Faktorraum, Quotientenraum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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In diesem Artikel betrachten wir den Faktorraum eines -Vektorraums bezüglich eines Untervektorraums . Wir können uns den Faktorraum als ein Komplement von vorstellen, das unabhängig von jeglichen Wahlen ist.

Der Faktorraum wird auch häufig Quotientenraum genannt.

Einführung[Bearbeiten]

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To-Do:

Generell sollte im Folgenden mehrfach das Wort Faktorraum zusammen mit der Notation V/U notiert werden, damit beim Leser eine stärkere Verbindung zwischen beidem entsteht.

Wir kennen schon einige elementare Operationen auf Vektorräumen, wie den Schnitt oder die Summe von Untervektorräumen. Beide Operationen haben wieder einen Untervektorraum als Ergebnis. Außerdem haben wir gesehen, dass verglichen mit den elementaren Operationen auf Mengen, die beiden Operationen das natürliche Äquivalent zu Schnitt bzw. Vereinigung von Teilmengen sind. Wir kennen noch eine weitere elementare Mengenoperation: die Differenz (auch bekannt als "ohne"). Gegeben eine Menge und eine Teilmenge , so schreibt man für die Differenz "A ohne B" und meint damit die Menge aller Elemente aus , welche nicht in enthalten sind. Diese Operation wollen wir jetzt auch auf Vektorräume übertragen. Das heißt, wir wollen für einen Vektorraum und einen Untervektorraum eine Operation definieren, die als Ergebnis einen Vektorraum hat, der entsteht, wenn wir aus entfernen. Würden wir nun die mengentheoretische Operation verwenden, so wäre unser Ergebnis kein Untervektorraum von : Beispielsweise enthält nicht die Null. Wir suchen also ein Vektorraum-Äquivalent von .

Was zeichnet die Differenz bei Mengen aus: Wenn wir und wieder vereinigen, so erhalten wir . Es gilt also . Weiter sind die beiden Mengen und disjunkt. Diese beiden Eigenschaften charakterisieren komplett: Ist eine Teilmenge von , die disjunkt von ist und für die gilt, so ist .

Übersetzen wir das in die Sprache von Vektorräumen: Der gesuchte neue Untervektorraum, nennen wir ihn , soll die entsprechenden Eigenschaften von "ohne" für Untervektorräume erfüllen. Zum Einen soll gelten. Zum Anderen soll gelten, da dies der Disjunktheit für Untervektorräume entspricht. Diese beiden Bedingungen sind genau die Bedingungen einer direkten Summe, das heißt wir suchen ein mit

Somit könnten wir als ein Komplement von wählen. Jedes Komplement ist damit eine sinnvolle Lösung. Das Problem ist, dass Komplemente – im Gegensatz zur mengentheoretischen Differenz – nicht eindeutig sind: Sie hängen von der Wahl einer Basis ab. Das heißt, wir würden gerne einen Vektorraum bauen, der die gleichen Eigenschaften wie ein Komplement hat, aber nicht von der Wahl einer Basis abhängt.

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To-Do:

Bild, das die nichteindeutigkeit von Komplementen visualisiert als thumb neben vorherigen den Absatz setzen

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To-Do:

Irgendwo einen Übergang einbauen, dass wir nicht mehr einen Untervektorraum suchen, sondern einen Vektorraum zusammen mit einer Abbildung

Für ein gegebenes Komplement von , können wir in einen U-Teil und einen nicht-U-Teil zerlegen. Da , erhalten wir eine Zerlegung mit und Dabei entspricht dem U-Teil und dem nicht-U-Teil.

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To-Do:

Bild

Wenn wir ein anderes Komplement von wählen, erhalten wir eine zweite Zerlegung von als mit und . Diese Zerlegungen sind unterschiedlich, wie man im Bild sieht. Insbesondere sind die beiden nicht-U-Teile und von verschieden. Somit ist eine konkrete Realisierung eines nicht-U-Teils in V nicht eindeutig möglich, sie hängt von der Wahl des Komplements ab.

