Isomorphismus (Lineare Algebra) – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Isomorphe Strukturen und Isomorphismen[Bearbeiten]

Hintergedanke in diesem Abschnitt: Bevor wir Isomorphismen betrachten, wollen wir erst isomorphe Strukturen erklären. Zuerst machen wir klar, dass es sinnvoll ist im Kontext von Vektorräumen über Isomorphie zu reden. Es soll klar werden, dass wir zwei Vektorräume "gleich" (also isomorph) nennen, wenn sie die gleiche Struktur haben.

Isomorphe Strukturen[Bearbeiten]

Betrachten wir den Vektorraum der quadratischen Polynome und . Vektoren in diesen Räumen haben eine eins zu eins Entsprechung, wie wir am folgenden Beispiel im Artikel Einführung in den Vektorraum bereits gesehen haben:

Außerdem haben wir festgestellt, dass Addition und skalare Multiplikation in diesen Vektorräumen ähnlich funktionieren:



Im Allgemeinen kann man sich die Vektorräume als Mengen mit einer gewissen Struktur vorstellen. In unserem Beispiel können wir die zugrundeliegenden Mengen der Vektorräume 1 zu 1 zuordnen. Darüber hinaus weisen diese Vekrorräume eine ähnliche Struktur (quasi Addition und Multiplikation) vor. Dann wäre es doch sinnvoll zu sagen, dass die Objekte als Vektorräume "gleich" sind? So eine Gleichheit hat tatsächlich einen Namen: Isomorphie.

Wir leiten uns nun her, was dieser Begriff formal für zwei Vektorräume und bedeutet:

Die 1 zu 1 Zuordnung ist nichts anderes als einfach eine bijektive Abbildung . Was bedeutet aber, dass die Struktur gleich ist? Wir wollen, dass wir Addition und skalare Multiplikation beim Hin- und Zurückabbilden erhalten. Dass eine Abbildung die Struktur des Vektorraums erhält, heißt aber genau, dass die Abbildung linear ist. Also wollen wir, dass und linear sind.

Insgesamt erhalten wir folgende Definition:

Definition (Isomorphie)

Die Vektorräume und sind isomorph, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt, sodass und linear sind. Wir schreiben dann .

  • Das Beispiel von oben mit quadratischen Polynomen wieder aufgreifen und dafür die Abbildung hinschreiben.

Isomorphismus[Bearbeiten]

Wir wollen auch der oben eingeführten Abbildung f einen Namen geben:

Definition (Isomorphismus)

Ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen und ist eine bijektive Abbildung , so dass und linear sind.

Alternative Herleitung[Bearbeiten]

  • Wir können uns einen Vektorraum auch als Basis mit Linearkombinationen der Basis vorstellen.
  • VR sind "gleich", wenn wir die Basen 1-1 zuordnen können und die Linearkombinationen müssen gleich gebildet werden
  • Also brauchen wir eine Abbildung, die Basis + Linearkombinationen erhält
  • Damit eine Abbildung linearkombinationen erhält, muss sie linear sein
  • Frage: Welche Eigenschaft braucht eine lineare abbildung, um Basen zu erhalten? (Also Basen auf Basen abzubilden?)
  • Basis ist ein lin. unabh. Erzeugendensystem -> Abbildung muss erzeugendensystem und linear unabh. erhalten -> Abbildung ist sowohl ein monomorphismus als auch epimorphismus
  • Es stellt sich die Frage, welche Eigenschaften hat eine lineare Abbildung, die sowohl ein Monomorphismus, als auch ein Epimorphismus ist.
  • Als Monomorphismus muss die Abbildung injektiv sein.
  • Als Epimorphismus muss die Abbildung surjektiv sein, also insgesamt eine bijektive lineare Abbildung. Die nennen wir wieder Isomorphismus.
  • Damit können wir definieren, dass ein Isomorphismus eine bijektive lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen V und W ist.
  • Das gibt uns die alternative Definition:

Definition (Alternative Definition von Isomorphie)

Zwei VR sind isomorph, wenn es eine bijektive, lineare Abbildung zwischen ihnen gibt.

