Isomorphismus (Lineare Algebra) – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Isomorphe Strukturen und Isomorphismen[Bearbeiten]

Hintergedanke in diesem Abschnitt: Bevor wir Isomorphismen betrachten, wollen wir erst isomorphe Strukturen erklären. Zuerst machen wir klar, dass es sinnvoll ist im Kontext von Vektorräumen über Isomorphie zu reden. Es soll klar werden, dass wir zwei Vektorräume "gleich" (also isomorph) nennen, wenn sie die gleiche Struktur haben.

Isomorphe Strukturen[Bearbeiten]

  • An folgenden Beispiel, das schon in "Einführung in den Vektorraum" kam, sehen wir die Ähnlichkeit des Vektorraums der quadratischen Polynome und
  • Vektoren in diesen Räumen haben eine eins zu eins Entsprechung:
  • Wir sehen, dass Addition und skalare Multiplikation ähnlich sind:



  • Vektorräume sind Mengen mit Struktur.
  • Die zugrundeliegenden Mengen der Vektorräume können wir 1 zu 1 zuordnen. Außerdem sind die Strukuren ähnlich.
  • Dann ist es sinnvoll zu sagen, die Objekte sind gleich als Vektorräume
  • So eine Gleichheit nennen wir Isomorphie
  • Wir leiten uns her, was das formal für zwei Vektorräume und bedeutet:
  • Die 1 zu 1 Zuordnung der Vektoren ist formal eine bijektive Abbildung (hier die Abbildungsvorschrift hinschreiben)
  • Was bedeutet aber, dass die Struktur gleich ist? Wir wollen, dass wir Addition und skalare Multiplikation beim Hin- und Herabbilden erhalten. Strukturerhalten heißt aber genau linear sein. Das heißt, wir wollen, dass und linear sind.
  • Wir bekommen folgende Definition:

Definition (Isomorphismus)

Zwei VR sind isomorph, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt, so dass und linear sind. Wir schreiben dann .

  • Das Beispiel von oben mit quadratischen Polynomen wieder aufgreifen und dabei die Abbildung hinschreiben.

Isomorphismus[Bearbeiten]

  • Obige Definition für f
  • erhält VR

Definition (Isomorphismus)

Ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine bijektive Abbildung , so dass und linear sind.

Alternative Herleitung[Bearbeiten]

  • VR = Basis + Linearkombinationen
  • Eine Abbildung, die VR erhält, muss also Basis + Linearkombinationen erhalten
  • Damit eine Abbildung linearkombinationen erhält, muss sie linear sein
  • Frage: Welche Eigenschaft braucht eine lineare abbildung, um basen zu erhalten?
  • Basis ist ein lin. unabh. Erzeugendensystem -> Abbildung muss erzeugendensystem und linear unabh. erhalten -> Abbildung ist sowohl ein monomorphismus als auch epimorphismus
  • Es stellt sich die Frage, welche Eigenschaften hat eine lineare Abbildung, die sowohl ein Monomorphismus, als auch ein Epimorphismus ist.
  • Als Monomorphismus muss die Abbildung injektiv sein.
  • Als Epimorphismus muss die Abbildung surjektiv sein, also insgesamt eine bijektive lineare Abbildung, die man Isomorphismus nennt.
  • Damit können wir definieren, dass ein Isomorphismus eine bijektive lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen V und W ist.
  • Alternative Definition

Umkehrabbildung von Isomorphismen sind linear[Bearbeiten]

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To-Do:

Motivation zum Satz als Inhaltplan ausarbeiten. Grober Weg:

  • Zwei Definitionen
  • Eine Definition fordert weniger -> wahrscheinlich reicht die lineararität von f aus, damit f^-1 auch linear ist

Satz (Die Umkehrabbildung ist ein Isomorphismus[1].)

Sei ein Isomorphismus, dann ist auch die Umkehrabbildung ein Isomorphismus.

Es genügt, wenn wir zeigen, dass eine lineare Abbildung ist, denn dann ist sie als Umkehrabbildung auch bijektiv.

Beweis (Die Umkehrabbildung ist ein Isomorphismus[1].)

für gilt:

Damit ist die Umkehrfunktion additiv.

Weiter ist für und

Damit ist die Umkehrfunktion homogen.

Wir haben gezeigt, die Umkehrabbildung ist linear.

