Epimorphismus (Lineare Algebra) – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Lineare Abbildungen erhalten Linearkombinationen. Wir lernen nun spezielle lineare Abbildungen kennen, die Erzeugendensysteme erhalten. Diese nennt man Epimorphismen.

Motivation und Herleitung

Im Artikel über Monomorphismen haben wir lineare Abbildungen betrachtet, welche linear unabhängige Vektoren auf linear unabhängige Vektoren abbilden. Dort haben wir herausgefunden, dass diese Abbildungen genau injektive lineare Abbildungen sind. Injektiven lineare Abbildungen "erhalten" also die lineare Unabhängigkeit.

Mit Hilfe der linearen Unabhängigkeit konnten wir den intuitiven Dimensionsbegriff durch Begriffe der linearen Algebra ausdrücken. Dafür brauchen wir auch den Begriff des Erzeugendensystems. Also fragen wir uns: Welche linearen Abbildungen bildet ein Erzeugendensystem des Urbildraums auf ein Erzeugendensystem des Bildraums ab?

Seien also $V,W$ zwei $K$-Vektorräume über demselben Körper $K$ und $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}\subseteq V$ ein Erzeugendensystem. Welche Eigenschaften muss eine lineare Abbildung $f:V\to W$ nun haben, damit $\{f(v_{1}),\ldots ,f(v_{n})\}$ ein Erzeugendensystem vom Vektorraum $W$ ist? Dafür müsste ein beliebiges $w\in W$ als eine Linearkombination der $f(v_{i})$ dargestellt werden können. Das bedeutet, wir müssen $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$ finden, sodass

$w=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}f(v_{i}).$

Da die Abbildung $f$ linear ist, ist das äquivalent zu

$w=f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}\right).$

Also muss $w$ im Bild von $f$ liegen. Das soll für jedes $w\in W$ gelten. Somit ist $f(V)=W$ eine notwendige Bedingung, damit $f$ Erzeugendensysteme erhält.

Ist das auch ein hinreichende Bedingung? Gelte $f(V)=W$. Wir überlegen, ob jedes $w\in W$ als Linearkombination der $f(v_{i})$ darstellbar ist. Wegen $f(V)=W$ gibt es für $w\in W$ einen Vektor $v\in V$ mit $f(v)=w$. Da $v_{1},\ldots ,v_{n}$ ein Erzeugendensystem von $V$ ist, gibt es $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ mit

$v=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}.$

Damit folgt für $w$:

$w=f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}f(v_{i})$

Also liegt $w$ im Erzeugnis der $f(v_{i})$.

Die lineare Abbildung $f$ erhält somit genau dann Erzeugendensysteme, wenn $f(V)=W$. Außerdem erfüllt $f$ genau dann die Bedingung $f(V)=W$, wenn $f$ surjektiv ist. Eine lineare Abbildung muss also surjektiv sein, um die Erzeugendeneigenschaft zu erhalten. Surjektive lineare Abbildungen nennen wir Epimorphismen.

Definition

Definition (Epimorphismus)

Ein Epimorphismus ist eine surjektive lineare Abbildung $f\colon V\to W$ zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$. Das heißt: zu jedem $w\in W$ gibt es ein $v\in V$ derart, dass $w=f(v)$ ist.

Äquivalente Charakterisierungen von Epimorphismen

Wir haben uns schon in der Motivation überlegt, dass surjektive lineare Abbildungen genau die Abbildungen sind, die Erzeugendensysteme erhalten. Weil der Fall endlicher Erzeugendensysteme wichtiger als die allgemeine Aussage ist, zeigen wir nun dieses zuerst. Danach überlegen wir, was wir für den allgemeinen Fall ändern müssen:

Satz (Epimorphismen erhalten Erzeugendensysteme – endlichdimensionaler Fall)

Sei $f\colon V\to W$ eine lineare Abbildung und sei $\lbrace v_{1},\dots ,v_{n}\rbrace \subseteq V$ ein Erzeugendensystem von $V$.

Die lineare Abbildung $f$ ist genau dann ein Epimorphismus, wenn $\lbrace f(v_{1}),\dots ,f(v_{n})\rbrace$ ein Erzeugendensystem von $W$ ist.

