Eigenschaften des Riemannintegrals – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Übersicht: Eigenschaften des Riemannintegrals

• Stetige Funktionen sind riemannintegrierbar.
• Monotonie: Aus $f(x)\leq g(x)$ für alle $x\in [a,b]$ folgt ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x}$.
• Summenregel: Wenn $f$ und $g$ riemannintegrierbar sind, dann sind auch $f+g$ riemannintegrierbar und es gilt ${\textstyle \int _{a}^{b}\left(f(x)+g(x)\right)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x}$.
• Faktorregel: Wenn $f$ riemannintegrierbar ist, dann ist es auch die Funktion $\lambda \cdot f$ mit $\lambda \in \mathbb {R}$ und es gilt ${\textstyle \int _{a}^{b}\lambda f(x)\mathrm {d} x=\lambda \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}$.
• Additivität der Grenzen: Seien $a,b,c\in \mathbb {R}$ mit $a\leq c\leq b$ und sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ eine Funktion. Dann ist $f$ genau dann riemannintegrierbar auf dem Intervall $[a,b]$, wenn $f$ auf den Intervallen $[a,c]$ und $[c,b]$ jeweils riemannintegrierbar ist. In diesem Fall gilt ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{c}f(x)\mathrm {d} x+\int _{c}^{b}f(x)\mathrm {d} x}$.
• Dreiecksungleichung: Sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ eine riemannintegrierbare Funktion, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen mit $a\leq b$ sind. Dann ist die Funktion $|f|:[a,b]\to \mathbb {R} ,x\mapsto |f(x)|$ riemannintegrierbar und es gilt ${\textstyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\mathrm {d} x}$.
• Produktregel: Seien $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ und $g:[a,b]\to \mathbb {R}$ zwei riemannintegrierbare Funktionen, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen mit $a\leq b$ sind. Dann ist die Funktion $(f\cdot g):[a,b]\to \mathbb {R} ,x\mapsto f(x)\cdot g(x)$ riemannintegrierbar.
• Monotone Funktionen sind riemannintegrierbar.
• Wenn sich eine Funktion von einer riemannintegrierbaren Funktion nur an endlich vielen Stellen unterscheidet, dann ist auch sie riemannintegrierbar und ihr Integral ist gleich dem Integral der anderen Funktion.

Herleitung und Beweis der Eigenschaften

Stetige Funktionen sind riemannintegrierbar

Anschaulich ist das Integral einer Funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ der Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion und der $x$-Achse. Es macht Sinn, dass man diesen Flächeninhalt bei einer stetigen Funktion ausrechnen kann, d.h., dass das Integral $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$ existiert. Das wollen wir nun beweisen.

Satz (Stetige Funktionen sind riemannintegrierbar)

Seien $a,b\in \mathbb {R}$ und $a\leq b$. Sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ stetig. Dann ist $f$ riemannintegrierbar.

Beweis (Stetige Funktionen sind riemannintegrierbar)

$f$ ist stetig auf dem kompakten Intervall $[a,b]$. Also ist $f$ beschränkt und gleichmäßig stetig. Das heißt, für alle $\epsilon >0$ gibt es ein $\delta >0$, so dass für alle $x,y\in [a,b]$ mit $|x-y|<\delta$ gilt $|f(x)-f(y)|<{\tfrac {\epsilon }{b-a}}$. Sei $\Delta =(x_{0},\ldots ,x_{n})$ eine Zerlegung von $[a,b]$. Wenn $|\Delta |<\delta$, dann gilt für alle $k\in \{0,\ldots ,n-1\}$, dass

${\begin{aligned}&\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)-\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ f{\text{ ist stetig}}\right.}\\[0.3em]=\ &\max _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)-\min _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Für alle }}x,y\in [x_{k},x_{k+1}]{\text{ gilt }}|x-y|<\delta \right.}\\[0.3em]<\ &{\frac {\epsilon }{b-a}}\end{aligned}}$

Folglich gilt

${\begin{aligned}&O(\Delta ,f)-U(\Delta ,f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)-\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\right)\\[0.3em]<\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k}){\frac {\epsilon }{b-a}}\\[0.3em]=\ &(b-a){\frac {\epsilon }{b-a}}\\[0.3em]=\ &\epsilon \end{aligned}}$

Damit ist $f$ riemannintegrierbar.

Monotonie des Riemannintegrals

Nun betrachten wir zwei riemannintegrierbare Funktionen $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ und $g:[a,b]\to \mathbb {R}$ mit $f\leq g$, d.h. $f(x)\leq g(x)$ für alle $x\in [a,b]$, wobei $a,b\in \mathbb {R}$ mit $a\leq b$.

To-Do:

Bild von $f$ und $g$, Funktionen müssen nicht stetig sein

Anschaulich macht es Sinn, dass $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x$ gilt. Denn die Fläche unter dem Graphen von $f$ ist kleiner oder gleich der Fläche unter dem Graphen von $g$.

Dass $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x$, können wir auch folgendermaßen begründen:

Wir betrachten die Ober- und die Untersumme für eine beliebige Zerlegung ${\tilde {\Delta }}$ des Intervalls $[a,b]$.

To-Do:

Bild von davor mit Ober- und Untersummen

Wir sehen, dass

${\begin{aligned}&O({\tilde {\Delta }},f)\leq O({\tilde {\Delta }},g)\\[0.3em]&U({\tilde {\Delta }},f)\leq U({\tilde {\Delta }},g)\\[0.3em]\end{aligned}}$

Da dies für alle Zerlegungen ${\tilde {\Delta }}$ gilt, folgt $I_{+}(f,[a,b])\leq I_{+}(g,[a,b])$ und $I_{-}(f,[a,b])\leq I_{-}(g,[a,b])$. Also gilt $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x$.

Wir haben uns gerade anschaulich überlegt, warum der folgende Satz gilt. Nun werden wir diesen auch beweisen.

Satz (Monotonie des Riemannintegrals)

Seien $f,g:[a,b]\to \mathbb {R}$ zwei riemannintegrierbare Funktionen und $a,b\in \mathbb {R}$ mit $a\leq b$. Weiter gelte $f\leq g$, d.h. für alle $x\in [a,b]$ ist $f(x)\leq g(x)$. Dann gilt

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x$

Beweis (Monotonie des Riemannintegrals)

Es sei ${\tilde {\Delta }}=(x_{0},\ldots ,x_{n})$ eine beliebige Zerlegung des Intervalls $[a,b]$. Wir vergleichen $O({\tilde {\Delta }},f)$ und $O({\tilde {\Delta }},g)$.

${\begin{aligned}&O({\tilde {\Delta }},f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ f(x)\leq g(x){\text{ für alle }}x\in [a,b]\right.}\\[0.3em]\leq \ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)\\[0.3em]=\ &O({\tilde {\Delta }},g)\\[0.3em]\end{aligned}}$

Folglich gilt

${\begin{aligned}&I_{+}(f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}O(\Delta ,f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ O(\Delta ,f)\leq O(\Delta ,g){\text{ für alle Zerlegungen }}\Delta \right.}\\[0.3em]\leq \ &\inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}O(\Delta ,g)\\[0.3em]=\ &I_{+}(g,[a,b])\end{aligned}}$

Somit ist

${\begin{aligned}&\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ f{\text{ riemannintegrierbar}}\right.}\\[0.3em]=\ &I_{+}(f,[a,b])\\[0.3em]\leq \ &I_{+}(g,[a,b])\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ g{\text{ riemannintegrierbar}}\right.}\\[0.3em]=\ &\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x\\[0.3em]\end{aligned}}$

Die Summe zweier riemannintegrierbarer Funktionen ist riemannintegrierbar

Satz

Seien $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ und $g:[a,b]\to \mathbb {R}$ zwei riemannintegrierbare Funktionen, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen mit $a\leq b$ sind. Dann ist die Funktion $(f+g):[a,b]\to \mathbb {R} ,x\mapsto f(x)+g(x)$ riemannintegrierbar und es gilt

$\int _{a}^{b}\left(f(x)+g(x)\right)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x$

Beweis

Seien $\Delta _{1}$ und $\Delta _{2}$ Zerlegungen des Intervalls $[a,b]$. Bezeichnet ${\tilde {\Delta }}=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ eine gemeinsame Verfeinerung von $\Delta _{1}$ und $\Delta _{2}$, so gilt

${\begin{aligned}&O(\Delta _{1},f)+O(\Delta _{2},g)\\[0.3em]\geq \ &O({\tilde {\Delta }},f)+O({\tilde {\Delta }},g)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)+\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)+\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)\right)\\[0.3em]\geq \ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}(f(x)+g(x))\\[0.3em]=\ &O({\tilde {\Delta }},f+g)\\[0.3em]\geq \ &I_{+}(f+g,[a,b])\end{aligned}}$

sowie

${\begin{aligned}&U(\Delta _{1},f)+U(\Delta _{2},g)\\[0.3em]\leq \ &U({\tilde {\Delta }},f)+U({\tilde {\Delta }},g)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)+\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)+\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)\right)\\[0.3em]\leq \ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}(f(x)+g(x))\\[0.3em]=\ &U({\tilde {\Delta }},f+g)\\[0.3em]\leq \ &I_{-}(f+g,[a,b])\end{aligned}}$

Folglich gilt

${\begin{aligned}&I_{+}(f,[a,b])+I_{+}(g,[a,b])\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta _{1}{\text{ Zerlegung}}}O(\Delta _{1},f)+\inf _{\Delta _{2}{\text{ Zerlegung}}}O(\Delta _{2},g)\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta _{1},\Delta _{2}{\text{ Zerlegungen}}}\left(O(\Delta _{1},f)+O(\Delta _{2},g)\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ O(\Delta _{1},f)+O(\Delta _{2},g)\geq I_{+}(f+g,[a,b]){\text{ für alle Zerlegungen }}\Delta _{1},\Delta _{2}\right.}\\[0.3em]\geq \ &I_{+}(f+g,[a,b])\end{aligned}}$

Genauso zeigen wir $I_{-}(f+g,[a,b])\geq I_{-}(f,[a,b])+I_{-}(g,[a,b])$:

${\begin{aligned}&I_{-}(f,[a,b])+I_{-}(g,[a,b])\\[0.3em]=\ &\sup _{\Delta _{1}{\text{ Zerlegung}}}U(\Delta _{1},f)+\sup _{\Delta _{2}{\text{ Zerlegung}}}U(\Delta _{2},g)\\[0.3em]=\ &\sup _{\Delta _{1},\Delta _{2}{\text{ Zerlegungen}}}\left(U(\Delta _{1},f)+U(\Delta _{2},g)\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ U(\Delta _{1},f)+U(\Delta _{2},g)\leq I_{-}(f+g,[a,b]){\text{ für alle Zerlegungen }}\Delta _{1},\Delta _{2}\right.}\\[0.3em]\leq \ &I_{-}(f+g,[a,b])\end{aligned}}$

Bisher haben wir damit folgendes bewiesen:

${\begin{aligned}I_{+}(f+g,[a,b])&\leq I_{+}(f,[a,b])+I_{+}(g,[a,b])\\[0.3em]I_{-}(f+g,[a,b])&\geq I_{-}(f,[a,b])+I_{-}(g,[a,b])\\[0.3em]\end{aligned}}$

Nach Voraussetzung sind die Funktionen $f$ und $g$ riemannintegrierbar. Also gilt:

${\begin{aligned}&I_{+}(f+g,[a,b])\\[0.3em]\leq \ &I_{+}(f,[a,b])+I_{+}(g,[a,b])\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ I_{+}(f,[a,b])=I_{-}(f,[a,b]){\text{ und }}I_{+}(g,[a,b])=I_{-}(g,[a,b])\right.}\\[0.3em]=\ &I_{-}(f,[a,b])+I_{-}(g,[a,b])\\[0.3em]\leq \ &I_{-}(f+g,[a,b])\\[0.3em]\end{aligned}}$

Außerdem wissen wir, dass $I_{+}(f+g,[a,b])\geq I_{-}(f+g,[a,b])$ und somit gilt $I_{+}(f+g,[a,b])=I_{-}(f+g,[a,b])$. Also ist $f+g$ riemannintegrierbar. Weiter gilt

