Faktorraum, Quotientenraum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen
UnderCon icon.svg

Diese Seite ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib der Autorin / dem Autor Zeit, die Seite anzupassen!

Qsicon inArbeit.png
To-Do:
  • Einführungssatz schreiben. Dabei erwähnen, dass der Quotientenraum auch Faktorraum genannt wird

Einführung[Bearbeiten]

  • Haben im Artikel über Nebenklassen gesehen, wie wir für einen VR V und Unterraum U die Elemente in V bis auf Unterschiede in U betrachten können.
  • Haben außerdem gesehen, dass diese eine Art von Wahlen unabhängiges Komplement darstellen.
  • Komplemente sind Vektorräume. -> Daher die Frage: Können wir auf Nebenklassen eine VR-Struktur ähnlich der auf Vektorräumen definieren? (Diese soll also wie ein Komplement Addition und skalare Multiplikation bis auf Unterschiede in U darstellen.)
  • Erster Ansatz: Nimm Komplement und rechne mit den Repräsentanten. -> liefert kompatible VR-Struktur auf den Nebenklassen. (Bild)
  • Problem/Frage zu ersten Ansatz: Wir wollten mit Nebenklassen und Arbeiten mit nicht-U von Wahlen unabhängig machen. Ist diese Struktur unabhänig von der Wahl eines Komplements?
  • Antwort: Ja. ggf. kurze Begrüngung warum (die Nebenklassen hängen auch schon nicht vom Komplement ab) (Bild)
  • Haben Nerviges Detail: Für die Addition von Vektoren müssen wir immer noch mit Komplementen arbeiten. Können wir diese auch komplett loswerden - ohne die bisherige schöne Struktur zu verändern/verlieren?
  • Antwort: Ja. Das was wir eigentlich gemacht haben, ist die Rechnung auf Repräsentanten auszuführen. -> Diese Rechnung ist aber von der Wahl eines Komplements vollkommen unabhängig. (Bild)

Veranschaulichung der Definition der Addition in

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Die Bilder sind mittlerweile Veraltet und müssen gegen neue passende ausgetauscht werden, sobald die Einleitung ausgeführt ist. Dann können zu den entsprechenden Texteilen vernünftigere Bilder eingefügt werden.

Definition[Bearbeiten]

  • Wir induzieren die Addition und Skalarmultiplikation in aus der Addition und Skalarmultiplikation in .
  • Induzieren heißt wir nutzen das alte um das neue zu definieren und machen dies auf die einfachste Art und Weise, die uns einfällt.
  • Wir werden gleich sehen, dass sich dann die Vektorraum-Axiome für den Faktorraum einfach durch Zurückführung auf die in zeigen lassen.
  • Zur besseren Unterscheidung bezeichnen wir die Addition im Faktorraum zunächst mit , die skalare Multiplikation im Faktorraum mit . Später werden wir dann wie gewohnt "" und "" schreiben.

Definition (Faktorraum bzw. Quotientenraum)

Sei ein -Vektorraum und ein Untervektorraum von und

die Menge der Nebenklassen von in . Weiter seien .

Wir definieren die Addition in durch:

Analog definieren wir die skalare Multiplikation auf als:

  • Wichtig: Wir rechnen immer mit Repräsentanten von Nebenklassen, treffen also eine Wahl.
  • Das Ergebnis der Operationen muss jedoch unabhängig von dieser Wahl sein. Diese Eigenschaft heißt auch Wohldefiniertheit.

Wohldefiniertheit[Bearbeiten]

  • Unsere Definition von und wählt einen Repräsentanten der Nebenklasse aus, um eine Operation auf der Nebenklasse zu definieren. Damit diese Operation aber wirklich eine Funktion müssen wir die Wohldefiniertheit zeigen.
Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Hier ggf Grafik im ℝ² einfügen, die das verdeutlicht+ genauer erklären warum diese Gleichungen gelten

Satz (Wohldefiniertheit der Operationen im Quotientenraum)

Sei ein -Vektorraum und ein Untervektorraum. Dann sind die Addition in und skalare Multiplikation auf wohldefiniert.

Beweis (Wohldefiniertheit der Operationen im Quotientenraum)

  • Dazu weisen wir nach: Wenn wir in der Definition unterschiedliche Repräsentanten der selben Nebenklasse einsetzen, erhalten wir dasselbe Ergebnis. Mathematisch bedeutet das:
  • Zu zeigen ist für : Sind , so ist .
  • Und für : Sind , so ist .