Umkehrabbildungen von linearen Bijektionen sind linear[Bearbeiten]

Wir haben zwei Definitionen für Isomorphie hergeleitet. Die erste scheint mehr Voraussetzungen zu fordern als die zweite. Erhalten wir dadurch verschiedene mathematische Objekte? Laut unserer Herleitung und Intuition sollten beide Definitionen die gleichen Objekte definieren. Dies bestätigt der folgende Satz, aus welchem folgt, dass die zweite Definition die erste impliziert.

Satz (Die Umkehrabbildung einer bijektiven linearen Abbildung ist linear.)

Sei eine bijektive, lineare Abbildung, dann ist auch die Umkehrabbildung linear.

Wie kommt man auf den Beweis? (Die Umkehrabbildung einer bijektiven linearen Abbildung ist linear.)

Wir wollen zeigen, dass linear ist. Dafür muss sowohl , als auch für alle Vektoren und gelten.

Wir haben gegeben, dass linear und bijektiv mit Umkehrabbildung ist. Wie können wir das nutzen, um die Linearität von zu zeigen? Da die Umkehrabbildung von ist, gilt:

Zusammen mit der Linearität von liefert das uns:

Genauso können wir für Homogenität vorgehen.

Beweis (Die Umkehrabbildung einer bijektiven linearen Abbildung ist linear.)

Für die Umkehrabbildung von gilt:

Also gilt für jeden Vektor und jeden Vektor

Beweisschritt: ist additiv.

Seien und zwei Vektoren. Dann gilt:

Damit ist die Umkehrfunktion additiv.

Beweisschritt: ist homogen.

Seien ein Vektor und ein Skalar. Dann folgt

Damit ist die Umkehrfunktion homogen.

Wir haben gezeigt, dass die Umkehrabbildung linear ist.

Isomorphe Strukturen klassifizieren[Bearbeiten]

Bijektion der Basen erzeugt einen Isomorphismus[Bearbeiten]

Wir haben uns im Abschnitt Alternative Herleitung überlegt, dass ein Isomorphismus eine lineare Abbildung ist, die Basen erhält. Das bedeutet, dass Basen auf Basen geschickt und Linearkombinationen erhalten werden.

Finden wir nun einen Isomorphismus zwischen Vektorräumen, so auch eine Bijektion zwischen den Basen der Vektorräume.

Wir stellen uns andersherum die Frage: Wenn eine lineare Abbildung eine Basis auf eine Basis schickt, ist sie dann bereits ein Isomorphismus? Wie wir im folgenden Satz sehen, reicht dies tatsächlich aus:

Satz

Es seien ein Körper, zwei -Vektorräume, eine Basis von und eine lineare Abbildung.

Dann gilt: ist genau dann ein Isomorphismus, wenn eine Basis von ist.

Beweis

Beweisschritt:

Sei ein Isomorphismus. Dann ist per Definition sowohl ein Monomorphismus, als auch ein Epimorphismus.

Wir wollen zeigen, dass Basen erhält. Das heißt, dass das Bild von unter ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von ist.

Beweisschritt: ist linear unabhängig

Wir wissen aus dem Artikel zu Monomorphismen,
Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Artikel nur für endlich-dimensional Satz hier aber beliebig dimensional, Lösung überlegen

dass diese lineare Unabhängigkeit erhalten. Die Menge ist eine Basis und somit linear unabhängig. Ihr Bild unter ist also linear unabhängig.

Beweisschritt: ist Erzeugendensystem von

Wir wissen aus dem Artikel zu Epimorphismen, dass diese Erzeugendensysteme erhalten. Die Menge ist eine Basis und somit ein Erzeugendensystem. Ihr Bild unter ist also ein Erzeugendensystem von .

Beweisschritt:

bilde auf eine Basis von ab.

Beweisschritt: Injektivität

Da die linear unabhängige Menge auf die linear unabhängige Menge abbildet, erhält lineare Unabhängigkeit. Aus dem Aritkel zu Monomorphismen wissen wir, dass dann injektiv sein muss.

Beweisschritt: Surjektivität

bildet die Basis , also insbesondere ein Erzeugendensystem, auf die Basis , also insbesondere ein Erzeugendensystem, ab. Aus dem Aritkel zu Epimorphismen wissen wir, dass dann surjektiv sein muss.

ist nach Angabe linear. Zusammen mit Injektivität und Surjektivität folgt, dass ein Isomorphismus ist.