$\int _{a}^{b}\left(f(x)+g(x)\right)\mathrm {d} x=I_{+}(f+g,[a,b])=I_{+}(f,[a,b])+I_{+}(g,[a,b])=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x$

Faktorregel

Satz (Faktorregel)

Sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ eine riemannintegrierbare Funktion, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen mit $a\leq b$ sind. Sei weiter $\lambda \in \mathbb {R}$. Dann ist die Funktion $(\lambda f):[a,b]\to \mathbb {R} ,x\mapsto \lambda \cdot f(x)$ riemannintegrierbar und es gilt

$\int _{a}^{b}\lambda f(x)\mathrm {d} x=\lambda \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$

Beweis (Faktorregel)

Sei ${\tilde {\Delta }}=(x_{0},\ldots ,x_{n})$ eine beliebige Zerlegung des Intervalls $[a,b]$. Wir betrachten zwei Fälle:

1. $\lambda \geq 0$
2. $\lambda <0$

Fall 1: $\lambda \geq 0$

Es gilt:

${\begin{aligned}&O({\tilde {\Delta }},\lambda f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}\lambda \cdot f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lambda \geq 0\right.}\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\cdot \lambda \cdot \sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot \sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot O({\tilde {\Delta }},f)\\[0.3em]\end{aligned}}$

und

${\begin{aligned}&U({\tilde {\Delta }},\lambda f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}\lambda \cdot f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lambda \geq 0\right.}\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\cdot \lambda \cdot \inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot \sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot U({\tilde {\Delta }},f)\\[0.3em]\end{aligned}}$

Somit gilt

${\begin{aligned}&I_{+}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}O(\Delta ,\lambda f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ O({\tilde {\Delta }},\lambda f)=\lambda O({\tilde {\Delta }},f){\text{ für alle Zerlegungen }}{\tilde {\Delta }}\right.}\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}\lambda O(\Delta ,f)\\[0.3em]=\ &\lambda \inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}O(\Delta ,f)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{+}(f,[a,b])\end{aligned}}$

und

${\begin{aligned}&I_{-}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\sup _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}U(\Delta ,\lambda f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ U({\tilde {\Delta }},\lambda f)=\lambda U({\tilde {\Delta }},f){\text{ für alle Zerlegungen }}{\tilde {\Delta }}\right.}\\[0.3em]=\ &\sup _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}\lambda U(\Delta ,f)\\[0.3em]=\ &\lambda \sup _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}U(\Delta ,f)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{-}(f,[a,b])\end{aligned}}$

Also:

${\begin{aligned}&I_{+}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{+}(f,[a,b])\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ f{\text{ ist riemannintegrierbar, d.h. }}I_{+}(f,[a,b])=I_{-}(f,[a,b])\right.}\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{-}(f,[a,b])\\[0.3em]=\ &I_{-}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]\end{aligned}}$

Damit ist die Funktion $\lambda f$ riemannintegrierbar und es gilt

${\begin{aligned}&\int _{a}^{b}\lambda f(x)\mathrm {d} x\\[0.3em]=\ &I_{+}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{+}(f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\lambda \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\end{aligned}}$

Fall 2: $\lambda <0$

Es gilt:

${\begin{aligned}&O({\tilde {\Delta }},\lambda f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}\lambda \cdot f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lambda <0\right.}\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\cdot \lambda \cdot \inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot \sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot U({\tilde {\Delta }},f)\\[0.3em]\end{aligned}}$

und

${\begin{aligned}&U({\tilde {\Delta }},\lambda f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}\lambda \cdot f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lambda <0\right.}\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\cdot \lambda \cdot \sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot \sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot O({\tilde {\Delta }},f)\\[0.3em]\end{aligned}}$

Somit gilt

${\begin{aligned}&I_{+}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}O(\Delta ,\lambda f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ O({\tilde {\Delta }},\lambda f)=\lambda U({\tilde {\Delta }},f){\text{ für alle Zerlegungen }}{\tilde {\Delta }}\right.}\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}\lambda U(\Delta ,f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lambda <0\right.}\\[0.3em]=\ &\lambda \sup _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}U(\Delta ,f)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{-}(f,[a,b])\end{aligned}}$

und

${\begin{aligned}&I_{-}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\sup _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}U(\Delta ,\lambda f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ U({\tilde {\Delta }},\lambda f)=\lambda O({\tilde {\Delta }},f){\text{ für alle Zerlegungen }}{\tilde {\Delta }}\right.}\\[0.3em]=\ &\sup _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}\lambda O(\Delta ,f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lambda <0\right.}\\[0.3em]=\ &\lambda \inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}O(\Delta ,f)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{+}(f,[a,b])\end{aligned}}$

Also:

${\begin{aligned}&I_{+}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{-}(f,[a,b])\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ f{\text{ ist riemannintegrierbar, d.h. }}I_{+}(f,[a,b])=I_{-}(f,[a,b])\right.}\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{+}(f,[a,b])\\[0.3em]=\ &I_{-}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]\end{aligned}}$

Damit ist die Funktion $\lambda f$ riemannintegrierbar und es gilt

${\begin{aligned}&\int _{a}^{b}\lambda f(x)\mathrm {d} x\\[0.3em]=\ &I_{+}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{-}(f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\lambda \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\end{aligned}}$

Additivität der Grenzen beim Riemannintegral

Satz

Seien $a,b,c\in \mathbb {R}$ mit $a\leq c\leq b$. Sei weiter $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ eine Funktion. Dann ist $f$ genau dann riemannintegrierbar auf dem Intervall $[a,b]$, wenn $f$ auf den Intervallen $[a,c]$ und $[c,b]$ jeweils riemannintegrierbar ist. In diesem Fall gilt

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{c}f(x)\mathrm {d} x+\int _{c}^{b}f(x)\mathrm {d} x$