Wir suchen also nach etwas, das den nicht-U-Teil unabhängig vom gewählten Komplement beschreibt. Dazu stellen wir uns folgende Frage: Was zeichnet zwei verschiedene Vektoren, die den gleichen nicht-U-Teil in haben aus? Sie unterscheiden sich nur um ihren U-Teil. Seien also mit gleichem nicht-U-Teil in , das heißt, wir haben die Zerlegung und mit und . Wie können wir und auf diesen Unterschied reduzieren? Wir können sie voneinander abziehen und erhalten . Das liegt in !

Wir halten fest: Für zwei Vektoren und mit gleichem nicht-U-Teil in , ist ihre Differenz in , d.h. .

Die Umkehrung gilt auch: Seien und zerlege sie in einen U-Teil und einen nicht-U-Teil, d.h. . Angenommen es gilt , dann folgt und somit , wegen der Eindeutigkeit der Zerlegung. Wir schließen, dass ist, was die Behauptung beweist.

Damit haben wir gezeigt: und haben genau dann den gleichen nicht-U-Teil in W, wenn liegt. Die eine Seite dieser Charakterisierung ist unabhängig vom Komplement , da wir nicht brauchen um zu überprüfen, ob erfüllt ist.

Somit haben wir in eine Bedingung gefunden, die uns sagt wann zwei Vektoren den gleichen nicht-U-Teil haben, also "ohne U gleich sind", welche unabhängig von der Wahl eines Komplements ist.

Diese Bedingung ist genau die Gleichheitsbedingung für Nebenklassen von . Das heißt, und sind "ohne U" gleich, genau dann wenn gilt.

Wir haben also eine Menge gefunden, nämlich , die ohne Wahlen "Gleichheit ohne U" realisiert. Nun wollen wir noch eine Vektorraumstruktur darauf konstruieren. Ein Komplement ist ein Untervektorraum, besitzt also eine Vektorraumstruktur. Da wir durch versuchen ein wahlunabhängiges Komplement zu beschreiben, sollte die gesuchte Vektorraumstruktur der eines Komplements entsprechen.

Somit ist unser Ansatz folgender: Wähle ein Komplement . (Bild) Dann gibt es für eindeutige mit . Sei . Definiere dann die Addition und Skalarmultiplikation in durch

,

.

Um diesen Ansatz zu realisieren, wählen wir wieder ein Komplement . Wir müssen uns also fragen, ob die Definition unabhängig von dieser Wahl ist. Die Antwort ist ja, da verschiedene Repräsentanten in verschiedenen Komplementen sich nur um einen Vektor in U unterscheiden. Dieser Unterschied ist aber in irrelevant. (Bild)

Für die Addition von Vektoren müssen wir also immer noch mit Komplementen arbeiten. Können wir diese auch komplett loswerden - ohne die bisherige schöne Struktur zu verändern/verlieren? Ja, denn das was wir eigentlich gemacht haben, ist die Rechnung auf Repräsentanten auszuführen. Diese Rechnung ist aber von der Wahl eines Komplements vollkommen unabhängig. (Bild)

Definition[Bearbeiten]

Wir wollen nun die Vektorraumstruktur auf formal definieren. Wie wir in der Einleitung gesehen haben, induzieren wir die Addition und Skalarmultiplikation auf aus der Addition und Skalarmultiplikation auf . Induzieren bedeutet, dass wir die „alte“ Operation von benutzen, um die „neue“ Operation auf zu definieren. Dies machen wir auf die einfachste Weise, die uns einfällt. Solche Definitionen erlauben es häufig, Eigenschaften der alten Struktur auf die neue Struktur zu übertragen. In unserem Fall werden wir gleich sehen, dass wir die Vektorraumaxiome für zeigen können, indem wir diese auf die Vektorraumaxiome für zurückführen.

In der Einleitung haben wir die einfachste Weise, auf eine Addition und Skalarmultiplikation zu definieren bereits gesehen: Wir führen alle Rechnungen mit Repräsentanten der Nebenklasse durch. Das heißt, um die Ergebnis der Rechnung zu finden, nehmen wir uns die Repräsentanten und . Diese addieren wir jetzt in und erhalten . Dies liefert einen Repräsentanten der Ergebnis-Nebenklasse. Das heißt, das Ergebnis dieser Addition ist . Analoges geschieht bei der Skalarmultiplikation.

Um die Addition und Skalarmultiplikation auf von der auf zu unterscheiden, schreiben wir für diese zunächst „“ und „“. Später werden wir dann – wie gewohnt – „“ und „“ schreiben.

