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Übersicht: Eigenschaften des Riemannintegrals [Bearbeiten]
- Stetige Funktionen sind riemannintegrierbar.
- Monotonie: Aus
für alle
folgt
.
- Summenregel: Wenn
und
riemannintegrierbar sind, dann sind auch
riemannintegrierbar und es gilt
.
- Faktorregel: Wenn
riemannintegrierbar ist, dann ist es auch die Funktion
mit
und es gilt
.
- Additivität der Grenzen: Seien
mit
und sei
eine Funktion. Dann ist
genau dann riemannintegrierbar auf dem Intervall
, wenn
auf den Intervallen
und
jeweils riemannintegrierbar ist. In diesem Fall gilt
.
- Dreiecksungleichung: Sei
eine riemannintegrierbare Funktion, wobei
und
reelle Zahlen mit
sind. Dann ist die Funktion
riemannintegrierbar und es gilt
.
- Produktregel: Seien
und
zwei riemannintegrierbare Funktionen, wobei
und
reelle Zahlen mit
sind. Dann ist die Funktion
riemannintegrierbar.
- Monotone Funktionen sind riemannintegrierbar.
- Wenn sich eine Funktion von einer riemannintegrierbaren Funktion nur an endlich vielen Stellen unterscheidet, dann ist auch sie riemannintegrierbar und ihr Integral ist gleich dem Integral der anderen Funktion.
Herleitung und Beweis der Eigenschaften[Bearbeiten]
Stetige Funktionen sind riemannintegrierbar[Bearbeiten]
Anschaulich ist das Integral einer Funktion
der Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion und der
-Achse. Es macht Sinn, dass man diesen Flächeninhalt bei einer stetigen Funktion ausrechnen kann, d.h., dass das Integral
existiert. Das wollen wir nun beweisen.
Beweis (Stetige Funktionen sind riemannintegrierbar)
ist stetig auf dem kompakten Intervall
. Also ist
beschränkt und gleichmäßig stetig. Das heißt, für alle
gibt es ein
, so dass für alle
mit
gilt
.
Sei
eine Zerlegung von
. Wenn
, dann gilt für alle
, dass
Folglich gilt
Damit ist
riemannintegrierbar.
Monotonie des Riemannintegrals[Bearbeiten]
Nun betrachten wir zwei riemannintegrierbare Funktionen
und
mit
, d.h.
für alle
, wobei
mit
.
To-Do:
Bild von
und
, Funktionen müssen nicht stetig sein
Anschaulich macht es Sinn, dass
gilt. Denn die Fläche unter dem Graphen von
ist kleiner oder gleich der Fläche unter dem Graphen von
.
Dass
, können wir auch folgendermaßen begründen:
Wir betrachten die Ober- und die Untersumme für eine beliebige Zerlegung
des Intervalls
.
To-Do:
Bild von davor mit Ober- und Untersummen
Wir sehen, dass
Da dies für alle Zerlegungen
gilt, folgt
und
. Also gilt
.
Wir haben uns gerade anschaulich überlegt, warum der folgende Satz gilt. Nun werden wir diesen auch beweisen.
Beweis (Monotonie des Riemannintegrals)
Es sei
eine beliebige Zerlegung des Intervalls
. Wir vergleichen
und
.
Folglich gilt
Somit ist
Die Summe zweier riemannintegrierbarer Funktionen ist riemannintegrierbar[Bearbeiten]
Beweis
Seien
und
Zerlegungen des Intervalls
. Bezeichnet
eine gemeinsame Verfeinerung von
und
, so gilt
sowie
Folglich gilt
Genauso zeigen wir
:
Bisher haben wir damit folgendes bewiesen:
Nach Voraussetzung sind die Funktionen
und
riemannintegrierbar. Also gilt:
Außerdem wissen wir, dass
und somit gilt
. Also ist
riemannintegrierbar. Weiter gilt
Beweis (Faktorregel)
Sei
eine beliebige Zerlegung des Intervalls
. Wir betrachten zwei Fälle:


Fall 1: 
Es gilt:
und
Somit gilt
und
Also:
Damit ist die Funktion
riemannintegrierbar und es gilt
Fall 2: 
Es gilt:
und
Somit gilt
und
Also:
Damit ist die Funktion
riemannintegrierbar und es gilt
Additivität der Grenzen beim Riemannintegral[Bearbeiten]
Satz
Seien
mit
. Sei weiter
eine Funktion. Dann ist
genau dann riemannintegrierbar auf dem Intervall
, wenn
auf den Intervallen
und
jeweils riemannintegrierbar ist. In diesem Fall gilt
Beweis
Wir beweisen zunächst
und
.
