Monomorphismus (Lineare Algebra) – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Lineare Abbildungen erhalten Linearkombinationen. Mit Monomorphismen werden wir spezielle lineare Abbildungen kennen lernen, die lineare Unabhängigkeit erhalten.

Motivation[Bearbeiten]

Wir haben lineare Abbildungen kennengelernt als Funktionen zwischen Vektorräumen, die Linearkombinationen erhalten. Diese erfüllen also die Eigenschaft, dass eine Linearkombination aus der Funktion „herausgezogen“ werden kann:

Neben der Linearkombinationen haben wir weitere vektorielle Eigenschaften wie die lineare Unabhängigkeit kennengelernt. Im Kontext der linearen Abbildungen stellt sich nun die Frage ob diese Eigenschaft bei einer linearen Abbildung erhalten bleibt oder nicht.

Zur Wiederholung: Eine endliche Menge von Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn ihre Linearkombinationen eindeutig sind. Es gilt also für linear unabhängige Vektoren :

Sind die Bilder linear unabhängiger Vektoren unter einer linearen Abbildung wieder linear unabhängig? Nein, nehmen wir die lineare Abbildung . Diese bildet die linear unabhängigen Vektoren und beide auf die linear abhängigen Vektoren und ab.

Welche zusätzliche Eigenschaft muss eine lineare Abbildung haben, damit lineare Unabhängigkeit erhalten bleibt? Dazu nehmen wir die linear unabhängigen Vektoren . Damit eine lineare Abbildung diese Eigenschaft erhält, muss nach unserer Definition der linearen Unabhängigkeit gelten:

Wir formen um:

Um zu zeigen, dass linear unabhängig sind, kann folgende dazu äquivalente Aussage gezeigt werden:

Wir wissen aus unserer Annahme, dass linear unabhängig sind, dass folgende Eigenschaft gilt:

Es reicht also, wenn folgende Eigenschaft besitzt:

Indem wir und setzen, wird klarer, was das für eine Eigenschaft ist. Da jeder Vektor als Linearkombination dargestellt werden kann, muss obige Aussageform für alle Vektoren und erfüllt sein:

Diese Eigenschaft ist die Injektivität, welche besagt, dass verschiedene Argumente auf verschiedene Funktionswerte abgebildet werden. Also muss eine lineare Abbildung, um lineare Unabhängigkeit zu erhalten, injektiv sein. Injektive, lineare Abbildungen nennt man Monomorphismen.

Definition[Bearbeiten]

Definition (Monomorphismus)

Ein Monomorphismus ist eine injektive lineare Abbildung zwischen zwei -Vektorräumen und . Für alle folgt also aus die Gleichheit .

Satz[Bearbeiten]

Satz (Monomorphismen erhalten lineare Unabhängigkeit)

Sei eine lineare Abbildung. Genau dann sind Bildvektoren für linear unabhängige Vektoren wieder linear unabhängig, wenn injektiv ist. erhält also genau dann lineare Unabhängigkeit, wenn ein Monomorphismus ist.

Beweis (Monomorphismen erhalten lineare Unabhängigkeit)

Beweisschritt: Ist injektiv, so sind alle Bildvektoren linear unabhängig, wenn linear unabhängig ist.

Seien beliebige linear unabhängige Vektoren aus dem Definitionsbereich . Seien nun Skalare mit

Wir wissen, dass ist ( bildet die Null auf die Null ab). Da injektiv ist, wird jedes Bildelement maximal einmal getroffen und damit wird nur die Null auf die Null abgebildet. Damit folgt aus der obigen Gleichung

Da linear unabhängig sind, kann es nur die triviale Darstellung der Null geben und somit sind alle Koeffizienten gleich Null:

Wir haben so gezeigt, dass aus folgt, dass alle sind. Damit sind die Bildvektoren linear unabhängig.

Beweisschritt: Sind alle linear unabhängig, wenn linear unabhängig ist, so ist injektiv.

Gehen wir nun davon aus, dass alle Mengen von Bilder linear unabhängig sind, wenn linear unabhängig ist. Um zu zeigen, dass unter dieser Annahme injektiv sein muss, wählen wir zwei mit . Wir müssen nun zeigen .

Nehmen wir eine Basis des Definitionsbereiches . Dann gibt es und mit und . Es gilt:

Da eine Basis ist, ist diese Menge linear unabhängig. Damit ist nach Voraussetzung auch linear unabhängig. Da Linearkombinationen von linear unabhängigen Vektoren ist, folgt aus obiger Gleichung, dass bis ist. Damit ist aber auch

Wir haben gezeigt, dass aus die Gleichheit folgt. Dies beweist, dass injektiv ist.

Beispiele[Bearbeiten]

Beispiel

Die Abbildung mit der folgenden Funktionsvorschrift ist ein Vektorraum-Monomorphismus:

Aus , folgt nämlich

Dann muss aber und sein und damit folgt die Gleichheit der Argumente . Dies zeigt, dass injektiv ist.

Zusammenhang mit Kern[Bearbeiten]

Alternative Herleitung des Monomorphismus[Bearbeiten]

Lineare Abbildungen erhalten lineare Unabhängigkeit genau dann, wenn sie injektiv sind. Diese Abbildungen bezeichnen wir als Monomorphismen. Um dies herzuleiten haben wir uns zunächst klargemacht wie lineare Unabhängigkeit definiert wird, nämlich über die Eindeutigkeit der Darstellung eines Vektors als Linearkombination. Man kann die lineare Unabhängigkeit allerdins auch über die Nulldarstellung definieren: sind nämlich dann linear unabhängig, wenn aus folgt, dass alle Koeffizienten sind.

