Substitutionsregel für Integrale – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Die Substitutionsregel ist eine Methode zur Bestimmung von bestimmten und unbestimmten Integralen. Diese wird aus der Kettenregel der Ableitung mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung gewonnen. Durch diese Regel wird das ursprüngliche Integral in ein anderes Integrationsproblem überführt, welches idealerweise leichter zu lösen ist.

Herleitung[Bearbeiten]

Leider gibt es im Allgemeinen keine „Formeln“ zur Bestimmung von Stammfunktionen, wie es zum Beispiel bei Ableitungen der Fall ist. Jedoch können aus den Ableitungsregeln über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Umformungsregeln für Integrale gewonnen werden. Die Substitutionsregel ist ein solches Beispiel: Wir wissen, dass die Kettenregel für eine Funktion mit differenzierbaren Funktionen und gilt. Daher muss umgekehrt eine Funktion mit der Zuordnungsvorschrift die Funktion als Stammfunktion besitzen. Dies kann für die Integralrechnung ausgenutzt werden.

Beispiel (Umkehrung Kettenregel)

Sei die Funktion gegeben. Wir erkennen, dass die vordere Funktion genau die Ableitung der Funktion ist, die „innerhalb“ des Sinus steht. Setzen wir , und , so ist von der Form . Nach der Kettenregel hat eine Stammfunktion die Gestalt . Die Stammfunktion von lautet . Daraus folgt, dass eine Stammfunktion von ist. Durch Ableiten von können wir dies leicht verifizieren. Für das Integrationsproblem folgt nun mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

Allgemeine Formulierung[Bearbeiten]

Damit die Substitutionsregel aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung hergeleitet werden kann, nehmen wir alle Voraussetzungen des Hauptsatzes an:

Satz (Substitutionsregel)

Sei ein reelles Intervall. Seien und zwei stetig differenzierbare Funktionen. Es ist dann

Insbesondere gilt

Beweis (Substitutionsregel)

Sei ein reelles Intervall sowie und stetig differenzierbar. Nach der Kettenregel gilt für die Ableitung der zusammengesetzten Funktion :

Dann folgt aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI):

Anwendung[Bearbeiten]

Das Ziel bei der Substitution ist es, einen Integranden der Form durch Anwendung der Substitutionsmethode in den „einfacheren“ Integranden umzuwandeln.

Anwendungsbeispiel[Bearbeiten]

Beispiel

Gegeben sei das Integral . Der Integrand ist hier . Wichtig ist es nun zu erkennen, dass die „äußere“ Funktion ein Vielfaches der Ableitung der „inneren“ Funktion ist. Genauer gilt und damit . Daher „packen“ wir den Faktor zur „äußeren“ Funktion , d.h. wir setzen . Wir können nun die Substitutionsregel anwenden:

Berechnung von bestimmten Integralen[Bearbeiten]

Sei ein Integrationsproblem gegeben, bei dem von der Gestalt ist. Über folgende Schritte kann die Substitution durchgeführt werden:

  1. Suche den Ausdruck im Integranden. Definiere diesen Ausdruck als deine neue Variable .
  2. Bilde die erste Ableitung und ersetze durch .
  3. Ersetze die Grenzen und durch und .

Der zweite Schritt kann auch mit Hilfe der Leibnizschen Schreibweise gewonnen werden:

Beispiel

Zu lösen sei das Integral

  1. Wir erkennen, dass für (Funktion unter der Wurzel im Nenner) gilt: (Doppeltes der Funktion im Zähler). Daher Substituieren wir
  2. Es folgt . Nach umgestellt, erhalten wir . Wir ersetzen nun durch .
  3. Schließlich ersetzen wir noch die Integrationsgrenzen und durch und .

Insgesamt erhalten wir:

Berechnung von unbestimmten Integralen[Bearbeiten]

Auch unbestimmte Integrale mit können über die Substitutionsregel bestimmt werden. Das Vorgehen ist im Wesentlichen dasselbe wie bei der Berechnung von bestimmten Integralen. Jedoch besitzen unbestimmte Integrale keine Integrationsgrenzen und so fällt die Bestimmung der neuen Integrationsgrenzen weg. Auch muss am Ende die neue Variable zurücksubstituiert werden. Im Einzelnen lauten die Schritte:

  1. Suche den Ausdruck im Integranden. Definiere diesen Ausdruck als deine neue Variable .
  2. Bilde die erste Ableitung und ersetze durch .
  3. Nach Anwendung der Substitutionsregel muss in der bestimmten Stammfunktion die Variable wieder durch ersetzt werden.

Beispiel

Wir bestimmen das unbestimmte Integral .

