Faktorraum, Quotientenraum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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To-Do:
  • Einführungssatz schreiben. Dabei erwähnen, dass der Quotientenraum auch Faktorraum genannt wird

Einführung[Bearbeiten]

Wir haben die direkte Summe verwendet, um aus Untervektorräumen größere Untervektorräume zu erzeugen. Manchmal kann es auch sinnvoll sein die "umgekehrte Richtung" zu betrachten, also aus einem Vektorraum einen kleineren und "einfacheren" Raum zu konstruieren.

Beispiel (Beispiel aus der Physik)

Wir betrachten Teilchen in einem dreidimensionalen Raum. Die Position jedes Teilchens kann zu jedem Zeitpunkt durch einen dreidimensionalen Vektor angegeben werden. Wir interessieren uns nun für die potentielle Energie eines Teilchens am Punkt . Die potentielle Energie ist nur von der Höhe abhängig, wir können also die anderen beiden Koordinaten vernachlässigen. Jedes Teilchen wird in dieser neuen Betrachtungsweise nur durch seine Höhe dargestellt, alle Teilchen auf der selben Höhe haben also den gleichen Wert und damit die selbe potentielle Energie. Mathematisch betrachtet liegen nun alle Teilchen auf einer Höhe in einer Äquivalenzklasse.

Dieses Vorgehen können wir auf beliebige Untervektorräume verallgemeinern.

Definition[Bearbeiten]

Sei ein Vektorraum über einem Körper und . Ferner sei ein -Untervektorraum von . Dann haben wir auf eine Äquivalenzrelation gegeben durch und die zugehörigen Äquivalenzklassen bilden wieder einen Vektorraum. Dieser Vektorraum wird Quotientenraum von über genannt. Die Elemente des Quotientenraums sind die Äquivalenzklassen von bezüglich des Untervektorraums , sind also von der Form .

Beweis: Der Faktorraum ist ein Vektorraum, die definierende Relation ist eine Äquivalenzrelation. Dazu können die Inhalte aus dem bisherigen Abschnitt "Rechnen im Faktorraum" übernommen werden.

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To-Do:

Umarbeiten des Abschnitts "Rechnen im Faktorraum" zu Beweis: Der Faktorraum ist ein Vektorraum" Klassische Schreibweise ergänzen

Rechnen im Faktorraum[Bearbeiten]

  • Wir definieren die Addition und Multiplikation über die Addition und Multiplikation im VR V.
  • Wir werden gleich sehen, dass es so leicht ist, die VR-Axiome auch für die Addition und Multiplikation von NK zu zeigen.
  • Zur besseren Unterscheidung wollen wir die Addition von Nebenklassen zunächst mit angeben, die skalare Multiplikation von Nebenklassen mit . Später werden wir dann wie gewohnt "" und "" schreiben.
  • Wichtig: Wir rechnen immer mit einem Repräsentanten der Nebenklasse, treffen also eine Wahl
  • Die Durchführung der Rechenoperationen sollte unabhängig von dieser Wahl sein. Dazu müssen wir zeigen dass sie Wohldefiniert ist.

Wohldefiniertheit[Bearbeiten]

  • Relationen werden in der Mathematik nicht explizit definiert, sondern implizit über eine charakteristische Eigenschaft.
  • Wir müssen Wohldefiniertheit zeigen, damit wir wissen, dass wir die Verknüpfung überhaupt so definierten können. Insbesondere beim Rechnen mit Nebenklassen, die immer durch einen bestimmten Repräsentanten dargestellt werden, ist leicht einzusehen wie wichtig es ist, unabhängig von dieser Wahl zu sein.
  • Dazu weisen wir nach: wenn zwei Elemente gleich sind (aber anders benannt), dann ist auch die Summe der Elemente gleich. Mathematisch bedeutet das:
  • Zu zeigen ist: Seien . Dann muss für eine Verknüpfung erfüllen:

Wir fragen uns nun, was passiert, wenn wir die gleichen Nebenklassen addieren, aber die Nebenklassen durch andere Repräsentanten darstellen. Damit die Addition von Nebenklassen, und damit im Vektorraum , eindeutig ist, müssen wir zeigen, dass das Ergebnis der Addition in beiden Fällen das gleiche ist. Wir müssen als zeigen:

Aufgabe (Wohldefiniertheit der Addition)

Mit den obigen Bezeichnungen zeige:

Wie kommt man auf den Beweis? (Wohldefiniertheit der Addition)

, durch Umstellen erhältst du . Nun musst du noch zeigen, dass und

Beweis (Wohldefiniertheit der Addition)

Sei . Da Repräsentanten der selben Nebenklasse sind, gilt , ebenso sind Repräsentanten der selben Nebenklasse, also . Da ein Unterraum ist, gilt

Damit haben wir gezeigt, dass die Addition von Nebenklassen unabhängig von ihren Repräsentanten ist.

Aufgabe (Wohldefiniertheit der Skalarmultiplikation)

Mit den obigen Bezeichnungen zeige:

Wie kommt man auf den Beweis? (Wohldefiniertheit der Skalarmultiplikation)

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To-Do:

explizit ausformulieren!

analog zur Wohldefiniertheit der Addition

Beweis (Wohldefiniertheit der Skalarmultiplikation)

Sei . Da Repräsentanten der selben Nebenklasse sind, gilt und da auch Vektorraum ist, gilt . Es ist

Damit haben wir gezeigt, dass die Skalarmultiplikation von Nebenklassen unabhängig von ihren Repräsentanten ist.

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To-Do:

Diesen Teil evtl. löschen oder noch in den oberen Teil einarbeiten

Wir müssen jetzt noch zeigen, dass die Rechenoperationen wohldefiniert sind, also nicht von der Wahl der Vektoren oder des Untervektorraums abhängen. Seien dazu mit und gegeben. Wir müssen jetzt zeigen, dass in diesem Fall auch gilt. Dazu überlegen wir uns zuerst, wie v und v' beziehungsweise w und w' zusammenhängen. Da beide in der selben Nebenklasse liegen, gibt es ein , sodass und gilt.

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To-Do:

Hier ggf Grafik im R^2 einfügen, die das verdeutlicht+ genauer erklären warum diese Gleichungen gelten

Dann folgt:

Analog rechnen wir nach, dass die skalare Multiplikation wohldefiniert ist.

Wir können die Addition und skalare Multiplikation über Nebenklassen also derart definieren.


Definition (Addition und skalare Multiplikation über Nebenklassen)

Sei ein -Vektorraum und ein Untervektorraum von . Weiter seien .

Dann ist die Addition der Nebenklassen und gegeben durch

Analog definieren wir die skalare Multiplikation mit einem Skalar als

Dabei sind "+" und "" die bekannten Rechenoperationen im Vektorraum beziehungsweise über den Körper .

Wir wollen jetzt wissen, welche algebraische Strukturen durch die Addition und skalare Multiplikation mit Nebenklassen gegeben sind. Dabei werden wir feststellen, dass diese genau den Eigenschaften eines Vektorraums entsprechen. Dazu sei ein -Vektorraum und ein Untervektorraum von . Weiterhin seinen . Dann sind und Nebenklassen von .

Eigenschaften der Addition[Bearbeiten]

Wir betrachten als erstes die Eigenschaften der Addition.

1. Assoziativität:

Die Addition von Nebenklassen ist assoziativ. Das können wir wie folgt nachrechnen:


2. Kommutativivät

Auch die Kommutiativität der Addition von Nebenklassen können wir über die Eigenschaften des Vektorraums leicht nachweisen.


3. Existenz eines neutralen Elements

Wir können uns leicht überlegen, dass der Untervektorraum das neutrale Element bezüglich der Addition bildet, da

gilt. Wir wir oben nachgerechnet haben, ist kommutativ. Also gilt .

4. Existenz eines inversen Elements

Wir betrachten die Nebenklasse . Für ein zu inverses Element muss gelten:

.

Die Addition eines Elements mit seinem inversen Element liefert also das neutrale Element . Daraus folgt:

.

Also muss gelten. Da ein Vektorraum und finden wir ein zu inverses Element. Im Allgemeinen wird dieses als bezeichntet. Das zu inverse Element ist also gegeben durch .