Satz

Seien und zwei -Vektorräume mit Basen und . Sei außerdem eine bijektive Abbildung. Dann gibt es genau einen Isomorphismus mit .

Beweis

Aus dem Artikel Prinzip der linearen Fortsetzung wissen wir, dass wir eine eindeutige lineare Abbildung finden mit . Wie in der Aufgabenstellung gefordert gilt also .

Wir müssen noch zeigen, dass die Abbildung bijektiv ist.

Beweisschritt: Surjektivität

Um diese zu zeigen, nutzen wir erneut den Artikel Prinzip der linearen Forsetzung. Daraus wissen wir, dass unsere Abbildung genau dann surjektiv ist, wenn ein Erzeugendensystem von ist. Nach Aufgabenstellung ist eine Basis von , deshalb ist ein Erzeugendensystem von und somit surjektiv.

Beweisschritt: Injektivität

Für die Injektivität verwenden wir ebenfalls den Artikel Prinzip der linearen Forsetzung. Daraus wissen wir, dass unsere Abbildung genau dann injektiv ist, wenn die Menge linear unabhängig ist. Nach Aufgabenstellung ist eine Basis von , deshalb ist linear unabhängig und somit injektiv.

Wir haben gezeigt, dass linear, surjektiv und injektiv ist. Somit ist bijektiv, also ein Isomorphismus.

Klassifikation endlich dimensionaler Vektorräume[Bearbeiten]

Stellen wir uns nun die Frage, wann man im endlich dimensionalen Fall von isomorphen Vektorräumen sprechen kann. Wir betrachten also den Fall, dass und endlich dimensionale Vektorräume sind, d.h. wir haben Basen von und von . Aus dem vorherigen Satz wissen wir, dass ein Isomorphismus durch die Bijektion der Basen eindeutig charakterisiert ist. Wann finden wir eine Bijektion zwischen diesen beiden Mengen? Genau dann, wenn sie die gleiche Mächtigkeit haben. Also genau dann, wenn und die gleiche Dimension haben:

Satz (Endlich dimensionale Vektorräume mit gleicher Dimension sind isomorph und umgekehrt)

Seien endlichdimensionale Vektorräume. Dann gilt:

Beweis (Endlich dimensionale Vektorräume mit gleicher Dimension sind isomorph und umgekehrt)

Beweisschritt:

Sei .

Zwei Vektorräume heißen isomorph, wenn ein Isomorphismus zwischen ihnen existiert. Wir wissen, dass ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen existiert, wenn wir eine bijektive Abbildung zwischen den Basen dieser finden. Da , finden wir eine bijektive Abbildung zwischen den Basen. Es existiert also ein Isomorphismus zwischen und .

Folglich sind und isomorph.

Beweisschritt:

Sei .

Sei ein Isomorphismus zwischen und . Wir wissen, dass ein Isomorphismus Basen auf Basen abbildet. Das heißt, dass eine Basis von ist. Da die Abbildung ein Isomorphismus ist, ist sie insbesondere bijektiv. Somit ist .

Dies impliziert .

Wir haben gezeigt, dass -Vektorräume gleicher Dimension isomorph sind. Insbesondere sind alle solchen Vektorräume isomorph zum -Vektorraum, wie wir gleich sehen werden.

Um dies zu zeigen, gehen wir wie folgt vor: Wir wissen, dass wir für einen -dimensionalen -Vektorraum eine Basis finden. Außerdem wählen wir die Standardbasis des . Nun betrachten wir die eindeutige Abbildung, die auf abbildet. Diese nennt man Koordinatenabbildung bezüglich der Basis . Unser Ziel ist zu zeigen, dass ein Isomorphismus ist.

Wie sieht aber diese Abbildung allgemein aus? Jeder Vektor hat eine eindeutige Darstellung mit . Damit ist also .

Das Bild von unter ist also der Koordinatenvektor von bezüglich der Standardasis in der Anordnung - daher der Name Koordinatenabbildung

Damit gilt der folgende Satz:

Satz (Jeder -dimensionale Vektorraum ist isomorph zu )

Sei ein -dimensionaler -Vektorraum mit einer Basis . Sei außerdem eine Koordinatenabbildung bezüglich . Dann ist ein Isomorphismus.