Beweis

Wir beweisen zunächst $I_{+}(f,[a,c])+I_{+}(f,[c,b])\geq I_{+}(f,[a,b])$ und $I_{-}(f,[a,c])+I_{-}(f,[c,b])\leq I_{-}(f,[a,b])$. Sei $\Delta _{1}=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ eine Zerlegung des Intervalls $[a,c]$ und $\Delta _{2}=(w_{0},\ldots ,w_{l})$ eine Zerlegung des Intervalls $[c,b]$. Es gelten also $a=x_{0}$, $x_{n}=c=w_{0}$ und $w_{l}=b$. Damit ist $\Delta :=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n},w_{1},\ldots ,w_{l})$ eine Zerlegung des Intervalls $[a,b]$. Es gilt

${\begin{aligned}&O(\Delta _{1},f)+O(\Delta _{2},f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)+\sum _{k=0}^{l-1}(w_{k+1}-w_{k})\sup _{x\in [w_{k},w_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &O(\Delta ,f)\\[0.3em]\geq \ &I_{+}(f,[a,b])\end{aligned}}$

sowie

${\begin{aligned}&U(\Delta _{1},f)+U(\Delta _{2},f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)+\sum _{k=0}^{l-1}(w_{k+1}-w_{k})\inf _{x\in [w_{k},w_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &U(\Delta ,f)\\[0.3em]\leq \ &I_{-}(f,[a,b])\end{aligned}}$

Folglich gilt

${\begin{aligned}&I_{+}(f,[a,c])+I_{+}(f,[c,b])\\[0.3em]=\ &\left(\inf _{\Delta _{1}{\text{ Zerlegung}}}O(\Delta _{1},f)\right)+\left(\inf _{\Delta _{2}{\text{ Zerlegung}}}O(\Delta _{2},f)\right)\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta _{1},\Delta _{2}{\text{ Zerlegungen}}}\left(O(\Delta _{1},f)+O(\Delta _{2},f)\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ O(\Delta _{1},f)+O(\Delta _{2},f)\geq I_{+}(f,[a,b]){\text{ für alle Zerlegungen }}\Delta _{1},\Delta _{2}{\text{ von }}[a,c]{\text{ bzw. }}[c,b]\right.}\\[0.3em]\geq \ &I_{+}(f,[a,b])\end{aligned}}$

und

${\begin{aligned}&I_{-}(f,[a,c])+I_{-}(f,[c,b])\\[0.3em]=\ &\left(\sup _{\Delta _{1}{\text{ Zerlegung}}}U(\Delta _{1},f)\right)+\left(\sup _{\Delta _{2}{\text{ Zerlegung}}}U(\Delta _{2},f)\right)\\[0.3em]=\ &\sup _{\Delta _{1},\Delta _{2}{\text{ Zerlegungen}}}\left(U(\Delta _{1},f)+U(\Delta _{2},f)\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ U(\Delta _{1},f)+U(\Delta _{2},f)\leq I_{-}(f,[a,b]){\text{ für alle Zerlegungen }}\Delta _{1},\Delta _{2}{\text{ von }}[a,c]{\text{ bzw. }}[c,b]\right.}\\[0.3em]\leq \ &I_{-}(f,[a,b])\end{aligned}}$

Als Nächstes zeigen wir $I_{+}(f,[a,b])\geq I_{+}(f,[a,c])+I_{+}(f,[c,b])$ und $I_{-}(f,[a,b])\leq I_{-}(f,[a,c])+I_{-}(f,[c,b])$. Sei $\Delta =(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ eine beliebige Zerlegung des Intervalls $[a,b]$. Wir wollen eine Verfeinerung ${\tilde {\Delta }}=(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{m})$ von $\Delta$ finden, in der $c$ vorkommt, also $c=y_{i}$ für ein $0\leq i\leq m$ gilt. Falls $c$ bereits in der Zerlegung $\Delta$ vorkommt, so können wir einfach ${\tilde {\Delta }}=\Delta$ wählen. Andernfalls gibt es ein $0\leq i<n$ mit $x_{i}<c<x_{i+1}$ und dann ist ${\tilde {\Delta }}=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{i},c,x_{i+1},\ldots ,x_{n})$ eine Verfeinerung mit der gewünschten Eigenschaft (in diesem Fall gilt $m=n+1$). Sei nun also ${\tilde {\Delta }}=(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{m})$ eine Verfeinerung von $\Delta$ mit $c=y_{i}$. Dann sind $\Delta _{1}:=(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{i})$ und $\Delta _{2}:=(y_{i},y_{i+1},\ldots ,y_{m})$ Zerlegungen der Intervalle $[a,c]$ bzw. $[c,b]$. Da ${\tilde {\Delta }}$ eine Verfeinerung von $\Delta$ ist, gilt

${\begin{aligned}&O(\Delta ,f)\\[0.3em]\geq \ &O({\tilde {\Delta }},f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{m-1}(y_{k+1}-y_{k})\sup _{x\in [y_{k},y_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{i-1}(y_{k+1}-y_{k})\sup _{x\in [y_{k},y_{k+1}]}f(x)+\sum _{k=i}^{m-1}(y_{k+1}-y_{k})\sup _{x\in [y_{k},y_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &O(\Delta _{1},f)+O(\Delta _{2},f)\\[0.3em]\geq \ &I_{+}(f,[a,c])+I_{+}(f,[c,b])\end{aligned}}$

Genauso ist

${\begin{aligned}&U(\Delta ,f)\\[0.3em]\leq \ &U({\tilde {\Delta }},f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{m-1}(y_{k+1}-y_{k})\inf _{x\in [y_{k},y_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{i-1}(y_{k+1}-y_{k})\inf _{x\in [y_{k},y_{k+1}]}f(x)+\sum _{k=i}^{m-1}(y_{k+1}-y_{k})\inf _{x\in [y_{k},y_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &U(\Delta _{1},f)+U(\Delta _{2},f)\\[0.3em]\leq \ &I_{-}(f,[a,c])+I_{-}(f,[c,b])\end{aligned}}$

Folglich gilt

${\begin{aligned}&I_{+}(f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}O(\Delta ,f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ O(\Delta ,f)\geq I_{+}(f,[a,c])+I_{+}(f,[c,b]){\text{ für alle Zerlegungen }}\Delta {\text{ von }}[a,b]\right.}\\[0.3em]\geq \ &I_{+}(f,[a,c])+I_{+}(f,[c,b])\end{aligned}}$

und

${\begin{aligned}&I_{-}(f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\sup _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}U(\Delta ,f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ U(\Delta ,f)\leq I_{-}(f,[a,c])+I_{-}(f,[c,b]){\text{ für alle Zerlegungen }}\Delta {\text{ von }}[a,b]\right.}\\[0.3em]\leq \ &I_{-}(f,[a,c])+I_{-}(f,[c,b])\end{aligned}}$

Insgesamt haben wir $I_{+}(f,[a,b])=I_{+}(f,[a,c])+I_{+}(f,[c,b])$ und $I_{-}(f,[a,b])=I_{-}(f,[a,c])+I_{-}(f,[c,b])$ gezeigt.