Beweisschritt: Wohldefiniertheit der Addition

Für die Addition müssen wir in obiger Notation nach Definition der Äquivalenzrelation auf zeigen, dass . Dies ist äquivalent dazu (Kommutativität, Assoziativität in ), dass . Nun repräsentieren aber und , bzw. und die gleiche Nebenklasse modulo . Also ist . Da Untervektorraum von ist, folgt . Also ist die Definition von unabhängig von der Wahl der Repräsentanten.

Beweisschritt: Wohldefiniertheit der skalaren Multiplikation

Die Wohldefiniertheit der skalaren Multiplikation sehen wir genauso: Wir müssen in obiger Notation zeigen, dass . Da und die gleiche Nebenklasse modulo repräsentieren, ist per Definition von Nebenklassen . Da ein Untervektorraum ist, ist somit auch und die Skalare Multiplikation ist unabhängig von der Wahl des Repräsentanten.

Beweis der Vektorraumaxiome[Bearbeiten]

Wir zeigen, dass der Quotientenraum wieder ein -Vektorraum ist, indem wir die Axiome für auf die für geltenden zurückführen. Die Quotientenbildung ist daher genau wie Unterraumbildung ein Weg, aus einem vorhandenen -Vektorraum neue Vektorräume zu induzieren.

Aufgabe (Vektorraumaxiome des Faktorraums)

Sei ein -Vektorraum und ein Untervektorraum, dann ist mit den oben definierten Verknüpfungen ein -Vektorraum

Lösung (Vektorraumaxiome des Faktorraums)

Beweisschritt: Eigenschaften der Addition

Wir betrachten als erstes die Eigenschaften der Addition. Dafür seien .

1. Assoziativität:

Wir führen zurück auf die Assoziativität in


2. Kommutativivät

Auch die Kommutativität führen wir zurück auf die in


3. Existenz des neutralen Elements

Da wir Verschiebungen von betrachten, sollte (als Nebenklasse ), das neutrale Element bezüglich der Addition sein. Wir führen zurück auf die Neutralität von in :

4. Existenz inverser Elemente

Wir betrachten die Nebenklasse . Für das zu inverse Element muss gelten:

Die Addition eines Elements mit seinem Inversen liefert also das neutrale Element .

Wir führen das Inverse von auch wieder zurück auf Inverse in . Sei ein Repräsentant von , sein Inverses in . Dann gilt:

Das zu inverse Element ist also .

Beweisschritt: Distributivgesetze

1. Skalares Distributivgesetz

Für die Multiplikation eines Vektors (im Faktorraum also einer Nebenklasse) mit der Summe von Skalaren gilt:

2. Vektorielles Distributivgesetz

Genauso können wir zeigen, dass auch das Distributivgesetz für die Multiplikation eines Skalars mit der Summe zweier Vektoren (d.h. im Faktorraum Nebenklassen) gilt:

Beweisschritt: Eigenschaften der Skalarmultiplikation

Wir zeigen jetzt, dass die skalare Multiplikation von Nebenklassen auch die entsprechenden Vektorraumaxiome erfüllt, wieder durch Zurückführung auf die entsprechenden Eigenschaften der skalaren Multiplikation in . Dazu seien und . Dann gelten folgende Axiome:

1. Assoziativgesetz für Skalare

Die skalare Multiplikation ist assoziativ, da

gilt.

2. Neutrales Element der skalaren Multiplikation

Wir wollen nachweisen, dass auch für das neutrale Element ist. Das heißt es muss gelten. Mit Zurückführung auf die Neutralität von 1 in erhalten wir: Wegen ist

Also ist das neutrale Element der skalaren Multiplikation und ein -Vektorraum.

Beispiele[Bearbeiten]

Satellitenbilder[Bearbeiten]

Beispiel (Satellitenbilder)

Skyline von New York

Wir stellen uns vor, dass wir auf einem Aussichtspunkt in New York stehen, von dem aus wir die Skyline betrachten. In dieser Situation sehen wir unsere Umgebung dreidimensional. In einigen Fällen, beispielsweise bei der Erstellung von Karten, wollen wir die Umwelt bewusst zweidimensional darstellen. Dies geschieht unter anderem bei Satellitenbildern. Hier sehen wir eine solche Satellitenaufnahme von New York.


Wenn wir eine Karte beziehungsweise ein Satellitenbild erstellen wollen, müssen wir die zusätzlichen Informationen, welche in der dritten Dimension stecken, in zwei Dimensionen einbetten. Wir überlegen uns nun, wie das gelingen kann. Dafür schauen wir uns zum Beispiel die Kante eines Hochhauses an. Auf dem Schrägbild erkennen wir, dass eine Kante in etwa 180 Meter senkrecht in die Luft ragt. Im Satellitenbild hingegen sehen wir die Kante lediglich als einen Bildpunkt. Dieser Bildpunkt kommt zustande, indem alle Punkte der Kante des Hochhauses auf diesen Punkt abgebildet werden. Analog erhalten wir alle anderen Punkte des Satellitenbildes.

