Faktorraum, Quotientenraum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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To-Do:
  • Einführungssatz schreiben. Dabei erwähnen, dass der Quotientenraum auch Faktorraum genannt wird

Einführung[Bearbeiten]

Wir haben im Artikel Nebenklassen gesehen, dass wir Vektoren als Verschiebungen auf Unterräume wirken lassen können. 

Gleichzeitig haben wir aber die Äquivalenz bestimmter Verschiebungen bemerkt und als Begründung für die Definition von Nebenklassen genommen. Wir können daher Verschiebungen einer Nebenklasse um eine andere Nebenklasse betrachten: , welche als eine gleichzeitige Verschiebung aller Vektoren von durch alle Vektoren von aufgefasst werden kann, oder, da die Wirkung der Vektoren in einer Klasse ja wohldefiniert ist als eine Verschiebung von durch einen beliebigen Vektor aus also , oder, da die Wirkung der Vektoren in ja auch wohldefiniert ist, als eine Verschiebung von durch , für beliebige .

Veranschaulichung der Definition der Addition in

Definition[Bearbeiten]

  • Wir induzieren die Addition und Skalarmultiplikation in aus der Addition und Skalarmultiplikation in .
  • Induzieren heißt wir nutzen das Alte + um das neue \boxplus zu definieren und machen dies auf die einfachste Art und Weise, die uns einfällt.
  • Wir werden gleich sehen, dass sich dann die VR-Axiome für den Faktorraum einfach durch Zurückführung auf die in zeigen lassen.
  • Zur besseren Unterscheidung bezeichnen wir die Addition im Faktorraum zunächst mit , die skalare Multiplikation im Faktorraum mit . Später werden wir dann wie gewohnt "" und "" schreiben.

Definition (Faktorraum bzw. Quotientenraum)

Sei ein -Vektorraum und ein Untervektorraum von und

die Menge der Nebenklassen von in . Weiter seien .

Wir definieren die Addition in durch:

Analog definieren wir die skalare Multiplikation auf als:

  • Wichtig: Wir rechnen immer mit Repräsentanten von Nebenklassen, treffen also eine Wahl.
  • Das Ergebnis der Operationen muss jedoch unabhängig von dieser Wahl sein. Diese Eigenschaft heißt auch Wohldefiniertheit.

Wohldefiniertheit[Bearbeiten]

  • Unsere Definition von und wählt einen Repräsentanten der Nebenklasse aus, um eine Operation auf der Nebenklasse zu definieren. Damit diese Operation aber wirklich eine Funktion müssen wir die Wohldefiniertheit zeigen. (Bitte sehr detailliert erklären)
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To-Do:

Hier ggf Grafik im ℝ² einfügen, die das verdeutlicht+ genauer erklären warum diese Gleichungen gelten

Satz (Wohldefiniertheit der Operationen im Quotientenraum)

Sei ein -Vektorraum und ein Untervektorraum. Dann sind die Addition in und skalare Multiplikation auf wohldefiniert.

Beweis (Wohldefiniertheit der Operationen im Quotientenraum)

  • Dazu weisen wir nach: Wenn wir in der Definition unterschiedliche Repräsentanten der selben Nebenklasse einsetzen, erhalten wir dasselbe Ergebnis. Mathematisch bedeutet das:
  • Zu zeigen ist für : Sind , so ist .
  • Und für : Sind , so ist .

Beweisschritt: Wohldefiniertheit der Addition

Für die Addition müssen wir in obiger Notation nach Definition der Äquivalenzrelation auf zeigen, dass . Dies ist äquivalent dazu (Kommutativität, Assoziativität in ), dass . Nun repräsentieren aber und , bzw. und die gleiche Nebenklasse modulo . Also ist . Da Untervektorraum von ist, folgt . Also ist die Definition von unabhängig von der Wahl der Repräsentanten.

Beweisschritt: Wohldefiniertheit der skalaren Multiplikation

Die Wohldefiniertheit der skalaren Multiplikation sehen wir genauso: Wir müssen in obiger Notation zeigen, dass . Da und die gleiche Nebenklasse modulo repräsentieren, ist per Definition von Nebenklassen . Da ein Untervektorraum ist, ist somit auch und die Skalare Multiplikation ist unabhängig von der Wahl des Repräsentanten.

