+C&{\text{ falls }}b\neq -1,\\\ln(x-a)+C&{\text{ falls }}b=-1\end{cases}}$
2. $\int a^{x}\,\mathrm {d} x=\int e^{x\ln(a)}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\ln(a)}}e^{x\ln(a)}+C={\frac {a^{x}}{\ln(a)}}+C$
3. $\int \log _{a}(x)\,\mathrm {d} x=\int {\frac {\ln(x)}{\ln(a)}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{\ln(a)}}(x\ln(x)-x)+C={\frac {x\ln(x)-x}{\ln(a)}}+C$
4. $\int {\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}\,\mathrm {d} x=\int (1+\tan ^{2}(x))\,\mathrm {d} x=\tan(x)+C$
5. $\int \cot(x)\,\mathrm {d} x=\int {\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}\,\mathrm {d} x=\ln |\sin(x)|+C$
6. $\int {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\,\mathrm {d} x={\text{arsinh}}(x)+C$

Aufgabe 3

Aufgabe (Anwendung des Hauptsatzes 1)

Die natürliche Logarithmusfunktion lässt sich auch über die folgende Integralform definieren:

$L(x)=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t$ für $x\in \mathbb {R} ^{+}$

Zeige folgende Aussagen:

1. $L(1)=0$
2. $L>0$ auf $(1,\infty )$ und $L<0$ auf $(0,1)$
3. $L:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$ ist stetig differenzierbar, und hat die Ableitung $L'(x)={\frac {1}{x}}$
4. $L$ wächst streng monoton.
5. $L(e^{x})=x$ für alle $x\in \mathbb {R}$. Insbesondere ist $L(e)=1$.
6. $L(xy)=L(x)+L(y)$ (Hinweis: Zum Beweis dieser Aussage wird die Substitutionsregel benötigt.)

Lösung (Anwendung des Hauptsatzes 1)

Lösung Teilaufgabe 1:

Durch Einsetzen erhalten wir

$L(1)=\int _{1}^{1}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t=0$

Lösung Teilaufgabe 2:

Ist $x>1$, so ist $t\mapsto {\frac {1}{t}}>0$ auf $(1,x)$. Aus der Monotonie des Riemannintegrals folgt

$\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t>\int _{1}^{x}0\,\mathrm {d} t=0$

Ist hingegen $x\in (0,1)$, so ist $x<1$ und damit $\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t=-\int _{x}^{1}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t$. Da wieder $t\mapsto {\frac {1}{t}}>0$ ist auf $(x,1)$ ist, folgt aus der Monotonie des Riemannintegrals

$\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t=-\int _{x}^{1}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t<-\int _{1}^{x}0\,\mathrm {d} t=0$

Lösung Teilaufgabe 3:

Nach dem ersten Teil des Hauptsatzes ist $L$ eine Stammfunktion von $l:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$, $l(x)={\tfrac {1}{x}}$. Daher ist $L$ differenzierbar mit $L'(x)=l(x)={\tfrac {1}{x}}$. Da $l$ stetig auf $\mathbb {R} ^{+}$ ist, ist $L$ sogar stetig differenzierbar. Insbesondere ist $L$ natürlich stetig.

Lösung Teilaufgabe 4:

Mit Teilaufgabe 1 gilt: $L'(x)={\tfrac {1}{x}}>0$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{+}$. Daher ist $L$ mit dem Monotoniekriterium streng monoton wachsend.

Lösung Teilaufgabe 5:

Mit der Kettenregel ist $x\mapsto L(e^{x})$ differenzierbar, mit

${\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}L(e^{x})=L'(e^{x})\cdot e^{x}={\frac {1}{e^{x}}}\cdot e^{x}=1$

Aus dem Identitätssatz der Differentialrechnung folgt $L(e^{x})=x+c$ mit $c\in \mathbb {R}$. Nun gilt

$L(e^{0})=L(1)=\int _{1}^{1}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t=0\,{\overset {!}{=}}\,0+c$

Also ist $c=0$ und damit $L(e^{x})=x$.