Definition (Faktorraum bzw. Quotientenraum)

Sei ein -Vektorraum und ein Untervektorraum von und

die Menge der Nebenklassen von in . (Dieser Begriff stammt aus der Gruppentheorie.) Weiter seien .

Wir definieren die Addition in durch:

Analog definieren wir die skalare Multiplikation auf als:

Wohldefiniertheit der Operationen im Faktorraum[Bearbeiten]

Wir wollen prüfen, ob die Operationen von und von der Wahl von Repräsentanten unabhängig – also wohldefiniert – sind.

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To-Do:

Hier ggf Grafik im ℝ² einfügen, die das verdeutlicht+ genauer erklären warum diese Gleichungen gelten

Satz (Wohldefiniertheit der Operationen im Quotientenraum)

Sei ein -Vektorraum und ein Untervektorraum. Dann sind die Addition in und skalare Multiplikation auf wohldefiniert.

Beweis (Wohldefiniertheit der Operationen im Quotientenraum)

Für die Wohldefiniertheit müssen wir folgenden zeigen: Wenn wir in der Definition unterschiedliche Repräsentanten derselben Nebenklasse einsetzen, erhalten wir das gleiche Ergebnis. Mathematisch bedeutet dies, dass wir Folgendes zeigen müssen:

  • Für : Sind und , so ist .
  • Für : Sind und , so ist .

Beweisschritt: Wohldefiniertheit der Addition

Für die Addition müssen wir, wie bei den Nebenklassen, zeigen, dass gilt. Wegen ist dies äquivalent dazu, dass . Nun repräsentieren und bzw. und die jeweils gleiche Nebenklasse modulo . Also ist . Da Untervektorraum von ist, folgt . Also ist die Definition von unabhängig von der Wahl der Repräsentanten.

Beweisschritt: Wohldefiniertheit der skalaren Multiplikation

Die Wohldefiniertheit der skalaren Multiplikation sehen wir genauso: Wir müssen in obiger Notation zeigen, dass gilt. Da und die gleiche Nebenklasse modulo repräsentieren, ist per Definition von Nebenklassen . Weil ein Untervektorraum ist, gilt folglich . Also ist die skalare Multiplikation unabhängig von der Wahl des Repräsentanten.

Beweis der Vektorraumaxiome[Bearbeiten]

Wir zeigen, dass der Quotientenraum wieder ein -Vektorraum ist, indem wir die Axiome für auf die für geltenden zurückführen. Die Quotientenbildung ist daher genau wie Unterraumbildung ein Weg, aus einem vorhandenen -Vektorraum neue Vektorräume zu induzieren.

Aufgabe (Nachweis der Vektorraumaxiome im Faktorraum)

Sei ein -Vektorraum und ein Untervektorraum, dann ist mit den oben definierten Verknüpfungen ein -Vektorraum

Lösung (Nachweis der Vektorraumaxiome im Faktorraum)

Beweisschritt: Eigenschaften der kommutativen, additiven Gruppe (auch abelsche Gruppe genannt)

Wir betrachten als erstes die Eigenschaften der Addition. Dafür seien .

1. Assoziativität:

Wir führen zurück auf die Assoziativität in


2. Kommutativivät

Auch die Kommutativität führen wir zurück auf die in


3. Existenz des neutralen Elements

Da wir Verschiebungen von betrachten, sollte (als Nebenklasse ), das neutrale Element bezüglich der Addition sein. Wir führen zurück auf die Neutralität von in :

4. Existenz inverser Elemente

Wir betrachten die Nebenklasse . Für das zu inverse Element muss gelten:

Die Addition eines Elements mit seinem Inversen liefert also das neutrale Element .

Wir führen das Inverse von auch wieder zurück auf Inverse in . Sei ein Repräsentant von , sein Inverses in . Dann gilt:

Das zu inverse Element ist also .