Beweis (Epimorphismen erhalten Erzeugendensysteme – endlichdimensionaler Fall)

Beweisschritt: „$f$ ist ein Epimorphismus“ $\implies$ „$\lbrace f(v_{1}),\dots ,f(v_{n})\rbrace$ ist ein Erzeugendensystem“

Sei $w\in W$ beliebig. Dann gibt es nach Voraussetzung ein Element $v\in V$ mit $f(v)=w$. Da $\lbrace v_{1},\ldots ,v_{n}\rbrace$ den Vektorraum $V$ erzeugt, gibt es $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ mit $v=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}$. Es gilt dann:

${\begin{aligned}w=f(v)=f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}f\left(\lambda _{i}v_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}f(v_{i}).\end{aligned}}$

Also lässt sich $w\in W$ als Linearkombination von $f(v_{1}),\ldots ,f(v_{n})$ darstellen. Da $w$ beliebig war, ist $\lbrace f(v_{1}),\ldots ,f(v_{n})\rbrace$ ein Erzeugendensystem von $W$.

Beweisschritt: „$\lbrace f(v_{1}),\dots ,f(v_{n})\rbrace$ ist ein Erzeugendensystem“ $\implies$ „$f$ ist ein Epimorphismus“

Sei $w\in W$ beliebig. Wir müssen zeigen, dass es ein $v\in V$ mit $f(v)=w$ gibt. Da $W$ von $\{\,f(v_{1}),\ldots ,f(v_{n})\,\}$ erzeugt wird, gibt es Skalare $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$ mit $w=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}f(v_{i})$. Wir setzen nun $v:=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}$. Dann gilt:

${\begin{aligned}f(v)=f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}f\left(\lambda _{i}v_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}f(v_{i})=w.\end{aligned}}$

Das beweist, dass $f$ surjektiv, also ein Epimorphismus ist.

Jetzt schauen wir auf den allgemeinen Fall:

Satz (Epimorphismen erhalten Erzeugendensysteme)

Sei $f\colon V\to W$ eine lineare Abbildung und sei $M\subseteq V$ ein Erzeugendensystem von $V$.

Die lineare Abbildung $f$ ist genau dann ein Epimorphismus, wenn $f(M)$ ein Erzeugendensystem von $W$ ist.

Beweis (Epimorphismen erhalten Erzeugendensysteme)

Wir können den Beweis von oben fast wörtlich übernehmen: Da $M\subseteq V$ ein Erzeugendensystem von $V$ ist, bedeutet das, dass jeder Vektor $v\in V$ eine Darstellung $v=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}$ hat, wobei $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ Skalare und $v_{1},\ldots ,v_{n}$ aus $M$ sind.

Das einzige, was sich ändert ist, dass die Summen keine feste Anzahl von Summanden mehr haben. Im obigen Beweis konnten wir die Summen immer von $1$ bis $n$ laufen lassen. Hier hängt die Anzahl der Summanden von den Vektoren $v$ bzw. $w$ ab. Aber es ist immer noch eine endliche Anzahl von Summanden. Deshalb ist der Rest des Beweises genauso wie im endlichen Fall.

Wir werden jetzt noch eine zweite (kategorientheoretische) Charakterisierung von Epimorphismen kennen lernen, die "Rechtskürzbarkeit":

Satz (Epimorphismen sind rechtskürzbar)

Sei $f\colon V\to W$ ein Homomorphismus. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. $f$ ist ein Epimorphismus.
2. Für alle Vektorräume $U$ und alle $a,b\colon W\to U$ mit $a\circ f=b\circ f$ gilt $a=b$. Diese Eigenschaft nennt man rechtskürzbar.

Beweis (Epimorphismen sind rechtskürzbar)

Beweisschritt: 1.$\implies$2., durch direkten Beweis

Sei $f\colon V\to W$ ein Epimorphismus, d.h. $f$ ist surjektiv. Sei $U$ ein Vektorraum, und $a,b\colon W\to U$, sodass $a\circ f=b\circ f$. Wir wollen zeigen, dass $a=b$ gilt. Da $a$ und $b$ Abbildungen mit gleichem Definitionsbereich $W$ und gleichem Zielbereich $U$ sind, müssen wir zeigen, dass $a(w)=b(w)$ für alle $w\in W$ gilt.