Lösung Teilaufgabe 6:

Zunächst ist

$L(xy)=\int _{1}^{xy}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t=\underbrace {\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t} _{=L(x)}+\int _{x}^{xy}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t$

Mit der Substitutionsregel folgt für das zweite Integral

${\begin{aligned}&\int _{x}^{xy}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Substitution: }}(z={\frac {t}{x}}\iff t=xz)\Longrightarrow ({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{x}}\iff \mathrm {d} t=x\mathrm {d} z)\right.}\\[0.3em]&\ =\int _{1}^{y}{\frac {1}{xz}}\,x\mathrm {d} z\\[0.3em]&\ =\int _{1}^{y}{\frac {1}{z}}\,\mathrm {d} z\\[0.3em]&\ =L(y)\end{aligned}}$

Damit folgt die Behauptung $L(xy)=L(x)+L(y)$.

Aufgabe 4

Aufgabe (Anwendung des Hauptsatzes 2)

Berechne für differenzierbare $\alpha ,\beta :[a,b]\to [a,b]$ und eine auf $[a,b]$ stetige Funktion $f$:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(t)\,\mathrm {d} t\right)$

Als Anwendung: Berechne die Ableitung von $F(x)=\int _{0}^{x^{2}}{\frac {1}{\sqrt {\cos(t)+1}}}\,\mathrm {d} t$ für $x\in (-{\sqrt {\pi }},{\sqrt {\pi }})$.

Lösung (Anwendung des Hauptsatzes 2)

Wir betrachten, die Hilfsfunktion (Integralfunktion) $H(x)=\int _{x_{0}}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$ mit $x_{0}\in [a,b]$. Diese ist nach dem HDI differenzierbar mit $H'(x)=f(x)$. Weiter gilt

$\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(t)\,\mathrm {d} t)=\int _{x_{0}}^{\beta (x)}f(t)\,\mathrm {d} t+\int _{\alpha (x)}^{x_{0}}f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{x_{0}}^{\beta (x)}f(t)\,\mathrm {d} t-\int _{x_{0}}^{\alpha (x)}f(t)\,\mathrm {d} t=H(\beta (x))-H(\alpha (x))$

Nach der Kettenregel sind $H(\beta (x))$ und $H(\alpha (x))$ differenzierbar, mit ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}H(\beta (x))=H'(\beta (x))\cdot \beta '(x)$ und ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}H(\alpha (x))=H'(\alpha (x))\cdot \alpha '(x)$. Damit ist

${\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(t)\,\mathrm {d} t\right)\\[0.5em]&\ ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(H(\beta (x))-H(\alpha (x)))\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Linearität der Ableitung}}\right.}\\[0.5em]&\ ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}H(\beta (x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}H(\alpha (x))\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kettenregel}}\right.}\\[0.5em]&\ =H'(\beta (x))\cdot \beta '(x)-H'(\alpha (x)))\cdot \alpha '(x)\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung}}\right.}\\[0.5em]&\ =f(\beta (x))\cdot \beta '(x)-f(\alpha (x))\cdot \alpha '(x)\end{aligned}}$

Im Anwendungsbeispiel ist $\beta (x)=x^{2}$, $\alpha (x)=0$ und $f(t)={\frac {1}{\sqrt {\cos(t)+1}}}$. Daher ist mit der eben bewiesenen Formel

$F'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\int _{0}^{x^{2}}{\frac {1}{\sqrt {\cos(t)+1}}}\,\mathrm {d} t\right)={\frac {1}{\sqrt {\cos(x^{2})+1}}}\cdot 2x-{\frac {1}{\sqrt {\cos(0)+1}}}\cdot 0={\frac {2x}{\sqrt {\cos(x^{2})+1}}}$