Beweis der Vektorraumaxiome[Bearbeiten]

Wir zeigen, dass der Quotientenraum wieder ein -Vektorraum ist, indem wir die Axiome für auf die für geltenden zurückführen. Wir bemerken, Quotientenbildung ist genau wie Unterraumbildung ein Weg, aus einem vorhandenen -VR neue zu induzieren.

Aufgabe (Vektorraumaxiome des Faktorraums)

Sei ein -Vektorraum und ein Untervektorraum, dann ist mit den oben definierten Verknüpfungen ein -Vektorraum

Lösung (Vektorraumaxiome des Faktorraums)

Beweisschritt: Eigenschaften der Addition

Wir betrachten als erstes die Eigenschaften der Addition. Dafür seien .

1. Assoziativität:

Wir führen zurück auf die Assoziativität in


2. Kommutativivät

Auch die Kommutativität führen wir zurück auf die in


3. Existenz des neutralen Elements

Da wir Verschiebungen von betrachten, sollte (als Nebenklasse ), das neutrale Element bezüglich der Addition sein. Wir führen zurück auf die Neutralität von in :

4. Existenz inverser Elemente

Wir betrachten die Nebenklasse . Für das zu inverse Element muss gelten:

Die Addition eines Elements mit seinem Inversen liefert also das neutrale Element .

Wir führen das Inverse von auch wieder zurück auf Inverse in . Sei ein Repräsentant von , sein Inverses in . Dann gilt:

Das zu inverse Element ist also .

Beweisschritt: Distributivgesetze

1. Skalares Distributivgesetz

Für die Multiplikation eines Vektors (im Faktorraum also einer Nebenklasse) mit der Summe von Skalaren gilt:

2. Vektorielles Distributivgesetz

Genauso können wir zeigen, dass auch das Distributivgesetz für die Multiplikation eines Skalars mit der Summe zweier Vektoren (im Faktorraum Nebenklassen) gilt:

Beweisschritt: Eigenschaften der Skalarmultiplikation

Wir zeigen jetzt, dass die skalare Multiplikation von Nebenklassen auch die entsprechenden Vektorraumaxiome erfüllt, wieder durch Zurückführung auf die entsprechenden Eigenschaften der skalaren Multiplikation in . Dazu seien und . Dann gelten folgende Axiome:

1. Assoziativgesetz für Skalare

Die skalare Multiplikation ist assoziativ, da

gilt.

2. Neutrales Element der skalaren Multiplikation

Wir wollen nachweisen, dass auch für das neutrale Element ist. Das heißt es muss gelten. Mit Zurückführung auf die Neutralität von 1 in erhalten wir: Wegen ist

Also ist das neutrale Element der skalaren Multiplikation und ein -Vektorraum.

Beispiele[Bearbeiten]

Satellitenbilder[Bearbeiten]

Beispiel (Satellitenbilder)

Skyline von New York

Wir stellen uns vor, dass wir auf einem Aussichtspunkt in New York stehen, von dem aus wir die Skyline betrachten. In dieser Situation sehen wir unsere Umgebung dreidimensional. In einigen Fällen, beispielsweise bei der Erstellung von Karten, wollen wir die Umwelt bewusst zweidimensional darstellen. Dies geschieht unter anderem bei Satellitenbildern. Hier sehen wir eine solche Satellitenaufnahme von New York.


Wenn wir eine Karte beziehungsweise ein Satellitenbild erstellen wollen, müssen wir die zusätzlichen Informationen, welche in der dritten Dimension stecken, in zwei Dimensionen einbetten. Wir überlegen uns nun, wie das gelingen kann. Dafür schauen wir uns zum Beispiel die Kante eines Hochhauses an. Auf dem Schrägbild erkennen wir, dass eine Kante in etwa 180 Meter senkrecht in die Luft ragt. Im Satellitenbild hingegen sehen wir die Kante lediglich als einen Bildpunkt. Dieser Bildpunkt kommt zustande, indem alle Punkte der Kante des Hochhauses auf diesen Punkt abgebildet werden. Analog erhalten wir alle anderen Punkte des Satellitenbildes.

