Isomorphismus (Lineare Algebra) – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Isomorphe Strukturen und Isomorphismen[Bearbeiten]

Hintergedanke in diesem Abschnitt: Bevor wir Isomorphismen betrachten, wollen wir erst isomorphe Strukturen erklären. Zuerst machen wir klar, dass es sinnvoll ist im Kontext von Vektorräumen über Isomorphie zu reden. Es soll klar werden, dass wir zwei Vektorräume "gleich" (also isomorph) nennen, wenn sie die gleiche Struktur haben.

Isomorphe Strukturen[Bearbeiten]

  • An folgenden Beispiel, das schon im Artikel "Einführung in den Vektorraum" steht, sehen wir die Ähnlichkeit des Vektorraums der quadratischen Polynome und
  • Vektoren in diesen Räumen haben eine eins zu eins Entsprechung:
  • Wir sehen, dass Addition und skalare Multiplikation ähnlich sind:



  • Vektorräume sind Mengen mit Struktur.
  • Die zugrundeliegenden Mengen der Vektorräume können wir 1 zu 1 zuordnen. Außerdem sind die Strukuren ähnlich.
  • Dann ist es sinnvoll zu sagen, die Objekte sind gleich als Vektorräume
  • So eine Gleichheit nennen wir Isomorphie
  • Wir leiten uns her, was das formal für zwei Vektorräume und bedeutet:
  • Die 1 zu 1 Zuordnung der Vektoren ist formal eine bijektive Abbildung
  • Was bedeutet aber, dass die Struktur gleich ist? Wir wollen, dass wir Addition und skalare Multiplikation beim Hin- und Zurückabbilden erhalten. Dass eine Abbildung die Struktur des Vektorraums erhält, heißt aber genau, dass die Abbildung linear ist. Also wollen wir , dass und linear sind.
  • Wir erhalten folgende Definition:

Definition (Isomorphie)

Zwei VR sind isomorph, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt, so dass und linear sind. Wir schreiben dann .

  • Das Beispiel von oben mit quadratischen Polynomen wieder aufgreifen und dafür die Abbildung hinschreiben.

Isomorphismus[Bearbeiten]

  • Wir wollen auch der oben eingeführten Abbildung f einen Namen geben:

Definition (Isomorphismus)

Ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine bijektive Abbildung , so dass und linear sind.

Alternative Herleitung[Bearbeiten]

  • Wir können uns einen Vektorraum auch als Basis mit Linearkombinationen der Basis vorstellen.
  • VR sind "gleich", wenn wir die Basen 1-1 zuordnen können und die Linearkombinationen müssen gleich gebildet werden
  • Also brauchen wir eine Abbildung, die Basis + Linearkombinationen erhält
  • Damit eine Abbildung linearkombinationen erhält, muss sie linear sein
  • Frage: Welche Eigenschaft braucht eine lineare abbildung, um Basen zu erhalten? (Also Basen auf Basen abzubilden?)
  • Basis ist ein lin. unabh. Erzeugendensystem -> Abbildung muss erzeugendensystem und linear unabh. erhalten -> Abbildung ist sowohl ein monomorphismus als auch epimorphismus
  • Es stellt sich die Frage, welche Eigenschaften hat eine lineare Abbildung, die sowohl ein Monomorphismus, als auch ein Epimorphismus ist.
  • Als Monomorphismus muss die Abbildung injektiv sein.
  • Als Epimorphismus muss die Abbildung surjektiv sein, also insgesamt eine bijektive lineare Abbildung. Die nennen wir wieder Isomorphismus.
  • Damit können wir definieren, dass ein Isomorphismus eine bijektive lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen V und W ist.
  • Das gibt uns die alternative Definition:

Definition (Alternative Definition von Isomorphie)

Zwei VR sind isomorph, wenn es eine bijektive, lineare Abbildung zwischen ihnen gibt.

Umkehrabbildung von Isomorphismen sind linear[Bearbeiten]

  • Wir haben zwei Definitionen für Isomorphismus hergeleitet.
  • Die erste scheint mehr zu fordern als die zweite. Erhalten wir dadurch verschieden mathematische Objekte?
  • Laut unserer Herleitung und Intuition, sollten beide Definitionen die gleichen Objekte definieren. Das bestätigt der folgende Satz, der besagt, dass die zweite Definition die erste impliziert.

