Aufgaben zu Integralen – Mathe für Nicht-Freaks

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung[Bearbeiten]

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Aufgabe (HDI 1)

  1. Berechne und für , .
  2. Bestätige mit einfachen Ober- und Untersummen: und
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Aufgabe (HDI 2)

Gegeben sei .

  1. Untersuche auf Existenz und bestimme den Definitionsbereich.
  2. Untersuche das Monotonieverhalten von und bestimme gegebenfalls Extrema.
Qsicon inArbeit.png
To-Do:

konvexes und konkaves Verhalten

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Aufgabe (HDI 3)

Für sei die Funktion defniert durch .

  1. Begründe: hat im Nullpunkt ein globales Minimum.
  2. Berechne die Ableitung für .

Substitutionsregel[Bearbeiten]

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Aufgabe (Substitutionsregel 1)

Berechen die unbestimmten Integrale

  1. für
  2. für
  3. für
  4. für
  5. für
  6. für
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Lösung (Substitutionsregel 1)

Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2:

Teilaufgabe 3:

Teilaufgabe 4:

Teilaufgabe 5:

Teilaufgabe 6:

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Aufgabe (Substitutionsregel 2)

Berechen die bestimmten/unbestimmten Integrale

  1. für
  2. für
  3. für
  4. für
  5. für
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Lösung (Substitutionsregel 2)

Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2:

Teilaufgabe 3:

Teilaufgabe 4:

Teilaufgabe 5:

1.Möglichkeit:

2.Möglichkeit:

3.Möglichkeit:

Teilaufgabe 6:

Teilaufgabe 7:

Teilaufgabe 8:

Partielle Integration[Bearbeiten]

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Aufgabe (Rekursionsformeln für Integrale)

Bestimme Rekursionsformln für

  1. und berechne damit den Wert des Integrals.

Substitution und partielle Integration[Bearbeiten]

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Aufgabe

Bestimme die Integrale

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Lösung

Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2: Aus der Teilaufgabe zuvor wissen wir, dass eine Stammfunktion von ist. Nun können wir partielle Integration verwenden. Wir haben also

Beispiele von Stammfunktionen[Bearbeiten]

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Aufgabe (Stammfunktionen der hyperbolischen Funktionen)

Zeige:

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Aufgabe (Stammfunktionen der Area Funktionen)

Zeige:

Konvergenz von Integralen[Bearbeiten]

Die Funktionen haben jeweils das Integral und konvergieren punktweise gegen die Nullfunktion
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Aufgabe

Finde integrierbare Funktionen für alle , so dass

  1. Für alle gilt .
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Wie kommt man auf den Beweis?

Wir machen eine Vorüberlegung. Angenommen, wir haben Funktionen gefunden, die die geforderten Eigenschaften erfüllen. Für alle betrachten wir die Funktion . Dann gilt:

  1. Für alle gilt .

Es reicht also, dass wir Funktionen suchen, die punktweise gegen die Nullfunktion konvergieren, für die aber gilt.

Für alle ist eine reelle Zahl und die Folge dieser reelle Zahlen soll nicht gegen konvergieren. Wir versuchen, die so zu wählen, dass für alle gilt . Dann ist die zweite Bedingung erfüllt. Gleichzeitig müssen wir darauf achten, dass die erste Bedingung erfüllt wird.

Wie können wir sicherstellen, dass die erste Bedingung erfüllt ist? Für alle wählen wir so, dass für alle gilt .

Wir zeigen nun, dass dann die Folge der punktweise gegen die Nullfunktion konvergiert. Sei . Dann gibt es ein , so dass . Für alle gilt dann .

Jetzt müssen wir nur noch die Funktionswerte von im Intervall festlegen. Wir wählen sie so, dass die Funktionen jeweils konstant auf diesem Intervall sind, also für .

Dann ist auch die zweite Bedingung erfüllt, denn und wir sind fertig.

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Lösung

Wir setzen für alle

Für alle gibt es eine natürliche Zahl , so dass . Dann gilt für alle , dass . Somit konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion.

Weiter gilt

Folglich sind beide Bedinungen erfüllt.