Isomorphismus (Lineare Algebra) – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Isomorphe Strukturen und Isomorphismen[Bearbeiten]

Isomorphe Strukturen[Bearbeiten]

Betrachten wir den Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner gleich und . Vektoren in diesen Räumen haben eine eins zu eins Entsprechung, wie wir bereits im Artikel Einführung in den Vektorraum gesehen haben:

Außerdem haben wir festgestellt, dass Addition und skalare Multiplikation in diesen Vektorräumen ähnlich funktionieren:



Im Allgemeinen kann man sich Vektorräume als Mengen mit einer gewissen Struktur vorstellen. In unserem Beispiel können wir die zugrundeliegenden Mengen der Vektorräume 1 zu 1 zuordnen. Darüber hinaus weisen diese Vektorräume eine ähnliche Struktur (sprich Addition und Multiplikation) vor. Daher wäre es sinnvoll zu sagen, dass die Objekte als Vektorräume "gleich" sind. So eine Gleichheit hat einen eigenen Namen: Isomorphie.

Wir leiten uns nun her, was dieser Begriff formal für zwei Vektorräume und bedeutet:

Die 1 zu 1 Zuordnung ist nichts anderes als eine bijektive Abbildung . Was bedeutet, dass die Struktur gleich ist? Wir wollen, dass wir Addition und skalare Multiplikation beim Hin- und Zurückabbilden erhalten. Dass eine Abbildung die Struktur des Vektorraums erhält, heißt genau, dass die Abbildung linear ist. Also wollen wir, dass und linear sind.

Insgesamt erhalten wir folgende Definition:

Definition (Isomorphie)

Die Vektorräume und sind isomorph, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt, sodass und linear sind. Wir schreiben dann .

Kommen wir nun zu unserem Beispiel von oben zurück. Die gesuchte Abbildung aus der Definion würde in diesem Fall wie folgt aussehen:

Isomorphismus[Bearbeiten]

Wir wollen auch der oben eingeführten Abbildung einen Namen geben:

Definition (Isomorphismus)

Ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen und ist eine bijektive Abbildung , so dass und linear sind.

Alternative Herleitung [Bearbeiten]

Betrachten wir nun den Begriff „Vektorraum“ aus einem anderen Blickwinkel. Wir können uns einen Vektorraum auch als eine Basis zusammen mit zugehörigen Linearkombinationen der Basis vorstellen. Also können wir die Vektorräume „gleich“ nennen, wenn wir die Basen 1 zu 1 zuordnen können und die entsprechenden Linearkombinationen gleich gebildet werden. In anderen Worten suchen wir eine Abbildung, die sowohl Basen als auch Linearkombinationen erhält. Welche Eigenschaft muss die Abbildung haben, damit sie Linearkombinationen erhält? Die Antwort steckt schon fast im Namen: Die Funktion muss linear sein.

Widmen wir uns nun der Frage, welche Eigenschaft eine lineare Abbildung braucht, um Basen auf Basen abzubilden (d.h. Basen zu erhalten). Eine Basis ist nichts anderes als ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Somit muss die Abbildung Erzeugendensysteme und lineare Unabhängigkeit erhalten. Eine lineare Abbildung, die Erzeugendensysteme erhält, ist ein Epimorphismus – also eine surjektive lineare Abbildung. Eine lineare Abbildung, die lineare Unabhängigkeit erhält, heißt Monomorphismus und ist damit eine injektive lineare Abbildung. Also ist die gesuchte Funktion ein Epimorphismus und ein Monomorphismus. Als Monomorphismus muss sie injektiv sein. Als Epimorphismus muss die Abbildung andererseits surjektiv sein. Insgesamt erhalten wir also eine bijektive, lineare Abbildung. Die nennen wir wiederum Isomorphismus. Das gibt uns die alternative Definition:

Definition (Alternative Definition von Isomorphie und Isomorphismus)

Zwei Vektorräume und sind isomorph, wenn es eine bijektive, lineare Abbildung zwischen ihnen gibt.

Eine Abbildung heißt Isomorphismus, wenn sie eine bijektive, lineare Abbildung ist.

Umkehrabbildungen von linearen Bijektionen sind linear[Bearbeiten]

Wir haben zwei Beschreibungen für den Isomorphismus hergeleitet. Dadurch haben wir auch zwei verschiedene Definitionen. Die erste scheint mehr zu fordern als die zweite: Bei der ersten Definition muss ein Isomorphismus zusätzlich erfüllen, dass linear ist. Erhalten wir dadurch verschiedene mathematische Objekte? Laut unserer Herleitung und Intuition sollten beide Definitionen die gleichen Objekte definieren. Dies bestätigt der folgende Satz, aus welchem folgt, dass die zweite Definition die erste impliziert.

Satz (Die Umkehrabbildung einer bijektiven linearen Abbildung ist linear.)

Sei eine bijektive, lineare Abbildung, dann ist auch die Umkehrabbildung linear.

Wie kommt man auf den Beweis? (Die Umkehrabbildung einer bijektiven linearen Abbildung ist linear.)

Wir wollen zeigen, dass linear ist. Dafür muss sowohl als auch für alle Vektoren und Skalare gelten.

Wir haben gegeben, dass linear und bijektiv mit Umkehrabbildung ist. Wie können wir das nutzen, um die Linearität von zu zeigen? Da die Umkehrabbildung von ist, gilt:

Zusammen mit der Linearität von liefert das uns:

Genauso können wir für Homogenität vorgehen.

Beweis (Die Umkehrabbildung einer bijektiven linearen Abbildung ist linear.)

Für die Umkehrabbildung von gilt:

Also gilt für jeden Vektor und jeden Vektor

Beweisschritt: ist additiv.

Seien und zwei Vektoren. Dann gilt:

Damit ist die Umkehrfunktion additiv.

Beweisschritt: ist homogen.

Seien ein Vektor und ein Skalar. Dann folgt

Damit ist die Umkehrfunktion homogen.

Wir haben gezeigt, dass die Umkehrabbildung linear ist.

Isomorphe Strukturen klassifizieren[Bearbeiten]

Bijektion der Basen erzeugt einen Isomorphismus[Bearbeiten]

Wir haben uns im Abschnitt Alternative Herleitung überlegt, dass ein Isomorphismus eine lineare Abbildung ist, die Basen erhält. Das bedeutet, dass Basen auf Basen geschickt und Linearkombinationen erhalten werden. Etwas formaler Beschrieben, haben wir uns also folgendes überlegt:

Sei eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen. Ist ein Isomorphismus, so bildet Basen von auf Basen von ab.

Wir stellen uns andersherum die Frage: Wenn eine lineare Abbildung eine Basis auf eine Basis schickt, ist sie dann bereits ein Isomorphismus? Wie wir im folgenden Satz sehen, reicht dies tatsächlich aus:

Satz

Es seien ein Körper, zwei -Vektorräume, eine Basis von und eine lineare Abbildung.

Dann gilt: ist genau dann ein Isomorphismus, wenn von auf eine Basis von abgebildet wird.

Beweis

Beweisschritt:

Sei ein Isomorphismus. Dann ist per Definition sowohl ein Monomorphismus, als auch ein Epimorphismus.

Wir wollen zeigen, dass Basen erhält. Das heißt, dass das Bild von unter ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von ist.

Beweisschritt: ist linear unabhängig

Wir wissen aus dem Artikel zu Monomorphismen, dass diese lineare Unabhängigkeit erhalten. Die Menge ist eine Basis und somit linear unabhängig. Ihr Bild unter ist also linear unabhängig.

Beweisschritt: ist Erzeugendensystem von

Wir wissen aus dem Artikel zu Epimorphismen, dass diese Erzeugendensysteme erhalten. Die Menge ist eine Basis und somit ein Erzeugendensystem. Ihr Bild unter ist also ein Erzeugendensystem von .

Beweisschritt:

bilde auf eine Basis von ab.

Beweisschritt: Injektivität

Da die linear unabhängige Menge auf die linear unabhängige Menge abbildet, erhält lineare Unabhängigkeit. Aus dem Aritkel zu Monomorphismen wissen wir, dass dann injektiv sein muss.

Beweisschritt: Surjektivität

bildet die Basis , also insbesondere ein Erzeugendensystem, auf die Basis , also insbesondere ein Erzeugendensystem, ab. Aus dem Aritkel zu Epimorphismen wissen wir, dass dann surjektiv sein muss.

ist nach Angabe linear. Zusammen mit Injektivität und Surjektivität folgt, dass ein Isomorphismus ist.

Satz

Seien und zwei -Vektorräume mit Basen und . Sei außerdem eine bijektive Abbildung. Dann gibt es genau einen Isomorphismus mit .

Beweis

Aus dem Artikel Prinzip der linearen Fortsetzung wissen wir, dass wir eine eindeutige lineare Abbildung mit für alle finden. Damit gilt, wie in der Voraussetzung gefordert, .

Wir müssen noch zeigen, dass die Abbildung ein Isomorphismus ist. Nach dem vorigen Satz müssen wir dafür zeigen, dass eine Basis von auf eine Basis von abbildet. Nun haben wir genau so konstruiert, dass ist. Das heißt, dass die Basis auf die Basis abbildet, da bijektiv ist. Also ist ein Isomorphismus.

In diesem Fall, wo wir eine Bijektion zwischen Basen gegeben haben, gibt es eine schöne Beschreibung der Umkerhabbildung von : Wir wissen, dass durch die Bedingungen und charakterisiert ist. Weiter sagt uns das Prinzip der linearen Fortsetzung, dass wir nur auf einer Basis von kennen müssen, um es vollständig zu beschreiben. Nun haben wir schon die Basis von W gewählt. Das heißt, uns interessiert für . Weil bijektiv ist, gibt es genau ein mit . Daher erhalten wir aus den obigen Bedingungen. Wie können wir nun dieses Element genauer beschreiben? ist das eindeutige Urbild von unter . Also ist . Mit anderen Worten ist die von induzierte lineare Abbildung von nach .

Klassifikation endlich dimensionaler Vektorräume[Bearbeiten]

Stellen wir uns nun die Frage, wann man im endlich dimensionalen Fall von isomorphen Vektorräumen sprechen kann. Wir betrachten also den Fall, dass und endlich dimensionale Vektorräume sind, d.h. wir haben Basen von und von . Aus dem vorherigen Satz wissen wir, dass ein Isomorphismus durch die Bijektion der Basen eindeutig charakterisiert ist. Wann finden wir eine Bijektion zwischen diesen beiden Mengen? Genau dann, wenn sie die gleiche Mächtigkeit haben. Also genau dann, wenn und die gleiche Dimension haben:

Satz (Endlich dimensionale Vektorräume mit gleicher Dimension sind isomorph und umgekehrt)

Seien endlichdimensionale Vektorräume. Dann gilt:

Beweis (Endlich dimensionale Vektorräume mit gleicher Dimension sind isomorph und umgekehrt)

Beweisschritt:

Sei .

Zwei Vektorräume heißen isomorph, wenn ein Isomorphismus zwischen ihnen existiert. Wir wissen, dass ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen existiert, wenn wir eine bijektive Abbildung zwischen den Basen dieser finden. Da , finden wir eine bijektive Abbildung zwischen den Basen. Es existiert also ein Isomorphismus zwischen und .

Folglich sind und isomorph.

Beweisschritt:

Sei .

Sei ein Isomorphismus zwischen und . Wir wissen, dass ein Isomorphismus Basen auf Basen abbildet. Das heißt, dass eine Basis von ist. Da die Abbildung ein Isomorphismus ist, ist sie insbesondere bijektiv. Somit ist .

Dies impliziert .

Wir haben gezeigt, dass -Vektorräume gleicher Dimension isomorph sind. Insbesondere sind alle solchen Vektorräume isomorph zum Vektorraum . Weil der ein gut beschreibbares Modell für einen Vektorraum ist, wollen wir den im letzten Satz konstruierten Isomorphismus genauer untersuchen.

Sei ein -Dimensionaler -Vektorraum. Wir verfolgen jetzt den Beweis des letzten Satzes, um die Konstruktion des Isomorphismus zu verstehen. Wir benutzen, dass Basen von und von gleichmächtig sind. Für den Isomorphismus konstruieren wir eine Bijektion zwischen einer Basis von und einer Basis von . Der hat als kanonische Basis die Standardbasis; diese bezeichnen wir wie immer mit .

Wenn wir den Beweis des letzten Satzes nachvollziehen, sehen wir, dass wir eine Basis von und eine Basis von wählen müssen. Für den wählen wir die Standardbasis und für irgendeine Basis von . Als nächstest benötigen wir eine Bijektion zwischen der Standardbasis und der Basis . Das heißt, wir müssen jedem genau ein zuordnen. Wir können damit die Bilder der benennen als . Weil bijektiv ist, erhalten wir . Im Wesentlichen haben wir die Elemente von B damit durchnummeriert. Tatsächlich ist ein Durchnummerieren der Elemente von das gleiche wie das Angeben einer Bijektion von nach , da wir einfach auf das -te Element von abbilden können.

Das Prinzip der linearen Fortsetzung liefert uns nun einen Isomorphismus . Wenn wir dieses Prinzip nachverfolgen, sendet sie den Vektor auf das Element . Wir wollen den Isomorphismus besser verstehen. Dafür wollen wir uns zusätzlich die Umkehrabbildung von ansehen.

Wir haben uns oben schon überlegt, wie die Abbildung in diesem Fall aussieht. Die Umkehrabbildung ist die von induzierte Abbildung. Das heißt, sie bildet ein Basiselement auf ab. Was heißt das nun konkret für einen Vektor ? Wir schreiben als Linearkombination unserer Basis . Die Abbildung schickt nun auf . Die beschreiben, wo sich in Bezug auf die Basisvektoren befindet. Das ist genau wie bei der GPS-Koordinate, die einem seine Position zu gewissen Ankerpunkten (dort Nullmeridian und Äquator) angibt. Daher können wir sagen, dass jeden Vektor auf seine Koordinaten bezüglich der Basis schickt.

Definition (Koordinatenabbildung)

Sei ein -dimensionaler -Vektorraum und eine Basis von . Wir definieren den Isomorphismus als die Fortsetzung folgender Bijektion zwischen der Basis und der Standardbasis des :

Wir nennen die Koordinatenabbildung bezüglich .

Wir wollen nun untersuchen, von wie vielen Wahlen die Konstruktion der Koordinatenabbildung abhänkt.

Beispiel (Koordinatenabbildung zwischen dem Vektorraum der reellen quadratischen Polynome und )

Wir betrachten die beiden -Vektorräume und den der reellen Polynome von Grad . Die Koordinatenabbildung sieht dann folgendermaßen aus:

, .

Die Koordinatenabbildung ist abhängig von der Wahl der Basis. Hat man verschiedene Basen, so erhält man verschiedene Zuordnungen.

Beispiel (verschiedene Basen erzeugen verschiedene Koordinatenabbildungen)

Wir betrachten folgende zwei Basen des : und .

Für gilt

Also sieht die Koordinatenabbildung bezüglich wie folgt aus

Für die Basis gilt

Somit ist die Koordinatenabbildung bezüglich

Diese zwei Abbildungen sind nicht gleich. Zum Beispiel ist

Auch wenn wir nur die Nummerierung der Elemente einer Basis ändern, erhalten wir schon verschiedene Koordinatenabbildungen.

Beispiel (unterschiedliche Nummerierung der Basis ergeben unterschiedliche Koordinatenabbildungen)

Wir betrachten die Standardbasis im . Wir wollen herausfinden, wie die Koordinatenabbildungen und aussehen. Für wissen wir das schon:

Für gilt

Die Konstruktion der Koordinatenabbildung liefert uns damit die folgende Beschreibung

Diese beiden Abbildungen sind wieder verschieden. Zum Beispiel gilt

Damit wir von der Koordinatenabbildung sprechen können, müssen wir auch die Reihenfolge der Basiselemente festlegen. Eine Basis, bei der man auch die Reihenfolge der Basiselemente festlegt, nennen wir geordnete Basis.

Definition (Geordnete Basis)

Seien ein Körper und ein endlich-dimensionaler -Vektorraum. Sei . Dann nennen wir eine geordnete Basis von , falls eine Basis von ist.

Mit diesem Begriff können wir die Notation der Koordinatenabbildung vereinfachen. Ist eine geordnete Basis, so bezeichnen wir die Koordinatenabbildung auch als .

Wir haben jetzt über eine Klasse von Isomorphismen von nach gesprochen. Gibt es noch andere Isomorphismen von nach ? Das heißt, gibt es Isomorphismen, die keine Koordinatenabbildungen sind? Tatsächlich ist jeder Isomorphismus von nach eine Koordinatenabbildung bezüglich einer passenden Basis.

Satz (Alle Isomorphismen sind Koordinatenabbildungen)

Sei ein Isomorphismus. Dann gibt es genau eine geordnete Basis von , sodass .

Wie kommt man auf den Beweis? (Alle Isomorphismen sind Koordinatenabbildungen)

Wir haben die Koordinatenabbildung als Umkehrabbildung konstruiert: Wir haben die Standardbasis des bijektiv auf eine Basis von abgebildet. Um diese Basis zu rekonstruieren, müssen wir die Urbilder der Standardbasis unter betrachten. Das heißt, wir müssen . Nun benötigen wir eine Ordnung auf . Diese bekommen wir durch indem wir setzen. Wir haben gesehen, dass eine Basis ist, weil ein Isomorphismus ist. Weiter haben wir gerade das Prinzip der linearen Fortsetzung rückwärts angewendet. Damit wissen wir, dass von der Bijektion induziert ist. Weiter oben haben wir damit gesehen, dass dann von der Bijektion induziert ist. Dies gibt aber genau die Koordinatenabbildung bezüglich .

Beweis (Alle Isomorphismen sind Koordinatenabbildungen)

Wir definieren für . Dann ist das Bild der Standardbasis unter der Abbildung . Da ein Isomorphismus ist, bildet es Basen auf Basen ab. Damit ist eine Basis von .

Definiere die geordnete Basis . Wir zeigen nun . Dafür reicht es, die Gleichheit auf der Basis zu beweisen, da und linear sind. Für ein gilt

Also gilt .

Beispiele für Vektorraumisomorphismen[Bearbeiten]

Beispiel (Reelle Polynome -ten Grades und der )

Wir zeigen am Beispiel eine Isomorphie des Raums der Polynome höchstens zweiten Grads zum .

Wir definieren die Abbildung durch .

Behauptung: ist ein Isomorphismus.

Dazu müssen wir drei Dinge nachweisen:

  1. ist eine lineare Abbildung
  2. ist injektiv
  3. ist surjektiv

Beweisschritt: Linearität von

Da für jedes Polynom definiert ist und Werte in hat, ist als Abbildung wohldefiniert.

Wir müssen also noch beweisen, dass für und stets und ist.

Das ist völlig analog zu dieser Rechnung.

Beweisschritt: Injektivität von

Sei und .

Das bedeutet, dass das Polynom höchstes zweiten Grades drei Nullstellen hat: es ist ja . Daraus folgt (z. B. mit Polynomdivision), dass wir schreiben können als , wobei auch wieder ein Polynom ist (oder eine Konstante, d.h. ein Polynom nullten Grades). Weil aber der Grad von höchstens zwei ist, muss konstant und gleich sein, und damit ist dann das Nullpolynom, also der Nullvektor des Vektorraums .

Da also der Kern von nur aus dem Nullvektor besteht, ist injektiv.

Beweisschritt: Surjektivität von

Beim Beweis dieser Behauptung verwenden wir die Polynominterpolation in der Lagrange-Form.

Dazu definieren wir drei Polynome durch

hat Nullstellen bei und , und der Nenner ist der Zähler an der Stelle . Daher , da dann in Zähler und Nenner dieselbe Zahl steht.

Ganz analog ist und und und .

Wenn wir jetzt einen beliebigen Vektor haben, dann definieren wir das Polynom durch

Dann ist und genauso und .

Damit haben wir gezeigt, dass surjektiv ist.

Wir sehen auch, dass wir dieses Verfahren für beliebige Polynomgrade und beliebige Punkte anwenden können, solange nur die Anzahl der Punkte um eins größer ist als der Höchstgrad der Polynome. Wir können auch überall durch oder ersetzen, ohne dass wir am Beweis etwas ändern müssten.

Beispiel (Konvergente Folgen modulo Nullfolgen)

Sei . Wir kennen bereits die Vektorräume der konvergenten Folgen und der Nullfolgen. Wir wissen auch, dass ein Untervektoraum ist. Daher können wir den Faktorraum bilden.

Im Folgenden wollen wir zeigen, dass gilt.

Wir definieren eine Abbildung

Das Bild von unter dieser Abbildung ist also die Nebenklasse der Folge, die konstant den Wert annimmt. Diese ist konvergent mit Grenzwert . Wir müssen zeigen, dass linear und bijektiv ist.

Beweisschritt: Linearität von

Wir müssen die Additivität und Homogenität von zeigen.

Beweisschritt: Additivität von

Seien . Dann gilt

Beweisschritt: Homogenität von

Seien . Wir betrachten als Vektor des -Vektorraumes und als Skalar. Es gilt

Beweisschritt: Injektivität von

Wir müssen zeigen, dass gilt. Sei also . Das bedeutet, . Dies heißt, dass liegt.

Also ist . Das zeigt die Behauptung.

Beweisschritt: Surjektivität von

Sei und sei . Setze . Dann ist .

Daher gilt . Folglich . Dies zeigt die Surjektivität.

Beispiel (Der Isomorphiesatz)

Eines der wichtigsten Beispiele ist die Isomorphie zwischen dem Bildraum einer linearen Abbildung und dem Quotientenraum .

All das ist hier beschrieben.

Aufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe (komplexe -Vektorräume)

Sei ein endlich-dimensionaler -Vektorraum. Zeige als -Vektorräume.

Lösung (komplexe -Vektorräume)

Setze . Wir wählen eine -Basis von . Definiere für alle .

Wir müssen zeigen: bilden eine Basis von . Dann gilt . nach obigem Satz folgt also als -Vektorräume.

Wir zeigen zunächst die -lineare Unabhängigkeit.

Beweisschritt: ist -linear unabhängig

Seien und gelte . Wir setzen für die Definition ein, fassen die Summen zusammen und erhalten . Wegen -linearer Unabhängigkeit der gilt für alle . Folglich ist für alle . Dies zeigt die -lineare Unabhängigkeit.

Nun fehlt nur noch ein Schritt:

Beweisschritt: ist ein -Erzeugendensystem

Sei beliebig.

Da eine -Basis von ist, finden wir , sodass gilt. Wir schreiben mit für alle . Dann gilt

Also liegt im -Span von . Dies zeigt die Behauptung.

Aufgabe (Isomorphe Koordinatenräume)

Sei ein Körper, . Zeige: genau dann, wenn gilt.

Lösung (Isomorphe Koordinatenräume)

Wir wissen, dass für alle gilt. Dann benutzen wir den Satz von oben, dass genau dann, wenn gilt.

Aufgabe (Isomorphiekriterien für Endomorphismen)

Sei ein Körper, ein endlich-dimensionaler -Vektorraum und eine -lineare Abbildung. Weise nach, dass die folgenden drei Aussagen äquivalent sind:

(i) ist ein Isomorphismus.

(ii) ist injektiv.

(iii) ist surjektiv.