Ist nun $f$ riemannintegrierbar auf den Intervallen $[a,c]$ und $[c,b]$, so wissen wir $I_{+}(f,[a,c])=I_{-}(f,[a,c])$ und $I_{+}(f,[c,b])=I_{-}(f,[c,b])$. Daraus folgt $I_{+}(f,[a,b])=I_{-}(f,[a,b])$, d.h. $f$ ist riemannintegrierbar auf $[a,b]$. Ist hingegen $f$ auf $[a,c]$ oder $[c,b]$ nicht riemannintegrierbar, so gilt $I_{+}(f,[a,c])>I_{-}(f,[a,c])$ oder $I_{+}(f,[c,b])>I_{-}(f,[c,b])$, da die Ungleichungen $I_{+}(f,[a,c])\geq I_{-}(f,[a,c])$ und $I_{+}(f,[c,b])\geq I_{-}(f,[c,b])$ stets erfüllt sind. Daraus folgt $I_{+}(f,[a,b])>I_{-}(f,[a,b])$, d.h. $f$ ist nicht riemannintegrierbar auf $[a,b]$. Hiermit wurde die zu zeigende Äquivalenz bewiesen.

Im Falle der Integrierbarkeit gilt zudem

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=I_{+}(f,[a,b])=I_{+}(f,[a,c])+I_{+}(f,[c,b])=\int _{a}^{c}f(x)\mathrm {d} x+\int _{c}^{b}f(x)\mathrm {d} x$

Dreiecksungleichung für das Riemannintegral

Satz

Sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ eine riemannintegrierbare Funktion, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen mit $a\leq b$ sind. Dann ist die Funktion $|f|:[a,b]\to \mathbb {R} ,x\mapsto |f(x)|$ riemannintegrierbar und es gilt

$\left|\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\mathrm {d} x$

Beweis

Um zu zeigen, dass $|f|$ riemannintegrierbar ist, verwenden wir das dazu äquivalente $\epsilon$-Kriterium, welches wir bereits bewiesen haben. Sei also $\epsilon >0$. Wir müssen eine Zerlegung ${\tilde {\Delta }}$ mit $O({\tilde {\Delta }},|f|)-U({\tilde {\Delta }},|f|)<\epsilon$ finden. Weil $f$ riemannintegrierbar ist, gibt es eine Zerlegung ${\tilde {\Delta }}=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ mit $O({\tilde {\Delta }},f)-U({\tilde {\Delta }},f)<\epsilon$. Wir wollen zeigen, dass für diese Zerlegung ${\tilde {\Delta }}$ auch $O({\tilde {\Delta }},|f|)-U({\tilde {\Delta }},|f|)<\epsilon$ gilt. Dazu beweisen wir zunächst $\sup _{x\in [c,d]}|f(x)|-\inf _{x\in [c,d]}|f(x)|\leq \sup _{x\in [c,d]}f(x)-\inf _{x\in [c,d]}f(x)$ für jedes Intervall $[c,d]\subseteq [a,b]$ mit $c\leq d$. Wir führen die Abkürzungen $A:=\inf _{x\in [c,d]}f(x)$, $B:=\sup _{x\in [c,d]}f(x)$, $C:=\inf _{x\in [c,d]}|f(x)|$ und $D:=\sup _{x\in [c,d]}|f(x)|$ ein und unterscheiden zwischen drei Fällen:

1. $0\leq A\leq B$
2. $A<0\leq B$
3. $A\leq B<0$

Zu zeigen ist jeweils $D-C\leq B-A$.

Fall 1: $0\leq A\leq B$

Für alle $x\in [c,d]$ gilt $f(x)\geq \inf _{x\in [c,d]}f(x)=A\geq 0$ und daher $|f(x)|=f(x)$. Somit ist $C=A$ und $D=B$, also $D-C=B-A$.

Fall 2: $A<0\leq B$

Für alle $x\in [c,d]$ gilt $0\leq |f(x)|=\max\{f(x),-f(x)\}\leq \max\{B,-A\}$. Daher ist $C\geq 0$ und $D\leq \max\{B,-A\}$. Wegen $B,-A\geq 0$ gilt $\max\{B,-A\}\leq B-A$. Folglich erhalten wir $D-C\leq \max\{B,-A\}-0\leq B-A$.

Fall 3: $A\leq B<0$

Für alle $x\in [c,d]$ gilt $f(x)\leq \sup _{x\in [c,d]}f(x)=B<0$ und daher $|f(x)|=-f(x)$. Somit ist $C=-B$ und $D=-A$, also $D-C=B-A$.

