Epimorphismus (Lineare Algebra) – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Lineare Abbildungen erhalten Linearkombinationen. Wir lernen nun spezielle lineare Abbildungen kennen, die Erzeugendensysteme erhalten. Diese nennt man Epimorphismen.

Motivation und Herleitung[Bearbeiten]

Im Artikel über Monomorphismen haben wir lineare Abbildungen betrachtet, welche linear unabhängige Vektoren auf linear unabhängige Vektoren abbilden. Dort haben wir herausgefunden, dass diese Abbildungen genau injektive lineare Abbildungen sind. Injektiven lineare Abbildungen "erhalten" also die lineare Unabhängigkeit.

Mit Hilfe der linearen Unabhängigkeit konnten wir den intuitiven Dimensionsbegriff durch Begriffe der linearen Algebra ausdrücken. Dafür brauchen wir auch den Begriff des Erzeugendensystems. Also fragen wir uns: Welche linearen Abbildungen bildet ein Erzeugendensystem des Urbildraums auf ein Erzeugendensystem des Bildraums ab?

Seien also zwei -Vektorräume über demselben Körper und ein Erzeugendensystem. Welche Eigenschaften muss eine lineare Abbildung nun haben, damit ein Erzeugendensystem vom Vektorraum ist? Dafür müsste ein beliebiges als eine Linearkombination der dargestellt werden können. Das bedeutet, wir müssen finden, sodass

Da die Abbildung linear ist, ist das äquivalent zu

Also muss im Bild von liegen. Das soll für jedes gelten. Somit ist eine notwendige Bedingung, damit Erzeugendensysteme erhält.

Ist das auch ein hinreichende Bedingung? Gelte . Wir überlegen, ob jedes als Linearkombination der darstellbar ist. Wegen gibt es für einen Vektor mit . Da ein Erzeugendensystem von ist, gibt es mit

Damit folgt für :

Also liegt im Erzeugnis der .

Die lineare Abbildung erhält somit genau dann Erzeugendensysteme, wenn . Außerdem erfüllt genau dann die Bedingung , wenn surjektiv ist. Eine lineare Abbildung muss also surjektiv sein, um die Erzeugendeneigenschaft zu erhalten. Surjektive lineare Abbildungen nennen wir Epimorphismen.

Definition[Bearbeiten]

Definition (Epimorphismus)

Ein Epimorphismus ist eine surjektive lineare Abbildung zwischen zwei -Vektorräumen und . Das heißt: zu jedem gibt es ein derart, dass ist.

Äquivalente Charakterisierungen von Epimorphismen[Bearbeiten]

Wir haben uns schon in der Motivation überlegt, dass surjektive lineare Abbildungen genau die Abbildungen sind, die Erzeugendensysteme erhalten. Das zeigen wir nun formal:

Satz

Sei eine lineare Abbildung und sei ein Erzeugendensystem von .

Die lineare Abbildung ist genau dann ein Epimorphismus, wenn ein Erzeugendensystem von ist.

Beweis

Beweisschritt: ist ein Epimorphismus“ ist ein Erzeugendensystem“

Sei beliebig. Dann gibt es nach Voraussetzung ein Element mit . Da den Vektorraum erzeugt, gibt es mit . Es gilt dann:

Also lässt sich als Linearkombination von darstellen. Da beliebig war, ist ein Erzeugendensystem von .

Beweisschritt: ist ein Erzeugendensystem“ ist ein Epimorphismus“

Sei beliebig. Wir müssen zeigen, dass es ein mit gibt. Da von erzeugt wird, gibt es Skalare mit . Wir setzen nun . Dann gilt:

Das beweist, dass surjektiv, also ein Epimorphismus ist.

Wir werden jetzt noch eine zweite (kategorientheoretische) Charakterisierung von Epimorphismen kennen lernen, die "Rechtskürzbarkeit":

Satz (Epimorphismen sind rechtskürzbar)

Sei ein Homomorphismus. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. ist ein Epimorphismus.
  2. Für alle Vektorräume und alle mit gilt . Diese Eigenschaft nennt man rechtskürzbar.

Beweis (Epimorphismen sind rechtskürzbar)

Beweisschritt: 1.2., durch direkten Beweis

Sei ein Epimorphismus, d.h. ist surjektiv. Sei ein Vektorraum, und , sodass . Wir wollen zeigen, dass gilt. Da und Abbildungen mit gleichem Definitionsbereich und gleichem Zielbereich sind, müssen wir zeigen, dass für alle gilt.

Sei also . Da surjektiv ist, existiert ein mit . Dann ist . Da wir beliebig gewählt haben, folgt .

Beweisschritt: 2.1., durch Widerspruch

Sei ein Homomorphismus. Angenommen, ist kein Epimorphismus, d.h. nicht surjektiv. Dann gibt es ein mit . Insbesondere ist , da . Wir erweitern zu einer Basis von .

Wir definieren nun zwei Homomorphismen . Zunächst setzen wir . Weiterhin definieren wir mittels dem Prinzip der linearen Fortsetzung auf der Basis : für alle .

Als nächstes zeigen wir . Sei dazu . Dann liegt , da ja . Da , ist .

Aber , da .

Dies ist ein Widerspruch zur Annahme, und es folgt, dass ein Epimorphismus ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Beispiel

Wir betrachten die Vektorräume und mit , sowie die lineare Abbildung

Bei dieser Abbildung schneiden wir einfach die letzten Komponenten ab. Damit ist klar, warum wir fordern müssen (falls ist, ist die Abbildung einfach die Identität). Diese Abbildung ist ein Epimorphismus: Sei . Dann gilt .

Beispiel

Für einen Körper und zwei -Vektorräume ist die Abbildung

ein Epimorphismus. Hier bezeichnet die äußere direkte Summe.

Wir zeigen dafür zunächst, dass die Abbildung linear ist. Seien dafür , sowie beliebig. Dann ist und . Das zeigt die Linearität.

Sei jetzt beliebig. Dann ist für jedes . Das heißt, dass ein Urbild von unter ist. Also ist ein Epimorphismus. Ist nicht der Nullraum, so gibt es sogar mehrere (vielleicht sogar unendlich viele) Urbilder.

Aufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe

Wir betrachten den . Wir schreiben für die Standardbasis. Sei die nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung eindeutig bestimmte lineare Abbildung , die

erfüllt. Zeige, dass ein Epimorphismus ist.

Lösung

Nach Konstruktion ist eine lineare Abbildung. Wir wollen zeigen, dass ein Erzeugendensystem des ist. Dann folgt mit dem oberen Satz, dass ein Epimorphismus ist. Wir müssen also jedes als eine Linearkombination der Vektoren darstellen. Entsprechend suchen wir , so dass

Daraus erhalten wir das lineare Gleichungssystem

welches durch und gelöst wird. Wir haben also für alle . Also ist ein Erzeugendensystem. Damit ist bewiesen, dass ein Epimorphismus ist.

Aufgabe

Betrachte den Funktionenraum aller Funktionen von nach , sowie die Abbildung

Zeige, dass ein Epimorphismus ist.

Lösung

Die Verknüpfungen auf dem Funktionenraum sind jeweils elementweise definiert. Das bedeutet: für , und gilt, dass und . Insbesondere trifft das für zu, woraus

und

folgt. Damit haben wir die Linearität gezeigt.

Um die Surjektivität nachzuweisen, sei beliebig. Wir müssen zeigen, dass es ein mit gibt. Eine solche Abbildung existiert, da z.B. die konstante Funktion

die geforderten Eigenschaften hat. Jedes besitzt damit ein Urbild, also ist ein Epimorphismus.