Wenn wir die Zeilenvektoren des reellen Koordinatenraums in Spaltenvektoren umwandeln, erhalten wir den reellen Vektorraum
.
Die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation funktioniert komponentenweise, ganz analog zur Addition und Skalarmultiplikation im Koordinatenraum .
Die Skalar Multiplikation im führt einen Vektor ebenfalls in einen Vektor über,
Wie wir im vorhergehenden Kapitel[1] schon gesehen haben, können Vektoren im und als Pfeile dargestellt werden. Dabei stellen Pfeile, die parallel, gleich lang und gleich orientiert sind, den selben Vektor dar. Diese Definition von Vektoren ist dir sicher aus deiner Schulzeit bekannt.
Zusätzlich zur Vektoraddition und Skalarmultiplikation wollen wir eine weitere Verknüpfung von zwei Vektoren einführen, die den beiden Vektoren einen Skalar (Zahl) in zuordnet. Wir nennen diese Verknüpfung Skalarprodukt und definieren sie geometrisch in der euklidischen Ebene[2] wie folgt:
Definition (Skalarprodukt)
Seien die Längen der Vektoren mit bezeichnet. Sei weiterhin der von und eingeschlossenen Winkel, dann ist das Skalarprodukt
Hinweis
+++ Ganz analog gilt diese Definition auch im +++
Warnung
Das Skalarprodukt ergibt keinen Vektor sondern einen Skalar (eine Zahl)!
Aus der Definition des Skalarprodukts ergibt sich direkt:[3]
Sind und parallel und gleichorientiert, d.h. und damit so gilt
Sind und parallel und entgegengesetzt orientiert, d.h. und damit so gilt
Insbesondere ergibt das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge
Sind und orthogonal, d.h. und damit so gilt
Umgekehrt gilt für
Ist dann ist und orthogonal, denn
Ist ein spitzer Winkel, d.h. und damit so gilt
Ist ein stumpfer Winkel, d.h. und damit so gilt
Skalarprodukt im kartesischen Koordinatensystem[Bearbeiten]
Führen wir in der euklidischen Ebene und im euklidischen Raum kartesische Koordinaten ein, dann erhalten wir folgende Menge für die euklidische Ebene
und für den euklidischen Raum die Menge
In der euklidischen Ebene lässt sich das Skalarprodukt der Vektoren und darstellen als
Diese Vektoren lassen sich mit Hilfe der kanonischen Einheitsvektoren und darstellen als
und
Zunächst gilt, dass die Einheitsvektoren orthogonal sind und damit ist wegen der obigen Eigenschaften des Skalarprodukts:
Außerdem haben die Einheitsvektoren die Länge 1 und damit gilt wegen der obigen Eigenschaften des Skalarprodukts:
und
Damit ist
Wir haben damit gezeigt, dass die geometrische Definition des Skalarprodukts mit der Definition des Skalarprodukts in Koordinatenform übereinstimmt.[4]
Im dreidimensionalen euklidischen Raum erhält man entsprechend für die Vektoren
und
die Darstellung
Allgemein gilt für den n-dimensionalen euklidischen Raum für das Skalarprodukt der Vektoren und
Das Skalarprodukt ist damit eine Funktion , die jedem geordneten Paar von Vektoren die reelle Zahl zuordnet, mit folgenden Eigenschaften:
s ist symmetrisch,[5] d.h. es gilt das Kommutativgesetz:
für alle Vektoren und
s ist homogen[6] in jedem Argument (gemischtes Assoziativgesetz):
für alle Vektoren und und alle Skalare
s ist additiv[7] in jedem Argument, d.h. es gilt das Distributivgesetz:
und
für alle Vektoren und
Die Eigenschaften 2 und 3 fasst man auch zusammen zu: Das Skalarprodukt ist bilinear[8].
Die Bezeichnung gemischtes Assoziativgesetz für die 2. Eigenschaft verdeutlicht, dass dabei ein Skalar und zwei Vektoren so verknüpft werden, dass die Klammern wie beim Assoziativgesetz vertauscht werden können.
Da das Skalarprodukt keine innere Verknüpfung ist, ist ein Skalarprodukt von drei Vektoren nicht definiert, daher stellt sich die Frage nach einer echten Assoziativität nicht. Im Ausdruck
ist nur der erste Ausdruck ein Skalarprodukt von zwei Vektoren, die zweite Multiplikation ist das Produkt eines Skalars mit einem Vektor. Der Ausdruck stellt ein Vielfaches des Vektors dar. Hingegen stellt der Ausdruck ein Vielfaches von dar.
Im Allgemeinen gilt also
Weder die geometrische Definition noch die Definition in kartesischen Koordinaten ist willkürlich. Beide folgen aus der geometrisch motivierten Forderung, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge ist, und der algebraisch motivierten Forderung, dass das Skalarprodukt die obigen Eigenschaften 1–3 erfüllt.
Aufgabe (Kommutativgesetz, gemischtes Assoziativgesetz und Distributivgesetz)
Zeige, dass das Skalarprodukt im das Kommutativgesetz, das gemischte Assoziativgesetz
und das Distributivgesetz erfüllt
Wie kommt man auf den Beweis? (Kommutativgesetz, gemischtes Assoziativgesetz und Distributivgesetz)
Gesetze durch einfaches Ansetzen und Ausnutzen des Kommutativ-, und Assoziativ- und Distributivgesetzes in
Beweis (Kommutativgesetz, gemischtes Assoziativgesetz und Distributivgesetz)
Kommutativgesetz:
gemischtes Assoziativgesetz:
und weiter gilt:
Distributivgesetz:
Ganz analog kannst du zeigen, dass gilt:
Hinweis
Im Vektorraum ist das Skalarprodukt analog zum definiert durch
Den Vektorraum mit Skalarprodukt nennt man auch euklidischen Vektorraum. Auf diesen speziellen Vektorraum gehen wir in einem späteren Kapitel noch näher ein.