Warum Riemannintegrale?[Bearbeiten]
Integrale als orientierter Flächeninhalt[Bearbeiten]
In der Schule wird der Ausdruck
als orientierter Flächeninhalt zwischen dem Graphen von
und der
-Achse im Intervall
definiert. Dabei bedeutet „orientiert“, dass Flächeninhalte oberhalb der
-Achse positiv und Flächeninhalte unterhalb negativ gewertet werden:
Diese Definition ist vordergründig ausreichend, zeigt aber bei genauerer Betrachtung Probleme. So ist der Begriff des „Flächeninhalts“ nicht mathematisch präzise definiert. Auch ist nicht klar, ob die Bestimmung des „Flächeninhalts unter dem Graphen“ immer funktioniert.
Eine seltsame Funktion[Bearbeiten]
Wir definieren die Funktion
für
folgendermaßen:
Dies ist die sogenannte „Dirichlet-Funktion“. Sie ist eingeschränkt auf das Intervall
. Sie nimmt bei allen rationalen Zahlen den Wert
und bei allen irrationalen Zahlen den Wert
an. Das Zeichnen des zugehörigen Funktionsgraphen stellt uns vor große Probleme. Der Funktionswert wechselt ständig zwischen
und
hin und her (damit ist die Funktion nirgends stetig). Da in jedem noch so kleinen Intervall
mit
sowohl rationale als auch irrationale Zahlen liegen, besteht der Graph von
aus zwei Ansammlungen von Punkten – einmal auf Höhe
und einmal auf Höhe
–, die wie zwei durchgängige Strecken aussehen:
Wir können nicht genau sagen, ob der Flächeninhalt zwischen der
-Achse und dem Graphen von
den Wert
,
oder etwas dazwischen haben sollte. Durch die Einführung des Riemannintegrals stellen wir aber tatsächlich fest, dass diese Funktion nicht riemannintegrierbar ist.
Notwendigkeit einer präzisen Definition[Bearbeiten]
Am Beispiel der Dirichlet-Funktion sieht man, dass nicht bei jeder Funktion der Flächeninhalt unter dem Graphen bestimmt werden kann. Wir brauchen also eine Methode für die Entscheidung, ob der Flächeninhalt unter dem Graphen existiert und, falls ja, wie groß er ist. Eine solche Methode bietet das Riemannintegral. Es erlaubt uns zu entscheiden, welche Funktionen integrierbar sind (sprich: bei welchen ein orientierter Flächeninhalt unter dem Graphen bestimmt werden kann). Ferner können wir mit ihm die Eigenschaften von Integralen beweisen.
Herleitung des Riemannintegrals[Bearbeiten]
Ein Verfahren zur Abschätzung des Integrals[Bearbeiten]
Sei
eine stetige Funktion. Zunächst können wir versuchen, den Flächeninhalt von
unter dem Graphen abzuschätzen. Da
stetig ist, nimmt sie ihr Maximum
und Minimum
an. Der gesuchte Flächeninhalt ist nicht größer als der Flächeninhalt des Rechtecks mit der Breite
und der Höhe
. Auch ist er nicht kleiner als die Fläche des Rechtecks mit der Breite
und der Höhe
:
Untere Schranke an das Integral durch ein Rechteck der Breite
Obere Schranke an das Integral durch ein Rechteck der Breite
Wir erhalten als Abschätzung:
Diese Abschätzung ist noch nicht besonders gut. Besser wird sie durch eine Aufteilung des Intervalls in zwei Teilintervalle
und
. In beiden Teilintervallen kann der Flächeninhalt mit Hilfe des jeweiligen Minimums und Maximums abgeschätzt werden. Die Flächen der Rechtecke mit der Höhe des jeweiligen Funktionsmaximums und der halben Intervalllänge als Breite schätzen den Flächeninhalt nach oben ab. Mit Hilfe der analogen Rechtecke mit den Funktionsminima als Höhe kann der Flächeninhalt nach unten abgeschätzt werden:
Untere Schranke an das Integral bei Aufteilung in zwei Teilintervalle
Obere Schranke an das Integral bei Aufteilung in zwei Teilintervalle
Seien
und
die Maxima von
auf den Intervallen
und
und seien
und
die jeweiligen Minima. Der orientierte Flächeninhalt unter
kann nun folgendermaßen abgeschätzt werden:
Annäherung des Integrals durch feiner werdende Zerlegungen
Die dabei auftretende Summe
, die den Flächeninhalt unter dem Graphen von
nach oben abschätzt, wird Obersumme genannt. Entsprechend heißt die Summe für die Abschätzung nach unten Untersumme. Noch besser wird die Abschätzung, wenn wir diesen Prozess fortführen und das Intervall in
,
,
, ... Teilintervalle zerlegen. Bei
Teilintervallen erhalten wir:
Untere Schranke bei gleichmäßiger Aufteilung des Grundintervalls in
Teilintervalle
Obere Schranke bei gleichmäßiger Aufteilung des Grundintervalls in
Teilintervalle
Bei
Teilintervallen erhalten wir die Intervalle
, wobei
eine Zahl zwischen
und
ist. Sei
das Maximum und
das Minimum von
im
-ten Intervall
. Der orientierte Flächeninhalt unter dem Graphen von
kann nun abgeschätzt werden über:
Obige Abschätzung sollte mit wachsendem
immer besser werden, da die Einteilung des Grundintervalls
immer besser wird. Wir vermuten, dass mit der Anzahl der Unterteilungen der Fehler zwischen der Abschätzung nach oben bzw. nach unten und dem tatsächlichen Flächeninhalt immer kleiner wird. Im Grenzwert
sollte sowohl die Abschätzung nach oben als auch die Abschätzung nach unten gegen den orientierten Flächeninhalt konvergieren. Es sollte also gelten:
Durch Unterteilung des Grundintervalls in
konnten wir eine Ober- bzw. eine Untersumme bilden. Diese schätzen den orientierten Flächeninhalt unter dem Graphen von
nach oben bzw. nach unten ab. Mit wachsendem
wird diese Abschätzung immer besser und mit dem Grenzübergang
konvergiert sowohl die Ober- als auch die Untersumme gegen den tatsächlichen orientierten Flächeninhalt von
. Damit haben wir ein Verfahren gefunden, um den orientierten Flächeninhalt einer Funktion zu bestimmen.
Bisher haben wir das Grundintervall in
gleich große Teilintervalle zerlegt. Jedoch kann bei einer beliebigen Unterteilung des Grundintervalls mit beliebig vielen und beliebig großen Teilintervallen eine Abschätzung nach oben und nach unten nach dem obigen Verfahren gebildet werden. Dadurch kann unser Verfahren verallgemeinert werden. Dies kann beispielsweise genutzt werden, um kleinere Teilintervalle in den Bereichen zu wählen, wo sich die Funktion stark ändert. Damit kann die Qualität der Abschätzung verbessert werden. Die folgende Abbildung zeigt eine Unterteilung von
in zehn unterschiedlich große Teilintervalle:
Um eine solche Unterteilung zu definieren, reicht es, die Zahlen
anzugeben. Zusammen mit
und
bilden sie die Randpunkte der Teilintervalle. Die Zahlen
werden deswegen Stützstellen genannt. Für eine einheitliche Notation definiert man
und
. Das Tupel aller Stützstellen
wird Zerlegung des Intervalls
genannt.
Bei einer gegebenen Zerlegung
ist
mit
das
-te Teilintervall. Seine Länge ist
. Fassen wir zusammen:
Definition (Zerlegung)
Sei ein Intervall
mit
und
gegeben. Ein
-Tupel
ist genau dann eine Zerlegung des Intervalls
, wenn
. Die Zahlen des Tupels werden Stützstellen der Zerlegung genannt.
Im obigen Verfahren haben wir die Teilintervalle der Zerlegung durch Hinzunahme von Stützstellen weiter unterteilt. Eine solche Zerlegung, die wir durch Hinzunahme von weiteren Stützstellen erhalten, wird Verfeinerung der Zerlegung genannt:
Definition (Verfeinerung einer Zerlegung)
Seien
mit
. Seien
und
zwei Zerlegungen des Intervalls
. Dann heißt
eine Verfeinerung von
, wenn
gilt.
enthält also (neben möglicherweise zusätzlichen Stützstellen) alle Stützstellen von
.
Durch zusätzliche Stützstellen wollen wir die Approximation des orientierten Flächeninhalts durch Ober- und Untersumme verbessern. Dabei ist es notwendig, dass die Teilintervalle immer kleiner werden. Um insgesamt die Güte einer Zerlegung zu beurteilen, nennen wir die Länge des größten Teilintervalls die Feinheit der Zerlegung. Diese sollte im Laufe der Abschätzung immer kleiner werden und im Grenzwert gegen Null konvergieren:
Definition (Feinheit)
Es sei eine Zerlegung
eines Intervalls
mit
und
gegeben. Wir definieren die Feinheit
der Zerlegung
durch
Ober- und Untersummen[Bearbeiten]
Sei nun
eine beliebige und nicht unbedingt stetige Funktion. Durch
finden wir die (kleinste) obere Schranke für die Funktionswerte von
im Teilintervall
. Analog finden wir über
eine Abschätzung nach unten für die Funktionswerte von
. Damit alle Suprema und Infima existieren, nehmen wir zusätzlich an, dass
beschränkt ist. Diese Suprema können nun benutzt werden, um den Flächeninhalt nach oben und nach unten durch Rechtecke zu bestimmen:
Der rote Flächeninhalt ist die Untersumme einer gegebenen Zerlegung mit zehn Teilintervallen
Der blaue Flächeninhalt ist die Obersumme einer gegebenen Zerlegung mit zehn Teilintervallen
Das Produkt
ist der Flächeninhalt des Rechtecks über dem Teilintervall
mit der Höhe
. Es ist eine Abschätzung nach oben für den Flächeninhalt unter
eingeschränkt auf
. Durch Summation dieser Produkte für alle Teilintervalle erhält man insgesamt die Abschätzung des Flächeninhalts nach oben für diese Zerlegung:
Analog können wir den Flächeninhalt auch nach unten abschätzen und erhalten so:
Die jeweiligen Summen werden Ober- und Untersumme genannt:
Definition (Ober- und Untersummen)
Für eine Zerlegung
des Intervalls
und eine beschränkte Funktion
definieren wir die Obersumme
Die Definition der Untersumme lautet:
Oberes und unteres Integral[Bearbeiten]
Mit jeder Obersumme
haben wir eine Abschätzung des Flächeninhalts nach oben, die bei feineren Zerlegungen immer besser wird. Im Grenzwert beliebig feiner Zerlegungen sollte die Obersumme
gegen den tatsächlichen Flächeninhalt streben. Die „kleinstmögliche“ Obersumme sollte also der gesuchte Flächeninhalt sein. „Kleinstmöglich“ steht in Anführungszeichen, da sich jede Obersumme vom tatsächlichen Flächeninhalt unterscheiden kann. Der Unterschied kann aber beliebig klein werden (wenn die Zerlegung hinreichend fein gewählt wird). Deswegen müssen wir „kleinstmöglich“ durch den „kleinstmöglichen Grenzwert von Obersummen“ bzw. die „größtmögliche untere Schranke für alle Obersummen“ ersetzen. Wir bilden also das Infimum
der Menge aller möglichen Obersummen und dieses sollte der orientierten Fläche unter dem Graphen entsprechen. Wir nennen dieses Infimum oberes Integral, da es durch Abschätzungen nach oben gewonnen wird. Als Schreibweise wählen wir
. Analog können wir das untere Integral als Supremum aller Untersummen definieren:
Definition (Oberes und unteres Integral)
Sei