  1. Wir erkennen, dass für (Funktion in der Klammer) gilt: (Dreifaches der Funktion hinter der Klammer). Daher substituieren wir .
  2. Es folgt . Nach umgestellt, erhalten wir . Deswegen ersetzen wir durch . So erhalten wir:

  3. Schließlich ersetzen wir wieder durch und erhalten

Warnung

In Schritt 2 in dem Beispiel passiert die Magie: Durch unsere Wahl heben sich im zweiten Ausdruck die -Terme auf. Hätten wir eine andere Wahl für getroffen, bliebe hier möglicherweise ein Ausdruck in übrig. In dem Fall dürfen wir nicht aus dem Integral herausziehen oder Ähnliches, da über die Definition von von der Integrationsvariable abhängt! Tritt dieser Fall auf, hat man zwei Möglichkeiten: Entweder man versucht eine andere Substitution oder man invertiert , falls möglich, und setzt den Ausdruck in das Integral ein und hofft, dass das somit entstehende Integral einfacher zu lösen ist als das ursprüngliche. Das Erraten einer passenden Substitution erfordert viel Übung!

Spezialfälle[Bearbeiten]

Lineare Verkettungen[Bearbeiten]

Satz (Lineare Verkettungen)

Sei stetig und eine lineare Funktion. Dann gilt:

Insbesondere ist

Beweis (Lineare Verkettungen)

Es folgt nach der Substitutionsregel mit der Substitution :

Beispiel (Lineare Verkettung)

Für und gilt

Quadratische Verkettungen[Bearbeiten]

Satz (Quadratische Verkettungen)

Sei stetig. Dann gilt:

Insbesondere ist

Beweis (Quadratische Verkettungen)

Es folgt nach der Substitutionsregel mit der Substitution :

Beispiel (Quadratische Verkettung)

Für gilt

Logarithmische Integration[Bearbeiten]

Satz (Logarithmische Integration)

Sei stetig differenzierbar und . Dann gilt:

Insbesondere ist

Beweis (Logarithmische Integration)

Es folgt nach der Substitutionsregel mit der Substitution :

Beispiel (Logarithmische Integration)

Für und gilt für :

Exponentielle Integration[Bearbeiten]

Satz (Exponentielle Integration)

Sei stetig differenzierbar. Dann gilt:

Insbesondere ist

Beweis (Exponentielle Integration)

Es folgt nach der Substitutionsregel mit der Substitution :

Beispiel (Exponentielle Integration)

Für und gilt

Aufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe (Bestimmte/unbestimmte Integrale)

Bestimme die folgenden bestimmten/unbestimmten Integrale:

Lösung (Bestimmte/unbestimmte Integrale)

Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2:

Teilaufgabe 3:

Teilaufgabe 4:

Aufgabe (Bestimmtes Integral)

Berechne folgendes bestimmte Integral: .

Lösung (Bestimmtes Integral)

Zunächst spalten wir das Integral folgendermaßen auf:

Rechtes Integral: Wir erkennen, dass im Zähler die Ableitung des Nenners steht. Also ist hier und . Daher substitutieren wir . Dann gilt , oder umgestellt . Die Grenzen ersetzen wir durch und . Insgesamt ergibt sich:

Linkes Integral: Dieses ist etwas schwieriger. Wir schreiben den Integranden um, damit wir eine ähnliche Substitution wie oben machen können. Dies erreichen wir, indem wir im Zähler und Nenner ausklammern und anschließend kürzen:

Nun steht im Zähler wieder die Ableitung des Nenners. Wir wählen daher die Substitution . Dann gilt , oder umgestellt . Die Grenzen ersetzen wir durch und . Es ergibt sich:

Insgesamt folgt:

Alternative Lösung:

Diese Lösung geht schneller, benötigt aber einen nicht ganz offensichtlichen Unformungstrick. Durch einfügen von erhalten wir für den Integranden:

Damit folgt

Da vordere Integral leicht zu lösen, das hintere entspricht dem hinteren von der Lösung oben. Mit der Substitution von oben und dem HDI folgt daher

Aufgabe (Integration von Potenzen von Funktionen)

  1. Zeige: Sei differenzierbar und , dann gilt: und
  2. Welche Stammfunktionen ergeben sich für die Fälle , und ?
  3. Warum wurde der Fall ausgeschlossen?

Beweis (Integration von Potenzen von Funktionen)

Teilaufgabe 1: Mit der Substitution gilt

Teilaufgabe 2: Im Fall gilt

bzw.

Im Fall gilt

bzw.

Im Fall gilt

bzw.