Mathematisch können wir uns das Erstellen eines Satellitenbildes als Reduktion einer Dimension eines dreidimensionalen Raumes zu einem zweidimensionalen Raum vorstellen. Dies gelingt uns durch Entfernen der - Achse. Alle Punkte, die auf derselben Gerade parallel zur - Achse liegen, werden dabei auf einen Punkt abgebildet. Diese Punkte nennen wir gleichwertig und fassen sie in einer Klasse zusammen.

Beispiel im endlichen Vektorraum[Bearbeiten]

Bis jetzt haben wir uns nur anschauliche Beispiele angeschaut. In unserem letzten Beispiel verlassen wir die Anschauung und schauen uns noch ein etwas abstrakteres Zahlenbeispiel an.

Beispiel (Quotientenraum in )

Wir wollen nun explizit mit Vektoren eine Nebenklasse aufschreiben. Sei dazu und gegeben. Wir wählen als Untervektorraum von . Wir wollen nun alle Elemente von V einer Nebenklasse zuordnen. Dazu schreiben wir zunächst alle Elemente des Vektorraums auf:

Die Nebenklassen sind gegeben durch:

Sie bilden die Elemente des Quotientenraums. Formal können wir den Quotientenraum aufschreiben als:

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Beispiel in ℤ/2ℤ mit Schaltkreisen wo wir Ergebnisse von (linearen) Verknüpfungen als Information rausteilen wollen

Zusammenhang Faktorraum und Komplement[Bearbeiten]

Sei ein -Vektorraum und ein Unterrraum. Dann lässt sich jedes Element als eindeutiges Element in darstellen. Ferner wählen wir für jede Nebenklasse in einen Repräsentanten . Nun können wir einen beliebigen Vektor in eindeutiger Weise als einen Vektor in schreiben: Für die Nebenklasse haben wir einen Repräsentanten gewählt. Da und in der gleichen Nebenklasse liegen ist . Das heißt wir können als darstellen. Dies ist eine bijektive Zuordnung: Indem wir ein Element das Element zuordnen erhalten wir eine inverse Zuordnung.

Insgesamt können wir nach der Wahl eines Repräsentantensystems von als die konstruierte direkte Summe auffassen. Diese Identifikation ist im Allgemeinen nicht mit der Vektorraumstruktur von und verträglich. Da diese Identifikation von der Wahl eines Repräsentantensystems abhängt, können wir uns nun die Frage stellen, ob wir ein Repräsentantensystem finden können, für welches diese Identifikation mit den Vektorraumstrukturen beider Räume verträglich ist. Die Antwort auf diese Frage führt zu einem Zusammenhang zwischen dem Faktorraum und dem Komplement:

Satz (Isomorphismus zum Komplement)

Sei ein Komplement von in . Dann gibt es einen linearen Isomorphismus zwischen dem Quotientenraum und .

Beweis (Isomorphismus zum Komplement)

Wir betrachten die Projektion . Wir wollen zeigen, dass diese eine Bijektion ist, die mit der Addition und der Skalarmultiplikation verträglich ist.

Beweisschritt: Surjektivität von

Sei . Da ein Komplement zu ist, finden wir und mit . Dann gilt

Also ist surjektiv.

Beweisschritt: Injektivität von

Seien mit . Wir wollen zeigen, dass gilt. Da und in der gleichen Nebenklasse liegen, ist . Nun liegt . Das heißt, es gilt , da ein Komplement zu ist.

Beweisschritt: Verträglichkeit mit der Addition und skalaren Multiplikation

Da ein Unterraum ist und die Skalarmultiplikation und Addition auf Repräsentanten definiert ist, ist mit Addition und skalarer Multiplikation verträglich. Das heißt es gilt für und

sowie

Das heißt, mit der Wahl eines Komplements erhalten wir ein Repräsentantensystem vom , das mit der Vektorraumstruktur von verträglich ist. Dies ist für konkrete Rechnungen sinnvoll. Mit diesem ist die Identifikation von mit mit der Addition verträglich. Auf diese Weise stellt der Faktorraum ein von Wahlen unabhängiges Komplement von in dar. Dennoch können wir ein Komplement nicht unabhängig von Wahlen in realisieren. Daher hängt obige Identifikation immer noch von der Wahl eines Komplements als Repräsentantensystem ab. In gewisser Weise ist das abstrakte Komplement und jede Wahl eines Komplements in eine Realisierung dieses in .