Damit ist $\sup _{x\in [c,d]}|f(x)|-\inf _{x\in [c,d]}|f(x)|\leq \sup _{x\in [c,d]}f(x)-\inf _{x\in [c,d]}f(x)$ für alle Intervalle $[c,d]\subseteq [a,b]$ mit $c\leq d$ gezeigt. Dies wenden wir jetzt auf die Intervalle $[x_{k},x_{k+1}]$ unserer Zerlegung ${\tilde {\Delta }}$ an:

${\begin{aligned}&O({\tilde {\Delta }},|f|)-U({\tilde {\Delta }},|f|)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}|f(x)|-\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}|f(x)|\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}|f(x)|-\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}|f(x)|\right)\\[0.3em]\leq \ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)-\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\right)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &O({\tilde {\Delta }},f)-U({\tilde {\Delta }},f)\\[0.3em]<\ &\epsilon \end{aligned}}$

Nun haben wir gezeigt, dass die Funktion $|f|$ riemannintegrierbar ist. Da $f(x)\leq |f(x)|$ für alle $x\in [a,b]$ gilt, können wir die Monotonie des Riemannintegrals auf die riemannintegrierbaren Funktionen $f$ und $|f|$ anwenden und erhalten

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\mathrm {d} x$

Gemäß der Faktorregel ist die Funktion $-f:[a,b]\to \mathbb {R} ,x\mapsto -f(x)$ ebenfalls riemannintegrierbar und es gilt

$\int _{a}^{b}-f(x)\mathrm {d} x=-\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$

Für alle $x\in [a,b]$ gilt $-f(x)\leq |f(x)|$, sodass wir die Monotonie des Riemannintegrals auch auf die riemannintegrierbaren Funktionen $-f$ und $|f|$ anwenden können:

$\int _{a}^{b}-f(x)\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\mathrm {d} x$

Schließlich ist

$\left|\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\right|=\max \left\{\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,-\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\right\}=\max \left\{\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\int _{a}^{b}-f(x)\mathrm {d} x\right\}\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\mathrm {d} x$

Hinweis

Aus der Riemannintegrierbarkeit von $|f|$ kann im Allgemeinen nicht die Riemannintegrierbarkeit von $f$ geschlossen werden.

Beispiel

Sei $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ definiert durch

$f(x)={\begin{cases}+1&x\in \mathbb {Q} \\-1&x\notin \mathbb {Q} \end{cases}}$

Dann gilt $|f(x)|=1$ für alle $x\in [0,1]$. Deshalb ist die Funktion $|f|$ riemannintegrierbar (denn konstante Funktionen sind stetig). Jedoch ist die Funktion $f$ nicht riemannintegrierbar, da in jedem Intervall $[c,d]\subseteq [0,1]$ mit $c<d$ sowohl rationale als auch irrationale Zahlen liegen und daher $O(\Delta ,f)=1$, aber $U(\Delta ,f)=-1$ für alle Zerlegungen $\Delta$ des Intervalls $[0,1]$ gilt.

Das Produkt zweier riemannintegrierbarer Funktionen ist riemannintegrierbar

Satz

Seien $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ und $g:[a,b]\to \mathbb {R}$ zwei riemannintegrierbare Funktionen, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen mit $a\leq b$ sind. Dann ist die Funktion $(f\cdot g):[a,b]\to \mathbb {R} ,x\mapsto f(x)\cdot g(x)$ riemannintegrierbar.

Im Allgemeinen gibt es keine einfache Möglichkeit, das Integral $\int _{a}^{b}f(x)g(x)\mathrm {d} x$ aus den Integralen $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$ und $\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x$ auszurechnen. Dennoch ist dieser Satz hilfreich, um die Integrierbarkeit einer Funktion nachzuweisen.

Beweis

Um zu zeigen, dass $fg$ riemannintegrierbar ist, verwenden wir das dazu äquivalente $\epsilon$-Kriterium, welches wir bereits bewiesen haben. Sei also $\epsilon >0$. Wir müssen eine Zerlegung ${\tilde {\Delta }}$ mit $O({\tilde {\Delta }},fg)-U({\tilde {\Delta }},fg)<\epsilon$ finden. Da die Funktionen $f$ und $g$ beschränkt sind, existieren reelle Zahlen $S,T>0$ mit $|f(x)|\leq S$ und $|g(x)|\leq T$ für alle $x\in [a,b]$. Weil $f$ und $g$ riemannintegrierbar sind, gibt es Zerlegungen $\Delta _{1}$ und $\Delta _{2}$ mit $O(\Delta _{1},f)-U(\Delta _{1},f)<{\tfrac {\epsilon }{2T}}$ und $O(\Delta _{2},g)-U(\Delta _{2},g)<{\tfrac {\epsilon }{2S}}$. Sei ${\tilde {\Delta }}=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ eine gemeinsame Verfeinerung von $\Delta _{1}$ und $\Delta _{2}$. Wir wollen zeigen, dass $O({\tilde {\Delta }},fg)-U({\tilde {\Delta }},fg)<\epsilon$ gilt. Dazu beweisen wir zunächst $\sup _{x\in [c,d]}f(x)g(x)-\inf _{x\in [c,d]}f(x)g(x)\leq S\left(\sup _{x\in [c,d]}g(x)-\inf _{x\in [c,d]}g(x)\right)+T\left(\sup _{x\in [c,d]}f(x)-\inf _{x\in [c,d]}f(x)\right)$ für jedes Intervall $[c,d]\subseteq [a,b]$ mit $c\leq d$. Es gilt

${\begin{aligned}&\sup _{x\in [c,d]}f(x)g(x)-\inf _{x\in [c,d]}f(x)g(x)\\[0.3em]=\ &\sup _{x,y\in [c,d]}\left(f(x)g(x)-f(y)g(y)\right)\\[0.3em]=\ &\sup _{x,y\in [c,d]}\left(f(x)(g(x)-g(y))+g(y)(f(x)-f(y))\right)\\[0.3em]\leq \ &\sup _{x,y\in [c,d]}\left(f(x)(g(x)-g(y))\right)+\sup _{x,y\in [c,d]}\left(g(y)(f(x)-f(y))\right)\\[0.3em]\leq \ &S\sup _{x,y\in [c,d]}\left(g(x)-g(y)\right)+T\sup _{x,y\in [c,d]}\left(f(x)-f(y)\right)\\[0.3em]=\ &S\left(\sup _{x\in [c,d]}g(x)-\inf _{x\in [c,d]}g(x)\right)+T\left(\sup _{x\in [c,d]}f(x)-\inf _{x\in [c,d]}f(x)\right)\end{aligned}}$

Dies wenden wir jetzt auf die Intervalle $[x_{k},x_{k+1}]$ unserer Zerlegung ${\tilde {\Delta }}$ an:

${\begin{aligned}&O({\tilde {\Delta }},fg)-U({\tilde {\Delta }},fg)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)g(x)-\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)g(x)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)g(x)-\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)g(x)\right)\\[0.3em]\leq \ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(S\left(\sup _{x\in [c,d]}g(x)-\inf _{x\in [c,d]}g(x)\right)+T\left(\sup _{x\in [c,d]}f(x)-\inf _{x\in [c,d]}f(x)\right)\right)\\[0.3em]=\ &S\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)-\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)\right)+T\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(\sup _{x\in [c,d]}f(x)-\inf _{x\in [c,d]}f(x)\right)\\[0.3em]=\ &S\left(\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)-\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)\right)\\&\qquad {}+T\left(\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\right)\\[0.3em]=\ &S\left(O({\tilde {\Delta }},g)-U({\tilde {\Delta }},g)\right)+T\left(O({\tilde {\Delta }},f)-U({\tilde {\Delta }},f)\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\tilde {\Delta }}{\text{ ist Verfeinerung von }}\Delta _{1}{\text{ und }}\Delta _{2}\right.}\\[0.3em]\leq \ &S\left(O(\Delta _{2},g)-U(\Delta _{2},g)\right)+T\left(O(\Delta _{1},f)-U(\Delta _{1},f)\right)\\[0.3em]<\ &S\cdot {\tfrac {\epsilon }{2S}}+T\cdot {\tfrac {\epsilon }{2T}}\\[0.3em]=\ &\epsilon \end{aligned}}$

Somit ist $fg$ riemannintegrierbar.

Monotone Funktionen sind riemannintegrierbar

Ober- und Untersumme einer monoton steigenden Funktion bei Aufteilung in gleich große Teilintervalle

Ist unsere Funktion $f$ monoton, so werden die Suprema und Infima auf den Teilintervallen einer Zerlegung stets am Rand der Teilintervalle angenommen. In der Abbildung sieht man, dass die Fläche zwischen Ober- und Untersumme deshalb aus Rechtecken zusammengesetzt ist, die sich nur über Eck berühren. Haben alle Rechtecke die gleiche Breite $h$, können wir sie zu einem einzigen Rechteck mit Breite $h$ und Höhe $f(b)-f(a)$ zusammenschieben. Das bedeutet, die Differenz zwischen Ober- und Untersumme kann beliebig klein gemacht werden, wenn wir die Breite $h$ genügend klein wählen. Damit haben wir uns anschaulich überlegt, dass die monotone Funktion $f$ riemannintegrierbar sein muss. Dies wollen wir nun beweisen.

Satz

Sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ eine monoton steigende oder monoton fallende Funktion, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen mit $a\leq b$ sind. Dann ist $f$ riemannintegrierbar.

Beweis

Wir nehmen an, dass $f$ monoton steigend ist. Wäre $f$ monoton fallend, so können wir stattdessen die monoton steigende Funktion $-f$ betrachten und anschließend die Faktorregel mit dem Faktor $-1$ anwenden. Weil $f$ monoton steigend ist, gilt $\inf _{x\in [c,d]}f(x)=f(c)$ sowie $\sup _{x\in [c,d]}f(x)=f(d)$ für alle Intervalle $[c,d]\subseteq [a,b]$ mit $c\leq d$. Ist $a=b$, so ist $f$ konstant und daher riemannintegrierbar. Andernfalls ist $\Delta _{n}:=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})$ mit $x_{k}:=a+k{\tfrac {b-a}{n}}$ für jedes $n\in \mathbb {N}$ eine Zerlegung des Intervalls $[a,b]$. Anschaulich handelt es sich dabei um die Zerlegung von $[a,b]$ in $n$ gleich große Teilintervalle. Wir berechnen die zugehörige Ober- und Untersumme:

${\begin{aligned}O(\Delta _{n},f)&=\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]&=\sum _{k=0}^{n-1}{\tfrac {b-a}{n}}f(x_{k+1})\\[0.3em]&={\tfrac {b-a}{n}}\left(f(x_{1})+\ldots +f(x_{n-1})+f(b)\right)\\[0.3em]U(\Delta _{n},f)&=\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]&=\sum _{k=0}^{n-1}{\tfrac {b-a}{n}}f(x_{k})\\[0.3em]&={\tfrac {b-a}{n}}\left(f(a)+f(x_{1})+\ldots +f(x_{n-1})\right)\end{aligned}}$

Wir stellen fest:

$O(\Delta _{n},f)-U(\Delta _{n},f)={\tfrac {b-a}{n}}\left(f(b)-f(a)\right)$

Daraus folgt die Riemannintegrierbarkeit von $f$ mithilfe des $\epsilon$-Kriteriums, denn für alle $\epsilon >0$ können wir ein $n\in \mathbb {N}$ mit ${\tfrac {b-a}{n}}\left(f(b)-f(a)\right)<\epsilon$ finden. Für die zugehörige Zerlegung $\Delta _{n}$ gilt also $O(\Delta _{n},f)-U(\Delta _{n},f)<\epsilon$.

Fast überall gleiche Funktionen haben das gleiche Riemannintegral

Satz

Seien $f,g:[a,b]\to \mathbb {R}$ zwei Funktionen, die fast überall übereinstimmen, d.h. es gibt nur endlich viele $x\in [a,b]$ mit $f(x)\neq g(x)$. Dann gilt: Ist $f$ riemannintegrierbar, so ist auch $g$ riemannintegrierbar. Ferner ist dann

$\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$

Beweis

Wir dürfen annehmen, dass $f\equiv 0$ gilt. Andernfalls können wir nämlich $f$ durch die Nullfunktion und $g$ durch $g-f$ ersetzen. Wenn wir gezeigt haben, dass $g-f$ riemannintegrierbar ist mit $\int _{a}^{b}(g(x)-f(x))\mathrm {d} x=0$, folgt aus der Summenregel, dass $g=(g-f)+f$ riemannintegrierbar ist mit

$\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}(g(x)-f(x))\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$

Sei nun also $f\equiv 0$. Die Stellen, an denen sich $g$ von $f$ unterscheidet, nennen wir $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$. Es gilt also