Satz (Die Umkehrabbildung einer bijektiven linearen Abbildung ist linear.)

Sei eine bijektive, lineare Abbildung, dann ist auch die Umkehrabbildung linear.

Wie kommt man auf den Beweis? (Die Umkehrabbildung einer bijektiven linearen Abbildung ist linear.)

Wir wollen zeigen, dass linear ist. Dafür muss sowohl , als auch für alle Vektoren und gelten.

Wir haben gegeben, dass linear und bijektiv mit Umkehrabbildung ist. Wie können wir das nutzen, um die Linearität von zu zeigen? Da die Umkehrabbildung von ist, gilt:

Zusammen mit der Linearität von liefert das uns:

Genauso können wir für Homogenität vorgehen.

Beweis (Die Umkehrabbildung einer bijektiven linearen Abbildung ist linear.)

Für die Umkehrabbildung von gilt:

Also gilt für jeden Vektor und jeden Vektor

Beweisschritt: ist additiv.

Seien und zwei Vektoren. Dann gilt:

Damit ist die Umkehrfunktion additiv.

Beweisschritt: ist homogen.

Seien ein Vektor und ein Skalar. Dann folgt

Damit ist die Umkehrfunktion homogen.

Wir haben gezeigt, dass die Umkehrabbildung linear ist.

Isomorphe Strukturen klassifizieren[Bearbeiten]

Bijektion der Basen erzeugt einen Isomorphismus[Bearbeiten]

  • Wir haben oben in der zweiten Herleitung schon gesehen, dass ein Isomorphismus eine lineare Abbildung ist, die Basen erhält. Das bedeutet, dass Basen auf Basen geschickt und Linearkombinationen erhalten werden.
  • Finden wir einen Isomorphismus zwischen Vektorräumen, so exisitert insbesondere eine Bijektion zwischen den Basen der Vektorräume.
  • Gilt es aber auch andersherum: Wenn eine lineare Abbildung eine Basis auf eine Basis schickt, ist sie dann schon ein Isomorphismus?
  • Ja: Für einen Isomorphismus braucht man nur eine lineare Abbildung, die eine Bijektion von Basen induziert.

Satz

Es seien ein Körper, zwei -Vektorräume, eine Basis von und eine lineare Abbildung.

Dann gilt: ist genau dann ein Isomorphismus, wenn von auf eine Basis von abgebildet wird.

Beweis

Beweisschritt:

Sei ein Isomorphismus. Dann ist per Definition sowohl ein Monomorphismus, als auch ein Epimorphismus.

Wir wollen zeigen, dass Basen erhält. Das heißt, dass das Bild von unter ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von ist.

Lineare Unabhängigkeit: Wir wissen aus dem Artikel zu Monomorphismen,
Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Artikel nur für endlich-dimensional Satz hier aber beliebig dimensional, Lösung überlegen

dass diese lineare Unabhängigkeit erhalten. Die Menge ist eine Basis und somit linear unabhängig. Ihr Bild unter ist also linear unabhängig.

Erzeugendensystem: Wir wissen aus dem Artikel zu Epimorphismen, dass diese Erzeugendensysteme erhalten. Die Menge ist eine Basis und somit ein Erzeugendensystem. Ihr Bild unter ist also ein Erzeugendensystem von .

Beweisschritt:

bilde auf eine Basis von ab.

Injektivität: Da die linear unabhängige Menge auf die linear unabhängige Menge abbildet, erhält lineare Unabhängigkeit. Aus dem Aritkel zu Monomorphismen wissen wir, dass dann injektiv sein muss.

Surjektivität: bildet die Basis , also insbesondere ein Erzeugendensystem, auf die Basis , also insbesondere ein Erzeugendensystem, ab. Aus dem Aritkel zu Epimorphismen wissen wir, dass dann surjektiv sein muss.

ist nach Angabe linear. Zusammen mit Injektivität und Surjektivität folgt, dass ein Isomorphismus ist.

Satz

Seien und zwei -Vektorräume mit Basen und . Sei außerdem eine bijektive Abbildung. Dann gibt es genau einen Isomorphismus mit .

Beweis

Aus dem Artikel Prinzip der linearen Fortsetzung wissen wir, dass wir eine eindeutige lineare Abbildung finden mit . Wie in der Aufgabenstellung gefordert gilt also .

