Beispiele für Integrale – Mathe für Nicht-Freaks

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In diesem Kapitel wollen wir die wichtigsten Beispiele von unbestimmten Integralen beziehungsweise Stammfunktionen zusammenfassen, die dir im Laufe des ersten Semsters begegnen werden. Mit Umkehrung der Ableitungsregeln, sowie der Substitutionsregel und der Partiellen Integration kannst du dann weitere, aus diesen Funktionen zusammengesetzte, Funktionen integrieren.

Übersicht[Bearbeiten]

Im folgenden geben wir dir eine Übersicht über die wichtigsten Funktionen und deren Ableitungen, sowie deren Definitionsbereich. Es gilt immer .

Funktionsname Funktionsterm Stammfunktion Definitionsbereich
Konstante
Potenz (natürlicher Exponent) ,
Polynom , ,
Hyperbelfunktion
Potenz (negativer ganzzahliger Exponent) ,
Quadratwurzel
Allgemeine Wurzel ,
Exponentialfunktion
Allgemeine Exponentialfunktion ,
Allgemeine Potenz ,
Natürliche Logarithmusfunktion
Allgemeine Logarithmusfunktion ,
Sinus
Cosinus
Tangens
Sekans
Kosekans
Kotangens
Arcussinus
Arcuscosinus
Arcustangens
Arcuscotangens
Sinus Hyperbolicus
Cosinus Hyperbolicus
Tangens Hyperbolicus
Areasinus Hyperbolicus
AreaCosinus Hyperbolicus
Areatangens Hyperbolicus

Um die Stammfunktionen der obigen Tabelle zu berechnen, gibt es im Grunde genommen zwei Möglichkeiten. Einerseits kann man durch Umkehrung der Ableitungsregeln die Stammfunktion direkt herleiten. Andererseits ist es auch möglich durch explizites Ableiten der vermuteten Stammfunktionen den Nachweis zu erbringen.

Konstante Funktionen[Bearbeiten]

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Satz (Stammfunktion einer konstanten Funktion)

Für eine konstante Funktion gilt:

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Beweis (Stammfunktion einer konstanten Funktion)

Um das zu beweisen, genügt es nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung die rechte Seite abzuleiten. Es gilt :

Potenzfunktion[Bearbeiten]

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Satz (Stammfunktion der Potenzfunktion)

Die Potenzfunktion

hat eine Stammfunktion. Für alle gilt:

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Beweis (Stammfunktion der Potenzfunktion)

Wieder leiten wir die rechte Seite ab, um die Behauptung zu zeigen. Es gilt :

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Aufgabe (Stammfunktion der Polynomfunktion)

Zeige, dass für die Polynomfunktion gilt:

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Lösung (Stammfunktion der Polynomfunktion)

Durch Ableiten der rechten Seite erhalten wir, wegen der Linearität der Ableitung:

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Aufgabe (Stammfunktion von Potenzen mit negativen Exponenten)

Zeige, dass für die Potenzfunktion , , gilt:

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Lösung (Stammfunktion von Potenzen mit negativen Exponenten)

Durch Ableiten der rechten Seite erhalten wir, mit der Linearität der Ableitung und der Quotientenregel:

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Satz (Stammfunktion der Hyperbelfunktion)

Die Hyperbelfunktion

gilt:

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Beweis (Stammfunktion der Hyperbelfunktion)

Wir leiten die rechte Seite ab, um die Behauptung zu zeigen. Dabei unterscheiden wir die Fälle und :

Fall 1:

Fall 2:

Exponentialfunktion[Bearbeiten]

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Satz (Stammfunktion der Exponentialfunktion)

Die Exponentialfunktion

hat eine Stammfunktion. Für alle gilt:

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Beweis (Stammfunktion der Exponentialfunktion)

Nach der Definition einer Stammfunktion genügt es, die rechte Seite abzuleiten. Da bekanntermaßen die Exponentialfunktion abgeleitet wieder die Exponentialfunktion ergibt, folgt schon die Behauptung.

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Aufgabe (Stammfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion)

Zeige: Für die allgemeine Exponentialfunktion

mit gilt:

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Lösung (Stammfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion)

Mit Hilfe der Substitutionsregel erhalten wir

Logarithmusfunktion[Bearbeiten]

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Satz (Stammfunktion der Logarithmusfunktion)

Die Logarithmusfunktion

hat eine Stammfunktion. Für alle gilt:

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Beweis (Stammfunktion der Logarithmusfunktion)

Wir leiten die Stammfunktion her, in dem wir die Produktregel umkehren, also Partielle Integration verwenden. Hierbei nutzt man den Trick, die Funktion mit zu multiplizieren.