Sei also $w\in W$. Da $f$ surjektiv ist, existiert ein $v\in V$ mit $f(v)=w$. Dann ist $a(w)=a(f(v))=(a\circ f)(v)=(b\circ f)(v)=b(f(v))=b(w)$. Da wir $w$ beliebig gewählt haben, folgt $a=b$.

Beweisschritt: 2.$\implies$1., durch Widerspruch

Sei $f\colon V\to W$ ein Homomorphismus. Angenommen, $f$ ist kein Epimorphismus, d.h. nicht surjektiv. Dann gibt es ein $w\in W$ mit $w\notin \operatorname {im} f$. Insbesondere ist $w\neq 0$, da $0=f(0)\in \operatorname {im} f$. Wir erweitern $\lbrace w\rbrace$ zu einer Basis $B$ von $W$.

Wir definieren nun zwei Homomorphismen $a,b\colon W\to W$. Zunächst setzen wir $a:=\operatorname {id} _{W}$. Weiterhin definieren wir $b$ mittels dem Prinzip der linearen Fortsetzung auf der Basis $B$: $b\colon v\mapsto 0,b\mapsto b$ für alle $b\in B\setminus \{v\}$.

Als nächstes zeigen wir $a\circ f=b\circ f$. Sei dazu $v\in V$. Dann liegt $f(v)\in \operatorname {span} (B\setminus \{v\})$, da ja $w\notin \operatorname {im} f$. Da $a|_{\operatorname {span} (B\setminus \{v\})}=\operatorname {Id} _{\operatorname {span} (B\setminus \{v\})}=b|_{\operatorname {span} (B\setminus \{v\})}$, ist $a(f(v))=b(f(v))$.

Aber $a\neq b$, da $a(w)=w\neq 0=b(w)$.

Dies ist ein Widerspruch zur Annahme, und es folgt, dass $f$ ein Epimorphismus ist.

Epimorphismen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen

Die Eigenschaft von Epimorphismen, Erzeugendensysteme zu erhalten führt uns zu folgender Überlegung:

Satz (Existenz von Epimorphismen)

Seien $V$ und $W$ zwei endlich dimensionale Vektorräume. Ein Epimorphismus von $V$ nach $W$ existiert genau dann, wenn $\dim(W)\leq \dim(V)$.

Wie kommt man auf den Beweis? (Existenz von Epimorphismen)

Wir wollen die Dimensionen von $V$ und $W$ gegeneinander abschätzen. Die Dimension ist über die Kardinalität einer Basis definiert. Das heißt, wenn $b_{1},\dots ,b_{n}$ eine Basis von $V$ und $c_{1},\dots ,c_{m}$ eine Basis von $W$ ist, müssen wir den Fall $n\geq m$ charakterisieren. Dafür müssen wir zwei Richtungen zeigen.

Wenn wir nun eine surjektive lineare Abbildung $f\colon V\to W$ haben, können wir uns fragen, welche Eigenschaften von Basen $f$ erhält. Im Artikel Epimorphismus, haben wir gesehen, dass eine surjektive lineare Abbildung Erzeugendensysteme erhält. Weil Basen insbesondere Erzeugendensysteme sind, ist somit $f(b_{1}),\dots ,f(b_{n})$ ein Erzeugendensystem von $W$. Nun wissen wir, dass Basen minimale Erzeugendensysteme sind. Es gibt also kein Erzeugendensystem von $W$, das weniger als $m$ Elemente hat. Somit muss $m\leq n$ gelten.

Wenn umgekehrt $n\geq m$ gilt, müssen wir eine surjektive lineare Abbildung $f\colon V\to W$ konstruieren. Nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung können wir die lineare Abbildung $f$ konstruieren, indem wir angeben, was $f$ auf einer Basis von $V$ macht. Dafür brauchen wir Elemente von $W$, auf die wir $b_{1},\dots ,b_{n}$ schicken können. Wir haben oben schon eine Basis von $W$ gewählt, daher bietet es sich an, $f$ wie folgt zu definieren:

$f(b_{i})={\begin{cases}c_{i}&i\leq m\\0&i>m\end{cases}}$

Dann wir das Bild von $f$ durch die Vektoren $f(b_{1})=c_{1},\dots ,f(b_{m})=c_{m},f(b_{m+1})=0,\dots ,f(b_{m})=0$ aufgespannt. Dies spannt jedoch ganz $W$ auf und somit ist $f$ surjektiv.