$g(x)={\begin{cases}0&x\neq x_{k}{\text{ für alle }}k\in \{1,2,\ldots ,n\}\\y_{k}&x=x_{k}{\text{ für ein }}k\in \{1,2,\ldots ,n\}\end{cases}}$

wobei $y_{k}:=g(x_{k})\neq 0$ irgendwelche Funktionswerte sind. Wir sehen, dass sich $g$ als Summe der $n$ Funktionen $g_{1},\ldots ,g_{n}$ schreiben lässt, die durch

$g_{k}(x)={\begin{cases}0&x\neq x_{k}\\y_{k}&x=x_{k}\end{cases}}$

definiert sind. Indem wir erneut auf die Summenregel zurückgreifen, können wir uns also auf den Fall $k=1$ beschränken. Haben wir nämlich bereits gezeigt, dass jede der Funktionen $g_{k}$, die sich nur an der einen Stelle $x_{k}$ von der Nullfunktion unterscheidet, riemannintegrierbar ist und ihr Integral gleich $0$ ist, so gilt genau das gleiche auch für ihre Summe $g$. Sei daher $g=g_{1}$. Wir dürfen ferner voraussetzen, dass $x_{1}\in \{a,b\}$ ist. Falls nämlich $a<x_{1}<b$ wäre, so können wir die Aussage zunächst separat auf den beiden Intervallen $[a,x_{1}]$ und $[x_{1},b]$ beweisen, wo $x_{1}$ jeweils eine der Intervallgrenzen ist, und anschließend die Additivität der Grenzen beim Riemannintegral benützen. Sei nun also $x_{1}\in \{a,b\}$. Wir können uns auf den Fall $y_{1}>0$ beschränken. Denn andernfalls betrachten wir stattdessen die Funktion $-g$ und wenden danach die Faktorregel für den Faktor $-1$ an. Sei daher $y_{1}>0$. Auch dürfen wir annehmen, dass $a<b$ ist, da für $a=b$ die einzige Zerlegung durch $\Delta =(a)$ gegeben ist und deshalb die einzige Ober- und Untersumme zu einer beliebigen Funktion stets leer ist und daher den Wert $0$ hat. Wir unterscheiden jetzt zwei Fälle:

Fall 1: $x_{1}=a$

Wir betrachten die Zerlegungen $\Delta _{n}=(a,a+{\tfrac {b-a}{2^{n}}},b)$ für $n\in \mathbb {N}$. Es gilt

${\begin{aligned}&O(\Delta _{n},g)\\[0.3em]=\ &{\frac {b-a}{2^{n}}}\cdot \sup _{x\in [a,a+{\frac {b-a}{2^{n}}}]}g(x)+\left(b-a-{\frac {b-a}{2^{n}}}\right)\cdot \sup _{x\in [a+{\frac {b-a}{2^{n}}},b]}g(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ g(a)=y_{1}>0=g(x){\text{ für }}x>a\right.}\\[0.3em]=\ &{\frac {b-a}{2^{n}}}\cdot y_{1}+\left(b-a-{\frac {b-a}{2^{n}}}\right)\cdot 0\\[0.3em]=\ &{\frac {(b-a)y_{1}}{2^{n}}}\end{aligned}}$

sowie

${\begin{aligned}&U(\Delta _{n},g)\\[0.3em]=\ &{\frac {b-a}{2^{n}}}\cdot \inf _{x\in [a,a+{\frac {b-a}{2^{n}}}]}g(x)+\left(b-a-{\frac {b-a}{2^{n}}}\right)\cdot \inf _{x\in [a+{\frac {b-a}{2^{n}}},b]}g(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ g(a)=y_{1}>0=g(x){\text{ für }}x>a\right.}\\[0.3em]=\ &{\frac {b-a}{2^{n}}}\cdot 0+\left(b-a-{\frac {b-a}{2^{n}}}\right)\cdot 0\\[0.3em]=\ &0\end{aligned}}$

Fall 2: $x_{1}=b$

Wir betrachten die Zerlegungen $\Delta _{n}=(a,b-{\tfrac {b-a}{2^{n}}},b)$ für $n\in \mathbb {N}$. Es gilt

${\begin{aligned}&O(\Delta _{n},g)\\[0.3em]=\ &\left(b-{\frac {b-a}{2^{n}}}-a\right)\cdot \sup _{x\in [a,b-{\frac {b-a}{2^{n}}}]}g(x)+{\frac {b-a}{2^{n}}}\cdot \sup _{x\in [b-{\frac {b-a}{2^{n}}},b]}g(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ g(b)=y_{1}>0=g(x){\text{ für }}x<b\right.}\\[0.3em]=\ &\left(b-{\frac {b-a}{2^{n}}}-a\right)\cdot 0+{\frac {b-a}{2^{n}}}\cdot y_{1}\\[0.3em]=\ &{\frac {(b-a)y_{1}}{2^{n}}}\end{aligned}}$

sowie

${\begin{aligned}&U(\Delta _{n},g)\\[0.3em]=\ &\left(b-{\frac {b-a}{2^{n}}}-a\right)\cdot \inf _{x\in [a,b-{\frac {b-a}{2^{n}}}]}g(x)+{\frac {b-a}{2^{n}}}\cdot \inf _{x\in [b-{\frac {b-a}{2^{n}}},b]}g(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ g(b)=y_{1}>0=g(x){\text{ für }}x<b\right.}\\[0.3em]=\ &\left(b-{\frac {b-a}{2^{n}}}-a\right)\cdot 0+{\frac {b-a}{2^{n}}}\cdot 0\\[0.3em]=\ &0\end{aligned}}$

In beiden Fällen erkennen wir, dass

$I_{+}(g,[a,b])=\inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}O(\Delta ,g)\leq \inf _{n\in \mathbb {N} }O(\Delta _{n},g)=0$

und

$I_{-}(g,[a,b])=\sup _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}U(\Delta ,g)\geq \sup _{n\in \mathbb {N} }U(\Delta _{n},g)=0$

gelten. Folglich ist $g$ riemannintegrierbar mit $\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x=0$.