Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Schwaches Maximumprinzip für elliptische Gleichungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wo stehen wir

Wir hatten die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung der Laplacegleichung hergeleitet. Mit dieser konnten wir im Ganzraum die Lösung der Poissongleichung beweisen. Dann hatten wir die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen gezeigt und das Maximumprinzip harmonischer Funktionen eingeführt. Wir hatten daraufhin die Harnacksche Ungleichung hergeleitet und bewiesen, dass harmonische Funktionen unendlich oft differenzierbar sind. Wir hatten dann Schranken für die Ableitungen harmonischer Funktionen gezeigt und mit diesen bewiesen, dass harmonische Funktionen analytisch sind, sich also lokal durch ihre Taylorreihe darstellen lassen. Dararaufhin haben wir eine Lösungsformel für das Dirichletproblem der Poissongleichung

$\left\{{\begin{array}{rl}\Delta u=f&{\text{ in }}U\\u=g&{\text{ in }}\partial U\\\end{array}}\right.$

mittels der Greenschen Funktion $G$ ermittelt und die Greensche Funktion für den Halbraum und die Kugel hergeleitet. Dann hatten wir die Gleichwertigkeit gezeigt von einer Minimierung eines Funktionals und der Lösung der Poissongleichung. Jetzt verallgemeinern wir die Laplace-Gleichung zu elliptischen Gleichungen und finden tatsächlich wieder ein Maximumprinzip.

Schwaches Maximumprinzip für lineare elliptische Gleichungen

Satz

Sei $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ offen und $x\in U$ und

$Lu:=-\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)D_{ij}u(x)+\sum _{i=1}b_{i}(x)D_{i}u(x)$

wobei $A=(a_{ij})_{ij}$ stetig, beschränkt, symmetrisch $(A^{T}=A)$ und elliptisch ist. Letzteres bedeutet, es gibt ein $c>0$ sodass für alle $x\in U$ und für alle $y\in \mathbb {R} ^{n}$ gilt

$y\cdot Ay=\langle y,Ay\rangle =\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)y_{i}y_{j}\geq c|y|^{2}$

Sei $b=(b_{1},\ldots ,b_{n})$ stetig und beschränkt.

Sei $U$ zudem beschränkt und $u\in C^{2}(U)\cap C^{0}({\overline {U}})$. Gilt $Lu\leq 0$, so wird das Maximum auf dem Rand angenommen

$\max _{\overline {U}}u=\max _{\partial U}u$

Entsprechend gilt ein schwaches Minimumsprinzip für $Lu\geq 0$

Beispiel: Für $A=I_{n},b=0$ gilt $Lu=-\Delta u$, womit wir erneut das Maximumprinzip bewiesen haben für die Laplacegleichung, siehe zum Vergleich Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Das_Maximumprinzip_der_Laplacegleichung#Das_schwache_und_starke_Maximumprinzip

Beweis

WIr führen einen Beweis durch Widerspruch. Annahme: es existiert ein $x_{0}\in U$ mit

$u(x_{0})=\max _{\overline {U}}u>\max _{\partial U}u$

1.) Herleitung eines Widerspruchs im Fall $Lu<0$:

Da $x_{0}$ ein innerer Maximumspunkt ist, gelten $Du(x_{0})=0$ und $D^{2}u(x_{0})$ ist negativ semidefinit

$\forall y\in \mathbb {R} ^{n}:\ \left\langle y,D^{2}u(x_{0})y\right\rangle \leq 0$

Da $A$ symmetrisch und positiv definit ist, gibt es eine orthogonale Matrix $O$ und $d_{i}>0$ mit

$O^{T}A(x_{0})O={\begin{pmatrix}d_{1}&&0\\&\ddots \\0&&d_{n}\end{pmatrix}}$

d.h.

$A(x_{0})=O{\begin{pmatrix}d_{1}&&0\\&\ddots \\0&&d_{n}\end{pmatrix}}O^{T}$

bzw.

$a_{ij}(x_{0})=\sum _{k=1}^{n}O_{ik}d_{k}O_{jk}$

Damit berechnen wir $Lu(x_{0})$ zu

${\begin{aligned}Lu(x_{0})=&-\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x_{0})D_{ij}u(x_{0})+\sum _{i=1}b_{i}(x_{0})\underbrace {D_{i}u(x_{0})} _{=0}\\=&-\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x_{0})D_{ij}u(x_{0})\\=&-\sum _{k=1}^{n}d_{k}\underbrace {\sum _{i,j=1}^{n}O_{ik}O_{jk}D_{ij}u(x_{0})} _{\langle D^{2}u(x_{0})O_{k},O_{k}\rangle \leq 0}\\\geq &0\end{aligned}}$

Das ist ein Widerspruch zu $Lu<0$. D.h. für $Lu<0$ wird das Maximum auf dem Rand angenommen

$\max _{\overline {U}}u=\max _{\partial U}u$

2.) Herleitung eines Widerspruches im Fall $Lu\leq 0$:

Sei $Lu\leq 0$ und sei

$u_{\varepsilon }(x):=u(x)+\varepsilon e^{Cx_{1}}$

mit $x=(x_{1},\ldots ,x_{n}),\varepsilon >0$ und sei $C>0$ ein zu variierender Parameter. Da die abzuleitende Funktion nur von $x_{1}$ abhängt, verbleiben nur zwei Terme von $Lu(x)$. Damit berechnen wir

${\begin{aligned}Lu_{\varepsilon }(x)=&\underbrace {Lu(x)} _{\leq 0}+L\varepsilon e^{Cx_{1}}\\\leq &L\varepsilon e^{Cx_{1}}\\=&-\varepsilon a_{11}(x)D_{11}e^{Cx_{1}}+\varepsilon b_{1}(x)D_{1}e^{Cx_{1}}\\=&-\varepsilon a_{11}(x)C^{2}e^{Cx_{1}}+\varepsilon b_{1}(x)Ce^{Cx_{1}}\\=&\varepsilon Ce^{Cx_{1}}(b_{1}(x)-C\cdot a_{11}(x))\end{aligned}}$

Da $A$ elliptisch ist, folgt

${\begin{aligned}a_{11}(x)=&\langle e_{1},Ae_{1}\rangle \geq c|e_{1}|^{2}=c\\-a_{11}(x)\leq &-c\end{aligned}}$

und mit

$|b_{1}|\leq \parallel b\parallel _{L^{\infty }(U,\mathbb {R} ^{n})}$

folgt

$Lu_{\varepsilon }(x)\leq \varepsilon Ce^{Cx_{1}}(-cC+\parallel b\parallel _{L^{\infty }(U,\mathbb {R} ^{n})})$

Wählt man nun den noch freien Parameter $C$ zu

$C>{\frac {\parallel b\parallel _{L^{\infty }(U,\mathbb {R} ^{n})}}{c}}$

folgt

$\forall \varepsilon >0:\ Lu_{\varepsilon }(x)<0$

Mit Schritt 1 wird das Maximum von $u_{\varepsilon }$ auf dem Rand angenommen.

$\max _{\overline {U}}u_{\varepsilon }=\max _{\partial U}u_{\varepsilon }$

Wegen der Annahme, dass das Maximum von $u$ im Inneren angenommen wird

$\max _{\overline {U}}u>\max _{\partial U}u$

und da $u$ stetig ist, muss auch für kleine $\varepsilon >0$ gelten

$\max _{\overline {U}}u_{\varepsilon }>\max _{\partial U}u_{\varepsilon }$

Das ergibt einen Widerspruch. Damit gilt

$\max _{\overline {U}}u=\max _{\partial U}u$