Eigenschaften der Skalarmultiplikation[Bearbeiten]

Wir wollen jetzt überprüfen, welche Eigenschaften die skalare Multiplikation von Nebenklassen hat. Dazu seien . Dann gelten folgende Axiome:

1. Skalares Distributivgesetz

Für die Mulitplikation mit der Summe von Skalaren gilt:

2. Vektorielles Distributivgesetz

Genauso können wir zeigen, dass das Distributivgesetz auch für die Multiplikation eines Skalars mit der Summe zweier Nebenklassen gilt:

3. Assoziativgesetz für Skalare

Die skalare Multiplikation ist assoziativ, da

gilt.

4. Neutrales Element der skalaren Multiplikation

Wir wollen nachweisen, dass es ein neutrales Element bezüglich der skalaren Multiplikation gibt. Für dieses Element muss gelten. Daraus folgt, dass gelten muss. Also gilt: , das heißt das neutrale Element bezüglich der skalaren Multiplikation von Nebenklassen entspricht dem neutralen Element der skalaren Multiplikation des Vektorraums .


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To-Do:

ggf. Wohldefiniertheit nicht zeigen, sondern Aufgabenumgebung von unten übernehmen

Beispiele[Bearbeiten]

Wir wollen uns jetzt einige Beispiele für den Quotientenraum anschauen.

Beispiel (Quotientenraum in )

Wir betrachten den Untervektorraum mit über dem Vektorraum . Dann bildet ein Element des Quotientenraums. Anschaulich sind weitere Nebenklassen durch die zu parallelen Geraden gegeben.

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To-Do:

Bild einfügen, Nebenklassen

Weitere Elemente des Quotientenraums - sprich Nebenklassen - sind beispielsweise durch

oder

gegeben. Der Quotientenraum setzt sich aus allen Geraden zusammen, die aus dem Untervektorraum mittels Verschiebung an Vektoren gebildet werden können. Wir schreiben den Quotientenraum als mit .

Beispiel (Quotientenraum in )

Analog zu der Vorstellung eines Quotientenvektorraums im können wir uns auch den Quotientenraum im vorstellen. Wir betrachten jetzt die Ebene

Sie bildet einen zweidimensionalen Untervektorraum des . Durch Verschieben des Untervektorraums mit verschiedenen Vektoren lassen sich wieder Nebenklassen erzeugen. Weitere Elemente des Quotientenvektorraums sind also gegeben durch für beliebige . Der Quotientenvektorraum ist gegeben durch .

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To-Do:

hier Bild oder Zahlenbeispiel einfügen

Bis jetzt haben wir uns nur anschauliche Beispiele angeschaut. In unserem letzten Beispiel verlassen wir die Anschauung und schauen uns noch ein etwas abstrakteres Zahlenbeispiel an.

Beispiel (Quotientenraum in )

Wir wollen nun explizit mit Vektoren eine Nebenklasse aufschreiben. Sei dazu und gegeben. Wir wählen als Untervektorraum von . Wir wollen nun alle Elemente von V einer Nebenklasse zuordnen. Dazu schreiben wir zunächst alle Elemente des Vektorraums auf:

Die Nebenklassen sind gegeben durch:

Sie bilden die Elemente des Quotientenraums. Formal können wir den Quotientenraum als aufschreiben.

Beispiel (Quotientenraum in )

Wir wollen nun ein zweites, etwas komplizierteres Beispiel mit konkreten Vektoren vorstellen. Dazu sei wieder und der zugehörige Vektorraum. Unser Untervektorraum ist gegeben durch

Dann können wir neue Nebenklassen durch Addition des Untervektorraums mit Vektoren erzeugen. Weitere Elemente sind beispielsweise

oder

Insgesamt hat der Vektorraum Elemente, da jeder der fünf Vektoreinträge entweder eine 0 oder eine 1 sein kann, es also 2 Möglichkeiten gibt. Da jede Nebenklasse 4 Elemente hat und jedes Element in genau einer Nebenklasse liegt, gibt es genau Nebenklassen. Der Quotientenvektorraum hat also 8 Elemente. Der zugehörige Quotientenraum hat also 8 Elemente.