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Aufgabe (Stammfunktion des allgemeinen Logarithmus)

Zeige: Für die allgemeine Logarithmusfunktion

mit gilt:

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Lösung (Stammfunktion des allgemeinen Logarithmus)

Wegen der Linearität des uneigentlichen Integrals gilt

Die trigonometrischen Funktionen[Bearbeiten]

Sinus und Kosinus[Bearbeiten]

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Satz (Stammfunktion von Sinus)

Der Sinus und der Kosinus haben eine Stammfunktion. Es gilt:

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Beweis (Stammfunktion von Sinus)

Nach der Definition einer Stammfunktion genügt es jeweils, die rechte Seite abzuleiten. Es folgt für den Sinus:

Analog folgt für den Kosinus:

Tangens und Kotangens[Bearbeiten]

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Satz (Stammfunktion von Tangens)

Der Tangens und der Kotangens haben eine Stammfunktion. Es gilt:

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Beweis (Stammfunktion von Tangens)

Die Tangensfunktion ist definiert als . Da der Sinus bis auf ein Vorzeichen der Ableitung des Kosinus entspricht, ist es hier nützlich die Logarithmische Integration (ein Spezialfall der Substitutionsregel) zu verwenden. Es folgt:

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Aufgabe (Stammfunktion von Kotangens)

Zeige:

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Lösung (Stammfunktion von Kotangens)

Genau wir oben gilt mit Logarithmischer Integration

Kosekans uns Sekans[Bearbeiten]

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Satz (Stammfunktion von Tangens)

Der Kosekans und der Sekans haben eine Stammfunktion. Es gilt:

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Beweis (Stammfunktion von Tangens)

Die Kosekansfunktion ist definiert als . Um diese zu integrieren benutzen wir die Substitutionsregel mit der Weierstraß-Substitution :

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Aufgabe (Stammfunktion von Kotangens)

Zeige:

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Lösung (Stammfunktion von Kotangens)

Zur Integration der Sekansfunktion benutzen wir ebenfalls zunächst die Weierstraß-Substitution . Allerdings müssen wie anschließend noch eine Partialbruchzerlegung durchführen:

Die Arkusfunktionen[Bearbeiten]

Arkussinus und Arkuskosinus[Bearbeiten]

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Satz

Die Funktionen und haben und als Stammfunktion. Es gilt:

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Beweis

Die Stammfunktionen ergeben sich durch Differenzieren der rechten Seite, mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion:

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Aufgabe

Zeige:

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Lösung

Analog zu oben gilt mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion:

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Satz (Stammfunktion des Arkussinus und Arkuskosinus)

Der Arkussinus und der Arkuskosinus haben eine Stammfunktion

Für alle gilt:

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Beweis (Stammfunktion des Arkussinus und Arkuskosinus)

Wir zeigen dies anhand des Arkussinus, für den Arkuskosinus geht das ganze analog.

Wir beginnen mit Partieller Integration. Schreibe . Dann folgt nach Anwendung der partiellen Integration:

Als nächstes wollen wir das Integral bestimmen. Dazu benutzen wir die Substitutionsregel. Wir raten die Substitution . Dann gilt und umgestellt . Da wir die Stammfunktion herausfinden wollen, ist es hier nicht notwendig, die Grenzen zu ersetzen. Es folgt also:

Insgesamt folgt also:

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Aufgabe (Stammfunktion von Arkuskosinus)

Zeige:

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Lösung (Stammfunktion von Arkuskosinus)

Wir gehen analog zum vor, indem wir zunächst den Faktor Eins ergänzen, und anschließend partiell zu Integrieren und zu Substituieren:

Arkustangens und Arkuskotangens[Bearbeiten]

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Satz

Die Funktionen und haben und als Stammfunktion. D.h. es gilt:

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Beweis

Die Stammfunktionen ergeben sich durch Differenzieren der rechten Seite, mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion:

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Aufgabe

Zeige:

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Lösung

Analog zu oben gilt mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion:

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Satz (Stammfunktion des Arkussinus und Arkuskosinus)

Der Arkustangens und der Arkuskotangens haben eine Stammfunktion

Für alle gilt:

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Beweis (Stammfunktion des Arkussinus und Arkuskosinus)

Wir leiten die Stammfunktion für die Arkustangensfunktion her, für den Arkuskotangens funktioniert das genauso.

Wir beginnen mit Partieller Integration. Schreibe . Dann folgt nach Anwendung der partiellen Integration:

Als nächstes wollen wir das Integral bestimmen. Dazu benutzen wir den Spezialfall der Substitutionsregel, die logarithmische Integration. Alternativ kann man natürlich auch mit der Substitution vorgehen. Es folgt:

Insgesamt folgt also:

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Aufgabe (Stammfunktion von Arkus Kotangens)

Zeige:

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Lösung (Stammfunktion von Arkus Kotangens)

Wir gehen analog zum vor, indem wir zunächst den Faktor Eins ergänzen, und anschließend partiell zu Integrieren und zu Substituieren:

Die hyperbolischen Funktionen[Bearbeiten]

Für die Beweise zu den Stammfunktionen der hyperbolischen Funktionen empfehlen wir die entsprechende Übungsaufgabe zu bearbeiten.

Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus[Bearbeiten]

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Satz (Stammfunktion von Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus)

Der Sinus Hyperbolicus und der Kosinus Hyperbolicus haben eine Stammfunktion. Es gilt:

Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus[Bearbeiten]

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Satz (Stammfunktion von Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus)

Der Tangens Hyperbolicus und der Kotangens Hyperbolicus haben eine Stammfunktion. Es gilt:

Die Areafunktionen[Bearbeiten]

Für die Beweise zu den Stammfunktionen der Area Funktionen empfehlen wir die entsprechende Übungsaufgabe zu bearbeiten.

Areasinus und Areakosinus[Bearbeiten]

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Satz (Stammfunktion von Areasinus und Areakosinus)

Der Areasinus und der Areakosinus haben eine Stammfunktion. Es gilt:

Areatangens und Areakotangens[Bearbeiten]

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Satz (Stammfunktion von Areatangens)

Der Areatangens hat eine Stammfunktion. Es gilt: