Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Harnacksche Ungleichung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wo stehen wir

Wir hatten die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung der Laplacegleichung hergeleitet. Mit dieser konnten wir im Ganzraum die Lösung der Poissongleichung beweisen. Dann hatten wir die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen gezeigt und das Maximumprinzip harmonischer Funktionen eingeführt. Jetzt zeigen wir eine ungewöhnliche Ungleichung: Mit der Harnackschen Ungleichung lässt sich das Supremum mit einer Konstanten nach oben durch das Infimum abschätzen. Dieses Tool werden wir schon bei der Regularität der Lösungen verwenden.

Die Harnacksche Ungleichung

Satz (Harnack Ungleichung)

Sei $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ offen, $V\subset U$ offen und zusammenhängend und ${\overline {V}}\subset U$ kompakt. Dann gibt es eine Konstante $C(V)>0$ sodass für alle nicht-negativen harmonischen Funktionen gilt

$\sup _{V}u\leq C\inf _{V}u$

Damit sind alle Funktionswerte von $u$ in $V$ vergleichbar

$\forall x,y\in V:u(y)\leq Cu(x)\leq C^{2}u(y)$

Beweis (Harnack Ungleichung)

1.):

Da $V$ kompakt ist und $\partial U$ abgeschlossen und sie leeren Schnitt haben, ist ihr Abstand echt größer Null, wie wir bewiesen haben im Hilfssatz im Kapitel

Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Der_Satz_von_Stokes

Setze daher

$r:={\frac {dist(V,\partial U)}{4}}>0$

Seien $x_{0},x_{1}\in V$. Damit ist ihr Abstand von $\partial U$ größer gleich $4r$. Insbesondere gilt dann

$B(x_{1},2r)\subseteq {\overline {B(x_{1},2r)}}\subseteq V$

Der Abstand zwischen den beiden Punkten sei kleiner als $r$, d.h. $|x_{1}-x_{0}|<r$. Dann folgt

${\begin{aligned}y\in B(x_{0},r)\iff &|y-x_{0}|<r\\\Rightarrow &|y-x_{1}|\leq |y-x_{0}|+|x_{1}-x_{0}|<2r\\\Rightarrow &y\in B(x_{1},2r)\end{aligned}}$

Da $u$ harmonisch ist, können wir die Mittelwerteigenschaft zweimal anwenden. Zudem benutzen wir, dass das Integral über eine größere Menge $B(x_{1},2r)\supset B(x_{0},r)$ sich nur vergrößern kann, da $u$ nicht-negativ ist. Das ergibt

${\begin{aligned}u(x_{0})=&{\frac {1}{Vol(B(x_{0},r))}}\int _{B(x_{0},r)}udx\\=&{\frac {1}{Vol(B(x_{0},1))r^{n}}}\int _{B(x_{0},r)}udx\\{\stackrel {u\geq 0}{\leq }}&{\frac {2^{n}}{Vol(B(x_{0},1))r^{n}2^{n}}}\int _{B(x_{1},2r)}udx\\=&{\frac {2^{n}}{Vol(B(x_{1},2r))}}\int _{B(x_{1},2r)}udx\\=&2^{n}u(x_{1})\end{aligned}}$

2.):

Zeige: Da ${\overline {V}}$ kompakt ist und $V$ zusammenhängend ist, existiert eine endliche Überdeckung von $V$ durch eine Kette offener Kugeln $B_{j}=B(x_{j},r),j=1,\ldots ,M+N$ mit $B_{j}\cap B_{j+1}\neq \emptyset$ für $j=1,\ldots ,M+N-1$.

Konstruktionsidee: Da $V$ offen ist und Abstand größer gleich $4r$ hat vom Rand von $U$, gibt es um jeden Punkt $z$ in $V$ eine $r$-Kugel, deren Schnitt mit $U$ leer ist. Damit ist $V$ inklusive seinen Rand in dieser Überdeckung mit diesen $r$-Kugeln enthalten

$V\subset {\overline {V}}\subset \bigcup _{x\in V}B\left(x,r\right)$

Da ${\overline {V}}$ kompakt ist, wird es von endlich vielen dieser Kugeln überdeckt. Das seien $N$ Stück.

Da $V$ zusammenhängend ist, ist es wegzusammenhängend und wir können die Mittelpunkte aller $N$ Kugeln durch einen Weg $c:[0,1]\rightarrow V$ miteinander verbinden.

Benachbarte Kugeln auf diesem Weg haben aber ggf. keinen Schnitt miteinander. Daher ergänzen wir neue Kugeln mit Radius $r$ auf dem Weg wie folgt: Da das Intervall $[0,1]$ kompakt ist und $c$ stetig ist, ist $c$ gleichmäßig stetig (gemäß Analysis II). Das heißt, es gibt ein $\delta >0$ sodass für $t,t'\in [0,1],|t-t'|<\delta$ gilt

$c(t)-c(t')<r$

Insbesondere schneiden sich dann die Kugeln mit Radius $r$ und Mittelpunkten $t$ und $t'$!

Jetzt wählen wir eine Unterteilung $(t_{j})_{j=1}^{M}$ des Gesamtweges $c:[0,1]\rightarrow V$, die feiner ist als $\delta$, und wählen als Mittelpunkte von neuen Kugeln die $(c(t_{j}))_{j=1}^{M}$. Nun haben wir $M+N$ Kugeln auf dem Weg, die sich jeweils fortlaufend schneiden, wenn wir unsere ursprünglichen $N$ Kugelmittelpunkte in der Reihe der $t_{j}$ einordnen durch $c^{-1}$ gemäß der Ordnung des Intervalles $[0,1]$.

Seien $x,y\in V$ beliebig. Diese liegen in einer obigen Kugel $B_{k}$ und einer obigen Kugel $B_{l}$, wobei ohne Einschränkung $k<l$ gelte. Für die Anordnung der Punkte

$x=x_{k-1},x_{k}\ldots ,x_{l},y=x_{l+1}$

gilt

$\forall k\leq i\leq l+1:\ |x_{i}-x_{i-1}|<r$

Mit Schritt 1.) folgt

${\begin{aligned}u(x)\leq &2^{n}u(x_{k})\leq (2^{n})^{2}u(x_{k+1})\\\leq &\ldots \leq (2^{n})^{l-k+1}u(x_{l})\\\leq &(2^{n})^{l-k+2}u(y)\end{aligned}}$

Das galt bei beliebiger Wahl von $x$ und $y\in V$. Geht man links zum Supremum und rechts zum Infimum über, folgt

$\sup _{V}u\leq (2^{n})^{M+N+2}\inf _{V}u$