Bijektion zum Komplement.

  • ggf. Dimensionsformel mit Bildern

Satz[Bearbeiten]

Es gibt immer eine bijektive Abbildung zwischen dem Quotientenraum V \U und dem omplement von U in V. (Zusätzlich: Zeigen,, dasss diese Abbildung die Eigenschaften einer linearen Abbildung hat).

Weiterführende Überlegungen zum Quotientenraum[Bearbeiten]

  • Es besteht für endlich-dimensionale Vektorräume eine Analogie zwischen dem Faktorraum und den Restklassen ganzer Zahlen z / mZ
  • Der feste UVR U entspricht einer festen Zahl
  • Durch die Bedingung wird eine Relation definiert (Äquivalenzrelation). Dies entspricht der Konguenz Modulo U.
  • Hier sind die Äquivalenzklassen affine Unterräume
  • Eine wichtige Anwendung des Quotientenrraums in der Mathematik bietet der Homomorphiesatz, von dem es zahlreiche Varianten gibt.
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To-Do:

Homomorphiesatz verlinken

  • Jedes Element im Vektorraum lässt sich als ein Element der konstruierten direkten Summe darstellen. Denn jeder Vektor wird genau einer Äquivalenzklasse zugeordnet, und ist innerhalb dieser eindeutig durch seine Differenz zu einem fest gewählten Repräsentanten gegeben, die in U liegt. lässt sich somit als Menge von Tupeln aus Äquivalenzklassen in und Vektoren aus , d.h. als konstruierte direkte Summe auffassen.
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To-Do:

Auf die Eindeutigkeit dieser Korrespondenz eingehen.

  • Anschaulich können wir auch schon die Dimensionsformel für Quotientenräume einführen: dim(V)=dim (U)+dim(V/U) Ergibt sich aus der Dimensionsformel der direkten Summe (die wir ebenfalls noch nicht kennen)
  • Anschaulich: , ist Ebene im : Dimension des UVR=2. Anschauung: Wir können die Ebene in eine Richtung verschieben: dim V/U=1
  • Analog für also UVR: Gerade im : Dimension des UVR=1. Die Gerade kann im Raum in zwei Raumrichtungen verschoben werden: dim V/U=2

Exkurs: Anwendung des Quotientenraums in der Finanzwissenschaft[Bearbeiten]

Wir wollen uns nun anschauen, wie der auf den ersten Blick kompliziert erscheinende Begriff des Faktorraums in der Praxis angewendet wird. Ein Beispiel dafür ist die Risikobewertung von Aktienportfolios. Als Aktienportfolio werden alle Wertpapiere bezeichnet, die ein Anleger besitzt. Der Anleger möchte wissen, wie sich Aktienportfolios in Zukunft entwickeln, beziehungsweise mit wie viel Risiko eine Investition verbunden ist. Dieses Risiko kann mithilfe geeigneter Rechnungen ermittelt werden. Zur Abschätzung des Risikos müssen allerdings zahlreiche Risikofaktoren mit berücksichtigt werden. Würde man alle Risikofaktoren mit einbeziehen, wäre dies aufgrund der großen Anzahl der Faktoren erstens ein zu hoher Aufwand an Ressourcen. Aufgrund der vielen zu berücksichtigenden Details wird die Vorhersage bei falscher Einschätzung eines Faktors auch weniger treffsicher. Deswegen wird bei der Analyse des Finanzmarktes häufig auf das Verfahren der Hauptkomponentenanalyse zurückgegriffen. Ziel dieser Methode ist die Strukturierung umfangreicher Datensätze. Auf unser Problem angewendet bedeutet das die Strukturierung der Risikofaktoren. Dazu werden alle Variablen, hier sind das die Risikofaktoren, zu bestimmten Klassen zusammengefasst und durch eine daraus gebildete, neue Variable (nach dem Prinzip der Linearkombination [1]) repräsentiert. Wir erhalten so eine erheblich kleinere Anzahl an unabhängigen Variablen. Mathematisch betrachtet haben wir durch Klassifikation der Risikofaktoren die Dimension des Vektorraums der Risikofaktoren erheblich reduziert und so einen Quotientenraum erzeugt.