Sei
eine Zerlegung des Intervalls
und
eine Zerlegung des Intervalls
. Es gelten also
,
und
. Damit ist
eine Zerlegung des Intervalls
. Es gilt
sowie
Folglich gilt
und
Als Nächstes zeigen wir
und
.
Sei
eine beliebige Zerlegung des Intervalls
.
Wir wollen eine Verfeinerung
von
finden, in der
vorkommt, also
für ein
gilt.
Falls
bereits in der Zerlegung
vorkommt, so können wir einfach
wählen.
Andernfalls gibt es ein
mit
und dann ist
eine Verfeinerung mit der gewünschten Eigenschaft (in diesem Fall gilt
).
Sei nun also
eine Verfeinerung von
mit
. Dann sind
und
Zerlegungen der Intervalle
bzw.
. Da
eine Verfeinerung von
ist, gilt
Genauso ist
Folglich gilt
und
Insgesamt haben wir
und
gezeigt.
Ist nun
riemannintegrierbar auf den Intervallen
und
, so wissen wir
und
.
Daraus folgt
, d.h.
ist riemannintegrierbar auf
.
Ist hingegen
auf
oder
nicht riemannintegrierbar, so gilt
oder
, da
die Ungleichungen
und
stets erfüllt sind. Daraus folgt
, d.h.
ist
nicht riemannintegrierbar auf
. Hiermit wurde die zu zeigende Äquivalenz bewiesen.
Im Falle der Integrierbarkeit gilt zudem
Dreiecksungleichung für das Riemannintegral[Bearbeiten]
Beweis
Um zu zeigen, dass
riemannintegrierbar ist, verwenden wir das dazu äquivalente
-Kriterium, welches wir bereits bewiesen haben.
Sei also
. Wir müssen eine Zerlegung
mit
finden. Weil
riemannintegrierbar ist, gibt es eine Zerlegung
mit
. Wir wollen zeigen, dass für diese Zerlegung
auch
gilt. Dazu beweisen wir zunächst
für jedes Intervall
mit
. Wir führen die Abkürzungen
,
,
und
ein und unterscheiden zwischen drei Fällen:



Zu zeigen ist jeweils
.
Fall 1: 
Fall 2: 
Für alle
gilt
. Daher ist
und
. Wegen
gilt
. Folglich erhalten wir
.
Fall 3: 
Damit ist
für alle Intervalle
mit
gezeigt. Dies wenden wir jetzt auf die Intervalle
unserer Zerlegung
an:
Nun haben wir gezeigt, dass die Funktion
riemannintegrierbar ist. Da
für alle
gilt, können wir die Monotonie des Riemannintegrals auf die riemannintegrierbaren Funktionen
und
anwenden und erhalten
Gemäß der Faktorregel ist die Funktion
ebenfalls riemannintegrierbar und es gilt
Für alle
gilt
, sodass wir die Monotonie des Riemannintegrals auch auf die riemannintegrierbaren Funktionen
und
anwenden können:
Schließlich ist
Hinweis
Aus der Riemannintegrierbarkeit von
kann im Allgemeinen nicht die Riemannintegrierbarkeit von
geschlossen werden.
Beispiel
Sei
definiert durch
Dann gilt
für alle
. Deshalb ist die Funktion
riemannintegrierbar (denn konstante Funktionen sind stetig). Jedoch ist die Funktion
nicht riemannintegrierbar, da in jedem Intervall
mit
sowohl rationale als auch irrationale Zahlen liegen und daher
, aber
für alle Zerlegungen
des Intervalls
gilt.
Das Produkt zweier riemannintegrierbarer Funktionen ist riemannintegrierbar[Bearbeiten]
Beweis
Um zu zeigen, dass
riemannintegrierbar ist, verwenden wir das dazu äquivalente
-Kriterium, welches wir bereits bewiesen haben.