Mathematisch können wir uns das Erstellen eines Satellitenbildes als Reduktion einer Dimension eines dreidimensionalen Raumes zu einem zweidimensionalen Raum vorstellen. Dies gelingt uns durch Entfernen der - Achse. Alle Punkte, die auf derselben Gerade parallel zur - Achse liegen, werden dabei auf einen Punkt abgebildet. Diese Punkte nennen wir gleichwertig und fassen sie in einer Klasse zusammen.

Beispiel im endlichen Vektorraum[Bearbeiten]

Bis jetzt haben wir uns nur anschauliche Beispiele angeschaut. In unserem letzten Beispiel verlassen wir die Anschauung und schauen uns noch ein etwas abstrakteres Zahlenbeispiel an.

Beispiel (Quotientenraum in )

Wir wollen nun explizit mit Vektoren eine Nebenklasse aufschreiben. Sei dazu und gegeben. Wir wählen als Untervektorraum von . Wir wollen nun alle Elemente von V einer Nebenklasse zuordnen. Dazu schreiben wir zunächst alle Elemente des Vektorraums auf:

Die Nebenklassen sind gegeben durch:

Sie bilden die Elemente des Quotientenraums. Formal können wir den Quotientenraum aufschreiben als:

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To-Do:

Beispiel in ℤ/2ℤ mit Schaltkreisen wo wir Ergebnisse von (linearen) Verknüpfungen als Information rausteilen wollen

Zusammenhang Faktorraum und Komplement[Bearbeiten]

  • Jedes Element im Vektorraum lässt sich als ein Element der konstruierten direkten Summe darstellen. Denn jeder Vektor wird genau einer Äquivalenzklasse zugeordnet, und ist innerhalb dieser eindeutig durch seine Differenz zu einem fest gewählten Repräsentanten gegeben, die in U liegt. lässt sich somit als Menge von Tupeln aus Äquivalenzklassen in und Vektoren aus , d.h. als konstruierte direkte Summe auffassen. (Ausführlich erklären)
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To-Do:

Auf die Eindeutigkeit dieser Korrespondenz eingehen.

Bijektion zum Komplement.

Satz (Isomorphismus zum Komplement)

Sei ein Komplement von in . Dann gibt es einen Isomorphismus zwischen dem Quotientenraum V/U und W. (Zusätzlich: Zeigen, dass diese Abbildung linear ist).

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To-Do:

Vernünftig ausformulieren und dabei erklären, dass die Projektion eine vollständiges Repräsentantensystem leifert.

Beweis (Isomorphismus zum Komplement)

  • Betrachte die Abbildung und rechne nach, dass sie bijektiv ist.
  • Wir können auf V/U eine Vektorraumstruktur durch zurückziehen der Elemente nach W induzieren.
  • Zeigen, dass die so induzierten Operationen und die oben definierten Operationen auf V/U übereinstimmen.
  • Die Rechnung durch Projektion aufs Komplement ist sinnvoll, da dieses Repräsentantensystem unter Addition und Skalarer Multiplikation abgeschlossen ist.
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To-Do:

Das folgende ist fürs Ausformulieren ggf. hilfreich:

Lösung (Vektorraumaxiome des Faktorraums)

Sei ein Komplement von in . In den Weiterführenden Überlegungen zum Quotientenraum, sehen wir, dass die Abbildung eine Bijektion ist, die mit Addition und skalarer Multiplikation vertauscht.

Wir können die Vektorraumaxiome von nun dadurch beweisen, dass diese für gelten. Expliziet zeigen wir dies für die Assoziativität: Sind , so existieren Repräsentanten mit für . Nun gilt

Also gilt die Assoziativität in . Alle anderen Vektorraumaxiome können wir genauso sehen. Also ist ein -Vektorraum.

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To-Do:

Den Satz aus den Weiterführenden Überlegungen verlinken.