Beweis (Existenz von Epimorphismen)

Beweisschritt: Es gibt einen Epimorphismus $\implies \dim(V)\geq \dim(W)$

Sei $f:V\to W$ ein Epimorphismus und $\{v_{1},...,v_{n}\}$ eine Basis von $V$. Dann ist $\{v_{1},...,v_{n}\}$ insbesondere ein Erzeugendensystem von $V$ und daher $\{f(v_{1}),...,f(v_{n})\}$ ein Erzeugendensystem von $W$. Es folgt also, dass $\dim(W)\leq n=\dim(V)$ ist. Somit ist $\dim(W)\leq \dim(V)$ ein notwendiges Kriterium für die Existenz eines Epimorphismus von $V$ nach $W$.

Beweisschritt: $\dim(V)\geq \dim(W)\implies$ es gibt einen Epimorphismus

Umgekehrt können wir im Fall $\dim(W)\leq \dim(V)$ einen Epimorphismus konstruieren: Sei $\{v_{1},\dots ,v_{n}\}$ eine Basis von $V$ und $\{w_{1},\dots ,w_{m}\}$ eine Basis von $W$, wobei $n\geq m$. Wir definieren eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$, indem wir

$f(v_{i})={\begin{cases}w_{i},\;{\text{ falls }}1\leq i\leq m\\0\;{\text{ sonst}}\end{cases}}$

definieren. Nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung existiert eine solche lineare Abbildung und ist durch diese Vorschrift schon eindeutig bestimmt. Sie ist außerdem surjektiv, da jedes Element einer Basis von $W$ im Bild von $f$ ist und deshalb ein Erzeugendensystem von $V$ auf ein Erzeugendensystem von $W$ abgebildet wird:

${\begin{aligned}f(V)&=f(\operatorname {span} \{v_{1},\ldots ,v_{n}\})\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ f{\text{ ist linear}}\right.}\\[0.3em]&=\operatorname {span} \{f(v_{1}),\ldots ,f(v_{n})\}\\[0.3em]&=\operatorname {span} \{w_{1},\ldots ,w_{m},\underbrace {0,\ldots ,0} _{n-m{\text{ Nullen}}}\}=W\end{aligned}}$

Beispiele

Beispiel

Wir betrachten die Vektorräume $\mathbb {R} ^{n}$ und $\mathbb {R} ^{m}$ mit $n\geq m$, sowie die lineare Abbildung

${\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} ^{n}&\to \mathbb {R} ^{m},\\({\color {blue}x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}},x_{m+1},\ldots ,x_{n})&\mapsto ({\color {blue}x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}}).\end{aligned}}$

Bei dieser Abbildung schneiden wir einfach die letzten $n-m$ Komponenten ab. Damit ist klar, warum wir $n\geq m$ fordern müssen (falls $n=m$ ist, ist die Abbildung einfach die Identität). Diese Abbildung ist ein Epimorphismus: Sei $({\color {blue}x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}})\in \mathbb {R} ^{m}$. Dann gilt $f({\color {blue}x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}},\underbrace {0,\dots ,0} _{n-m{\text{ Nullen}}})=({\color {blue}x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}})$.

Beispiel

Für einen Körper $K$ und zwei $K$-Vektorräume $V,W$ ist die Abbildung

${\begin{aligned}f:V\oplus W&\to V,\\(v,w)&\mapsto v\end{aligned}}$

ein Epimorphismus. Hier bezeichnet $V\oplus W$ die äußere direkte Summe.

