Faktorraum, Quotientenraum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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To-Do:
  • Einführungssatz schreiben. Dabei erwähnen, dass der Quotientenraum auch Faktorraum genannt wird

Einführung[Bearbeiten]

Wir haben im Artikel Nebenklassen gesehen, dass wir Vektoren als Verschiebungen auf Unterräume wirken lassen können. 

Gleichzeitig haben wir aber die Äquivalenz bestimmter Verschiebungen bemerkt und als Begründung für die Definition von Nebenklassen genommen. Wir können daher Verschiebungen einer Nebenklasse um eine andere Nebenklasse betrachten. ((w+U)+ (v+U)), welche als eine Gleichzeitige Verschiebung aller Vektoren von (v+U) durch alle Vektoren von (w+U) aufgefasst werden kann, oder, da die Wirkung der Vektoren in einer Klasse ja wohldefiniert ist als eine Punktverschiebung von (w+U) durch einen beliebigen Vektor aus v+U, v' also v' + (w+V), oder, da die Wirkung der Vektoren in w+U ja auch wohldefiniert ist, als eine Verschiebung von U durch v' + w', für beliebige v'∈v+V, w'∈w+U

Veranschaulichung der Definition der Addition in

Definition[Bearbeiten]

Definition (Addition und skalare Multiplikation über Nebenklassen)

Sei ein -Vektorraum und ein Untervektorraum von . Weiter seien .

Dann ist die Addition der Nebenklassen und gegeben durch

Analog definieren wir die skalare Multiplikation mit einem Skalar als

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To-Do:

Definition zur vollständigen Definition des Faktorraums ergänzen.

  • Wir definieren die Addition und Multiplikation über die Addition und Multiplikation im VR V.
  • Wir werden gleich sehen, dass es so leicht ist, die VR-Axiome auch für die Addition und Multiplikation von NK zu zeigen.
  • Zur besseren Unterscheidung wollen wir die Addition von Nebenklassen zunächst mit angeben, die skalare Multiplikation von Nebenklassen mit . Später werden wir dann wie gewohnt "" und "" schreiben.
  • Wichtig: Wir rechnen immer mit einem Repräsentanten der Nebenklasse, treffen also eine Wahl
  • Die Durchführung der Rechenoperationen sollte unabhängig von dieser Wahl sein. Dazu müssen wir zeigen dass sie Wohldefiniert ist.

Wohldefiniertheit[Bearbeiten]

  • Unsere Definition von und hängt von der Wahl eines Repräsenanten ab. Wir wollen aber, dass diese nur von der Nebenklasse abhängen, damit es eine auf der Menge der Nebenklassen definierte Relation wird. -> Wir müssen Wohldefiniertheit zeigen, damit wir wissen, dass wir die Verknüpfung überhaupt so definierten können.
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To-Do:

Hier ggf Grafik im R^2 einfügen, die das verdeutlicht+ genauer erklären warum diese Gleichungen gelten

Satz (Wohldefiniertheit der Operationen im Quotientenraum)

Sei ein -Vektorraum und ein Untervektorraum. Dann sind die Addition und skalare Multiplikation auf wohldefiniert.

Beweis (Wohldefiniertheit der Operationen im Quotientenraum)

  • Dazu weisen wir nach: Wenn wir die Definition mit verschiedenen repräsentanten der selben Nebenklassen nachverfolgen, erhalten wir das gleiche. Mathematisch bedeutet das:
  • Zu zeigen ist für : Sind , so ist .
  • Und für : Sind , so ist .

Beweisschritt: Wohldefiniertheit der Addition

Für die Addition müssen wir in obiger Notation nach Definition der Äquivalenzrelation auf zeigen, dass . Dies ist äquivalent dazu, dass . Nun repräsentieren aber und , bzw und die gleiche Nebenkalsse modulo . Also ist . Da Untervektorraum von ist, folgt . Also ist die Definition von unabhängig von der Wahl eines Repräsentanten.

Beweisschritt: Wohldefiniertheit der skalaren Multiplikation

Die Wohldefiniertheit der skalaren Multiplikation sehen wir genauso: Wir müssen in obiger Notation zeigen, dass . Da und die gleiche Nebenkalsse modulo repräsentieren, ist per Definition von Nebenklassen . Da ein Untervektorraum ist, ist somit auch und die Skalare multiplikation ist unabhängig von der Wahl eines Repräsentanten.