(Achtung: Für diese Aufgabe kann es hilfreich sein, die Begriffe Kern und Bild einer linearen Abbildung zu kennen. Unter Verwendung des Dimesionssatzes wird diese Aufgabe wesentlich einfacher. Wir geben hier als Lösungsvorschlag eine Version die ohne den Dimensionssatz auskommt.)

Lösung (Isomorphiekriterien für Endomorphismen)

(i)(ii) und (iii): Nach der Definition eines Isomorphismus ist bijektiv, also injektiv und surjektiv. Daher gelten (ii) und (iii).

(ii)(i): Sei nun eine injektive Abbildung. Wir müssen noch zeigen, dass auch surjektiv ist. Das Bild von ist ein Untervektorraum von . Dies kann man durch Nachrechnen überprüfen. Wir definieren nun eine Abbildung, die das gleiche macht wie , mit dem Unterschied, dass sie per Definition surjektiv sein wird. Wir schaffen dies durch die Konstruktion:

Die Surjektivität kommt daher, weil jedes Element sich als schreiben lässt, für ein . Außerdem ist die Abbildung injektiv und linear. Dies kommt daher, dass bereits diese beiden Eigenschaften aufweist. Also sind und isomorph. Daher haben und diegleiche endliche Dimension. Da ein Untervektorraum von ist, gilt . Dies kann man dadurch einsehen, dass man eine Basis in wählt. Wähle also zum Beispiel eine solche Basis mit Vektoren . Die sind insbesondere linear unabhängig. Das ist ein Fakt der auch in gilt, da ja . Und da die und diegleiche Dimension haben, sind die auch in ein maximales System linear unabhängiger Vektoren. Also bilden auch in eine Basis. Die beiden Vektorräume und müssen nun gleich sein, denn alle Elemente aus ihnen sind -Linearkombinationen gebildet mit den . Damit haben wir gezeigt, dass surjektiv ist.

(iii)(i): Nehmen wir nun an ist surjektiv. Wir müssen nun zeigen, dass auch injektiv ist. Sei der Kern der Abbildung . Es handelt sich dabei um einen Untervektorraum von , wovon man sich durch Nachrechnen überzeugt. Sei eine Basis von . Diese Basis kann man zu einer Basis von ergänzen. Dazu nehmen wir die Vektoren hinzu. Wir werden nun zeigen, dass linear unabhängig sind. Seien also Koeffizienten gegeben, sodass

gilt. Wegen der Linearität von folgern wir: . Das bedeutet, dass die Linearkombination

im Kern von liegt. Wir kennen aber bereits eine Basis von . Daher gibt es Koeffizienten , sodass

gilt. Wegen der linearen Unabhängigkeit von folgt nun, dass gilt. Daher sind die linear unabhängig. Als nächstes werden wir zeigen, dass diese Vektoren auch eine Basis von bilden. Dazu zeigen wir, dass jeder Vektor in als Linearkombination der geschrieben werden kann. Sei . Wegen der Surjektivität von gibt es ein , mit . Da die eine Basis von bilden, gibt es Koeffizienten , sodass

gilt. Wenden wir nun auf diese Gleichung an, so erhalten wir:

Hier haben wir gleich die Linearität von benutzt. Da die ersten Elemente unserer Basis im Kern liegen, verschwinden deren Bilder. Also erhalten wir eine gewünschte Darstellung von :

Somit haben wir gezeigt, dass ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von bildet. Also formen diese Vektoren eine Basis von . Wäre nun nicht , so wären zwei endliche Basen in nicht gleich mächtig. Dies kann nicht sein. Daher ist . Dies bedeutet, dass der triviale Vektorraum ist. Daraus folgt, dass injektiv ist.

Aufgabe (Abbildungsräume)

Sei eine endliche Menge der Mächtigkeit . Sei ein Körper. Wir haben gesehen, dass die Menge der Abbildungen von nach einen -Vektorraum bildet. Diesen haben wir mit bezeichnet. Zeige: .

Was passiert, wenn unendlich ist?

Lösung (Abbildungsräume)

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