Eigenschaften des Riemannintegrals – Mathe für Nicht-Freaks

Aus Wikibooks
Wechseln zu: Navigation, Suche

Übersicht: Eigenschaften des Riemannintegrals[Bearbeiten]

  • Stetige Funktionen sind riemannintegrierbar.
  • Monotonie: Aus für alle folgt .
  • Summenregel: Wenn und riemannintegrierbar sind, dann sind auch riemannintegrierbar und es gilt .
  • Faktorregel: Wenn riemannintegrierbar ist, dann ist es auch die Funktion mit und es gilt .
  • Additivität der Grenzen: Seien mit und sei eine Funktion. Dann ist genau dann riemannintegrierbar auf dem Intervall , wenn auf den Intervallen und jeweils riemannintegrierbar ist. In diesem Fall gilt .
  • Dreiecksungleichung: Sei eine riemannintegrierbare Funktion, wobei und reelle Zahlen mit sind. Dann ist die Funktion riemannintegrierbar und es gilt .
  • Produktregel: Seien und zwei riemannintegrierbare Funktionen, wobei und reelle Zahlen mit sind. Dann ist die Funktion riemannintegrierbar.
  • Monotone Funktionen sind riemannintegrierbar.
  • Wenn sich eine Funktion von einer riemannintegrierbaren Funktion nur an endlich vielen Stellen unterscheidet, dann ist auch sie riemannintegrierbar und ihr Integral ist gleich dem Integral der anderen Funktion.

Herleitung und Beweis der Eigenschaften[Bearbeiten]

Stetige Funktionen sind riemannintegrierbar[Bearbeiten]

Anschaulich ist das Integral einer Funktion der Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion und der -Achse. Es macht Sinn, dass man diesen Flächeninhalt bei einer stetigen Funktion ausrechnen kann, d.h., dass das Integral existiert. Das wollen wir nun beweisen.

Blue pen icon.svg

Satz (Stetige Funktionen sind riemannintegrierbar)

Seien und . Sei stetig. Dann ist riemannintegrierbar.

Applications-office.svg

Beweis (Stetige Funktionen sind riemannintegrierbar)

ist stetig auf dem kompakten Intervall . Also ist beschränkt und gleichmäßig stetig. Das heißt, für alle gibt es ein , so dass für alle mit gilt . Sei eine Zerlegung von . Wenn , dann gilt für alle , dass

Folglich gilt

Damit ist riemannintegrierbar.

Monotonie des Riemannintegrals[Bearbeiten]

Nun betrachten wir zwei riemannintegrierbare Funktionen und mit , d.h. für alle , wobei mit .

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Bild von und , Funktionen müssen nicht stetig sein

Anschaulich macht es Sinn, dass gilt. Denn die Fläche unter dem Graphen von ist kleiner oder gleich der Fläche unter dem Graphen von .

Dass , können wir auch folgendermaßen begründen:

Wir betrachten die Ober- und die Untersumme für eine beliebige Zerlegung des Intervalls .

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Bild von davor mit Ober- und Untersummen

Wir sehen, dass

Da dies für alle Zerlegungen gilt, folgt und . Also gilt .

Wir haben uns gerade anschaulich überlegt, warum der folgende Satz gilt. Nun werden wir diesen auch beweisen.

Blue pen icon.svg

Satz (Monotonie des Riemannintegrals)

Seien zwei riemannintegrierbare Funktionen und mit . Weiter gelte , d.h. für alle ist . Dann gilt

Applications-office.svg

Beweis (Monotonie des Riemannintegrals)

Es sei eine beliebige Zerlegung des Intervalls . Wir vergleichen und .

Folglich gilt

Somit ist

Die Summe zweier riemannintegrierbarer Funktionen ist riemannintegrierbar[Bearbeiten]

Blue pen icon.svg

Satz

Seien und zwei riemannintegrierbare Funktionen, wobei und reelle Zahlen mit sind. Dann ist die Funktion riemannintegrierbar und es gilt

Applications-office.svg

Beweis

Seien und Zerlegungen des Intervalls . Bezeichnet eine gemeinsame Verfeinerung von und , so gilt

sowie

Folglich gilt

Genauso zeigen wir :

Bisher haben wir damit folgendes bewiesen:

Nach Voraussetzung sind die Funktionen und riemannintegrierbar. Also gilt:

Außerdem wissen wir, dass und somit gilt . Also ist riemannintegrierbar. Weiter gilt

Faktorregel[Bearbeiten]

Blue pen icon.svg

Satz (Faktorregel)

Sei eine riemannintegrierbare Funktion, wobei und reelle Zahlen mit sind. Sei weiter . Dann ist die Funktion riemannintegrierbar und es gilt

Applications-office.svg

Beweis (Faktorregel)

Sei eine beliebige Zerlegung des Intervalls . Wir betrachten zwei Fälle:

Fall 1:

Es gilt:

und

Somit gilt

und

Also:

Damit ist die Funktion riemannintegrierbar und es gilt

Fall 2:

Es gilt:

und

Somit gilt

und

Also:

Damit ist die Funktion riemannintegrierbar und es gilt

Additivität der Grenzen beim Riemannintegral[Bearbeiten]

Blue pen icon.svg

Satz

Seien mit . Sei weiter eine Funktion. Dann ist genau dann riemannintegrierbar auf dem Intervall , wenn auf den Intervallen und jeweils riemannintegrierbar ist. In diesem Fall gilt

Applications-office.svg

Beweis

Wir beweisen zunächst und . Sei eine Zerlegung des Intervalls und eine Zerlegung des Intervalls . Es gelten also , und . Damit ist eine Zerlegung des Intervalls . Es gilt

sowie

Folglich gilt

und

Als Nächstes zeigen wir und . Sei eine beliebige Zerlegung des Intervalls . Wir wollen eine Verfeinerung von finden, in der vorkommt, also für ein gilt. Falls bereits in der Zerlegung vorkommt, so können wir einfach wählen. Andernfalls gibt es ein mit und dann ist eine Verfeinerung mit der gewünschten Eigenschaft (in diesem Fall gilt ). Sei nun also eine Verfeinerung von mit . Dann sind und Zerlegungen der Intervalle bzw. . Da eine Verfeinerung von ist, gilt

Genauso ist

Folglich gilt

und

Insgesamt haben wir und gezeigt.

Ist nun riemannintegrierbar auf den Intervallen und , so wissen wir und . Daraus folgt , d.h. ist riemannintegrierbar auf . Ist hingegen auf oder nicht riemannintegrierbar, so gilt oder , da die Ungleichungen und stets erfüllt sind. Daraus folgt , d.h. ist nicht riemannintegrierbar auf . Hiermit wurde die zu zeigende Äquivalenz bewiesen.

Im Falle der Integrierbarkeit gilt zudem

Dreiecksungleichung für das Riemannintegral[Bearbeiten]

Blue pen icon.svg

Satz

Sei eine riemannintegrierbare Funktion, wobei und reelle Zahlen mit sind. Dann ist die Funktion riemannintegrierbar und es gilt

Applications-office.svg

Beweis

Um zu zeigen, dass riemannintegrierbar ist, verwenden wir das dazu äquivalente -Kriterium, welches wir bereits bewiesen haben. Sei also . Wir müssen eine Zerlegung mit finden. Weil riemannintegrierbar ist, gibt es eine Zerlegung mit . Wir wollen zeigen, dass für diese Zerlegung auch gilt. Dazu beweisen wir zunächst für jedes Intervall mit . Wir führen die Abkürzungen , , und ein und unterscheiden zwischen drei Fällen:

Zu zeigen ist jeweils .

Fall 1:

Für alle gilt und daher . Somit ist und , also .

Fall 2:

Für alle gilt . Daher ist und . Wegen gilt . Folglich erhalten wir .

Fall 3:

Für alle gilt und daher . Somit ist und , also .

Damit ist für alle Intervalle mit gezeigt. Dies wenden wir jetzt auf die Intervalle unserer Zerlegung an:

Nun haben wir gezeigt, dass die Funktion riemannintegrierbar ist. Da für alle gilt, können wir die Monotonie des Riemannintegrals auf die riemannintegrierbaren Funktionen und anwenden und erhalten

Gemäß der Faktorregel ist die Funktion ebenfalls riemannintegrierbar und es gilt

Für alle gilt , sodass wir die Monotonie des Riemannintegrals auch auf die riemannintegrierbaren Funktionen und anwenden können:

Schließlich ist

Emblem-important.svg

Hinweis

Aus der Riemannintegrierbarkeit von kann im Allgemeinen nicht die Riemannintegrierbarkeit von geschlossen werden.

Accessories-calculator.svg

Beispiel

Sei definiert durch

Dann gilt für alle . Deshalb ist die Funktion riemannintegrierbar (denn konstante Funktionen sind stetig). Jedoch ist die Funktion nicht riemannintegrierbar, da in jedem Intervall mit sowohl rationale als auch irrationale Zahlen liegen und daher , aber für alle Zerlegungen des Intervalls gilt.

Das Produkt zweier riemannintegrierbarer Funktionen ist riemannintegrierbar[Bearbeiten]

Blue pen icon.svg

Satz

Seien und zwei riemannintegrierbare Funktionen, wobei und reelle Zahlen mit sind. Dann ist die Funktion riemannintegrierbar.

Im Allgemeinen gibt es keine einfache Möglichkeit, das Integral aus den Integralen und auszurechnen. Dennoch ist dieser Satz hilfreich, um die Integrierbarkeit einer Funktion nachzuweisen.

