Monomorphismus (Lineare Algebra) – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Lineare Abbildungen erhalten Linearkombinationen. Wir lernen nun spezielle lineare Abbildungen kennen, die lineare Unabhängigkeit erhalten. Diese nennt man Monomorphismen.

Motivation[Bearbeiten]

Wir haben lineare Abbildungen kennengelernt als Funktionen zwischen Vektorräumen, die Linearkombinationen erhalten. Sie erfüllen also die Eigenschaft, dass eine Linearkombination aus der Funktion „herausgezogen“ werden kann:

Mit Hilfe der Linearkombinationen haben wir die Eigenschaft der linearen Unabhängigkeit definiert. Im Kontext der linearen Abbildungen stellt sich nun die Frage, ob diese Eigenschaft unter Anwendung einer linearen Abbildung erhalten bleibt oder nicht.

Zur Wiederholung: Eine endliche Menge von Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn ihre Linearkombinationen eindeutig sind. Es gilt also für linear unabhängige Vektoren und Skalare und

Sind die Bilder linear unabhängiger Vektoren unter einer linearen Abbildung wieder linear unabhängig? Nein. Betrachten wir die lineare Abbildung zwischen den -Vektorräumen und gegeben durch . Diese bildet die linear unabhängigen Vektoren und auf die linear abhängigen Vektoren und ab.

Welche zusätzliche Eigenschaft muss eine lineare Abbildung haben, damit lineare Unabhängigkeit erhalten bleibt? Dazu nehmen wir linear unabhängige Vektoren . Damit eine lineare Abbildung diese Eigenschaft der linearen Unabhängigkeit erhält, muss gelten:

Wir formen um:

Daher muss die folgende Eigenschaft besitzen, um lineare Unabhängigkeit zu erhalten:

Indem wir und setzen, wird klarer, was das für eine Eigenschaft ist. Wir erhalten, dass

für alle , die sich als Linearkombination der schreiben lassen.

Diese Aussage soll aber für alle linear unabhänigen Mengen und damit auch für Basen gelten. Im Falle einer Basis lassen sich aber alle als eine solche Linearkombination schreiben, was bedeutet, dass injektiv sein muss. Also ist Injektivität eine notwendige Bedingung, damit eine lineare Abbildung lineare Unabhängigkeit erhält.

Ist Injektivität auch eine ausreichende Bedingung für diese Eigenschaft? Sei dafür eine injektive lineare Abbildung und linear unabhängige Vektoren. Wir sollen herausfinden, ob auch linear unabhängig sind. Nach unseren obigen Überlegungen reicht es, für Skalare und das folgende zu zeigen:

Gelte

Dann folgt aus der Injektivität von , dass

.

Weil linear unabhängig sind, gilt für alle . Damit haben wir die obige Aussage gezeigt und erhält lineare Unabhängigkeit.

Eine lineare Abbildung erhält also genau dann lineare Unabhängigkeit, wenn sie injektiv ist. Injektive, lineare Abbildungen nennen wir Monomorphismen.

Definition[Bearbeiten]

Definition (Monomorphismus)

Ein Monomorphismus ist eine injektive lineare Abbildung zwischen zwei -Vektorräumen und .

D.h. ist eine lineare Abbildung, so dass für alle aus die Gleichheit folgt.

Äquivalente Charakterisierungen von Monomorphismen[Bearbeiten]

Wir haben uns in der Motivation überlegt, dass Monomorphismen genau die linearen Abbildungen sein sollten, die lineare Unabhängigkeit von Vektoren erhalten. Das beweisen wir nun formal:

Satz (Monomorphismen erhalten lineare Unabhängigkeit)

Sei eine lineare Abbildung. Dann gilt: ist genau dann injektiv, wenn Bildvektoren linear unabhängiger Vektoren wieder linear unabhängig sind.

Die lineare Abbildung erhält also genau dann lineare Unabhängigkeit, wenn ein Monomorphismus ist.

Beweis (Monomorphismen erhalten lineare Unabhängigkeit)

Beweisschritt: injektiv“ erhält lineare Unabhängigkeit“

Seien beliebige linear unabhängige Vektoren aus dem Definitionsbereich . Seien nun Skalare mit

Wir wissen, dass ist. Da injektiv ist, folgt aus der obigen Gleichung

Da linear unabhängig sind, kann es nur die triviale Darstellung der Null geben und somit sind alle Koeffizienten gleich Null:

Wir haben so gezeigt, dass aus folgt, dass alle sind. Damit sind die Bildvektoren linear unabhängig.

Beweisschritt: erhält lineare Unabhängigkeit“ injektiv“

Gehen wir nun davon aus, dass linear unabhängig sind, wann immer linear unabhängig sind. Um zu zeigen, dass dann unter dieser Annahme injektiv ist, wählen wir zwei mit . Wir müssen nun zeigen .

Es gilt dann . Da linear abhängig ist, muss bereits linear abhängig sein. Das geht aber nur, wenn , also .

Somit ist injektiv.

