Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Mittelwerteigenschaft der Wärmeleitungsgleichung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wo stehen wir[Bearbeiten]

Wir hatten die Transportgleichnung betrachtet und daraufhin die Eigenschaften der Laplace-Gleichung und der Poisson-Gleichung untersucht. Nun gehen wir zur Wärmeleitungsgleichung über, sie lautet

Sie heißt homogen für , sonst inhomogen.

Wir können eine Anfangswärmeverteilung zum Zeitpunkt und Wärmequellen und -senken vorgeben und die Gleichung sagt uns, wie sich die Wärmeverteilung in Raum und Zeit entwickelt. Die Lösung für den Ganzraumfall haben wir schon betrachtet. Dann haben wir die Wärmekugel (englisch heat ball) eingeführt, mit der wir nun den Mittelwertsatz beweisen.

Ein Hilfssatz für den Mittelwertsatz[Bearbeiten]

Satz

Sei und , d.h. ist einmal stetig differenzierbar nach und zweimal stetig differenzierbar nach . Sei

Dann gelten

mit

Beweis

1.):

siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_ Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Wärmekugel

2.):

Wir wollen die -Abhängigkeit der Integrationsgrenzen auf den Integranden übertragen. Wir benutzen dazu die Transformation

damit gilt

Nach Voraussetzung ist stetig differenzierbar, zudem sind beschränkt auf dem kompakten und damit integrierbar. Damit existiert die Ableitung von und Integral und Ableitung vertauschen. Wir berechnen die Ableitung des Integranden zu

Durch Vertauschen von Ableitung und Integral und Rücktransformation erhalten wir

Nun wollen wir die Funktion verwenden, für deren Ableitungen gilt

Wir wollen zwei Terme im obigen Integral ersetzen gemäß

Wir wollen gleich partielle Integration verwenden und benötigen dazu, dass auf dem Rand von Null wird, weil dann ein Integralterm wegfällt:

Damit ergeben Einsetzen und partielle Integration bzgl. des ersten Termes Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Der_Satz_von_Stokes

Bei partieller Integration des dritten Termes nach entfällt der Randterm

Bei erneuter partielle Integration Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Der_Satz_von_Stokes des vierten Termes entfällt wieder das Randintegral und wir erhalten das Ergebnis

To-Do:

Zeige noch: E(0,0,r) ist eine Mannigfaltigkeit mit Rand

Mittelwerteigenschaft der Wärmeleitungsgleichung[Bearbeiten]

Satz

Sei in offen, und und .

1.) Falls in so folgt

2.) Falls in so folgt

3.) Falls in so folgt

Beweis

1.):

Folgt aus 2.) angewendet auf und , da die Ableitung linear ist.

2.):

Sei

Dann gilt

Das ergibt mit dem gerade gezeigten Hilfssatz

Auf ist wegen

Wegen

ist monoton steigend in und es gilt für alle mit dem Hilfssatz

d.h.

Mit der Transformation folgt die Aussage.

3.):

Analog zu 2.)