Wir zeigen dafür zunächst, dass die Abbildung $f$ linear ist. Seien dafür $(v,w),(v',w')\in V\oplus W$, sowie $\lambda \in K$ beliebig. Dann ist $f((v,w)+(v',w'))=f((v+v',w+w'))=v+v'=f((v,w))+f((v',w'))$ und $f(\lambda \cdot (v,w))=f((\lambda v,\lambda w))=\lambda v=\lambda f((v,w))$. Das zeigt die Linearität.

Sei jetzt $v\in V$ beliebig. Dann ist $f((v,w))=v$ für jedes $w\in W$. Das heißt, dass $(v,w)$ ein Urbild von $v$ unter $f$ ist. Also ist $f$ ein Epimorphismus. Ist $W$ nicht der Nullraum, so gibt es sogar mehrere (vielleicht sogar unendlich viele) Urbilder.

Aufgaben

Aufgabe

Wir betrachten den $\mathbb {R} ^{3}$. Wir schreiben $e_{1}:=(1,0,0),e_{2}:=(0,1,0),e_{3}:=(0,0,1)$ für die Standardbasis. Sei $f$ die nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung eindeutig bestimmte lineare Abbildung $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$, die

${\begin{aligned}f(e_{1})={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},\,f(e_{2})={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}},\,f(e_{3})={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

erfüllt. Zeige, dass $f$ ein Epimorphismus ist.

Lösung

Nach Konstruktion ist $f$ eine lineare Abbildung. Wir wollen zeigen, dass $\{f(e_{1}),f(e_{2}),f(e_{3})\}=\{(1,1),(1,-1)\}$ ein Erzeugendensystem des $\mathbb {R} ^{2}$ ist. Dann folgt mit dem oberen Satz, dass $f$ ein Epimorphismus ist. Wir müssen also jedes $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ als eine Linearkombination der Vektoren $(1,1),(1,-1)$ darstellen. Entsprechend suchen wir $\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$, so dass

${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Daraus erhalten wir das lineare Gleichungssystem

${\begin{aligned}{\begin{aligned}x&=\lambda +\mu \\y&=\lambda -\mu ,\end{aligned}}\end{aligned}}$

welches durch $\lambda ={\frac {x+y}{2}}$ und $\mu ={\frac {x-y}{2}}$ gelöst wird. Wir haben also ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\frac {x+y}{2}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+{\frac {x-y}{2}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$ für alle $x,y\in \mathbb {R}$. Also ist $\{(1,1),(1,-1)\}$ ein Erzeugendensystem. Damit ist bewiesen, dass $f$ ein Epimorphismus ist.

Aufgabe

Betrachte den Funktionenraum $\operatorname {Abb} ([0,1],\mathbb {R} )$ aller Funktionen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$, sowie die Abbildung

${\begin{aligned}\phi \colon \operatorname {Abb} ([0,1],\mathbb {R} )&\to \mathbb {R} ,\\f&\mapsto f(0).\end{aligned}}$

Zeige, dass $\phi$ ein Epimorphismus ist.

Lösung

Die Verknüpfungen auf dem Funktionenraum sind jeweils elementweise definiert. Das bedeutet: für $f,g\in \operatorname {Abb} ([0,1],\mathbb {R} )$, $\lambda \in \mathbb {R}$ und $x\in [0,1]$ gilt, dass $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ und $(\lambda f)(x)=\lambda f(x)$. Insbesondere trifft das für $x=0$ zu, woraus

${\begin{aligned}\phi (f+g)=(f+g)(0)=f(0)+g(0)=\phi (f)+\phi (g)\end{aligned}}$

und

${\begin{aligned}\phi (\lambda f)=(\lambda f)(0)=\lambda f(0)=\lambda \phi (f)\end{aligned}}$

folgt. Damit haben wir die Linearität gezeigt.

Um die Surjektivität nachzuweisen, sei $c\in \mathbb {R}$ beliebig. Wir müssen zeigen, dass es ein $f:[0,1]\to \mathbb {R}$ mit $f(0)=c$ gibt. Eine solche Abbildung existiert, da z.B. die konstante Funktion

${\begin{aligned}f:[0,1]\to \mathbb {R} ,\,x\mapsto c\end{aligned}}$

die geforderten Eigenschaften hat. Jedes $c\in \mathbb {R}$ besitzt damit ein Urbild, also ist $\phi$ ein Epimorphismus.