Vektorraum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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In diesem Kapitel definieren wir den Begriff des Vektorraums, welcher die Grundlage für die Theorie der linearen Algebra ist. Vektorräume sind Mengen von Objekten, die man addieren und skalieren kann, wobei die Addition und die Skalierung gewisse Eigenschaften besitzen.

Wiederholung: Intuition hinter einem Vektorraum[Bearbeiten]

Hauptartikel: Einführung in den Vektorraum

Der Begriff des Vektorraums abstrahiert die wesentlichen Eigenschaften der Ebene und des Raums . In diesen beiden Mengen können wir uns Vektoren als Pfeile, die man addieren und skalieren kann, vorstellen:

Hier setzt der allgemeine Vektorraumbegriff an: Es gibt noch mehr Mengen, deren Elemente man addieren und skalieren kann. So können auch Polynome addiert und skaliert werden und ihre Addition und skalare Multiplikation ähnelt stark der von Vektoren. Beispielsweise korrespondiert die Addition und die skalare Multiplikation von Vektoren des mit den jeweiligen Operationen bei Polynomen zweiten Grades:

Und:

Vektoren sind also Objekte, die man wie die aus der Schule bekannten Vektoren des und des addieren und skalieren kann. Der Vektorraumbegriff verallgemeinert damit die Ebene und den auf andere Strukturen mit ähnlichen Eigenschaften.

Definition eines Vektorraums[Bearbeiten]

Wir wollen einen allgemeinen Vektorraum über dem Körper definieren. Dazu nutzen wir die zwei Verknüpfungen für die Vektoraddition und für die Vektorskalierung.

Definition (Vektorraum)

Sei eine nicht leere Menge mit einer inneren Verknüpfung (der Vektoraddition) und einer äußeren Verknüpfung (der skalaren Multiplikation). Die Menge mit diesen beiden Verknüpfungen heißt Vektorraum[1] über dem Körper bzw. -Vektorraum, wenn folgende Axiome gelten:

  • bildet zusammen mit der Verknüpfung eine abelsche Gruppe[2]. Das heißt, folgende Axiome sind erfüllt:
    1. Assoziativgesetz: Für alle gilt:
    2. Kommutativgesetz: Für alle gilt:
    3. Existenz eines neutralen Elements: Es gibt ein Element , so dass für alle gilt: . Dieser Vektor heißt neutrales Element der Addition oder Nullvektor.
    4. Existenz eines inversen Elements: Zu jedem gibt es ein Element , so dass gilt: . heißt inverses Element zu . Statt schreiben wir auch .
  • Zusätzlich müssen folgende Axiome der skalaren Multiplikation erfüllt sein:
    1. Skalares Distributivgesetz: Für alle und alle gilt:
    2. Vektorielles Distributivgesetz: Für alle und alle gilt:
    3. Assoziativgesetz für Skalare: Für alle und alle gilt:
    4. Neutrales Element der skalaren Multiplikation: Für alle und für (das neutrale Element der Multiplikation in ) gilt: . 1 heißt neutrales Element der skalaren Multiplikation.

Anstelle von „“ schreibt man oft auch „“. Die letzte Schreibweise macht deutlich, dass zur Menge die Veknüpfungen und gehören.

Bemerkungen zur Definition[Bearbeiten]

Das skalare und das vektorielle Distributivgesetz der skalaren Multiplikation unterscheiden sich dahingehend, dass einmal eine Aussage über die Addition im Körper und einmal über die Addition im Vektorraum gemacht wird. So stellt das skalare Distributivgesetz eine Beziehung zwischen der Körperaddition und der Vektoraddition her:

Im Gegensatz dazu sagt das vektorielle Distributivgesetz etwas darüber aus, wie sich die Vektoraddition unter einer Skalierung verhält:

Beim Assoziativgesetz für Skalare findet links vom Gleichheitszeichen einmal die Multiplikation im Körper und einmal eine skalare Multiplikation statt, während rechts vom Gleichheitszeichen jeweils die skalare Multiplikation angewendet wird:

Das skalare Distributivgesetz verhält sich genauso wie das Distributivgesetz in Körpern. Wir werden daher zukünftig, statt umständlich zu schreiben, die übliche Variante nutzen. Wir unterscheiden also in unserer Schreibweise nicht mehr zwischen Körperaddition und Vektoraddition und auch nicht mehr zwischen Körpermultiplikation und skalarer Multiplikation. Welche Operation gemeint ist, ergibt sich jeweils aus dem Kontext.