eine beschränkte Funktion. Wir definieren das obere Integral
und das untere Integral
über
Definition des Riemannintegrals[Bearbeiten]
Was passiert bei Funktionen, denen man nicht sinnvoll einen Flächeninhalt unter dem Graphen zuordnen kann? Denken wir an die Dirichlet-Funktion
, die bei rationalen Zahlen den Wert
und bei irrationalen Zahlen den Wert
hat. Jedes Teilintervall
besitzt sowohl rationale als auch irrationale Zahlen. Damit ist der maximale Funktionswert von
auf
stets
und der minimale Funktionswert ist gleich
. Unabhängig von der Zerlegung
erhalten wir:
Damit haben wir
Bei der Dirichlet-Funktion stimmt das obere mit dem unteren Integral nicht überein und so erhalten wir kein eindeutiges Ergebnis für den orientierten Flächeninhalt unter dem Graphen. Was tun? Wir führen eine Klassifikation in "schöne" und "unschöne" Funktionen ein. Bei "schönen" Funktionen stimmt das obere mit dem unteren Integral überein. Beide Verfahren liefern dasselbe Ergebnis und wir können dieses als orientierten Flächeninhalt unter dem Graphen definieren. Solche "schönen" Funktionen nennen wir riemannintegrierbar oder kurz integrierbar.
Bei "unschönen" Funktionen liefern das obere und das untere Integral unterschiedliche Ergebnisse. Es ist nicht eindeutig, was der Flächeninhalt unter dem Graphen sein soll und wir behaupten deshalb, dass dieses (nach unserem Verfahren) nicht existiert. Solche "unschönen" Funktionen heißen deshalb nicht riemannintegrierbar.
Abschätzung zwischen oberem und unterem Integral[Bearbeiten]
Die Obersumme ist nie kleiner als die Untersumme – auch wenn sich die Zerlegung bei der Ober und Untersumme unterscheidet.
Nach unserem Verfahren sollte gelten:
Damit müsste gelten:
Damit unser Verfahren sinnvoll ist, müssen wir obige Ungleichung beweisen. Das untere Integral soll schließlich den Flächeninhalt nach unten und das obere Integral den Flächeninhalt nach oben abschätzen. Um diese Ungleichung herzuleiten, können wir folgendermaßen vorgehen:
- Wir zeigen, dass die Obersumme größer als die Untersumme bei gleicher Zerlegung ist.
- Als nächstes beweisen wir, dass die Obersumme bei einer Verfeinerung der Zerlegung kleiner und die Untersumme bei einer Verfeinerung größer wird.
- Nun betrachten wir beliebige Zerlegungen
und
. Da wir eine gemeinsame Verfeinerung beider Zerlegungen finden, können wir mit Hilfe der ersten beiden Schritte zeigen, dass jede Obersumme größer als jede Untersumme ist.
- Aus dem dritten Schritt können wir folgern, dass das untere Integral kleiner gleich dem oberen Integral sein muss.
Abschätzung zwischen Ober- und Untersummen bei gleicher Zerlegung[Bearbeiten]
Satz (Abschätzung zwischen Ober- und Untersummen bei gleicher Zerlegung)
Sei
eine beschränkte Funktion und
eine Zerlegung des Intervalls
. Dann gilt
Beweis (Abschätzung zwischen Ober- und Untersummen bei gleicher Zerlegung)
Es gilt:
Abschätzung von Unter- bzw. Obersummen bezüglich Verfeinerungen[Bearbeiten]
Satz (Abschätzung von Unter- bzw. Obersummen bezüglich Verfeinerungen)
Sei
eine beschränkte Funktion und
eine Verfeinerung der Zerlegung
des Intervalls
. Dann gelten die beiden Abschätzungen:
Beweis (Abschätzung von Unter- bzw. Obersummen bezüglich Verfeinerungen)
Da
eine Verfeinerung von
ist, sind alle Stützstellen von
auch in
enthalten. Für jede Stützstelle
aus
muss es also eine Stützstelle
aus
mit
geben. Sei
der Index für eine Stützstelle aus
, so dass
ist. Durch geschickte Umformungen erhalten wir:
Analog kann
bewiesen werden.