Beweis (Jeder -dimensionale Vektorraum ist isomorph zu )

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Beweis schreiben

Sei ein Körper, , ein -dimensionaler -Vektorraum mit einer Basis . Seien , mit und . Wir haben bereits gesehen, dass dann gilt: , sowie .

Beweisschritt: Additivität

Somit gilt

.

Beweisschritt: Homogenität

.

Beweisschritt: Injektivität

Wir zeigen, dass der Kern trivial ist: Da die Koordinatenabbildung linear ist, wissen wir, dass gilt: . Sei . Dann gilt für mindestens ein und dementsprechend: . Also ist der Kern trivial und die Abbildung somit injektiv.

Beweisschritt: Surjektivität

Wählen wir ein geordnetes Tupel , so gilt für das Urbild dieses Tupels unter der Abbildung : . Zu einem beliebigem Tupel finden wir also ein Urbild bzgl. , somit ist die Abbildung surjektiv.

Die Koordinatenabbildung ist also linear, injektiv, surjektiv (also bijektiv) und somit ein Isomorphismus zwischen und , was bedeutet, dass isomorph zu ist.

  • Die Koordinatenabbildung gibt uns genau die Koordinaten des Vektors in der Basis

Beispiel (Koordinatenabbildung zwischen dem Vektorraum der reellen quadratischen Polynome und )

Wir betrachten die beiden -Vektorräume und den der reellen Polynome von Grad . Die Koordinatenabbildung sieht dann folgendermaßen aus:

, .


Die Koordinatenabbildung ist abhängig von der Wahl der Basis. Hat man verschiedene Basen, so erhält man verschiedene Zuordnungen.

  • Hier ein Beispiel einfügen mit zwei verschiedenen Basen, die verschiedene Koordinatenabbildungen induzieren

Auch wenn wir nur die Nummerierung der Elemente einer Basis ändern, erhalten wir schon verschiedene Koordinatenabbildungen.

  • Beispiel dafür
  • D.h., damit wir von "der" Koordinatenabbildung sprechen können, müssen wir die Reihenfolge der Basiselemente festlegen
  • Das nennen wir geordnete Basis

Definition (Geordnete Basis)

Seien ein Körper und ein endlich-dimensionaler -Vektorraum. Sei . Dann nennen wir eine geordnete Basis von , falls eine Basis von ist.

  • Ist eine geordnete Basis, so können wir die Koordinatenabbildung auch als bezeichnen.

Beispiele für Vektorraumisomorphismen[Bearbeiten]

Beispiel (Der Isomorphiesatz)

Eines der wichtigsten Beispiele ist die Isomorphie zwischen dem Bildraum einer linearen Abbildung und dem Quotientenraum .

All das ist hier beschrieben.


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To-Do:

Beispiele finden und ausarbeiten

Beispiel (Folgen mit endlichem Träger)

Sei . Wir kennen bereits den Vektorraum , die unendliche äußere direkte Summe von , und den Vektorraum , dem Vektorraum der -Folgen mit endlichem Träger.

Wir wollen nun zeigen, dass diese Vektorräume isomorph sind:

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To-Do:

Beweis. Eigentlich ist das trivial, sind nur zwei verschiedene Notationen, das hinzuschreiben.


Beispiel (Konvergente Folgen modulo Nullfolgen)

Sei . Wir kennen bereits die Vektorräume der konvergenten Folgen und der Nullfolgen. Wir wissen auch, dass ein Untervektoraum ist. Daher können wir den Faktorraum bilden.

Im Folgenden wollen wir zeigen, dass gilt.

Wir definieren eine Abbildung

Das Bild von unter dieser Abbildung ist also die Nebenklasse der Folge, die konstant den Wert annimmt. Diese ist konvergent mit Grenzwert . Wir müssen zeigen, dass linear und bijektiv ist.

Beweisschritt: Linearität von

Wir müssen die Additivität und Homogenität von zeigen.

Beweisschritt: Additivität von

Seien . Dann gilt

Beweisschritt: Homogenität von

Seien . Wir betrachten als Vektor des -Vektorraumes und als Skalar. Es gilt

Beweisschritt: Injektivität von

Wir müssen zeigen, dass gilt. Sei also . Das bedeutet, . Dies heißt, dass liegt.

Also ist . Das zeigt die Behauptung.

Beweisschritt: Surjektivität von

Sei und sei . Setze . Dann ist .