Wir müssen noch zeigen, dass die Abbildung bijektiv ist.

Zunächst zeigen wir die Surjektivität. Dazu nutzen wir erneut den Artikel Prinzip der linearen Forsetzung. Daraus wissen wir, dass unsere Abbildung genau dann surjektiv ist, wenn ein Erzeugendensystem von ist. Nach Aufgabenstellung ist eine Basis von , deshalb ist ein Erzeugendensystem von und somit surjektiv.

Für die Injektivität verwenden wir ebenfalls den Artikel Prinzip der linearen Forsetzung. Daraus wissen wir, dass unsere Abbildung genau dann injektiv ist, wenn die Menge linear unabhängig ist. Nach Aufgabenstellung ist eine Basis von , deshalb ist linear unabhängig und somit injektiv.

Wir haben gezeigt, dass linear, surjektiv und injektiv ist. Somit ist bijektiv, also ein Isomorphismus.

Klassifikation endlich dimensionaler Vektorräume[Bearbeiten]

  • Ein Isomorphismus ist nach dem vorherigen Satz genau durch die Bijektion der Basen charakterisiert
  • Nun betrachten wir den Fall, dass und endlich dimensionale Vektorräume sind, d.h. wir haben Basen von .
  • Wann finden wir eine Bijektion zwischen diesen beiden Mengen? Genau, dann wenn sie die gleiche Mächtigkeit haben. Also gdw und die gleiche Dimension haben.

Satz (Endlich dimensionale Vektorräume mit gleicher Dimension sind isomorph und umgekehrt)

Seien endlichdimensionale Vektorräume. Dann gilt:

Beweis (Endlich dimensionale Vektorräume mit gleicher Dimension sind isomorph und umgekehrt)

Beweisschritt:

Sei .

Zwei Vektorräume heißen isomorph, wenn ein Isomorphismus zwischen ihnen existiert. Wir wissen, dass ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen existiert, wenn wir eine bijektive Abbildung zwischen den Basen dieser finden. Da , finden wir eine bijektive Abbildung zwischen den Basen. Es existiert also ein Isomorphismus zwischen und .

Folglich sind und isomorph.

Beweisschritt:

Sei .

Sei ein Isomorphismus zwischen und . Wir wissen, dass ein Isomorphismus Basen auf Basen abbildet. Das heißt, dass eine Basis von ist. Da die Abbildung ein Isomorphismus ist, ist sie insbesondere bijektiv. Somit ist .

Dies impliziert .

  • Damit sehen wir, alle -VR mit der gleichen Dimension sind isomorph
  • insbesondere sind alle solchen Vektorräume isomorph zum
  • Für einen dimensionalen VR finden wir eine Basis
  • Außerdem wählen wir die Standardbasis des
  • Die Abbildung aus dem obigen Beweis, die auf abbildet, nennt man Koordinatenabbildung bezüglich der Basis
  • also .( ist damit ein Isomorphismus)
  • Wie sieht aber diese Abbildung allgemein aus? Jeder Vektor hat eine eindeutige Darstellung mit . Dann ist .

Damit gilt der folgende Satz:

Satz (Jeder -dimensionale Vektorraum ist isomorph zu )

Sei ein -dimensionaler -Vektorraum mit einer Basis . Sei außerdem die Koordinatenabbildung bezüglich . Dann ist ein Isomorphismus.

Beweis (Jeder -dimensionale Vektorraum ist isomorph zu )

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To-Do:

Beweis schreiben

  • Die Koordinatenabbildung gibt uns genau die Koordinaten des Vektors in der Basis

Beispiel

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Beispiel geben für eine Koordinatenabbildung. Z.B. die Koordinatenabbildung zwischen den quadratischen Polynomen und

  • Die Koordinatenabbildung ist abhängig von der Wahl der Basis
  • Hat man verschiedene Basen, erhält man verschiedene Zuordnungen
  • Hier ein Beispiel einfügen mit zwei verschiedenen Basen, die verschiedene Koordinatenabbildungen induzieren

Beispiele für Vektorraumisomorphismen[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Beispiele finden und ausarbeiten

Aufgaben[Bearbeiten]

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

Aufgaben finden und ausarbeiten