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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung[Bearbeiten]
Lösung
Lösung Teilaufgabe 2:
1. Abschätzung: Da
auf
monoton fällt, gilt mit der Monotonie des Integrals:
sowie
2. Abschätzung: Ebenso ist
auf
monoton fallend, und mit der Linearität des Integrals folgt
Schließlich ist
Aufgabe
Gegeben sei
.
- Bestimme den Definitionsbereich von
.
- Untersuche das Monotonieverhalten von
und bestimme gegebenenfalls Extrema.
Lösung
Lösung Teilaufgabe 2:
Monotonie: Nach dem Monotoniekriterium ist
genau dann streng monoton steigend bzw. fallend, wenn
bzw.
ist.
Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt nun für alle
:
Weiter ist für
:
Damit ist
in
streng monoton steigend und in
streng monoton fallend.
Extrema: Es gilt:
Da
rechts von
monoton fällt, besitzt die Funktion dort eine lokale (Rand-)Extremstelle. Schließlich fällt
links von
und steigt rechts davon. Somit ist
eine lokale Minimalstelle.
To-Do:
konvexes und konkaves Verhalten
Lösung
Lösung Teilaufgabe 1:
Zunächst ist
Für den Integranden gilt weiter auf
:
Aus der Monotonie des Integrals folgt für alle
:
Somit hat
im Nullpunkt ein lokales und sogar globales Minimum.
Lösung Teilaufgabe 2:
Für die Hilfsfunktion
gilt mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für alle
:
Weiter ist
Mit der Kettenregel folgt damit für alle
:
Lösung (Substitutionsregel 1)
Teilaufgabe 1:
Teilaufgabe 2:
Teilaufgabe 3:
Teilaufgabe 4:
Teilaufgabe 5:
Teilaufgabe 6:
Lösung (Substitutionsregel 2)
Teilaufgabe 1:
Teilaufgabe 2:
Teilaufgabe 3:
Teilaufgabe 4:
Teilaufgabe 5:
1.Möglichkeit:
2.Möglichkeit:
3.Möglichkeit:
Teilaufgabe 6:
Teilaufgabe 7:
Teilaufgabe 8:
Partielle Integration[Bearbeiten]
Lösung (Rekursionsformeln für Integrale)
Teilaufgabe 1:
Stellen wir diese Gleichung um, so erhalten wir
Ersetzen wir noch
durch
, so erhalten wir schließlich
Für
und
erhalten wir noch
und
Teilaufgabe 2:
Wiederholen wir die analoge Rechnung
-Mal, so erhalten wir
Substitution und partielle Integration[Bearbeiten]
Aufgabe
Bestimme die Integrale


Lösung
Teilaufgabe 1:
Teilaufgabe 2:
Aus der Teilaufgabe zuvor wissen wir, dass
eine Stammfunktion von
ist. Nun können wir partielle Integration verwenden. Wir haben also
Lösung
Teilaufgabe 1:
Fall 1: 
Fall 2: 
Subtrahieren wir nun das Integral auf der rechtenen Seite, so ist die gesamte Gleichung äquivalent zu
Daraus folgt schließlich
Teilaufgabe 2:
Fall 1: 
Fall 2: 
Subtrahieren wir nun das Integral auf der rechtenen Seite, so ist die gesamte Gleichung äquivalent zu
Daraus ergibt sich
Teilaufgabe 3:
Fall 1: 
Fall 2: 
Lösung
Beispiele von Stammfunktionen[Bearbeiten]
Konvergenz von Integralen[Bearbeiten]
Die Funktionen

haben jeweils das Integral

und konvergieren punktweise gegen die Nullfunktion
Wie kommt man auf den Beweis?
Wir machen eine Vorüberlegung. Angenommen, wir haben Funktionen
gefunden, die die geforderten Eigenschaften erfüllen. Für alle
betrachten wir die Funktion
. Dann gilt:

- Für alle
gilt
.
Es reicht also, dass wir Funktionen
suchen, die punktweise gegen die Nullfunktion konvergieren, für die aber
gilt.
Für alle
ist
eine reelle Zahl und die Folge dieser reelle Zahlen soll nicht gegen
konvergieren. Wir versuchen, die
so zu wählen, dass für alle
gilt
. Dann ist die zweite Bedingung erfüllt. Gleichzeitig müssen wir darauf achten, dass die erste Bedingung erfüllt wird.
Wie können wir sicherstellen, dass die erste Bedingung erfüllt ist? Für alle
wählen wir
so, dass für alle
gilt
.
Wir zeigen nun, dass dann die Folge der
punktweise gegen die Nullfunktion konvergiert. Sei
. Dann gibt es ein
, so dass
. Für alle
gilt dann
.
Jetzt müssen wir nur noch die Funktionswerte von
im Intervall
festlegen. Wir wählen sie so, dass die Funktionen jeweils konstant auf diesem Intervall sind, also
für
.
Dann ist auch die zweite Bedingung erfüllt, denn
und wir sind fertig.
Lösung
Wir setzen für alle
Für alle
gibt es eine natürliche Zahl
, so dass
. Dann gilt für alle
, dass
. Somit konvergiert
punktweise gegen die Nullfunktion.
Weiter gilt
Folglich sind beide Bedinungen erfüllt.