Daher gilt . Folglich . Dies zeigt die Surjektivität.


Beispiel (Reelle Polynome -ten Grades und der )

Wir zeigen am Beispiel eine Isomorphie des Raums der Polynome höchstens zweiten Grads zum .

Wir definieren die Abbildung durch .

Behauptung: ist ein Isomorphismus.

Dazu müssen wir drei Dinge nachweisen:

  1. ist eine lineare Abbildung
  2. ist injektiv
  3. ist surjektiv


Beweisschritt: Linearität von

Da für jedes Polynom definiert ist und Werte in hat, ist als Abbildung wohldefiniert.

Wir müssen also noch beweisen, dass für und stets und ist.

Das ist völlig analog zu dieser Rechnung.

Beweisschritt: Injektivität von

Sei und .

Das bedeutet, dass das Polynom höchstes zweiten Grades drei Nullstellen hat: es ist ja . Nach dem Fundamentalsatz der Algebra ist dann das Nullpolynom, also der Nullvektor des Vektorraums .

Da also der Kern von nur aus dem Nullvektor besteht, ist injektiv.

Beweisschritt: Surjektivität von

Beim Beweis dieser Behauptung verwenden wir die Polynominterpolation in der Lagrange-Form.

Dazu definieren wir drei Polynome durch

hat Nullstellen bei und , und der Nenner ist der Zähler an der Stelle . Daher , da dann in Zähler und Nenner dieselbe Zahl steht.

Ganz analog ist und und und .

Wenn wir jetzt einen beliebigen Vektor haben, dann definieren wir das Polynom durch

Dann ist und genauso und .

Damit haben wir gezeigt, dass surjektiv ist.

Wir sehen auch, dass man diese Verfahren für beliebige Polynomgrade und beliebige Punkte anwenden können, solange nur die Anzahl der Punkte um eins größer ist als der Höchstgrad der Polynome. Wir können auch überall durch oder ersetzen, ohne dass wir am Beweis etwas ändern müssten.

Aufgaben[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Aufgaben finden und ausarbeiten

Aufgabe (komplexe -Vektorräume)

Sei ein endlich-dimensionaler -Vektorraum. Zeige als -Vektorräume.

Lösung (komplexe -Vektorräume)

Setze . Wir wählen eine -Basis von . Definiere für alle .

Wir müssen zeigen: bilden eine Basis von . Dann gilt . nach obigem Satz folgt also als -Vektorräume.

Wir zeigen zunächst die -lineare Unabhängigkeit.

Beweisschritt: ist -linear unabhängig

Seien und gelte . Wir setzen für die Definition ein, fassen die Summen zusammen und erhalten . Wegen -linearer Unabhängigkeit der gilt für alle . Folglich ist für alle . Dies zeigt die -lineare Unabhängigkeit.

Nun fehlt nur noch ein Schritt:

Beweisschritt: ist ein -Erzeugendensystem

Sei beliebig.

Da eine -Basis von ist, finden wir , sodass gilt. Wir schreiben mit für alle . Dann gilt

Also liegt im -Span von . Dies zeigt die Behauptung.

Aufgabe (Isomorphe Koordinatenräume)

Sei ein Körper, . Zeige: genau dann, wenn gilt.

Lösung (Isomorphe Koordinatenräume)

Wir wissen, dass für alle gilt. Dann benutzen wir den Satz von oben, dass genau dann, wenn gilt.

Aufgabe (Isomorphiekriterien für Endomorphismen)

Sei ein Körper, ein endlich-dimensionaler -Vektorraum und eine -lineare Abbildung. Weise nach, dass die folgenden drei Aussagen äquivalent sind:

(i) ist ein Isomorphismus.

(ii) ist injektiv.

(iii) ist surjektiv.

(Achtung: Für diese Aufgabe kann es hilfreich sein, die Begriffe Kern und Bild einer linearen Abbildung zu kennen. Unter Verwendung des Dimesionssatzes wird diese Aufgabe wesentlich einfacher. Wir geben hier als Lösungsvorschlag eine Version die ohne den Dimensionssatz auskommt.)

Lösung (Isomorphiekriterien für Endomorphismen)

(i)(ii) und (iii): Nach der Definition eines Isomorphismus ist bijektiv, also injektiv und surjektiv. Daher gelten (ii) und (iii).

