Epimorphismus (Lineare Algebra) – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Motivation und Herleitung[Bearbeiten]

  • Lineare Abbildungen erhalten die Linearkombinationen
  • Die Frage ist zunächst, welche Eigenschaften muss f haben, damit ein Erzeugendensystem von W wird?
  • Für ein Erzeugendensystem muss ein beliebiges dargestellt werden können, als Linearkombination der
  • Das heißt, es muss Skalare geben derart, dass w darstellbar ist als Linearkombination der , also
  • Damit ist w ein Bildelement und damit existiert ein Urbild v
  • Damit gibt es zu jedem eine Element , sodass
  • Das bedeutet aber, dass f surjektiv ist..

Definition[Bearbeiten]

Definition (Epimorphismus)

Eine lineare Abbildung heißt Epimorphismus, wenn sie surjektiv ist. Das heißt, zu jedem gibt es ein derart, dass ist.

Satz[Bearbeiten]

Satz

Sei eine lineare Abbildung und sei eine Basis von .

ist genau dann surjektiv, wenn ein Erzeugendensystem von ist.

Beweis

: Wir beweisen zunächst, wenn surjektiv ist, dann ist ein Erzeugendensystem von .

Sei beliebig, dann gibt es ein Element derart, dass gilt . Da eine Basis von ist, gibt es mit . Es gilt dann:

Also lässt sich als Linearkombination von darstellen, das bedeutet aber ist ein Erzeugendensystem von .

: Wir beweisen jetzt, wenn ein Erzeugendensystem von ist, dann ist surjektiv.

Sei beliebig. Da von erzeugt wird, gibt es Skalare mit . Wir setzen nun , dann gilt:

Das bedeutet aber ist surjektiv.

Beispiele[Bearbeiten]

Beispiele von Vektorraum-Epimorphismen[Bearbeiten]

Wir betrachten die Vekorräume und mit . Die lineare Abbildung . Bei dieser Abbildung schneiden wir einfach die letzten Komponenten ab. Damit ist klar, warum wir fordern müssen. Diese Abbildung ist ein Epimorphismus aber kein Momomorphismus, denn sei , dann existiert ein , zum Beispiel , für das gilt und damit ist die lineare Abbildung surjektiv.

Diese Abbildung ist aber kein Monomorphismus, denn es gilt , aber , damit ist die lineare Abbildung nicht injektiv.

Aufgaben[Bearbeiten]