Beweis der Vektorraumaxiome[Bearbeiten]

Wir wollen jetzt wissen, welche algebraische Strukturen durch die Addition und skalare Multiplikation mit Nebenklassen gegeben sind. Wir werden dabei folgendes feststellen: Da ein Vekrorraum ist, genügen diese genau den Axiomen eines Vektorraums.

Aufgabe (Vektorraumaxiome des Faktorraums)

Sei ein -Vektorraum und ein Untervektorraum, dann ist mit den oben definierten verknüpfungen ein -Vektorraum

Lösung (Vektorraumaxiome des Faktorraums)

Beweisschritt: Eigenschaften der Addition

Wir betrachten als erstes die Eigenschaften der Addition. Dafür seien .

1. Assoziativität:

Die Addition von Nebenklassen ist assoziativ. Das können wir wie folgt nachrechnen:


2. Kommutativivät

Auch die Kommutiativität der Addition von Nebenklassen können wir über die Eigenschaften des Vektorraums leicht nachweisen.


3. Existenz eines neutralen Elements

Wir können uns leicht überlegen, dass die Nebenklasse das neutrale Element bezüglich der Addition bildet, da

gilt. Wir wir oben nachgerechnet haben, ist kommutativ. Also gilt .

4. Existenz eines inversen Elements

Wir betrachten die Nebenklasse . Für ein zu inverses Element muss gelten:

.

Die Addition eines Elements mit seinem inversen Element liefert also das neutrale Element . Daraus folgt:

.

Also muss gelten. Da ein Vektorraum und finden wir ein zu inverses Element. Im Allgemeinen wird dieses als bezeichntet. Das zu inverse Element ist also gegeben durch .

Beweisschritt: Eigenschaften der Skalarmultiplikation

Wir wollen jetzt überprüfen, welche Eigenschaften die skalare Multiplikation von Nebenklassen hat. Dazu seien und . Dann gelten folgende Axiome:

1. Skalares Distributivgesetz

Für die Mulitplikation mit der Summe von Skalaren gilt:

2. Vektorielles Distributivgesetz

Genauso können wir zeigen, dass das Distributivgesetz auch für die Multiplikation eines Skalars mit der Summe zweier Nebenklassen gilt:

3. Assoziativgesetz für Skalare

Die skalare Multiplikation ist assoziativ, da

gilt.

4. Neutrales Element der skalaren Multiplikation

Wir wollen nachweisen, dass das neutrale Element bezüglich der skalaren Multiplikation ist. Das heißt es muss gelten. Da in aber gilt, erhalten wir

Also ist das neutrale Element der skalaren Multiplikation und ein -Vektorraum.

Beispiele[Bearbeiten]

Wir wollen uns jetzt einige Beispiele für den Quotientenraum anschauen.

Beispiel (Drohnenflug durch New York)

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To-Do:

Schrägbild New York mit freier Lizenz einfügen

Wir stellen uns vor, dass wir auf einem Aussichtspunkt in New York stehen, von dem aus wir die Skyline betrachten. In dieser Situation sehen wir unsere Umgebung dreidimensional. In einigen Fällen, beispielsweise bei der Erstellung von Karten, wollen wir die Umwelt bewusst zweidimensional darstellen. Dies geschieht unter anderem bei Satellitenbildern. Hier sehen wir eine solche Satellitenaufnahme von New York.

Satellitenbild von New York

Wenn wir eine Karte beziehungsweise ein Satellitenbild erstellen wollen, müssen wir die zusätzlichen Informationen, welche in der dritten Dimension stecken, in zwei Dimensionen einbetten. Wir überlegen uns nun, wie das gelingen kann. Dafür schauen wir uns zum Beispiel die Kante eines Hochhauses an. Auf dem Schrägbild erkennen wir, dass eine Kante in etwa 180 Meter senkrecht in die Luft ragt. Im Satellitenbild hingegen sehen wir die Kante lediglich als einen Bildpunkt. Dieser Bildpunkt kommt zustande, indem alle Punkte der Kante des Hochhauses auf diesen Punkt abgebildet werden. Analog erhalten wir alle anderen Punkte des Satellitenbildes.

Mathematisch können wir uns das Erstellen eines Satellitenbildes als Reduktion einer Dimension eines dreidimensionalen Raumes zu einem zweidimensionalen Raum vorstellen. Dies gelingt uns durch Entfernen der - Achse. Alle Punkte, die auf derselben Gerade parallel zur - Achse liegen, werden dabei auf einen Punkt abgebildet. Diese Punkte nennen wir gleichwertig und fassen sie in einer Klasse zusammen.