Abschätzung zwischen beliebigen Ober- und Untersummen[Bearbeiten]
Jede Obersumme ist mindestens so groß wie eine beliebige Untersumme:
Satz (Abschätzung zwischen beliebigen Ober- und Untersummen)
Sei
eine beschränkte Funktion und seien
und
Zerlegungen des Intervalls
. Dann gilt
Beweis (Abschätzung zwischen beliebigen Ober- und Untersummen)
Sortieren wir die Elemente der Vereinigung
aufsteigend nach ihrer Größe, so erhalten wir eine Zerlegung
. Diese erfüllt die Eigenschaft
. Damit ist
sowohl eine Verfeinerung von
als auch von
. Nach dem Satz zu Ober- bzw. Untersummen für Verfeinerungen ist
und
. Außerdem gilt
nach dem Satz zur Ober- und Untersumme bei gleicher Verfeinerung. Insgesamt ergibt sich die Ungleichungskette
Abschätzung zwischen oberem und unterem Integral[Bearbeiten]
Satz (Abschätzung zwischen oberem und unterem Integral)
Sei
eine beschränkte Funktion. Dann gilt:
Beweis (Abschätzung zwischen oberem und unterem Integral)
Es gilt:
Kriterien für Riemannintegrierbarkeit[Bearbeiten]
Epsilon-Kriterium für Riemannintegrierbarkeit[Bearbeiten]
Das Epsilon-Kriterium sagt aus, dass eine Funktion genau dann riemannintegrierbar ist, wenn der Unterschied zwischen Ober- und Untersumme beliebig klein gemacht werden kann:
Satz (
-Kriterium)
Sei
eine beschränkte Funktion. Dann ist
genau dann riemannintegrierbar, wenn es für alle
eine Zerlegung
des Intervalls
gibt, sodass gilt
Beweis (
-Kriterium)
Beweisschritt: Hinrichtung
Wir beweisen zunächst, dass aus der angegebenen Bedingung die Riemannintegrierbarkeit von
folgt. Sei
und
eine Zerlegung mit
. Es gilt
Es folgt
Nun ist
und damit
. Für jedes
ist damit folgende Ungleichungskette erfüllt:
Damit diese Ungleichungskette für alle
erfüllt ist, muss
gelten. Es ist also
riemannintegrierbar.
Beweisschritt: Rückrichtung
Wir setzen nun umgekehrt voraus, dass
riemannintegrierbar ist. Sei ein
vorgegeben. Wegen
existiert eine Zerlegung
mit
. Dies ist eine Folgerung aus der Definition des Supremums.
Analog finden wir eine Zerlegung
mit
. Sei nun
eine gemeinsame Verfeinerung von
und
. Wir wissen, dass
und
gilt. Also ist
To-Do:
Quelltext muss formartiert werden und die neue Notation muss eingebaut werden -- Stephan Kulla 19:06, 19. Okt. 2017 (CEST)
Alternativ lassen sich riemannintegrierbare Funktionen dadurch charakterisieren, dass es eine Folge von Zerlegungen gibt, für die Ober- und Untersumme den gleichen Grenzwert haben.