Für die Umkehrabbildung zu gilt:

Isomorphe Strukturen klassifizieren[Bearbeiten]

Motivation[Bearbeiten]

  • Was passiert bei der Übersetzung von (2,-1,3) zu :
  • ...
  • Für den Isomorphismus braucht man nur eine Bijektion der Basen

Satz: Bijektion der Basen erzeugt einen Isomorphismus[Bearbeiten]

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To-Do:

prüfen

Wir werden nun eine äquivalente Charakterisierung für Isomoprhismen und damit auch eine Möglichkeit die Isomorphie zweier Vektorräume nachzuweisen kennenlernen. Diese hängt mit den Charakterisierungen für Mono- bzw Epimorphismen zusammen. Dort erzeugt eine Bijektion von lineare unabhängigen Teilmengen einen Monomorphismus bzw. eine Bijektion von Erzeugendensystemen einen Epimorphismen. Wir erhalten eine analoge Aussage für Basen, welche ja genau diejenigen Teilmengen des Vektorraums sind, die linear unabhängig und erzeugend sind:

Satz

Es seien ein Körper und zwei -Vektorräume. Sei zusätzlich eine Basis von gegeben, dann ist eine lineare Abbildung genau dann ein Isomorphismus, wenn eine Basis von ist.

Klassifikation endlich dimensionaler Vektorräume[Bearbeiten]

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To-Do:

Motivation als Inhaltsplan erstellen: Gleiche Dimension bedeutet, dass es zwischen den Basen eine Bijektion gibt

Satz (Endlich dimensionale Vektorräume mit gleicher Dimension sind Isomorph und umgekehrt)

Seien endlichdimensionale Vektorräume. Dann gilt:

Beweis (Endlich dimensionale Vektorräume mit gleicher Dimension sind Isomorph und umgekehrt)

Sei eine Basis von .

Wir zeigen zunächst die Richtung : Sei eine Basis von . Nach dem Satz der linearen Fortsetzung gibt es eine lineare Abbildung mit für . Da ein Erzeugendensystem von ist, gibt es zu jedem Elemente so, dass gilt . Es folgt mit , und damit ist surjektiv.

Ist , so folgt wegen der linearen Unabhängigkeit von dass , und damit . Das bedeutet aber, dass injektiv ist. Es gilt also .

Wir zeigen nun die Umkehrung : Sei ein Isomorphismus. Da surjektiv ist, gibt es zu jedem ein derart, das ist. Da insbesondere ein Erzeugendensystem ist, gibt es , so dass gilt . Hieraus folgt und ist ein Erzeugendensystem von W. Da auch injektiv ist, folgt aus auch . Da linear unabhängig ist, muss auch linear unabhängig sein. Also ist die Mächtigkeit von gleich der Mächtigkeit von gleich n. Das bedeutet aber .

Folgerung: Endlichdimensionale Vektorräume sind isomorph zum [Bearbeiten]

Die Koordinatenabbildung zur Basis ist eine Abbildung von einem endlich dimensionalen Vektorraum in den , also . Durch die Wahl einer Basis, zum Beispiel die Basis <math>B</math>, ( ist damit ein Isomorphismus), besitzt jeder Vektor die eindeutige Darstellung mit .

Setze nun . Dann ist ein Isomorphismus und man nennt die Koordinatenabbildung von zur Basis .

Damit gilt der folgende

Satz (Jeder endlich dimensionale Vektorraum ist isomorph zu )

Sei die Koordinatenabbildung vom endlich dimensionalen Vektorraum zur Basis . Dann gilt: , das heißt, jeder endlich dimensionale Vektorraum ist isomorph zu

Beispiele für Vektorraum-Isomorphismen[Bearbeiten]

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To-Do:

Beispiele finden und ausarbeiten

Aufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe (Existenz eines Isomorphismus)

Es seien endlich dimensionale Vektorräume über dem Körper . Zeige, dass es genau dann einen Isomorphismus gibt, wenn .

Setze hier die sogenannte Dimensionsformel als gegeben voraus. Dabei ist der Kern von definiert als . Diese Dimensionsformel werden wir im Kapitel Isomorphiesatz und Dimensionsformel herleiten.

Lösung (Existenz eines Isomorphismus)

Angenommen, es gibt einen Isomorphismus . Da surjektiv ist, gilt . Da auch injektiv ist, wird nur auf abgebildet, damit gilt .

Nach der Dimensionsformel gilt: .

Nehmen wir nun an . Dann gibt es eine Basis von und eine Basis von . Mit dem Prinzip der linearen Fortsetzung kannst Du verifizieren, dass es einen Isomorphismus mit gibt.

Insbesondere existiert damit ein Vektorraumisomorphismus .

Aufgabe (Die Koordinatenabbildung ist ein Isomorphismus)

Sei ein Vektorraum der endlichen Dimension n über dem Körper K. Die zugehörige Basis sei . kann damit dargestellt werden als . Zeige, die Koordinatenabbildung ist ein Isomorphismus.

Lösung (Die Koordinatenabbildung ist ein Isomorphismus)

  • Zeige ist eine lineare Abbildung, die injektiv und surjektiv ist.