Dies gilt analog auch für das vektorielle Distributivgesetz sowie für das Assoziativgesetz für Skalare. Beim vektoriellen Distributivgesetz wird aus die Gleichung . Beim Assoziativgesetz für Skalare wird aus der Ausdruck . Die Analogie der einzelnen Vektorraumaxiome zu den jeweiligen Körperaxiomen begründet also, dass wir auch für Vektorräume die Symbole „“ und „“ nutzen können.

Einordnung des Vektorraums in algebraische Strukturen[Bearbeiten]

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To-Do:

zu verwirrend, sollte überarbeitet werden

Bevor wir Vektorräume kennengelernt haben, waren wir bereits mit den algebraischen Strukturen Gruppe, Ring und Körper vertraut. Wir wollen uns jetzt überlegen, wie diese mit Vektorräumen zusammenhängen. Dazu betrachten wir den allgemeinen Vektorraum . Da nur die Vektoraddition, aber nicht die Skalarmultiplikation eine innere Verknüpfung darstellt, kann nur überhaupt eine solche algebraische Struktur sein. Die einzige der drei Strukturen mit nur einer Verknüpfung ist die Gruppe. Sieht man sich die Axiome der Vektoraddition an, so stellt man fest, dass diese genau den Axiomen einer Gruppe, die kommutativ ist, entsprechen. Also ist eine abelsche Gruppe.

Wir können dieser abelschen Gruppe eine zweite Verknüpfung hinzufügen, also den Raum betrachten. Diese Verknüpfung "" kann eine innere oder eine äußere Verknüpfung sein. Die innere Verknüpfung bildet zwei Elemente aus auf wiederum ein Element aus ab. Ist sie zusätzlich assoziativ und sind mit ihr für alle die beiden Distributivgesetze und erfüllt, so bildet einen Ring. Spricht man über Ringe, bezeichnet man die Menge für gewöhnlich mit anstelle von , schreibt also für einen Ring. Ist sogar eine abelsche Gruppe, so handelt sich bei um einen Körper. Für einen Körper schreiben wir üblicherweise .

Als Verknüpfung "" fügen wir der abelschen Gruppe nun die äußere Verknüpfung hinzu, wobei ein Körper ist. Diese ist eine äußere Verknüpfung, da die Menge keine Teilmenge von ist, die Elemente von also "von außen" kommen. Erfüllt diese Verknüpfung die in der obigen Definition genannten Axiome der skalaren Multiplikation, so ist ein Vektorraum. An dieser Stelle begegnet uns trotzdem die algebraische Struktur "Körper": Damit wir Vektoren in gewohnter Weise skalieren können, ist es notwendig, dass der Skalar Element eines Körpers ist.

Warum werden Vektorräume nicht über Ringe definiert?[Bearbeiten]

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To-Do:

Abschnitt planen und schreiben. Alter Text: Wir können uns jetzt überlegen, warum wir alle Körperaxiome benötigen. Möglicherweise benötigen wir nicht alle Axiome der reellen Zahlen, sondern kommen auch mit weniger aus. So ist zum Beispiel vorstellbar, dass wir einen Ring betrachten, auf dem auch Addition und Multiplikation definiert sind. Allerdings gehen dann einige Strukturen, die für den Vektorraum charakteristisch sind, verloren. Wir sprechen in diesem Fall von "Moduln".

Vektoren zeigen in Richtungen mit verschiedenen Weitenverhältnissen[Bearbeiten]

Wie können wir uns Vektoren vorstellen? Dazu schauen wir uns zunächst den an, in dem eine solche Vorstellung intuitiv ist, um sie dann zu verallgemeinern.