Was wäre, wenn wir mit dieser Definition versucht hätten, die Definition des Monomorphismus herzuleiten? Wir suchen also wieder eine Eigenschaft für eine lineare Abbildung , mit der wir aus der linearen Unabhängigkeit der die lineare Unabhängigkeit der folgern können. Seien hierzu linear unabhängig. Wir wollen nun zeigen, dass gilt:

Das ist äquivalent zu

Unsere gesuchte Eigenschaft muss in diesem Fall gewährleisten, dass ist. Denn dann können wir mit der linearen Unabhängigkeit der zeigen, dass alle sind, was auch die lineare Unabhängigkeit der beweist.

braucht also die Eigenschaft: für alle Vektoren . Diese Eigenschaft ist nach dem Prinzip der Kontraposition äquivalent zu . Die gesuchte Eigenschaft ist also: „Die Menge der Elemente, die auf die Null abgebildet werden, besteht nur aus dem Nullelement.“ Diese Eigenschaft ist im Übrigen der Spezialfall der Injektivität und sagt aus, dass nur die Null auf das Nullelement des Bildvektorraums abgebildet wird.

Definition des Kerns[Bearbeiten]

Die Menge der Elemente, die auf die Null abgebildet werden, hat nicht nur in diesem Kontext eine besondere Bedeutung, sie wird uns auch in Zukunft noch häufiger begegnen. Deswegen hat sie auch einen eigenen Namen, man spricht vom Kern der Abbildung.

Definition (Kern einer linearen Abbildung)

Sei eine lineare Abbildung zwischen zwei -Vektorräumen und . Der Kern der Abbildung ist die Menge aller Vektoren aus die auf abgebildet werden und wird mit bezeichnet. Es gilt

Alternative Definition Monomorphismus[Bearbeiten]

Wir haben nun eine zweite Eigenschaft kennengelernt, mit der man Monomorphismen definieren kann. Eine lineare Abbildung ist genau dann ein Monomorphismus, wenn ihr Kern nur aus der Null besteht. Man sagt auch, der Kern sei „trivial“. Wir können so eine alternative Definition für Monomorphismen formulieren:

Definition (Monomorphismus)

Ein Monomorphismus ist eine lineare Abbildung zwischen zwei -Vektorräumen und für die die folgenden äquivalenten Aussagen gelten:

  • ("Der Kern von ist trivial.")

Zusammenhang Kern mit Injektivität[Bearbeiten]

Wir kennen nun zwei Eigenschaften von linearen Abbildungen, die garantieren, dass diese lineare Unabhängigkeit erhalten: Einerseits die Injektivität und andererseits, dass der Kern der linearen Abbildung trivial ist. Beide Eigenschaften bewirken dasselbe. Es lässt sich also vermuten dass beide Eigenschaften äquivalent sind. Wie der folgende Beweis zeigen wird, stimmt diese Vermutung:

Satz (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Seien und zwei -Vektorräume und sei linear. Dann ist genau dann injektiv, wenn ist. Insbesondere ist genau dann injektiv, wenn .

Zusammenfassung des Beweises (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Für den Satz müssen wir zwei Richtungen zeigen:

  • Wenn injektiv ist, dann ist .
  • Aus folgt, dass injektiv ist.

Die erste Richtung kann mit einem direkten Beweis gezeigt werden. Für die andere Richtung müssen wir zeigen, dass für beliebige und mit folgt , wenn . Wenn wir nun wissen, dass für schon gilt, was gilt dann für ? Und was bedeutet das für ? Ausdem benutzen wir, dass nur der Vektorräume der Form die Dimension Null haben.

Beweis (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Beweisschritt: Wenn injektiv ist, dann ist .

Nehmen wir zunächst an, dass injektiv ist. Wir wissen bereits, dass ist. Da injektiv ist, kann kein anderer Vektor auf abgebildet werden (bei injektiven Funktionen wird maximal ein Argument auf einen Funktionswert abgebildet). Damit ist , denn der Kern ist ja definiert als die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Beweisschritt: Aus folgt, dass injektiv ist.

Sei . Um zu zeigen, dass injektiv ist, betrachten wir zwei Vektoren und aus mit . Dann ist

Also ist . Da wir angenommen haben, dass , ist und damit . Folglich gilt für alle . Dies ist genau die Definition dafür, dass injektiv ist.

Beweisschritt: ist genau dann injektiv, wenn ist.

Wir haben schon gezeigt, dass genau dann injektiv ist, wenn ist. Es bleibt zu zeigen, dass dies äquivalent dazu ist, dass ist. Der Kern von ist ein Untervektorraum von . Ein Untervektorraum von ist genau dann gleich , wenn seine Dimension Null beträgt. Also ist genau dann injektiv, wenn .

Alternativer Beweis (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Man kann diesen Satz auch mit nur einer Kette von äquivalenten Aussagen zeigen:

Übungsaufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe (Nachweis eines Monomorphismus)

Zeige, dass für die Abbildung ein Monomorphismus ist. Auf diese Art und Weise kann man jeden Vektorraum injektiv in einen Vektorraum abbilden, falls ist.

Lösung (Nachweis eines Monomorphismus)

Qsicon inArbeit.png
To-Do:

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