Satz (Folgenkriterium)
Sei
eine beschränkte Funktion. Dann ist
genau dann riemannintegrierbar, wenn es eine Folge
von Zerlegungen des Intervalls
gibt, für die gilt, dass
In diesem Fall gilt
Beweis (Folgenkriterium)
Sei
eine Folge von Zerlegungen des Intervalls
mit der Eigenschaft
. Für alle
gilt
Also ist auch
Weil
immer gilt, muss
gelten. Daher ist
riemannintegrierbar und es gilt
Sei umgekehrt vorausgesetzt, dass
riemannintegrierbar ist. Für alle
finden wir Zerlegungen
und
mit
und
. Definieren wir
als die gemeinsame Verfeinerung von
und
, so gilt
und
. Somit erhalten wir
Dies war zu zeigen.
Berechnung des Riemannintegrals[Bearbeiten]
Um das Integral einer riemannintegrierbaren Funktion zu berechnen, ist es unpraktisch, alle möglichen Zerlegungen zu betrachten. Auch wenn wir obigen Satz anwenden wollen, müssen wir erst eine Folge von Zerlegungen finden, für die Ober- und Untersumme den gleichen Grenzwert haben. Der folgende Satz besagt nun, dass es egal ist, welche Folge von Zerlegungen wir wählen. Das gesuchte Riemannintegral ergibt sich nämlich als Grenzwert von Ober- oder Untersumme einer beliebigen Folge von Zerlegungen, solange die Feinheit der Zerlegungen beliebig klein wird. Dies passt auch mit unseren vorherigen Überlegungen zusammen: Je "besser" eine Zerlegung
ist, also je kleiner ihre Feinheit
ist, desto genauer approximieren ihre Obersumme
und ihre Untersumme
das Riemannintegral
.
Satz
Sei
eine riemannintegrierbare Funktion. Dann gilt für alle Folgen
von Zerlegungen des Intervalls
mit der Eigenschaft
, dass
Konstante Funktionen[Bearbeiten]
Beispiel
Seien
mit
. Ferner sei
definiert durch
für alle
. Die Funktion
ist somit konstant. Anschaulich ist die gesuchte Fläche
ein Rechteck mit der Breite
und der Höhe
, also dem Flächeninhalt
.
Nun wollen wir anhand unserer oben gegebenen Definition des Riemannintegrals überprüfen, ob
tatsächlich riemannintegrierbar ist und das Integral den erwarteten Wert annimmt. Dazu betrachten wir die Zerlegung
. Das ist die gröbste Möglichkeit, wie wir unser Intervall unterteilen können. Wir erhalten
Daher gilt
Da stets
gilt, können wir hieraus
schließen.
Das bedeutet,
ist riemannintegrierbar und es gilt
Als nächstes Beispiel wollen wir die Identitätsfunktion
auf dem Intervall
integrieren.
Das ist schon schwieriger, weil wir den gesuchten Flächeninhalt durch feiner werdende Zerlegungen immer genauer annähern müssen, ohne den exakten Wert jemals zu erreichen.
Aufgabe
Berechne das Integral
.
Lösung
Für
sei
die Zerlegung des Intervalls
in
gleich große Teilintervalle der Breite
, also
. Für die zugehörige Ober- und Untersumme ergeben sich
Daher gilt
Das bedeutet, die Funktion
ist riemannintegrierbar auf dem Intervall
und es gilt
Eine quadratische Funktion[Bearbeiten]
Obersumme der Funktion

zur Zerlegung

Aufgabe
Berechne das Integral
.
Lösung
Wir suchen eine Folge von Zerlegungen
von
, so dass
. Dabei ist es sinnvoll, diese Folge so zu wählen, dass die Feinheit gegen
konvergiert, d.h.
.
Für alle
definieren wir
. Dann ist
eine Zerlegung des Intervalls
und für alle
gilt
.
Sei
. Dann gilt mit
, d.h.
für
, dass
sowie
Daher gilt
Also ist die Funktion
riemannintegrierbar auf dem Intervall
und es gilt