Partielle Integration – Mathe für Nicht-Freaks

Aus Wikibooks
Wechseln zu: Navigation, Suche

Bei der partiellen Integration handelt es sich um eine weitere wichtige Methode zur Berechnung von bestimmten bzw. unbestimmten Integralen. Bei dieser Regel wird mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung aus der Produktregel eine Formel für Integrale hergeleitet. Dabei wird das ursprüngliche Integral in ein anderes Integrationsproblem überführt, das idealerweise leichter zu lösen ist.

Herleitung[Bearbeiten]

Die Formel für die partielle Integration kann aus der Produktregel für Ableitungen hergeleitet werden. Diese lautet für zwei Funktionen und :

Nehmen wir an, dass die Ableitungen und stetig sind, so dass wir die rechte Seite integrieren können. Wenn wir nun auf beiden Seiten das (unbestimmte) Integral bilden, erhalten wir:

Damit haben wir folgende Formel für das unbestimmte Integral gefunden:

Für das bestimmte Integral kann analog eine Formel gefunden werden. Diese lautet:

Wir haben so eine Formel gefunden, mit der man das Integrationsproblem in ein anderes überführen kann. In der Praxis lohnt sich die Anwendung dieser Formel, wenn das Integral einfacher zu berechnen ist als das Ausgangsintegral . Insbesondere muss hierfür eine Stammfunktion von bekannt sein.

Betrachten wir zum Einstieg das unbestimmte Integral . Eine Stammfunktion von ist nicht direkt erkennbar. Wählen wir jedoch und in der obigen Formel, so erhalten wir mit und :

Damit haben wir, ohne allzu großen Aufwand, eine Stammfunktion von berechnet. Der entscheidende Punkt war, dass wir das „neue“ Integral im Gegensatz zum ursprünglichen Integral bestimmen konnten.

Satz und Beweis[Bearbeiten]

Blue pen icon.svg

Satz (Partielle Integration)

Sei ein Intervall und zwei stetig differenzierbare Funktionen. Dann gilt für das bestimmte Integral:

Für das unbestimmte Integral lautet die Formel:

Applications-office.svg

Beweis (Partielle Integration)

Mit der Produktregel und dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) gilt

Durch Subtraktion von auf beiden Seiten erhalten wir die gewünschte Formel. Auf analoge Weise kann die Formel für das unbestimmte Integral hergeleitet werden.

Anwendungsbeispiele[Bearbeiten]

Um die partielle Integration anwenden zu können, muss der Integrand die Form haben oder in diese gebracht werden. Hier muss man sich überlegen, welcher der Faktoren des Produkts die Rolle von übernehmen soll. Auch muss die Stammfunktion von bekannt sein. Im Folgenden werden wir typische Anwendungsmöglichkeiten der partiellen Integration betrachten.

Typ: [Bearbeiten]

Accessories-calculator.svg

Beispiel

Wir betrachten das Integral . Hier ist es sinnvoll und zu wählen. Der Grund ist, dass eine Stammfunktion von bekannt ist und dass das „neue“ Integral mit dem HDI einfach gelöst werden kann. Damit erhalten wir:

Emblem-important.svg

Hinweis

Bei diesem Beispiel gibt es auch die Möglichkeit und zu wählen. Durch Anwendung der partiellen Integration erhalten wir

Das nun neu entstandene Integral ist allerdings „komplizierter“ als das ursprüngliche Integral . Die Anwendung der partiellen Integration in dieser Form ist nicht sinnvoll. Man muss also durchaus probieren, ob eine partielle Integration sinnvoll ist oder nicht.

Typ: mit einer Polynomfunktion [Bearbeiten]

Die partielle Integration ist bei Funktionen nützlich, die sich als Produkt einer Polynomfunktion und einer integrierbaren Funktion schreiben lassen. Das hat den Hintergrund, dass der Grad der Polynomfunktion mit jeder Ableitung um einen Grad reduziert wird. Die integrierbare Funktion wird dabei als und die Polynomfunktion als gewählt. Dabei sollte jedoch die Stammfunktion nicht „komplizierter“ als sein.

Accessories-calculator.svg

Beispiel

Als Beispiel betrachten wir das unbestimmte Integral . Setzen wir bei jedem partiellen Integrationsschritt und den übrigen (Polynom-)Term unter dem Integral, so ergibt sich:

Hier mussten wir mehrfach partiell integrieren, um die gewünschte Stammfunktion zu erhalten. Da die trigonometrischen Funktionen und sich analog zu der Exponentialfunktion ebenfalls leicht integrieren lassen, bietet sich obige Methode auch für diese Funktionen als an.

Typ: [Bearbeiten]

Manchmal hilft es, die zu integrierende Funktion mit dem Faktor zu multiplizieren. Dadurch erhält der Integrand die gewünschte Form mit und gleich der ursprünglichen Funktion. Durch eine partielle Integration ist es manchmal möglich, die ursprüngliche Funktion zu integrieren:

Accessories-calculator.svg

Beispiel

Die Menge aller Stammfunktionen von kann folgendermaßen gefunden werden:

Diese Vorgehensweise ist beim Integrieren von Umkehrfunktionen oft vorteilhaft. Weitere Beispiele sind und .