Sei also
. Wir müssen eine Zerlegung
mit
finden. Da die Funktionen
und
beschränkt sind, existieren reelle Zahlen
mit
und
für alle
. Weil
und
riemannintegrierbar sind, gibt es Zerlegungen
und
mit
und
. Sei
eine gemeinsame Verfeinerung von
und
. Wir wollen zeigen, dass
gilt. Dazu beweisen wir zunächst
für jedes Intervall
mit
. Es gilt
Dies wenden wir jetzt auf die Intervalle
unserer Zerlegung
an:
Somit ist
riemannintegrierbar.
Monotone Funktionen sind riemannintegrierbar[Bearbeiten]
Ober- und Untersumme einer monoton steigenden Funktion bei Aufteilung in gleich große Teilintervalle
Ist unsere Funktion
monoton, so werden die Suprema und Infima auf den Teilintervallen einer Zerlegung stets am Rand der Teilintervalle angenommen. In der Abbildung sieht man, dass die Fläche zwischen Ober- und Untersumme deshalb aus Rechtecken zusammengesetzt ist, die sich nur über Eck berühren. Haben alle Rechtecke die gleiche Breite
, können wir sie zu einem einzigen Rechteck mit Breite
und Höhe
zusammenschieben. Das bedeutet, die Differenz zwischen Ober- und Untersumme kann beliebig klein gemacht werden, wenn wir die Breite
genügend klein wählen. Damit haben wir uns anschaulich überlegt, dass die monotone Funktion
riemannintegrierbar sein muss. Dies wollen wir nun beweisen.
Beweis
Wir nehmen an, dass
monoton steigend ist. Wäre
monoton fallend, so können wir stattdessen die monoton steigende Funktion
betrachten und anschließend die Faktorregel mit dem Faktor
anwenden. Weil
monoton steigend ist, gilt
sowie
für alle Intervalle
mit
.
Ist
, so ist
konstant und daher riemannintegrierbar. Andernfalls ist
mit
für jedes
eine Zerlegung des Intervalls
. Anschaulich handelt es sich dabei um die Zerlegung von
in
gleich große Teilintervalle. Wir berechnen die zugehörige Ober- und Untersumme:
Wir stellen fest:
Daraus folgt die Riemannintegrierbarkeit von
mithilfe des
-Kriteriums, denn für alle
können wir ein
mit
finden. Für die zugehörige Zerlegung
gilt also
.
Fast überall gleiche Funktionen haben das gleiche Riemannintegral[Bearbeiten]
Beweis
Wir dürfen annehmen, dass
gilt. Andernfalls können wir nämlich
durch die Nullfunktion und
durch
ersetzen. Wenn wir gezeigt haben, dass
riemannintegrierbar ist mit
, folgt aus der Summenregel, dass
riemannintegrierbar ist mit
Sei nun also
. Die Stellen, an denen sich
von
unterscheidet, nennen wir
. Es gilt also
wobei
irgendwelche Funktionswerte sind. Wir sehen, dass sich
als Summe der
Funktionen
schreiben lässt, die durch
definiert sind. Indem wir erneut auf die Summenregel zurückgreifen, können wir uns also auf den Fall
beschränken. Haben wir nämlich bereits gezeigt, dass jede der Funktionen
, die sich nur an der einen Stelle
von der Nullfunktion unterscheidet, riemannintegrierbar ist und ihr Integral gleich
ist, so gilt genau das gleiche auch für ihre Summe
. Sei daher
. Wir dürfen ferner voraussetzen, dass
ist. Falls nämlich
wäre, so können wir die Aussage zunächst separat auf den beiden Intervallen
und
beweisen, wo
jeweils eine der Intervallgrenzen ist, und anschließend die Additivität der Grenzen beim Riemannintegral benützen. Sei nun also
. Wir können uns auf den Fall
beschränken. Denn andernfalls betrachten wir stattdessen die Funktion
und wenden danach die Faktorregel für den Faktor
an. Sei daher
. Auch dürfen wir annehmen, dass
ist, da für
die einzige Zerlegung durch
gegeben ist und deshalb die einzige Ober- und Untersumme zu einer beliebigen Funktion stets leer ist und daher den Wert
hat. Wir unterscheiden jetzt zwei Fälle:
Fall 1: 
Wir betrachten die Zerlegungen
für
. Es gilt
sowie
Fall 2: 
Wir betrachten die Zerlegungen
für
. Es gilt
sowie
In beiden Fällen erkennen wir, dass
und
gelten. Folglich ist
riemannintegrierbar mit
.