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To-Do:

Folgendermaßen umformulieren: Wir lassen eine Drohne durch New York fliegen. Dabei zeichnen wir die Bewegung durch eine Reihe von Vektoren auf. Diese wollen wir nun auf einer Karte einzeichnen und damit den Endpunkt bestimmen. -> Der Startpunkt auf der Karte entspricht einer Nebenklasse (z.B. 0), bei den einzelnen Translationen können wir die Bewegung in z-Richtung nicht berücksichtigen. Ist Die Karte Quasi NewYork aus dem wir die z-Achse rausgeteilt haben. Die einzelnen Translationen benötigen wir daher ebenfalls nur als ihre Nebenklassen um den Weg der Drone zu verfolgen.

Das ganze sollte mit einigen Bildern untermalt werden.

Bis jetzt haben wir uns nur anschauliche Beispiele angeschaut. In unserem letzten Beispiel verlassen wir die Anschauung und schauen uns noch ein etwas abstrakteres Zahlenbeispiel an.

Beispiel (Quotientenraum in )

Wir wollen nun explizit mit Vektoren eine Nebenklasse aufschreiben. Sei dazu und gegeben. Wir wählen als Untervektorraum von . Wir wollen nun alle Elemente von V einer Nebenklasse zuordnen. Dazu schreiben wir zunächst alle Elemente des Vektorraums auf:

Die Nebenklassen sind gegeben durch:

Sie bilden die Elemente des Quotientenraums. Formal können wir den Quotientenraum als aufschreiben.

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To-Do:

Irgendetwas mit den Nebenklassen machen, wofür wir benötigen, dass es ein Vektorraum ist.

Weiterführende Überlegungen zum Quotientenraum[Bearbeiten]

  • Eine wichtige Anwendung des Quotientenrraums in der Mathematik bietet der Homomorphiesatz, von dem es zahlreiche Varianten gibt.
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To-Do:

Homomorphiesatz verlinken

  • Jedes Element im Vektorraum lässt sich als ein Element der konstruierten direkten Summe darstellen. Denn jeder Vektor wird genau einer Äquivalenzklasse zugeordnet, und ist innerhalb dieser eindeutig durch seine Differenz zu einem fest gewählten Repräsentanten gegeben, die in U liegt. lässt sich somit als Menge von Tupeln aus Äquivalenzklassen in und Vektoren aus , d.h. als konstruierte direkte Summe auffassen.
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To-Do:

Auf die Eindeutigkeit dieser Korrespondenz eingehen.

Bijektion zum Komplement.

  • ggf. Dimensionsformel mit Bildern

Satz (Isomorphismus zum Komplement)

Sei ein Komplement von in . Dann gibt es einen Isomorphismus zwischen dem Quotientenraum V/U und W. (Zusätzlich: Zeigen,, dasss diese Abbildung die Eigenschaften einer linearen Abbildung hat).

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To-Do:

Vernünftig ausformulieren und dabei erklären, dass die Projektion eine vollständiges Repräsentantensystem leifert.

Beweis (Isomorphismus zum Komplement)

  • Betrachte die Abbildung und rechne nach, dass sie bijektiv ist.
  • Wir können auf V/U eine Vektorraumstruktur durch zurückziehen der Elemente nach W induzieren.
  • Zeigen, dass die so induzierten Operationen und die oben definierten Operationen auf V/U übereinstimmen.
  • Die Rechnung durch die Projektion aufs Komplement ist sinnvoll, da dieses Repräsentantensystem unter Addition und Skalarer Multiplikation abgeschlossen ist.

Lösung (Vektorraumaxiome des Faktorraums)

Sei ein Komplement von in . In den Weiterführenden Überlegungen zum Quotientenraum, sehen wir, dass die Abbildung eine Bijektion ist, die mit Addition und skalarer Multiplikation vertauscht.

Wir können die Vektorraumaxiome von nun dadurch beweisen, dass diese für gelten. Expliziet zeigen wir dies für die Assoziativität: Sind , so existieren Repräsentanten mit für . Nun gilt

Also gilt die Assoziativität in . Alle anderen Vektorraumaxiome können wir genauso sehen. Also ist ein -Vektorraum.

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To-Do:

Den Satz aus den Weiterführenden Überlegungen verlinken.