Angenommen, wir haben linear unabhängige Vektoren . Die lineare Unabhängigkeit bedeutet, dass die Vektoren "verschiedene Informationen" beschreiben. Wir haben oben gesehen, dass Monomorphismen lineare Unabhängigkeit erhalten. Das bedeutet also, dass Monomorphismen "alle Informationen" erhalten. Angenommen, wir haben nun einen weiterne Vektorraum und Abbildungen , sodass gilt. Da durch die Anwendung von keine Information verloren gegangen ist, müssen und bereits vor der Andwendung gleich gewesen sein. Wir können also für einen Monomorphismus aus auf schließen. Diese Eigenschaft bezeichnet man auch als "Linkskürzbarkeit". Dass die Monomorphismen die "Linkskürzbarkeit" tatsächlich erfüllen, und die "Linkskürzbarkeit" bereits Monomorphismen charakterisiert, wollen wir im nächsten Satz zeigen.

Satz (Monomorphismen sind "linkskürzbar")

Sei ein Homomorphismus. Dann gilt: ist ein Monomorphismus genau dann, wenn für alle Vektorräume und alle mit gilt .

Diese Eigenschaft nennt man "linkskürzbar".

Beweis (Monomorphismen sind "linkskürzbar")

Beweisschritt: , durch direkten Beweis

Sei ein Monomorphismus (also injektiv), ein weiterer Vektorraum und mit . Sei . Dann ist . Da injektiv ist, folgt . Da wir beliebig gewählt haben, folgt .

Beweisschritt: , per Widerspruch

Sei ein Homomorphismus. Angenommen, ist kein Monomorphismus, d.h. ist nicht injektiv.

Dann gibt es , sodass .

Ohne Einschränkung sei (sonst vertausche und ).

Wir erweitern zu einer Basis .

Dann betrachten wir die beiden Homomorphismen und für alle (der zweite Homomorphismus ist durch lineare Fortsetzung auf den Basiselementen angegeben).

Dann gilt . Es genügt, diese Identität auf unserer Basis zu überprüfen: und .

Aber es gilt sicher nicht , da .

Dies ist ein Widerspruch zur Annahme und es folgt, dass ein Monomorphismus ist.

Hinweis

Dieser Satz ist hilfreich, da man manchmal einfacher zeigen kann, dass gilt, als direkt . Außerdem gibt uns der Satz eine Art "Rechenregel" für lineare Abbildungen. Insbesondere nehmen wir keinen Bezug auf konkrete Elemente. Dies erlaubt eine Verallgemeinerung auf Kategorien. Falls du nicht weißt, was das bedeutet, brauchst du dir darum keine Gedanken zu machen.

Beispiele[Bearbeiten]

Beispiel

Die Abbildung mit der folgenden Funktionsvorschrift ist ein Vektorraum-Monomorphismus:

Aus , folgt nämlich

Dann muss aber und sein und damit folgt die Gleichheit der Argumente . Dies zeigt, dass injektiv ist.

Zusammenhang mit dem Kern[Bearbeiten]

Alternative Herleitung des Monomorphismus[Bearbeiten]

Lineare Abbildungen erhalten lineare Unabhängigkeit genau dann, wenn sie injektiv sind. Diese Abbildungen bezeichnen wir als Monomorphismen. Um dies herzuleiten, haben wir uns zunächst klargemacht wie lineare Unabhängigkeit definiert wird, nämlich über die Eindeutigkeit der Darstellung von Vektoren als Linearkombination, und zwar von allen Vektoren, die von der gegebenen Menge an Vektoren erzeugt werden können. Anstatt alle diese Vektoren zu betrachten, kann man die lineare Unabhängigkeit allerdings auch nur über die Darstellung des Nullvektors definieren: sind nämlich genau dann linear unabhängig, wenn aus folgt, dass alle Koeffizienten sind.

Was wäre, wenn wir mit dieser Definition versucht hätten, die Definition des Monomorphismus herzuleiten? Wir suchen also wieder eine Eigenschaft für eine lineare Abbildung , mit der wir aus der linearen Unabhängigkeit der die lineare Unabhängigkeit der folgern können. Seien hierzu linear unabhängig. Wir wollen nun zeigen, dass gilt:

Das ist äquivalent zu

Unsere gesuchte Eigenschaft muss in diesem Fall gewährleisten, dass ist. Denn dann können wir mit der linearen Unabhängigkeit der zeigen, dass alle sind, was auch die lineare Unabhängigkeit der beweist.

braucht also die Eigenschaft: für alle Vektoren . Diese Eigenschaft ist nach dem Prinzip der Kontraposition äquivalent zu . Die gesuchte Eigenschaft ist also: „Die Menge der Elemente, die auf die Null abgebildet werden, besteht nur aus dem Nullelement.“ Diese Eigenschaft ist im Übrigen der Spezialfall der Injektivität im Punkt und sagt aus, dass nur das Nullelement des Definitionsvektorrraums auf das Nullelement des Bildvektorraums abgebildet wird.

Definition des Kerns[Bearbeiten]

Die Menge der Elemente, die auf die Null abgebildet werden, hat also in diesem Kontext eine besondere Bedeutung. Deswegen hat sie auch einen eigenen Namen, man spricht vom Kern der Abbildung.

