Epimorphismus (Lineare Algebra) – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Motivation und Herleitung[Bearbeiten]

Im Artikel über Monomorphismen haben wir gesehen, dass es hilfreich ist, die injektiven linearen Abbildungen zu betrachten. Diese sind nämlich genau diejenigen linearen Abbildungen, welche linear unabhängige Vektoren auf linear unabhängige Vektoren abbilden. Die injektiven linearen Abbildungen "erhalten" also die lineare Unahängigkeit. Die lineare Unabhängigkeit ist eine wichtige und grundlegende Eigenschaft, weil man mit deren Hilfe den intuitiven Dimensionsbegriff durch Begriffe der linearen Algebra ausdrücken kann. Neben dieser gibt es im Zuge von Vektorräumen noch die Erzeugendeneigenschaft als fundamentales Konzept. Wir stellen uns daher die Frage, welche linearen Abbildungen ein Erzeugendensystem des Urbildraums auf ein Erzeugendensystem des Bildraums schickt.

Seien also zwei -Vektorräume über demselben Körper und ein Erzeugendensystem. Welche Eigenschaften muss eine lineare Abbildung nun haben, damit den Vektorraum erzeugt? Dafür müsste ein beliebiges als eine Linearkombination der dargestellt werden können. Das bedeutet, man findet , sodass

Da die Abbildung linear ist, wird daraus

daher gibt es für jedes ein mit . Jedes Element aus hat also (mindestens) ein Urbild unter . Eine lineare Abbildung muss also surjektiv sein, um die Erzeugendeneigenschaft zu erhalten. Surjektive lineare Abbildungen nennt man Epimorphismen.

Definition Epimorphismus[Bearbeiten]

Definition (Epimorphismus)

Eine lineare Abbildung heißt Epimorphismus, wenn sie surjektiv ist. Das heißt, zu jedem gibt es ein derart, dass ist.

Äquivalente Charakterisierungen von Epimorphismen[Bearbeiten]

Satz

Sei eine lineare Abbildung und sei ein Erzeugendensystem von .

Die lineare Abbildung ist genau dann ein Epimorphismus, wenn ebenfalls ein Erzeugendensystem von ist.

Beweis

: Wir zeigen zunächst, dass ein Erzeugendensystem von ist, falls ein Epimorphismus ist.

Sei dafür beliebig, dann gibt es nach Voraussetzung ein Element derart, dass gilt . Da den Vektorraum erzeugt, gibt es mit . Es gilt dann:

also lässt sich als Linearkombination von darstellen. Das bedeutet aber, da beliebig war, dass ein Erzeugendensystem von ist.

: Wir beweisen nun die Rückrichtung also, dass surjektiv ist, wenn ein Erzeugendensystem von ist.

Sei beliebig. Wir müssen zeigen, dass es ein mit gibt. Da von erzeugt wird, gibt es Skalare mit . Wir setzen nun , dann gilt:

was beweist, dass surjektiv, also ein Epimorphismus ist.

Wir werden jetzt noch eine zweite (kategorientheoretische) Charakterisierung von Epimorphismen kennen lernen, die "Rechtskürzbarkeit":

Satz (Epimorphismen sind "rechtskürzbar")

Sei ein Homomorphismus. Dann sind äquivalent: ist ein Epimorphismus für alle Vektorräume und alle mit .

Diese Eigenschaft nennt man "rechtskürzbar"

Beweis (Epimorphismen sind "rechtskürzbar")

Beweisschritt: , durch direkten Beweis

Sei ein Epimorphismus, d.h. ist surjektiv. Sei ein Vektorraum, und , sodass .

Dann gilt für : Da surjektiv, existiert mit . Dann ist . Da wir beliebig gewählt haben, folgt .

Beweisschritt: , durch Widerspruch

Sei ein Homomorphismus. Angenommen, ist kein Epimorphismus, d.h. nicht surjektiv.

Dann gibt es mit (insbesodnere ist , da ) Wir erweitern nun zu einer Basis von

Wir betrachten nun die beiden Homomorphismen . (Die zweite Abbildung wurde mittels dem Primzip der linearen Fortsetzung nur auf einer Basis definiert).

Dann gilt : Sei . Dann liegt , da Also ist , da

Aber , da .

Dies ist ein Widerspruch zur Annahme, und es folgt, dass ein Epimorphismus ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Beispiel

Wir betrachten die Vektorräume und mit , sowie die lineare Abbildung . Bei dieser Abbildung schneiden wir einfach die letzten Komponenten ab. Damit ist klar, warum wir fordern müssen. Diese Abbildung ist ein Epimorphismus aber kein Monomorphismus, denn sei , dann existiert ein , zum Beispiel , für das gilt und damit ist die lineare Abbildung surjektiv.

Diese Abbildung ist aber kein Monomorphismus, denn es gilt , aber , damit ist die lineare Abbildung nicht injektiv.

Beispiel

Für einen Körper und zwei -Vektorräume ist die Abbildung

ein Epimorphismus, wobei die äußere direkte Summe bezeichnet. Wir zeigen dafür zunächst, dass die Abbildung linear ist. Seien dafür , sowie beliebig. Dann ist und , also ist linear.

Sei jetzt beliebig. Dann ist für jedes . Daher liegt jedes im Bild von , da unter Anderem ein Urbild von ist. Wir haben damit bewiesen, dass surjektiv ist.

Aufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe

Wir betrachten den mit Standardbasis sowie die nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung eindeutig bestimmte lineare Abbildung , die

erfüllt. Zeige, dass ein Epimorphismus ist.

Lösung

Nach Konstruktion ist eine lineare Abbildung. Wir schreiben und wollen zeigen, dass ein Erzeugendensystem des ist. Haben wir das gezeigt, können wir den oberen Satz anwenden und erhalten, dass ein Epimorphismus ist. Wir müssen also jedes als eine Linearkombination der Vektoren darstellen. Entsprechend suchen wir , so dass

Daraus erhalten wir das lineare Gleichungssystem

welches durch und gelöst wird. Wir haben also für alle und haben damit gezeigt, dass ein Erzeugendensystem ist. Damit ist bewiesen, dass ein Epimorphismus ist.

Aufgabe

Betrachte den Funktionenraum aller Funktionen von nach , sowie die Abbildung

Zeige, dass ein Epimorphismus ist.

Lösung

Die Verknüpfungen auf dem Funktionenraum sind jeweils elementweise definiert. Das bedeutet, dass für und , sowie für alle gilt. Erst recht trifft das für zu, woraus

und

folgt. Damit haben wir die Linearität gezeigt.

Um die Surjektivität nachzuweisen, sei beliebig. Wir müssen zeigen, dass es ein mit gibt. Eine solche Abbildung existiert, da z.B. die konstante Funktion

die geforderten Eigenschaften hat. Jedes besitzt damit ein Urbild, also ist ein Epimorphismus.