Beweisschritt: Distributivgesetze

1. Skalares Distributivgesetz

Für die Multiplikation eines Vektors (im Faktorraum also einer Nebenklasse) mit der Summe von Skalaren gilt:

2. Vektorielles Distributivgesetz

Genauso können wir zeigen, dass auch das Distributivgesetz für die Multiplikation eines Skalars mit der Summe zweier Vektoren (d.h. im Faktorraum Nebenklassen) gilt:

Beweisschritt: Eigenschaften der Skalarmultiplikation

Wir zeigen jetzt, dass die skalare Multiplikation von Nebenklassen auch die entsprechenden Vektorraumaxiome erfüllt, wieder durch Zurückführung auf die entsprechenden Eigenschaften der skalaren Multiplikation in . Dazu seien und . Dann gelten folgende Axiome:

1. Assoziativgesetz für Skalare

Die skalare Multiplikation ist assoziativ, da

gilt.

2. Neutrales Element der skalaren Multiplikation

Wir wollen nachweisen, dass auch für das neutrale Element ist. Das heißt es muss gelten. Mit Zurückführung auf die Neutralität von 1 in erhalten wir: Wegen ist

Also ist das neutrale Element der skalaren Multiplikation und ein -Vektorraum.

Beispiele[Bearbeiten]

Satellitenbilder[Bearbeiten]

Beispiel (Satellitenbilder)

Skyline von New York

Wir stellen uns vor, dass wir auf einem Aussichtspunkt in New York stehen, von dem aus wir die Skyline betrachten. In dieser Situation sehen wir unsere Umgebung dreidimensional. In einigen Fällen, beispielsweise bei der Erstellung von Karten, wollen wir die Umwelt bewusst zweidimensional darstellen. Dies geschieht unter anderem bei Satellitenbildern. Hier sehen wir eine solche Satellitenaufnahme von New York.


Wenn wir eine Karte beziehungsweise ein Satellitenbild erstellen wollen, müssen wir die zusätzlichen Informationen, welche in der dritten Dimension stecken, in zwei Dimensionen einbetten. Wir überlegen uns nun, wie das gelingen kann. Dafür schauen wir uns zum Beispiel die Kante eines Hochhauses an. Auf dem Schrägbild erkennen wir, dass eine Kante in etwa 180 Meter senkrecht in die Luft ragt. Im Satellitenbild hingegen sehen wir die Kante lediglich als einen Bildpunkt. Dieser Bildpunkt kommt zustande, indem alle Punkte der Kante des Hochhauses auf diesen Punkt abgebildet werden. Analog erhalten wir alle anderen Punkte des Satellitenbildes.

Mathematisch können wir uns das Erstellen eines Satellitenbildes als Reduktion einer Dimension eines dreidimensionalen Raumes zu einem zweidimensionalen Raum vorstellen. Dies gelingt uns durch Entfernen der - Achse. Alle Punkte, die auf derselben Gerade parallel zur - Achse liegen, werden dabei auf einen Punkt abgebildet. Diese Punkte nennen wir gleichwertig und fassen sie in einer Klasse zusammen.

Beispiel im endlichen Vektorraum[Bearbeiten]

Bis jetzt haben wir uns nur anschauliche Beispiele angeschaut. In unserem letzten Beispiel verlassen wir die Anschauung und schauen uns noch ein etwas abstrakteres Zahlenbeispiel an.

Beispiel (Quotientenraum in )

Im Vektorraum-Artikel haben wir gesehen, wie wir uns als Gitterpunkte auf einem Torus vorstellen können. Mit der gleichen Methode können wir uns ebenfalls als Gitterpunkte auf einem Torus vorstellen:

Einen Torus erhalten wir aus einem Quadrat durch Verkleben der Kanten wie folgt:

Eine Ebene zu einem Torus verkleben
Eine Ebene zu einem Torus verkleben

Das heißt, wir können einen Torus mit einem Quadrat identifizieren, bei dem man, wenn man über eine Kante läuft, auf der gegenüberliegenden Seite wieder heraus kommt. Damit erhalten wir folgendermaßen: Auf obigem Torus zeichnen wir neun Punkte in Gitterform ein. Wir erhalten dann das folgende Bild:

Visualisierung eines zweidimensionalen Vektorraums über dem Körper mit drei Elementen auf einem Torus

Der von erzeugte Unterraum , entspricht einer diskreten Gerade. Diese legen wir durch obige Punke.