Intuitive Betrachtung von Vektoren im [Bearbeiten]

Als Vektoren im stellen wir uns Pfeile vor, die beim Nullpunkt beginnen und in bestimmte Richtungen zeigen. Die Richtung eines Vektors können wir uns als die Gerade im Raum vorstellen, die alle Vielfachen des Vektors beinhaltet. Mathematisch können wir diese Richtungsgerade durch angeben. Allerdings sehen wir, dass dann mehrere Vektoren die gleiche Richtungsgerade haben können. So zeigen die unterschiedlichen Vektoren und in dieselbe Richtung, haben also die gleiche Richtungsgerade. Damit werden Vektoren durch mehr als ihre Richtung charakterisiert. Sie haben auch ein Weitenverhältnis zueinander. So ist halb so weit vom Nullpunkt entfernt wie , während dreimal soweit entfernt ist.

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To-Do:

diesen Artikel nochmals überarbeiten. Richtung mit einer Geraden gleichzusetzen ist verwirrend

Richtungen und Weitenverhätnisse in einem komplizierteren Vektorraum[Bearbeiten]

Dass der Richtungsbegriff und die Vorstellung von Weite im sinnvoll sind, leuchtet uns ein. Wir wollen jetzt versuchen, die Vorstellung von Vektoren auf andere, kompliziertere Vektorräume übertragen. Dazu schauen wir uns den Vektorraum über dem Körper mit fünf Elementen an. Man kann zeigen, dass ein Körper ist.[3]

Diesen Körper können wir uns als Kreis vorstellen, der ähnlich wie eine Uhr ein Ziffernblatt besitzt. Nur besitzt dieser Kreis fünf Ziffern, die für die fünf Elemente des Körpers stehen:

besteht also nur aus den fünf Zahlen , wobei diese eine zyklische Struktur aufweisen:

Auf diesem Kreis kann man ähnlich wie auf der Uhr rechnen. So ist :

Jetzt überlegen wir uns, wie auf dieser Vorstellung aufbauend aussehen muss. Da wir zwei unabhängige Dimensionen benötigen, stellen wir uns als zwei unabhängige Kreise vor. Wir nehmen einen Kreis und fügen am Nullpunkt den anderen Kreis hinzu. Insgesamt erhalten wir dann einen Torus, der allerdings aufgrund der Einteilung der Kreise mit Ziffern mit einem Gitter versehen ist. Nur die Gitterpunkte auf dem Torus sind Elemente des Vektorraums :

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To-Do:

Grafik einfügen: als Torus mit Gitter, soll die Richtungen der Vektoren veranschaulichen (evtl. sind zwei Grafiken notwendig)

Die Achsen des entsprechen in diesem Beispiel des Vektorraums den beiden Kreisen, die den Torus bilden. Auch in diesem Beispiel haben Vektoren Richtungen. Wenn wir einen Vektor festhalten, so zeigt dieser in eine konkrete Richtung. Alle Vielfachen des Vektors bilden die Richtungsgerade . Auch Weitenverhältnisse sind ausdrückbar. Da nur aus den fünf Zahlen besteht, sind auch nur diese fünf Weitenverhältnisse möglich. So ist doppelt so weit von der Null entfernt wir , denn es gilt:

Verallgemeinerung von Richtungen und Weitenverhältnissen[Bearbeiten]

Bei den vorherigen Überlegungen haben wir gesehen, dass Vektoren in Richtungen zeigen. Unterschiedliche Vektoren derselben Richtung weisen ein konkretes Weitenverhältnis auf, welches einer Zahl des zugrundeliegenden Körpers entspricht. Nehmen wir also einen allgemeinen Vektorraum über den Grundkörper . Zu einem Richtungsvektor können wir die Richtungsgerade bilden. Alle Vektoren dieser Geraden stehen in einem konkreten Verhältnis zum Richtungsvektor , welches durch den Skalar festgelegt ist.

Darstellung von Gleichungssystemen durch Vektoren[Bearbeiten]

Es gibt einen bemerkenswerten Zusammenhang zwischen Gleichungssystemen und Vektoren. Nehmen wir hierzu folgendes Gleichungssystem:

Dieses kann auch mithilfe von Vektoren in einer Gleichung ausgedrückt werden:

Gleichungssysteme können so in einer Gleichung von Vektoren ausgedrückt werden und umgekehrt. Durch das Studium von Vektoren können wir damit neue Erkenntnisse zum Lösen von Gleichungssystemen gewinnen. Dies zeigt eine praktische Anwendung der Beschäftigung mit Vektorräumen.