Definition (Kern einer linearen Abbildung)

Sei eine lineare Abbildung zwischen zwei -Vektorräumen und . Der Kern der Abbildung ist die Menge aller Vektoren aus die von auf abgebildet werden und wird mit bezeichnet. Es gilt

Zusammenhang von Kern und Injektivität[Bearbeiten]

Wir kennen nun zwei Eigenschaften von linearen Abbildungen, die garantieren, dass diese lineare Unabhängigkeit erhalten: Einerseits die Injektivität und andererseits, dass der Kern der linearen Abbildung trivial ist. Beide Eigenschaften bewirken dasselbe. Es lässt sich also vermuten dass beide Eigenschaften äquivalent sind. Wie der folgende Beweis zeigen wird, stimmt diese Vermutung:

Satz (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Seien und zwei -Vektorräume und sei linear. Dann ist genau dann injektiv, wenn ist. Insbesondere ist genau dann injektiv, wenn .

Zusammenfassung des Beweises (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Für den Satz müssen wir zwei Richtungen zeigen:

  • Wenn injektiv ist, dann ist .
  • Aus folgt, dass injektiv ist.

Die erste Richtung kann mit einem direkten Beweis gezeigt werden. Für die andere Richtung müssen wir zeigen, dass für beliebige und mit folgt , wenn . Wenn wir nun wissen, dass für schon gilt, was gilt dann für ? Und was bedeutet das für ? Außerdem benutzen wir, dass nur Vektorräume der Form die Dimension Null haben.

Beweis (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Beweisschritt: Wenn injektiv ist, dann ist .

Nehmen wir zunächst an, dass injektiv ist. Wir wissen bereits, dass ist. Da injektiv ist, kann kein anderer Vektor auf abgebildet werden (bei injektiven Funktionen wird maximal ein Argument auf einen Funktionswert abgebildet). Damit ist , denn der Kern ist ja definiert als die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Beweisschritt: Aus folgt, dass injektiv ist.

Sei . Um zu zeigen, dass injektiv ist, betrachten wir zwei Vektoren und aus mit . Dann ist

Also ist . Da wir angenommen haben, dass , ist und damit . Folglich gilt für alle . Dies ist genau die Definition dafür, dass injektiv ist.

Beweisschritt: ist genau dann injektiv, wenn ist.

Wir haben schon gezeigt, dass genau dann injektiv ist, wenn ist. Es bleibt zu zeigen, dass dies äquivalent dazu ist, dass ist. Der Kern von ist ein Untervektorraum von . Ein Untervektorraum von ist genau dann gleich , wenn seine Dimension Null beträgt. Also ist genau dann injektiv, wenn .

Alternativer Beweis (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Man kann diesen Satz auch mit nur einer Kette von äquivalenten Aussagen zeigen:

Alternative Definition des Monomorphismus[Bearbeiten]

Wir haben also eine zweite Eigenschaft kennengelernt, mit der man Monomorphismen definieren kann. Eine lineare Abbildung ist genau dann ein Monomorphismus, wenn ihr Kern nur aus der Null besteht. Man sagt auch, der Kern sei „trivial“. Wir können so eine alternative Definition für Monomorphismen formulieren:

Definition (Monomorphismus)

Ein Monomorphismus ist eine lineare Abbildung zwischen zwei -Vektorräumen und , für die eine (bzw. alle) der folgenden äquivalenten Aussagen gelten:

  • ist injektiv.
  • Für alle gilt .
  • Für alle gilt .
  • Der Kern von ist trivial, d.h. .

Übungsaufgaben[Bearbeiten]

Aufgabe (Nachweis eines Monomorphismus)

Zeige, dass für die Abbildung ein Monomorphismus ist. Auf diese Art und Weise kann man jeden Vektorraum injektiv in einen Vektorraum abbilden, falls ist.

Lösung (Nachweis eines Monomorphismus)

Seien und , sowie . Nach Definition der Abbildung gilt:

Also ist linear. Es bleibt zu zeigen, dass injektiv ist. Um die Injektivität von zu zeigen, gibt es (mindestens) zwei Möglichkeiten:

1. Möglichkeit

Aus der Definition der linearen Abbildung wird klar, dass nur das Nullelement aus unter auf das Nullelement von abbildet. Also ist

Der Kern von enthält somit nur das Nullelement. Nach dem Satz über den Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität einer linearen Abbildung folgt, dass injektiv ist. Zusammen mit der Linearität von ist somit gezeigt, dass ein Monomorphismus ist.

2. Möglichkeit

Die zweite Möglichkeit die Injektivität der Abbildung zu beweisen, besteht darin, die Definition der Injektivität direkt nachzurechnen:

Sei . Das ist äquivalent zu der Aussage . Mit anderen Worten

Aus dieser Darstellung erkennt man sofort, dass gelten muss. Also ist . Damit ist injektiv. Zusammen mit der Linearität von ist somit gezeigt, dass ein Monomorphismus ist.