Visualisierung eines Unterraums in F3^2 auf einem Torus

Wir haben nun auf zwei verschiedenen Seiten direkt neben der Geraden punkte Liegen. Wir haben Punkte, die direkt rechts neben der Geraden liegen; das heißt sie sind um von der Geraden verschoben. Weiter haben wir Punkte, die direkt links neben der Geraden liegen; das heißt sie sind um von der Geraden verschoben. Im Bild sieht das so aus:

Visualisierung der Nebenklassen eines Unterraums in F3^2 auf einem Torus

Wir erhalten folgende Relationen zwischen den Punkten:

  1. Wenn wir einen direkt linken Punkt und einen direkt rechten Punkt addieren erhalten wir einen Punkt auf der Geraden: Zum Beispiel ist .
  2. Wenn wir zwei direkt linke Punkte addieren, erhalten wir einen direkt rechten Punkt, da wir über eine Verklebestelle gehen: Wir haben zum Beispiel .
  3. Wenn wir zwei direkt rechte Punkte addieren, erhalten wir einen direkt linken Punkt, da wir über eine Verklebestelle gehen: Beispielsweise ist .

Wenn wir die Nebenklassen von bilden, so können wir beobachten, dass zwei Punkte genau dann gleich um die Gerade liegen, wenn sie in der gleichen Nebenklasse sind. Ferner können wir sehen, dass unsere Relationen zwischen den Punkten genau der Addition in entspricht. Somit haben wir mit diesen Positionen um die Gerade und obigen Relationen den Faktorraum vollständig beschrieben.

Zusammenhang Faktorraum und Komplement[Bearbeiten]

Sei ein -Vektorraum und ein Unterrraum. Wir wählen nun für jede Nebenklasse in einen Repräsentanten . Dann können wir einen beliebigen Vektor in eindeutiger Weise als einen Vektor in schreiben: Für die Nebenklasse haben wir einen Repräsentanten gewählt. Da und in der gleichen Nebenklasse liegen ist . Das heißt wir können als darstellen. Dies ist eine bijektive Zuordnung: Indem wir ein Element das Element zuordnen erhalten wir eine inverse Zuordnung.

Insgesamt können wir nach der Wahl eines Repräsentantensystems von als die konstruierte direkte Summe auffassen. Diese Identifikation ist im Allgemeinen nicht mit der Vektorraumstruktur von und verträglich. Da diese Identifikation von der Wahl eines Repräsentantensystems abhängt, können wir uns die Frage stellen, ob wir ein Repräsentantensystem finden können, für welches diese Identifikation mit den Vektorraumstrukturen beider Räume verträglich ist. Die Antwort auf diese Frage führt zu einem Zusammenhang zwischen dem Faktorraum und dem Komplement:

Satz (Isomorphismus zum Komplement)

Sei ein Komplement von in . Dann gibt es einen linearen Isomorphismus zwischen dem Quotientenraum und .

Beweis (Isomorphismus zum Komplement)

Wir betrachten die Projektion . Wir wollen zeigen, dass diese eine Bijektion ist, die mit der Addition und der Skalarmultiplikation verträglich ist.

Beweisschritt: Surjektivität von

Sei . Da ein Komplement zu ist, finden wir und mit . Dann gilt

Also ist surjektiv.

Beweisschritt: Injektivität von

Seien mit . Wir wollen zeigen, dass gilt. Da und in der gleichen Nebenklasse liegen, ist . Nun liegt . Das heißt, es gilt , da ein Komplement zu ist.

Beweisschritt: Verträglichkeit mit der Addition und skalaren Multiplikation

Da ein Unterraum ist und die Skalarmultiplikation und Addition auf Repräsentanten definiert ist, ist mit Addition und skalarer Multiplikation verträglich. Das heißt es gilt für und

sowie

Das heißt, durch die Wahl eines Komplements erhalten wir ein Repräsentantensystem von , das mit der Vektorraumstruktur von verträglich ist. Dies ist für konkrete Rechnungen sinnvoll. Mit diesem Repräsentantensystem ist die Identifikation von mit mit der Addition verträglich. Auf diese Weise stellt der Faktorraum ein von Wahlen unabhängiges Komplement von in dar. Dennoch können wir ein Komplement nicht unabhängig von Wahlen in realisieren. Daher hängt obige Identifikation immer noch von der Wahl eines Komplements als Repräsentantensystem ab. In gewisser Weise ist das abstrakte Komplement und jede Wahl eines Komplements in eine Realisierung dieses in .