(ii)(i): Sei nun eine injektive Abbildung. Wir müssen noch zeigen, dass auch surjektiv ist. Das Bild von ist ein Untervektorraum von . Dies kann man durch Nachrechnen überprüfen. Wir definieren nun eine Abbildung, die das gleiche macht wie , mit dem Unterschied, dass sie per Definition surjektiv sein wird. Wir schaffen dies durch die Konstruktion:

Die Surjektivität kommt daher, weil jedes Element sich als schreiben lässt, für ein . Außerdem ist die Abbildung injektiv und linear. Dies kommt daher, dass bereits diese beiden Eigenschaften aufweist. Also sind und isomorph. Daher haben und diegleiche endliche Dimension. Da ein Untervektorraum von ist, gilt . Dies kann man dadurch einsehen, dass man eine Basis in wählt. Wähle also zum Beispiel eine solche Basis mit Vektoren . Die sind insbesondere linear unabhängig. Das ist ein Fakt der auch in gilt, da ja . Und da die und diegleiche Dimension haben, sind die auch in ein maximales System linear unabhängiger Vektoren. Also bilden auch in eine Basis. Die beiden Vektorräume und müssen nun gleich sein, denn alle Elemente aus ihnen sind -Linearkombinationen gebildet mit den . Damit haben wir gezeigt, dass surjektiv ist.

(iii)(i): Nehmen wir nun an ist surjektiv. Wir müssen nun zeigen, dass auch injektiv ist. Sei der Kern der Abbildung . Es handelt sich dabei um einen Untervektorraum von , wovon man sich durch Nachrechnen überzeugt. Sei eine Basis von . Diese Basis kann man zu einer Basis von ergänzen. Dazu nehmen wir die Vektoren hinzu. Wir werden nun zeigen, dass linear unabhängig sind. Seien also Koeffizienten gegeben, sodass

gilt. Wegen der Linearität von folgern wir: . Das bedeutet, dass die Linearkombination

im Kern von liegt. Wir kennen aber bereits eine Basis von . Daher gibt es Koeffizienten , sodass

gilt. Wegen der linearen Unabhängigkeit von folgt nun, dass gilt. Daher sind die linear unabhängig. Als nächstes werden wir zeigen, dass diese Vektoren auch eine Basis von bilden. Dazu zeigen wir, dass jeder Vektor in als Linearkombination der geschrieben werden kann. Sei . Wegen der Surjektivität von gibt es ein , mit . Da die eine Basis von bilden, gibt es Koeffizienten , sodass

gilt. Wenden wir nun auf diese Gleichung an, so erhalten wir:

Hier haben wir gleich die Linearität von benutzt. Da die ersten Elemente unserer Basis im Kern liegen, verschwinden deren Bilder. Also erhalten wir eine gewünschte Darstellung von :

Somit haben wir gezeigt, dass ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von bildet. Also formen diese Vektoren eine Basis von . Wäre nun nicht , so wären zwei endliche Basen in nicht gleich mächtig. Dies kann nicht sein. Daher ist . Dies bedeutet, dass der triviale Vektorraum ist. Daraus folgt, dass injektiv ist.

Aufgabe (Konvergente Folgen modulo Nullfolgen über )

Wir haben oben gesehen, dass , wobei . Was aber passiert, wenn wir die Folgen nicht mit Koeffizienten in , sondern in betrachten? Wir bezeichnen mit die konvergenten Folgen mit Einträgen in , und mit die Nullfolgen mit Einträgen in . Analog zu den Fällen kann man zeigen, dass und auf natürliche Weise -Vektorräume sind, und dass ein Unterraum von ist. Zeige: .

Sei nun der Raum der Cauchy-Folgen mit Einträgen in . Das ist ein -Vektorraum, und sind Unterräume. Wozu ist isomorph? Wozu ist isomorph?

Lösung (Konvergente Folgen modulo Nullfolgen über )

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To-Do:

Machen. Hinweis, dass die Aufgabe etwas schwerer ist

Aufgabe (Abbildungsräume)

Sei eine endliche Menge der Mächtigkeit . Sei ein Körper. Wir haben gesehen, dass die Menge der Abbildungen von nach einen -Vektorraum bildet. Diesen haben wir mit bezeichnet. Zeige: .

Was passiert, wenn unendlich ist?