Applications-office.svg

Beweis

Um zu zeigen, dass riemannintegrierbar ist, verwenden wir das dazu äquivalente -Kriterium, welches wir bereits bewiesen haben. Sei also . Wir müssen eine Zerlegung mit finden. Da die Funktionen und beschränkt sind, existieren reelle Zahlen mit und für alle . Weil und riemannintegrierbar sind, gibt es Zerlegungen und mit und . Sei eine gemeinsame Verfeinerung von und . Wir wollen zeigen, dass gilt. Dazu beweisen wir zunächst für jedes Intervall mit . Es gilt

Dies wenden wir jetzt auf die Intervalle unserer Zerlegung an:

Somit ist riemannintegrierbar.

Monotone Funktionen sind riemannintegrierbar[Bearbeiten]

Ober- und Untersumme einer monoton steigenden Funktion bei Aufteilung in gleich große Teilintervalle

Ist unsere Funktion monoton, so werden die Suprema und Infima auf den Teilintervallen einer Zerlegung stets am Rand der Teilintervalle angenommen. In der Abbildung sieht man, dass die Fläche zwischen Ober- und Untersumme deshalb aus Rechtecken zusammengesetzt ist, die sich nur über Eck berühren. Haben alle Rechtecke die gleiche Breite , können wir sie zu einem einzigen Rechteck mit Breite und Höhe zusammenschieben. Das bedeutet, die Differenz zwischen Ober- und Untersumme kann beliebig klein gemacht werden, wenn wir die Breite genügend klein wählen. Damit haben wir uns anschaulich überlegt, dass die monotone Funktion riemannintegrierbar sein muss. Dies wollen wir nun beweisen.

Blue pen icon.svg

Satz

Sei eine monoton steigende oder monoton fallende Funktion, wobei und reelle Zahlen mit sind. Dann ist riemannintegrierbar.

Applications-office.svg

Beweis

Wir nehmen an, dass monoton steigend ist. Wäre monoton fallend, so können wir stattdessen die monoton steigende Funktion betrachten und anschließend die Faktorregel mit dem Faktor anwenden. Weil monoton steigend ist, gilt sowie für alle Intervalle mit . Ist , so ist konstant und daher riemannintegrierbar. Andernfalls ist mit für jedes eine Zerlegung des Intervalls . Anschaulich handelt es sich dabei um die Zerlegung von in gleich große Teilintervalle. Wir berechnen die zugehörige Ober- und Untersumme:

Wir stellen fest:

Daraus folgt die Riemannintegrierbarkeit von mithilfe des -Kriteriums, denn für alle können wir ein mit finden. Für die zugehörige Zerlegung gilt also .

Fast überall gleiche Funktionen haben das gleiche Riemannintegral[Bearbeiten]

Blue pen icon.svg

Satz

Seien zwei Funktionen, die fast überall übereinstimmen, d.h. es gibt nur endlich viele mit . Dann gilt: Ist riemannintegrierbar, so ist auch riemannintegrierbar. Ferner ist dann

Applications-office.svg

Beweis

Wir dürfen annehmen, dass gilt. Andernfalls können wir nämlich durch die Nullfunktion und durch ersetzen. Wenn wir gezeigt haben, dass riemannintegrierbar ist mit , folgt aus der Summenregel, dass riemannintegrierbar ist mit

Sei nun also . Die Stellen, an denen sich von unterscheidet, nennen wir . Es gilt also

wobei irgendwelche Funktionswerte sind. Wir sehen, dass sich als Summe der Funktionen schreiben lässt, die durch

definiert sind. Indem wir erneut auf die Summenregel zurückgreifen, können wir uns also auf den Fall beschränken. Haben wir nämlich bereits gezeigt, dass jede der Funktionen , die sich nur an der einen Stelle von der Nullfunktion unterscheidet, riemannintegrierbar ist und ihr Integral gleich ist, so gilt genau das gleiche auch für ihre Summe . Sei daher . Wir dürfen ferner voraussetzen, dass ist. Falls nämlich wäre, so können wir die Aussage zunächst separat auf den beiden Intervallen und beweisen, wo jeweils eine der Intervallgrenzen ist, und anschließend die Additivität der Grenzen beim Riemannintegral benützen. Sei nun also . Wir können uns auf den Fall beschränken. Denn andernfalls betrachten wir stattdessen die Funktion und wenden danach die Faktorregel für den Faktor an. Sei daher . Auch dürfen wir annehmen, dass ist, da für die einzige Zerlegung durch gegeben ist und deshalb die einzige Ober- und Untersumme zu einer beliebigen Funktion stets leer ist und daher den Wert hat. Wir unterscheiden jetzt zwei Fälle:

Fall 1:

Wir betrachten die Zerlegungen für . Es gilt

sowie

Fall 2:

Wir betrachten die Zerlegungen für . Es gilt

sowie

In beiden Fällen erkennen wir, dass

und

gelten. Folglich ist riemannintegrierbar mit .