Indirekte Berechnung von Integralen[Bearbeiten]

Bei der partiellen Integration wird häufig das ursprüngliche Integral durch partielle Integration vereinfacht, um es anschließend berechnen zu können. Bei manchen Integralen gibt es durch (mehrfache) partielle Integration die Möglichkeit, dass das ursprüngliche Integral wiederkehrt. Durch Äquivalenzumformungen kann dieses dann bestimmt werden. Mittels eines Beispiels lässt sich der Trick am besten nachvollziehen:

Accessories-calculator.svg

Beispiel

Als Beispiel wollen wir das unbestimmte Integral berechnen. Wir setzen und erhalten:

Addieren wir auf beiden Seiten der Gleichung das Ausgangsintegral , so folgt

So haben wir eine Stammfunktion gefunden. Alle Stammfunktionen haben somit die Form

Herleitung von Rekursionsformeln[Bearbeiten]

Mit Hilfe der partiellen Integration lassen sich Rekursionsformeln für Integrale bestimmen. Zwei beliebte Beispiele sind die Integrale

und

für , . Der Trick dabei ist es die Integranden als Produkt bzw. zu schreiben, und anschließend partiell zu integrieren. Wir führen dies am ersten Integral vor:

Accessories-calculator.svg

Beispiel (Rekursionsformel für Integral)

Wir wollen eine Rekrsionsformel für das Integral herleiten, mit der wir sukzessive die Potenz verringern können.

Nun möchten wir, dass auf der rechten Seite wieder ein Integral der Form mit steht. Dazu wenden wir den trigonometrischen Pythagoras

an, und erhalten

Addieren wir n auf beiden Seiten, so erhalten wir

Durch Division durch ergibt sich schließlich die Rekursionsformel

Verständnisfrage: Wie lautet die Formel, die wir nach erneuter Anwendung der Rekursionsformel erhalten?

Es gilt

Damit könnten wir nun für beliebige , Stammfunktionen von bestimmen. Nach wiederholtem Anwenden der Rekusionsformel landen wir schließlich beim Integral

(für ungerade )

und

(für gerade )

Verständnisfrage: Bestimme mit Hilfe der Rekursionsformel Stammfunktionen von und .

Es gilt

und

Ebenso können wir bestimmte Integrale mit der Rekursionsformel berechnen. Setzen wir die Integralgrenzen gleich und , so gilt für gerade Potenzen

Ebenso gilt für ungerade Potenzen

Verständnisfrage: Warum gilt die Formel für ?

Accessories-text-editor.svg

Aufgabe (Rekursionsformel für )

  1. Bestimme eine Rekursionsformel für und damit Stammfunktionen von und .
  2. Berechne mit der Rekursionsformel die Integrale und mit .
  3. Zeige die Formel für das wallische Produkt , indem du den Grenzwert (oder ) bestimmst.
Applications-office.svg

Lösung (Rekursionsformel für )

Fall 1: Teilaufgabe 1

Damit folgt

sowie

Fall 2: Teilaufgabe 2.

Fall 3: Teilaufgabe 3.

Nach Teilaufgabe 2 ist

Außerdem ist wegen der Monotonie des Integrals , und damit

Mit dem Sandwichsatz folgt . Wegen folgt daraus die Behauptung.

Aufgaben[Bearbeiten]

Accessories-text-editor.svg

Aufgabe (Partielle Integration)

Berechne

  1. und
  2. und
  3. und
  4. und
Applications-office.svg

Beweis (Partielle Integration)

Teilaufgabe 1:

Beide Integrale sind nach einmaliger partieller Integration zu lösen. Setzen wir jeweils , so vereinfachen sich die Integrale deutlich:

Teilaufgabe 2:

Hier müssen wir jeweils ergänzen. Dann folgt nach Anwendung der partiellen Integration:

Erstes Integral:

Als nächstes wollen wir das Integral bestimmen. Dazu benutzen wir die Substitutionsregel aus dem vorherigen Kapitel. Wir setzen , da im Zähler Mal die Ableitung dieser Funktion steht. Dann gilt ,und umgestellt . Damit folgt

Insgesamt folgt

Zweites Integral:

Teilaufgabe 3:

Bei diesen beiden Integralen sind die Integranden vom Typ „Polynom Mal integrierbare Funktion“. Setzen wir jeweils , so können wir die Integrale nach zweimaliger partieller Integration berechnen.

Erstes Integral:

Zweites Integral:

Teilaufgabe 4:

Hier integrieren wir erneut zweimal partiell, und lösen die daraus entstehende Gleichung nach dem ursprünglichen Integral auf.

Erstes Integral:

Addieren wir auf beiden Seiten der Gleichung das Ausgangsintegral , so folgt

Dividieren wir beide Seiten durch , so erhalten wir

und haben eine Stammfunktion gefunden. Alle Stammfunktionen haben somit die Form

Zweites Integral:

Addieren wir auf beiden Seiten der Gleichung das Ausgangsintegral , so folgt

Dividieren wir beide Seiten durch , so er haben alle Stammfunktionen die Form

Accessories-text-editor.svg

Aufgabe (Rekursionsformeln)

Berechne Rekursionsformeln für

  1. und berechne damit den Wert des Integrals.
Applications-office.svg

Beweis (Rekursionsformeln)

Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2:

Wenden wir diese Rekursionsformel nun wiederholt an, so erhalten wir