Teilaufgabe 3: Im Fall handelt es sich um die logarithmische Integration von oben, und es gilt

bzw.

Der Betrag kann weggelassen werden, da wir hier vorausgesetzt haben.

„Umgekehrte“ Variante der Substitutionsregel mit Beispielen[Bearbeiten]

Wir haben oben die Substitutionsregel verwendet, um ein Integral der Form in ein neues Integral der Form zu überführen, das leichter zu lösen ist. Formal haben wir dazu definiert und durch ersetzt. Es gibt aber auch Integrale, die sich auf umgekehrtem Wege bestimmen lassen: Man will also ein Integral der Form in ein Integral der Form umwandeln, wozu man durch substituiert. Um dabei die Integrationsgrenzen richtig zu „verschieben“, muss man die Urbilder und bestimmen. Damit diese eindeutig sind, muss man die Umkehrbarkeit von voraussetzen. Meist lassen sich die Urbilder durch die Umkehrfunktion bestimmen. Die Umkehrbarkeit von erzwingen wir durch zwei zusätzliche Bedingungen: und ist surjektiv. Dann gilt: . Die „umgekehrte“ Variante der Substitutionsregel lautet also

Satz (Substitutionsregel)

Sei ein reelles Intervall mit , und stetig differenzierbar und surjektiv mit . Dann ist umkehrbar, und es gilt

sowie

Hinweis

Ist die Ableitung nur in einzelnen isolierten Punkten gleich null, und sonst überall ungleich null, so ist ebenfalls umkehrbar. In diesem Fall ist die Substitutionsregel ebenfalls anwendbar.

Der Beweis funktioniert ähnlich wie bei der Standardversion oben. Wir müssen allerdings noch die Umkehrbarkeit von begründen.

Beweis (Substitutionsregel Variante 2)

ist stetig und ungleich null. Mit dem Zwischenwertsatz ist somit überall positiv oder negativ. Also ist streng monoton und nach Voraussetzung stetig, also injektiv. Da nach Voraussetzung auch surjektiv ist, ist die Funktion bijektiv und damit umkehrbar.

Ähnlich zu oben folgt mit der Kettenregel und dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung:

Wir wollen auch diese Variante an einem Beispiel veranschaulichen.

Beispiel (Umgekehrte Substitutionsregel)

Sei folgendes Problem gegeben:

Bei diesem Integral ist es entscheidend, zu erkennen, dass sich der Integrand durch die Substitution vereinfacht. Aus dem trigonometrischen Pythagoras folgt nämlich . Damit löst sich die Wurzel auf. Wir müssen nur beachten, dass wir wegen noch ein multiplizieren müssen. Die Substitution ist nach dem Hinweis von oben auch zulässig, denn für alle und der Randpunkt ändert an der Bijektivität von nichts. Damit erhalten wir

Dieses Integral kann nun mit Hilfe von Partielle Integration berechnet werden, oder mit Hilfe der Formel

die sich mit Hilfe der Additionstheoreme zur Trigonometrie ergibt. Damit ist

Hinweis

Neben der oben angeprochenen Möglichkeit mittels partieller Integration zu lösen, gibt es noch zwei weitere Möglichkeiten unser Ausgangsintegral , ohne unsere Substitution , zu lösen. Zum einen könnten wir auch direkt partiell Integrieren, dazu müssen wir den Integrand als schreiben. Zum anderen ist das Integral auch über die Euler-Substitution lösbar, welche wir im Kapitel Fortgeschrittene Substitutionen besprechen werden.

Rezept zur Anwendung der „umgekehrten“ Substitutionsregel[Bearbeiten]

Auch für diese Variante können wir wieder eine Rezept formulieren:

Sei ein Integrationsproblem der Form gegeben.

1. Schritt: Suche eine passende Substitution , wobei bijektiv sein muss.
2. Schritt: Bilde die erste Ableitung und ersetze durch .
3. Schritt: Ersetze die Grenzen und durch und .

Hinweis

Schritt 2 können wir uns wieder mit der Leibnizschen Schreibweise merken:

Hinweis

Im Falle eines unbestimmten Integrals entfällt Schritt 3. Stattdessen muss nach bilden einer Stammfunktion von erneut zurücksubstituiert werden.

Aufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe (Substitutionsregel Variante 2)

Berechne die folgenden Integrale

Lösung (Substitutionsregel Variante 2)

Teilaufgabe 1:

Um hier die Wurzel „wegzusubstituieren“ müssen wir, wegen dem Faktor , als Substitution wählen. Dann ist erneut stetig diffbar und bijektiv auf . Damit erhalten wir

Mit Hilfe der Formel

ergibt sich nun, genau wie oben

Teilaufgabe 2:

Bei diesem Integral steht unter der Wurzel der Term . Wegen ist es hier sinnvoll die Substitution zu wählen. Dann gilt . Diese Substitution ist erneut zulässig, denn für alle . Damit ist umkehrbar mit . Damit erhalten wir

Dieses Integral kann nun mit Hilfe der Formel

vereinfacht werden. Damit ist

Nun möchten wir gerne zurücksubstituieren. Um auf einen „schönen“ Ausdruck zu kommen, stört uns aber der Faktor innerhalb des . Um diesen los zu werden wenden wir die Formel

an. Mit dieser erhalten wir

Eine Anschaulich Herleitungsmöglichkeit[Bearbeiten]

  • Zu Anfang sollte man irgentwo schon mal gehört haben was mit einer funktion f(x) passiert wenn man in diese eine andere funktion f(g(x)) einsetzt. Natülich sollen f(x) und g(x) diffbar sein.
  • Antwort: f(x) bleibt quasi gleich und wird nur versetzt, gezerrt und gestaucht, (und verdreht bei unmonotonem g).
  • Um sich davon zu überzeugen betrachte man bspw.
Einzelne grafik f(g(x)).jpg
  • Wie genau: dort wo g(x) stärker als die Identität x steigt wird f(x) gestaucht. Dort wo g(x) langsamer als die Identität steigt wird f(x) gestreckt.
  • Um sich davon zu überzeugen betrachte man bspw.
Mehrere grafiken zu f(g(x)).jpg

Man kann das vielleicht auch wie folgt nachvollziehen: Angenommen wir haben 2 reelle Funktionen f und g (diffbar. und mit Intervallen als Definitionsmengen, g monoton) und wir wollen wissen was mit f passiert wenn man in diese g einsetzt.

Zuerst bemerke man dass das ganze nur Sinn hat wenn die Bildmenge von g eine Teilmenge der Definitionsmenge von f ist, denn sonst wäre f(g(x)) nicht definiert.

Dh. g(x) durchläuft das Definitionsintervall von f. Dh. dort wo g(x) stark steigt durchläuft es das Intervall schnell, dort wo es schwach steigt durchläuft es das Intervall langsam.

Dh. dort wo g(x) stark steigt kommen werden viele Zahlen aus dem Definitionsbereich von f pro argumentenabschnitt von g durchlaufen, dort wo g(x) schwach steigt sind es pro argumentenabschnitt wenige Zahlen.

Dh. bei starkem anstieg von g wird ein einst großes Argumentenintervall von f innerhalb eines viel kleineren Intervalls "verarbeitet", f wird gestaucht und dass einst kleine Teilintervall wird jetzt während eines viel größeren Intervalls verarbeitet, f wird gestreckt

Hierzu betrachte man

Wirkung g.jpg

(evtl. animieren)

Dh. dort wo g stark steigt wird f gestaucht, dort wo g schwach steigt wird f gestreckt.

  • Angenommen wir wollen nun irgentein ein Integral berechen.
ein integral
  • Nun betrachte man was passiert wenn man g(x) in f(x) einsetzt.
Die Abb zeigt bsp.haft wie eine funktion f(x) durch einsetzten von g(x) verformt wird.

(evtl. Animation einfügen)

  • Das gleiche passiert mit den Treppenfunktionen

mithilfe welcher versucht wird das Integral zu approximieren bzw. zu berechen

Abb4.jpg

(evtl. animieren)

  • Offensichtlich veränder sich dabei der Flächeninhalt einer solchen Treppenfunktion. Um den Flächeninhalt aber trotzdem gleich zu behalten könnte man nun versuchen die Rechtecke in ihrer höhe zu modifizieren. Nach ein wenig überlegung ist dies auch gar nicht so schwer:

Das Intervall welches vorher die Länge

hatte hat nun die Länge

(monotonie vorrausgesetzt). Dh. das Intervall welches nun die Länge

hat, hatte vorher die Länge

. Dh. wenn man im Kopf wie auf dem Bild nur proforma einfach mal annimmt das neue Intervall b-a wäre kleiner als das alte g(b)-g(a), so würde das alte Intervall um den Faktor

verkleinert werden.

Dh. damit das entsprechende Rechteck trotzdem noch den gleichen Flächeninhalt hat müsste man es in seiner höhe um das reziproke dieses Faktors vergrößern. Vergrößern heißt multiplizieren, heißt in Formeln

.

  • Wenn die Intervalle bei

immer kleiner werden so nähert sich der Vergößerungsfakor immer mehr g'(y) an, was einen schließlich auf die Vermutung

bringen könnte.