Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Energiemethode für die Laplacegleichung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wo stehen wir

Wir hatten die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung der Laplacegleichung hergeleitet. Mit dieser konnten wir im Ganzraum die Lösung der Poissongleichung beweisen. Dann hatten wir die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen gezeigt und das Maximumprinzip harmonischer Funktionen eingeführt. Wir hatten daraufhin die Harnacksche Ungleichung hergeleitet und bewiesen, dass harmonische Funktionen unendlich oft differenzierbar sind. Wir hatten dann Schranken für die Ableitungen harmonischer Funktionen gezeigt und mit diesen bewiesen, dass harmonische Funktionen analytisch sind, sich also lokal durch ihre Taylorreihe darstellen lassen. Dararaufhin haben wir eine Lösungsformel für das Dirichletproblem der Poissongleichung

$\left\{{\begin{array}{rl}\Delta u=f&{\text{ in }}U\\u=g&{\text{ in }}\partial U\\\end{array}}\right.$

mittels der Greenschen Funktion $G$ ermittelt und die Greensche Funktion für den Halbraum und die Kugel hergeleitet.

In diesem Kapitel lernen wir die Energiemethode kennen, die Minimierung eines Funktionals. Gerne hätten wir mehr solche Hilbertraummethoden gezeigt, aber dazu müssen wir erst noch die nötige Funktionalanalysis erschaffen.

Das Dirichlet-Prinzip

Definition

Sei $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ offen, $u\in L^{2}(U),\nabla u\in L^{2}(U,\mathbb {R} ^{n}),f\in L^{2}(U)$. Dann ist das Dirichlet-Funktional definiert durch

$I_{f}(u)={\frac {1}{2}}\int _{U}|\nabla u|^{2}dx-\int fudx$

Beide Integrale sind durch die Voraussetzungen definiert: Wegen $u,f\in L^{2}(U)$ gilt $u\cdot f\in L^{1}(U)$.

Satz (Dirichlet-Prinzip)

Sei $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ beschränkt und offen mit $C^{1}$-Rand und $f\in C({\overline {U}}),g\in C^{0}(\partial U)$ und

$A_{g}=\{w\in C^{2}(U)\cap C^{1}({\overline {U}})|w=g{\text{ auf }}\partial U\}$

Dann gilt:

Eine Funktion $u\in A_{g}$ ist ein Minimierer von $I_{f}$ auf $A_{g}$ genau dann wenn $-\Delta u=f$ in $U$ und $u=g$ auf $\partial U$.

Der Beweis, dass dieses Minimum existiert, benötigt die Theorie von Sobolevräumen und schwachen Lösungen, d.h. Methoden der Variationsrechnung.

Beweis (Dirichlet-Prinzip)

$\Leftarrow$:

Wir wollen zeigen:

$\forall v\in A_{g}:\ I_{f}(u)\leq I_{f}(v)$

Sei $v\in A_{g}$ daher beliebig. Betrachte

$v=u+(v-u)$

Durch Einsetzen von $-\Delta u=f$ in $U$ und $u=g$ auf $\partial U$ und mit partieller Integration, siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Der_Satz_von_Stokes folgt

${\begin{aligned}I_{f}(v)=&{\frac {1}{2}}\int _{U}|\nabla u|^{2}dx+{\frac {1}{2}}\int _{U}|\nabla (v-u)|^{2}dx+\int _{U}\nabla u\nabla (v-u)dx\\&-\int _{U}fudx-\int _{U}f(v-u)dx\\=&I_{f}(u)+{\frac {1}{2}}\int _{U}|\nabla (v-u)|^{2}dx+\int _{\partial U}\underbrace {(v-u)} _{=0{\text{ auf }}\partial U}\nabla u\cdot NdS\\&-\int _{U}\Delta u(v-u)dx-\int _{U}f(v-u)dx\\=&I_{f}(u)+{\frac {1}{2}}\int _{U}|\nabla (v-u)|^{2}dx-\int _{U}\underbrace {(\Delta u+f)} _{=0}(v-u)dx\\\geq &I_{f}(u)\end{aligned}}$

Da $v\in A_{g}$ beliebig gewählt war, ist $u$ ein Minimierer von $I_{f}$

$\Rightarrow$:

Sei $u$ nun ein Minimierer von $I_{f}$. Dann gilt für alle $t\in \mathbb {R}$ und alle $h\in C_{0}^{\infty }(U)$

${\begin{aligned}u+t\cdot h\in &A_{g}\\I_{f}(u)\leq &I_{f}(u+th)\end{aligned}}$

Die Idee ist, dass $I_{f}$ in jeder Richtung $h\in A_{g}$ minimal ist im Punkt $u$. Das heißt, wir bilden für beliebiges $h\in A_{g}$ die Ableitung der Veränderung um $t$ in Richtung $h$. Betrachte dazu die Funktion

${\begin{aligned}&F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,t\mapsto I_{f}(t+uh)\\&={\frac {1}{2}}\int _{U}|\nabla u|^{2}dx+{\frac {t^{2}}{2}}\int _{U}|\nabla h|^{2}dx+t\int _{U}\nabla u\cdot \nabla hdx-\int _{U}fudx-t\int _{U}fhdx\end{aligned}}$

Als Polynom in $t$ ist $F$ stetig differenzierbar auf $\mathbb {R}$ und wegen

$\forall t\in \mathbb {R} :\ F(0)=I_{f}(u)\leq I_{f}(u+th)=F(t)$

nimmt es sein Minimum in $t=0$ an. Damit folgt $F'(0)=0$, d.h.

${\begin{aligned}0=&\left.{\frac {d}{dt}}F(t)\right|_{t=0}\\=&\left.\left(t\int _{U}|\nabla h|^{2}dx+\int _{U}\nabla u\cdot \nabla hdx-\int _{U}fhdx\right)\right|_{t=0}\\=&\int _{U}\nabla u\cdot \nabla hdx-\int _{U}fhdx\end{aligned}}$

und somit

$\forall h\in C_{0}^{\infty }(U):\ \int _{U}\nabla u\cdot \nabla hdx-\int _{U}fhdx=0$

Mit partieller Integration ergibt sich, da h auf dem Rand $\partial U$ Null wird

${\begin{aligned}\forall h\in C_{0}^{\infty }(U):\ -\int _{U}\Delta u\cdot hdx+\int _{\partial U}\underbrace {h} _{=0{\text{ auf }}\partial U}\nabla udS(x)-\int _{U}fhdx=0\\\forall h\in C_{0}^{\infty }(U):\ \int _{U}(\Delta u+f)hdx=&0\\\end{aligned}}$

Damit folgt

${\begin{aligned}\Delta u+f=&0\end{aligned}}$

wie folgt: Annahme es gibt ein $x_{0}\in U$ mit

$\Delta u(x_{0})+f(x_{0})>0$

Da $U$ offen ist und $\Delta u+f$ stetig ist, gibt es ein $\delta >0$ sodass

$\Delta u+f>0{\text{ auf }}B(x_{0},\delta )$

Betrachte dann eine unendlich differenzierbare Funktion $h$ mit kompaktem Träger auf $B(x_{0},\delta )$ wie wir sie im Kapitel des Satzes von Stokes Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Der_Satz_von_Stokes konstruiert haben, dann folgt

$\int _{U}(\Delta u+f)hdx=\int _{B(x_{0},\delta )}(\Delta u+f)hdx>0$

Ein Widerspruch.